Capı́tulo 16
Traçado de Gráficos
16.1
Introdução
Em capı́tulos anteriores, tivemos a oportunidade de observar a utilidade da representação gráfica de uma função: um
gráfico, adequadamente traçado, pode e deve mostrar caracterı́sticas importantes do comportamento da função, daı́
a necessidade de sabermos esboçar gráficos de funções de uma maneira precisa. Já vimos também que um programa
de computador, como o Maple, traça gráficos de quaisquer funções em questões de segundos. Por que, então, nos
preocuparmos em aprender técnicas para traçar gráficos?
Esta seção tem como objetivo mostrar que o computador e o Maple, quando corretamente utilizados, podem nos
fornecer todas as informações importantes a respeito de uma função, mas para isso é preciso entender e utilizar o
conceito de derivada para traçar o gráfico de funções. Nos exemplos estudados a seguir, mostraremos como o potencial
e as facilidades computacionais do Maple podem ser usados para entender os conceitos matemáticos utilizados na
construção do gráfico de uma função e como é possı́vel utilizar estes conceitos matemáticos, em conjunto com o Maple,
para obter uma representação gráfica adequada da função em exame.
Nesta seção faremos uma discussão puramente geométrica dos vários conceitos matemáticos envolvidos no traçado
do gráfico de uma função. As demonstrações das conclusões a que chegarmos neste capı́tulo serão apresentadas nos
capı́tulos a seguir.
16.2
Discussão geométrica
Como o gráfico de uma função é o conjunto de pontos do plano da forma (x, f (x)), a primeira idéia que surge ao
tentarmos traçar um gráfico é marcar alguns destes pontos no sistema de eixos coordenados e ligá-los por segmentos
de reta. Este método, além de primitivo, pode levar a uma série de equı́vocos. Vejamos alguns exemplos do que pode
acontecer:
Exemplo 1
Considere a função f (x) = x4 − 5x2 + 4
Veja a seguir a figura obtida unindo, por seguimentos, os pontos (−2, 0), (−1, 0), (0, 4), (1, 0) e (2, 0), que fazem
parte do gráfico desta função.
4
3
2
1
0
–2
–1
0
1
2
Será esta uma representação adequada para o gráfico da função f (x) = x4 − 5 x2 + 4?
A segunda idéia que temos, como dignos representantes de uma espécie racional, habitantes do planeta Terra, em
pleno século XXI, é lançar mão de um computador e usar um programa que nos salve. Mesmo usando um programa
como o Maple, podemos ser levados a erros. Veja o resultado que obtivemos usando este recurso computacional:
208
Cap. 16.
Traçado de Gráficos
500
400
300
200
100
–4
–2
0
2 x
4
O gráfico parece indicar que a função assume somente valores positivos. No entanto, por simples inspeção constatamos que, para alguns valores de x, a função deve assumir valores negativos. Usando o Maple para calcular os
valores desta função em alguns pontos obtemos:
f1:= x ->x^4-5*x^2+4;
valores_f:=[f1(-2),f1(-1.5),f1(-1),f1(-0.5),f1(0),f1(0.5),f1(1),f1(1.
5),f1(2)];
valores f := [0, −2.1875, 0, 2.8125, 4, 2.8125, 0, −2.1875, 0]
o que mostra que nossa conjectura era verdadeira. O comportamento desta função é melhor representado pelo gráfico
a seguir, onde os intervalos de variação de x e de y foram escolhidos criteriosamente.
>
>
>
>
plot(x^4-5*x^2+4,x=-5..5,y=-3..6);
6
4
y
2
–4
–2
2 x
4
–2
Este exemplo nos leva a pensar que o problema de traçar adequadamente gráficos de funções estará resolvido se
desenvolvermos uma grande habilidade com os comandos do Maple na manipulação de gráficos, em particular na
escolha da melhor “janela” para o traçado do gráfico em questão. O próximo exemplo nos mostra que a questão não
é tão simples quanto parece.
Exemplo 2
Vamos tentar achar a melhor “janela” para obter, com a ajuda do Maple, uma representação gráfica adequada
6
para a função g(x) = x112 − 2 ( 1000
x ) . Veja a seguir o resultado de nossas tentativas. Observe em cada caso a “janela”
escolhida para o traçado do gráfico, isto é, os intervalos de variação de x e de y.
>
g:=x->1/x^12-2*(1000/x)^6;
>
1
2000000000000000000
−
12
x
x6
plot(g(x),x=-10..10,axesfont=[TIMES,ROMAN,6]);
g := x →
x
–1e+32
–2e+32
–3e+32
–4e+32
–5e+32
>
plot(g(x),x=-1..1,axesfont=[TIMES,ROMAN,6]);
W.Bianchini, A.R.Santos
209
6e+40
4e+40
2e+40
–1
>
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
x
0.6
0.8
1
x
0.006
0.008
0.01
plot(g(x),x=-0.01..0.01,axesfont=[TIMES,ROMAN,6]);
8e+64
6e+64
4e+64
2e+64
–0.01
>
–0.008 –0.006 –0.004 –0.002
0.002
0.004
plot(g(x),x=-0.00001..0.00001,axesfont=[TIMES,ROMAN,6]);
8e+100
6e+100
4e+100
2e+100
–1e–05 –8e–06 –6e–06 –4e–06 –2e–06
>
2e–06
4e–06
x
6e–06
8e–06
1e–05
plot(g(x),x=-0.001..0.001,y=-4^100..4^100,axesfont=[TIMES,ROMAN,6]);
1.6e+60
1.4e+60
1.2e+60
1e+60
y8e+59
6e+59
4e+59
2e+59
–0.001 –0.0008 –0.0006 –0.0004 –0.0002 0
–2e+59
0.0002 0.0004 0.0006 0.0008
x
0.001
–4e+59
–6e+59
–8e+59
–1e+60
–1.2e+60
–1.4e+60
–1.6e+60
Os gráficos obtidos não nos fornecem nenhuma informação a respeito do comportamento desta função, por isso
não são uma representação gráfica adequada para a mesma. Usando a versão eletrônica deste texto, tente obter uma
representação melhor para o gráfico desta função! Este exemplo nos faz concluir que para traçar o gráfico de algumas
funções teremos que ter muita habilidade (ou sorte) no uso do Maple para conseguirmos alguma coisa razoável. Tanta
habilidade que talvez seja mais fácil (e útil) aprender cálculo!
Os exemplos seguintes ilustram que, além do problema da escolha da melhor “janela”, outras dúvidas podem surgir
ao tentarmos traçar gráficos de funções.
Exemplo 3
>
plot(x^3,x=-20..20,axesfont=[TIMES,ROMAN,6]);
210
Cap. 16.
Traçado de Gráficos
8000
6000
4000
2000
–20
0
–10
10
x
20
–2000
–4000
–6000
–8000
Será que a concavidade deste gráfico se mantém para valores grandes de x ? Vamos tentar responder a esta questão
com a ajuda do Maple, traçando este mesmo gráfico no intervalo (−∞, +∞). Veja o resultado obtido!
>
plot(x^3,x=-infinity..infinity);
infinity
-infinity
x
infinity
-infinity
Será esta uma representação adequada para a função f(x) = x3 ?
Vamos repetir o mesmo procedimento para a função f(x) = x2 . Veja o gráfico obtido:
>
plot(x^2,x=-infinity..infinity);
infinity
-infinity
0
x
infinity
Estranho, não? Estivemos sempre errados ou é o Maple que não serve para traçar gráficos de funções?
16.3
Derivadas e traçado de gráficos
No Cap. 5 vimos que a reta tangente é aquela que aproxima a curva próximo ao ponto de tangência. Programas de
computador como o Maple utilizam esta propriedade para traçar o gráfico de uma função (Veja no mesmo capı́tulo o
projeto Programando o Computador para Traçar Gráficos de Funções). Vimos também que a derivada de uma função
num dado ponto é definida, geometricamente, como a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto, portanto,
a derivada de uma função deve, de alguma maneira, fornecer informações a respeito do gráfico da função. Vamos
agora tentar estabelecer a relação que existe entre o gráfico de uma função f e sua derivada. Considere a função
f (x) = x2 + 3.
W.Bianchini, A.R.Santos
211
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
–4
–2
0
2 x
4
Sabemos que o gráfico desta função é uma parábola, portanto, a figura obtida acima é uma representação adequada
para esta função. Além disso, podemos observar que esta função é decrescente para valores de x < 0 e é crescente para
valores de x > 0. Não custa lembrar que, em matemática, dizemos que uma função é crescente num certo intervalo
do eixo x se, quaisquer que sejam os pontos x1 e x2 desse intervalo, tais que x1 < x2 , tivermos necessariamente
f (x1 ) < f (x2 ). Geometricamente, isto significa que o gráfico da função é ascendente quando o percorremos da esquerda
para a direita. Analogamente, a função é dita decrescente em um certo intervalo (isto é, o seu gráfico é descendente
quando percorrido da esquerda para a direita) se, quaisquer que sejam x1 e x2 no intervalo considerado, tais que
x1 < x2 , tivermos necessariamente f (x1 ) > f (x2 ).
Para esboçarmos o gráfico de uma função qualquer, é importante conhecermos os intervalos onde ela é crescente
e aqueles em que é decrescente. A derivada nos fornece uma importante informação a esse respeito. Observe no
diagrama a seguir, as inclinações das retas tangentes ao gráfico da função, em vários de seus pontos.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Se lembrarmos que o coeficiente angular de uma reta é positivo se ela aponta para cima, à direita, e negativo, se ela
aponta para baixo, à direita, é fácil concluir que existe uma relação entre os intervalos de crescimento e decrescimento
de uma função e o sinal de sua derivada. Veja no diagrama a seguir, o gráfico da função e de sua derivada, traçados
na mesma janela.
18
16
14
12
10
8
6
4
2
–4
–3
–2
0
–1 –2
–4
–6
–8
1
2
x
3
4
É geometricamente fácil perceber que nos intervalos onde a derivada é positiva a função é crescente, e onde a
derivada é negativa a função é decrescente. A demonstração desta afirmação, no entanto, depende de um dos teoremas
mais importantes de Cálculo, chamado Teorema do Valor Médio. Este teorema e a demonstração da afirmação acima
serão vistos na próxima seção. Por ora, vamos nos deixar guiar por nossa intuição geométrica e considerar verdadeira
a afirmação feita. Assim, o problema de determinar os intervalos onde uma função é crescente e os intervalos onde
ela é decrescente se reduz a determinar os valores de x para os quais a derivada da função é positiva, isto é, resolver
uma inequação da forma f ′ (x) > 0, e os intervalos onde ela é negativa, isto é, determinar os valores de x para os quais
f ′ (x) < 0.
Podemos usar o Maple para determinar tais intervalos usando o comando solve:
>
df:=x->diff(x^2+3,x);
212
Cap. 16.
Traçado de Gráficos
df := x → diff(x2 + 3, x)
>
df(x);
2x
>
solve({df(x)>=0},{x});
{0 ≤ x}
Podemos, agora, usar o comando signum, que fornece o sinal de uma função qualquer, para obter o sinal da derivada
de f (que chamamos de df).
>
plot(signum(df(x)),x=-5..5);
1
0.8
0.6
0.4
0.2
–4
–2
–0.2
2 x
4
–0.4
–0.6
–0.8
–1
O gráfico indica que a derivada de f é positiva para x > 0 e negativa para x < 0. Portanto, a função é decrescente
para x < 0 e crescente para 0 < x.
16.4
Derivada primeira e extremos locais
Vamos aplicar as conclusões obtidas na seção anterior para estudar o comportamento da função f (x) = sen(x). Em
que intervalos esta função é crescente? Em que intervalos é decrescente?
Observe o diagrama a seguir. Neste diagrama, o gráfico da função seno é traçado em linha cheia e o da sua derivada,
a função cosseno, em linha pontilhada. Estes gráficos estão de acordo com as conclusões a que chegamos acima?
Este diagrama nos ajuda a deduzir outras informações importantes a respeito da relação entre os gráficos da função
e da sua derivada.
É claro que uma curva suave só pode mudar de crescente para decrescente passando por um pico, onde o coeficiente
angular da reta tangente, isto é, a sua derivada é zero. Analogamente, ela só pode mudar de decrescente para crescente
passando por uma depressão, onde o coeficiente angular da reta tangente também é zero. Na versão eletrônica, execute
a animação correspondente, desta vez quadro a quadro, para visualizar geometricamente esta afirmação.
Como foi visto no capı́tulo anterior, nos pontos de picos ou de depressão ocorrem, respectivamente, um valor
máximo ou um valor de mı́nimo (relativos) da função. Vimos também que estes valores devem ocorrer nos pontos
onde a derivada se anula ou nos pontos onde a derivada não existe. Vimos ainda que existem pontos onde a derivada
é zero ou onde ela não existe que não são nem máximo local, nem mı́nimo local para a função dada. Os exemplos a
seguir ilustram os problemas que podem ocorrer.
10
8
6
y
4
2
–4
–3
–2
–1
0
–2
1
2
x
3
4
–4
–6
–8
–10
Neste exemplo, em x = 0 o gráfico não tem pico nem depressão, mas simplesmente se achata, momentaneamente,
entre dois intervalos, em cada um dos quais a derivada é positiva.
W.Bianchini, A.R.Santos
213
1
0.8
0.6
0.4
0.2
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0
0.2 0.4 x 0.6 0.8
1
Neste outro exemplo, em x = 0 ocorre um máximo local (que é também um máximo global) da função. Neste ponto
a derivada não existe (por quê?), mas a função passa de crescente a decrescente, isto é, a sua derivada é positiva à
esquerda de zero e é negativa à direita.
Estas observações nos permitem deduzir um critério que leva em conta o sinal da derivada na vizinhança de um
ponto crı́tico para determinação dos pontos de máximo e de mı́nimo locais de uma função, critério que é enunciado a
seguir.
16.4.1
Teste da derivada primeira para determinação de extremos locais
Seja c um ponto crı́tico de uma função f pertencente ao interior de um intervalo I onde f está definida. Suponha que
f seja contı́nua e derivável em I, exceto eventualmente em c. Então:
1. Se f ′ (x) < 0 à esquerda de c e f ′ (x) > 0 à direita de c, então f(c) será um mı́nimo local de f em I.
2. Se f ′ (x) > 0 à esquerda de c e f ′ (x) < 0 à direita de c, então f(c) será um máximo local de f em I.
3. Se f ′ (x) < 0 tanto à esquerda como à direita de c ou se f ′ (x) > 0 tanto à direita como à esquerda de c, então
f(c) não será máximo nem mı́nimo local de f.
Demonstração
Demonstraremos apenas o item (1). Os outros ı́tens são demonstrados de maneira análoga.
Para demonstrar que f (c) é um mı́nimo local de f , é preciso provar que f (c) ≤ f (x), qualquer que seja x numa
vizinhança de c, isto é, para todo x num intervalo aberto (a, b) que contém c.
Suponhamos que as hipóteses do teorema se verifiquem, isto é, que f seja contı́nua em I, que c seja um ponto crı́tico
de f e que f seja derivável em I exceto, eventualmente, em x = c. Suponhamos também que f ′ (x) < 0 à esquerda de
c e que f ′ (x) > 0 à direita de c. Isto quer dizer que existem dois intervalos (a, c) e (c, b), ambos contidos em I, tais
que f ′ (x) < 0 em (a, c), o que implica que f é decrescente em (a, c] e f ′ (x) > 0 em (c, b) e, consequentemente, f será
crescente em (c, b] (note que ainda precisamos provar estas duas afirmações!).
Consideremos um ponto x pertencente ao intervalo (a, b). Então, ou x < c e, portanto, x estará em (a, c), ou
x = c, ou x > c e, então, estará em (c, b). Se x ∈ (a, c), como f é decrescente em (a, c], teremos que f (c) < f (x). Se
x ∈ (c, b), como f é crescente em (c, b], teremos que f (c) < f (x). No caso restante, f (c) = f (x). Assim, teremos que
f (c) ≤ f (x) para todo x em (a, b) e, portanto, f (c) é um mı́nimo local de f .
Em resumo
O teste acima afirma que, se c é um ponto crı́tico de f , f (c) será um extremo local de f se a derivada primeira
mudar de sinal em uma vizinhança de c. Se o sinal de f ′ mudar de positivo para negativo, isto é, se a função f crescer
à esquerda de c e decrescer a sua direita, f (c) será um máximo local. Se o sinal de f ′ mudar de negativo para positivo
(a função decresce à esquerda de c e cresce a sua direita), f (c) será um mı́nimo local. O intervalo I, onde f está
definida, pode ser toda a reta.
Exemplo 4
Voltemos ao estudo da função f (x) = x4 − 5 x2 + 4, apresentada no Exemplo 1, tentando, desta vez, pensar um
pouco antes de tentar traçar cegamente o seu gráfico.
Uma informação importante a respeito de uma função e que, portanto, deve ser claramente mostrada no seu gráfico,
são os seus zeros, isto é, as raı́zes da equação f (x) = 0. Geometricamente, os zeros de uma função correspondem aos
pontos onde o gráfico intercepta o eixo x. O comando solve do Maple pode nos ajudar a determinar tais pontos:
>
solve({x^4-5*x^2+4=0},{x});
{x = 1}, {x = 2}, {x = −2}, {x = −1}
214
Cap. 16.
Traçado de Gráficos
A seguir, vamos calcular a derivada desta função, pois, como já vimos, a derivada fornece informações a respeito
dos intervalos de crescimento e decrescimento da função dada.
>
diff(x^4-5*x^2+4,x);
4 x3 − 10 x
>
df1:=unapply(%,x);
df1 := x → 4 x3 − 10 x
Esta função é contı́nua e derivável em toda a reta e, portanto, os seus únicos pontos crı́ticos são aqueles onde
f ′ (x) = 0. Usando o comando solve para calculá-los, obtemos:
>
solve({df1(x)=0});
{x = 0}, {x =
1√
1√
10}, {x = −
10}
2
2
Calculando os valores da função f nestes pontos, obtemos os seguintes pontos que pertencem ao gráfico de f
1√
−9
d1 := (−
10,
)
2
4
d2 := (0, 4)
1√
−9
d3 := (
10,
)
2
4
Vamos agora, com a ajuda do Maple, determinar o sinal da derivada de f e usar o teste da derivada primeira para
classificar os seus pontos crı́ticos.
>
plot(signum(df1(x)),x=-2..2);
1
0.8
0.6
0.4
0.2
–2
–1
–0.2
1
x
2
–0.4
–0.6
–0.8
–1
√
√
O gráfico indica que f ′ (x) < 0 em (−∞, − 210 ) e em (0, 210 ), portanto f é decrescente nestes intervalos e f ′ (x) > 0
√
√
em (− 210 , 0) e em ( 10
2 , ∞), sendo f crescente nestes intervalos.
• Você é capaz de determinar analiticamente o sinal de f ′ (x)?
Pelo teste da derivada primeira podemos concluir que os pontos d1 e d3 são pontos de mı́nimo locais e que d2 é
um ponto de máximo local. Marcando estes pontos em um sistema coordenado e fazendo uso das informações acima,
obtemos o seguinte gráfico para a função f :
>
plot(x^4-5*x^2+4,x=-2..2);
4
3
2
1
–2
–1
1
x
2
–1
–2
No entanto, sem contrariar nenhuma das informações que já conhecemos a respeito do comportamento desta função,
o seu gráfico pode ser qualquer um dos dois traçados a seguir:
W.Bianchini, A.R.Santos
215
6
4
3
4
2
y
2
1
–4
–3
–2
–1
0
1
2
x
3
4
–4
–3
–2
–1
1
2
x
–1
3
4
–2
–2
Para que possamos afirmar com segurança qual dos gráficos é o correto, necessitamos de informações adicionais a
respeito da concavidade da função, isto é, precisamos saber o sentido em que o gráfico se curva. Quando o gráfico,
percorrido da esquerda para a direita, se curva para cima dizemos que a função é convexa (ou côncava para cima),
quando o gráfico se curva para baixo dizemos que a função é côncava (ou côncava para baixo).
16.5
Derivada segunda e concavidade
No exemplo anterior, observamos que as duas alternativas apresentadas para o gráfico da função em estudo diferiam
pela tipo de concavidade da função para x < −2 e para x > 2. O estudo da concavidade é feito por meio da derivada
segunda da função. Observe os diagramas a seguir. O primeiro deles mostra o gráfico da função f (x) = x2 , que
é côncava para cima, traçado em conjunto com o de sua derivada. O segundo diagrama traça o gráfico da função
f (x) = −x2 , que é côncavo para baixo, juntamente com o gráfico da sua derivada. O que é possı́vel concluir a partir
destes dois exemplos?
25.
25.
25.
25.
10.
25.
25.
10.
25.
25.
35.
10.
10.
10.
10.
10.
10.
10.
Eles nos permitem concluir que, nos intervalos onde a derivada primeira é crescente, a função é côncava para
cima, e nos intervalos onde a derivada primeira é decrescente, a função tem sua concavidade voltada pra baixo. Mas,
para saber em que intervalos a derivada primeira é crescente e onde é decrescente, precisamos estudar o sinal da sua
derivada, isto é, precisamos estudar o sinal da derivada segunda de f .
Assim, se a derivada segunda é positiva, a derivada primeira é crescente e a função é côncava para cima. Isto
significa que, quando nos movemos ao longo da curva, a tangente ao gráfico da função gira no sentido anti-horário e
a curva está acima da sua reta tangente, exceto no ponto de tangência.
Analogamente, se a derivada segunda é negativa, a derivada primeira é decrescente e a função é côncava para
baixo, e a tangente gira no sentido horário quando nos movemos sobre a curva da esquerda para a direita. Neste caso,
o gráfico da função fica abaixo da sua reta tangente, exceto no ponto de tangência. Execute as animações da versão
eletrônica deste texto para comprovar visualmente a veracidade destas afirmações.
Os gráficos seguintes mostram a função e suas derivadas primeira e segunda. Comprove a influência do sinal da
derivada segunda na concavidade do gráfico da função.
8
6
4
2
4
y
2
–4
–2
0
–2
–4
2 x
4
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
Exemplo 5
Voltemos a examinar a função estudada no Exemplo 1. Seja f (x) = x4 − 5 x2 + 4.
Calculemos sua derivada segunda e estudemos o seu sinal:
>
diff(x^4-5*x^2+4,x,x);
x
216
Cap. 16.
Traçado de Gráficos
12 x2 − 10
>
d2f1:=unapply( 12*x^2-10 ,x);
d2f1 := x → 12 x2 − 10
Repare que a derivada segunda da função f é uma função do segundo grau cujas raı́zes são:
>
solve({diff(x^4-5*x^2+4,x,x)=0},x);
1√
1√
30}, {x = −
30}
{x =
6
6
√
√
√
√
30
Portanto, esta função será negativa para valores de x entre − 6 e 630 e será positiva para x > 630 e x < − 630 .
√
√
√
√
Assim, a função f é côncava para cima para x < − 630 e x > 630 e é côncava para baixo para x entre − 630 e 630 .
√
√
√
√
30 19
30 19
Como f (− 630 ) = f ( 630 ) = 19
36 temos que nos pontos (−
6 , 36 ) e ( 6 , 36 ) a concavidade troca de sentido. Veja o
gráfico da função f , traçado em conjunto com o gráfico da sua derivada segunda.
4
2
x
0
–2
–4
y
–6
–8
–10
Como a curva examinada neste exemplo, a maioria das funções são côncavas para cima em alguns intervalos e côncavas
para baixo em outros. Um ponto no qual o sentido da concavidade muda chama-se um ponto de inflexão. Assim,
temos a seguinte definição:
Definição: Ponto de Inflexão
Um ponto x0 é chamado ponto de inflexão de uma função f, se f é contı́nua em x0 e se o gráfico de f muda de
concavidade em P = (x0 , f (x0 )).
É usual chamarmos o ponto P = (x0 , f (x0 )) também de ponto de inflexão.
√
√
30
No exemplo acima, os pontos x1 = (− 30
e
x
=
(
2
6
6 são os pontos de inflexão da função f .
′′
Se f (x) é contı́nua e tem sinais opostos em cada lado de P = (x0 , f (x0 )), deve se anular em x0 . Assim, a busca
de pontos de inflexão se reduz, basicamente, a uma questão de resolver a equação f ′′ (x) = 0 e conferir o sentido da
concavidade em ambos os lados de cada raiz. Note que pontos de inflexão podem ocorrer, também, nos pontos onde
a derivada segunda não esteja definida, como mostra o gráfico a seguir. Neste caso, na busca por pontos de inflexão
devemos examinar também os pontos onde a derivada segunda não existe.
4
3
2
1
0
16.5.1
1
2
x
3
4
Teste da derivada segunda para a determinação de extremos locais
A derivada segunda nos fornece, também, um critério para a determinação dos máximos e mı́nimos locais de uma
função. Como vimos neste capı́tulo, os máximos e mı́nimos locais de uma função derivável f só podem ocorrer em
um ponto crı́tico c onde f ′ (c) = 0, de modo que a tangente à curva y = f (x) no ponto (c, f (c)) seja horizontal. No
entanto, como vimos, esta condição é necessária mas não suficiente: existem pontos onde a derivada é zero, que não
são nem máximos nem mı́nimos locais. Um exemplo deste tipo de comportamento ocorre na função f (x) = x3 . No
ponto x = 0 a derivada desta função é zero (a reta tangente ao gráfico é horizontal), mas este ponto não é um extremo
local.
W.Bianchini, A.R.Santos
217
Vimos que o teste da derivada primeira fornece um bom critério para decidir se um ponto crı́tico é um máximo
ou um mı́nimo local. Este teste se baseia na observação de que, em curvas suaves, um pico (máximo local) ou uma
depressão (mı́nimo local) só pode ocorrer se a função passar, naquele ponto, de crescente para decrescente ou de
decrescente para crescente, respectivamente.
Suponhamos agora que num ponto c, onde f ′ (c) = 0, o gráfico de y = f (x) se encurve para cima numa vizinhança
de c, isto é, em algum intervalo aberto contendo o ponto crı́tico x = c. Neste caso, é claro que f (c) é um mı́nimo local.
Analogamente, f (c) deve ser um valor máximo local de f se f ′ (c) = 0 e se o gráfico de f se encurvar para baixo numa
vizinhança de c, como mostram as figuras:
f(c)
f(c)
c
c
Como o sinal de f ′′ (x) nos diz se o gráfico está se encurvando para cima ou para baixo, o critério a seguir, baseado
neste sinal e conhecido como teste da derivada segunda, nos permite decidir quando um ponto crı́tico é um extremo
de f .
Teste da derivada segunda
Considere uma função f duas vezes derivável em um intervalo aberto I contendo o ponto crı́tico c, i.é., f ′ (c) = 0.
1. Se f ′′ (x) > 0 para todo x ∈ I, então f (c) é um ponto de mı́nimo de f em I.
2. Se f ′′ (x) < 0 para todo x ∈ I, então f (c) é um ponto de máximo de f em I.
Demonstração Demonstraremos apenas a parte (1), a parte (2) é análoga.
Se f ′′ (x) > 0 para todo x ∈ I, então f ′ é uma função crescente em I. Desde que f ′ (c) = 0, se tomarmos
x < c ⇒ f ′ (x) < f ′ (c) = 0
e se tomarmos
x > c ⇒ f ′ (x) > f ′ (c) = 0
Pelo teste da derivada primeira, concluı́mos que c é um ponto de mı́nimo de f em I.
O critério a seguir mostra que, para decidir se um ponto crı́tico é de máximo ou mı́nimo local, basta calcular o
valor da derivada segunda neste ponto.
Teste da derivada segunda para extremos locais
Suponhamos que a função f seja duas vezes derivável em um intervalo aberto I contendo o ponto crı́tico c, i.é.,
f ′ (c) = 0.
1. Se f ′′ (c) > 0, então f (c) é um mı́nimo local de f em I.
2. Se f ′′ (c) < 0, então f (c) é um máximo local de f em I.
Demonstração
Demonstraremos apenas a parte (1). A parte (2) se demonstra analogamente.
Pela definição de derivada, temos que
f ′′ (c) = lim
x→c
f ′ (x)
f ′ (x) − f ′ (c)
= lim
.
x→c x − c
x−c
f ′ (x)
> 0, para todo x que satisfaz 0 < |x − c| < δ.
x−c
Logo, f ′ (x) e x − c têm o mesmo sinal. Assim, f ′ (x) < 0 para todo x ∈ (c − δ, c) e f ′ (x) > 0 para todo x ∈ (c, c + δ).
Logo, pelo teste da derivada primeira f (c) é um valor mı́nimo local de f .
Se f ′′ (c) > 0, pela definição de limite, existe um δ > 0, tal que
218
Cap. 16.
Traçado de Gráficos
Exemplo
Considere a função f (x) = x3 − 3 x2 + 3. Temos que f ′ (x) = 3 x (x − 2) e f ′′ (x) = 6(x − 1). Então, f tem dois
pontos crı́ticos x = 0 e x = 2. Como f ”(0) < 0, o teste da derivada segunda implica que f (0) = 3 é um máximo local
de f e como f ”(2) > 0, temos que f (2) = −1 é um mı́nimo local.
Observação O teste da derivada segunda nada nos diz sobre o que acontece quando f ′′ (c) = 0. Na realidade, se
′
f (c) = 0 e f ′′ (c) = 0, qualquer coisa pode acontecer. Considere, por exemplo, as funções y = x4 , y = −x4 e y = x3 .
Nos três casos temos que f ′ (0) = 0 e f ′′ (0) = 0, e, como mostram os seus gráficos, o ponto (0, 0) é, respectivamente,
mı́nimo local, máximo local e ponto de inflexão.
O teste da derivada segunda é muito útil na resolução de problemas de máximos e mı́nimos, como veremos no Cap.
18.
16.6
Traçado de gráficos - Resumo
A experiência acumulada no estudo dos exemplos apresentados neste capı́tulo sugere algumas regras informais que
serão úteis no esboço do gráfico de uma função f . Se possı́vel, devemos:
1. Determinar o domı́nio e as interseções do gráfico da função com os eixos coordenados.
2. Procurar por simetrias e periodicidade.
(Este estudo pode simplificar consideravelmente o nosso trabalho. Por exemplo, se a função f for par, isto é, se
f (x) = f (−x) o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Assim, se conhecermos o gráfico da função para
x > 0, para obter o gráfico completo basta refletir a parte conhecida em relação ao eixo y, o que reduz à metade o
trabalho de traçar o gráfico desta função. Se a função for periódica de perı́odo p e conhecermos o seu gráfico em
um intervalo de comprimento p, podemos obter o gráfico inteiro por meio de translações do pedaço conhecido.)
3. Determinar os pontos crı́ticos e os valores crı́ticos de f .
4. Determinar o sinal de f ′ (x) entre os pontos crı́ticos e, a partir daı́, os intervalos onde f é crescente e os intervalos
onde é decrescente.
5. Determinar os máximos e os mı́nimos locais de f .
6. Determinar os pontos crı́ticos de f ′ e os valores de f , nestes pontos.
7. Determinar o sinal de f ′′ (x) entre os pontos crı́ticos de f ′ e, a partir daı́, os intervalos onde f é côncava para
cima e os intervalos onde é côncava para baixo.
8. Determinar os pontos de inflexão de f .
9. Determinar as assı́ntotas horizontais ao gráfico de f . Para isso é preciso estudar o comportamento de f quando
x → +∞ e quando x → −∞.
10. Determinar as assı́ntotas verticais ao gráfico de f .
11. Esboçar o gráfico de f .
Exemplo
Vamos esboçar o gráfico da função f (x) =
anula. Sua derivada é dada por
>
1
x2 −1 .
O domı́nio desta função é R \ {−1, 1} e esta função nunca se
df:=normal(diff(1/(x^2-1),x));
df := −2
x
(x2 − 1)2
W.Bianchini, A.R.Santos
219
cujo domı́nio é o mesmo da função original. Seus pontos crı́ticos, portanto, serão as raı́zes da equação f ′ (x) = 0. Neste
caso, x = 0. Como o denominador da derivada é sempre positivo, esta derivada será positiva quando x < 0 e negativa
quando x > 0. Assim, a função é crescente em (−∞, 0) e decrescente em (0, ∞). Logo, o ponto (0, −1) é um ponto
de máximo local. A derivada segunda é dada por:
>
df2:=normal(diff(1/(x^2-1),x,x));
df2 := 2
3 x2 + 1
(x2 − 1)3
cujo domı́nio é o mesmo da função original. Pela expressão acima para a derivada segunda, podemos concluir que
esta derivada nunca se anula e, portanto, não existem pontos de inflexão. Como o numerador é sempre positivo, o seu
sinal depende do sinal do denominador, que será positivo nos pontos onde x2 − 1 > 0, isto é, para x > 1 e x < −1,e
negativo quando x2 − 1 < 0, isto é para x ∈ (−1, 1).
Assim, temos que a função f é côncava para cima em (−∞, −1) e (1, ∞) e é côncava para baixo em (−1, 1). Seu
1
1
comportamento no infinito é determinado por lim 2
= 0 e lim
= 0.
Estes limites mostram que a
x→−∞ x2 − 1
x→∞ x − 1
reta y = 0 é uma assı́ntota horizontal ao gráfico da função. Vamos agora estudar o comportamento desta função na
vizinhança dos pontos −1 e 1, onde ela não está definida. Temos que
1
= +∞ e
x2 − 1
1
lim
= −∞ e
x→1− x2 − 1
lim
x→−1−
1
= −∞
x2 − 1
1
lim
= +∞
x→1+ x2 − 1
lim
x→−1+
Estes limites indicam que as retas x = 1 e x = −1 são assı́ntotas
verticais ao gráfico da função. Reunindo todas as informações
obtidas acima, podemos traçar com segurança o gráfico da função.
Repare que o gráfico está de acordo com todas as conclusões obtidas anteriormente.
16.7
4
y
2
–4
–2
0
2 x
4
–2
–4
Atividades de laboratório
Utilizando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo labgraf.mws da versão eletrônica deste
texto.
16.8
Exercı́cios
1. A seguir traçamos o gráfico da derivada primeira f ′ de uma função f definida no intervalo [−4, 6] . Determine
os valores de x para os quais f é crescente, decrescente, côncava para cima e côncava para baixo.
2
1
–4
–2
0
2
x
4
6
–1
–2
2. Determine os intervalos onde as funções são crescentes e onde são decrescentes, bem como os intervalos onde a
concavidade é voltada para cima e onde é voltada para baixo. Determine e classifique os extremos da função e
os seus pontos de inflexão.
1
(e) f (x) = 2
(a) f (x) = x3 + 9 x
(c) f (x) = x4 − 8 x3 + 24 x2
x
+1
x
(b) f (x) = x2 − 3 x + 2
(d) f (x) = 2
x −1
220
Cap. 16.
Traçado de Gráficos
3. Esboce o gráfico das seguintes funções:
x
x2 − 4
x2
(f) f (x) = √
x2 − 4
3x + 4
(g) g(x) = 2
x −4
x3 − 4 x
(h) f (x) = 3
x −x
(e) f (x) =
(a) f (x) = 3 x5 − 25 x3
x2 − 1
(b) f (x) = 2
x +1
x2 − 2 x + 1
(c) f (x) =
x−2
(d) f (x) = x + sen(x)
1
4
(i) f (x) = x( 3 ) + 2 x( 3 )
√
√
(j) f (x) = 8 + x − 8 − x
 2
x≤3
x − 4


 x2 − 9 x + 20
(k) f (x) = x2 − 7 x + 12 3 < x < 4



 2 x − 14
x≥4
x−6
4. (a) Esboce o gráfico de uma função h com as seguintes caracterı́sticas:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
h(−2) = 8, h(0) = 4, h(2) = 0
h′ (x) > 0 para | x | > 2
h′ (2) = h′ (−2) = 0
h′ (x) < 0 para | x | < 2 e x ̸= 1
h′′ (x) < 0 para x < 0 e h′′ (x) > 0, para x > 0 e x ̸= 1
lim h(x) = +∞ e lim h(x) = −∞
x→∞
x→(−∞)
vii. lim h(x) = 3 e lim h(x) = 4.
x→1−
x→1+
(b) Em quantos pontos a função h(x) se anula? Justifique sua resposta.
5. Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições enumeradas:
(a) f ′ (−1) = f ′ (2) = 0, f (−1) = f (2) = −1 e f (−3) = 4
(b) f ′ (x) = 0 se x < −3; f ′ (x) < 0 em (−3, −1) e (0, 2); f ′ (x) > 0 em (−1, 0) e (2, ∞)
(c) f ′′ (x) > 0 em (−3, 0) e (0, 5); f ′′ (x) < 0 em (5, ∞)
6. Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça a todas as condições enumeradas:
(a) f ′ (2) = 0, f (2) = −1 e f (0) = 0
(b) f ′ (x) < 0 se 0 < x < 2; f ′ (x) > 0 se x > 2
(c) f ′′ (x) < 0 se 0 ≤ x < 1 ou x > 4; f ′′ (x) > 0 se 1 < x < 4
(d) lim f (x) = 1
x→∞
(e) f (−x) = f (x) para todo x
7. Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça a todas as condições enumeradas:
(a) f ′ (2) = 0, f ′ (0) = 1
(b) f ′ (x) > 0 se 0 < x < 2; f ′ (x) < 0 se x > 2
(c) f ′′ (x) < 0 se 0 ≤ x < 4; f ′′ (x) > 0 se x > 4
(d) lim f (x) = 0
x→∞
(e) f (−x) = −f (x) para todo x
8. (a) Para que valores de a e b a função f (x) = x3 + a x2 + b x + 2 tem um máximo local em x = −3 e um mı́nimo
local em x = −1
(b) Se f (x) = ax 3 + bx 2 , determine a e b para que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em (1, 2).
(c) Se f (x) = ax 3 + bx 2 + cx , determine a, b e c de maneira que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em
(1, 2) e tal que a inclinação da tangente neste ponto seja igual a −2.
9. A seguir, traçamos na mesma janela o gráfico da função f , da sua derivada f ′ e da sua derivada segunda derivada
f ′′ . Identifique cada um dos gráficos, justificando a sua resposta.
W.Bianchini, A.R.Santos
221
10. Estabeleça a correspondência entre as funções (de (a) a (d)) com o gráfico da respectiva derivada (de (i) a (iv)).
Justifique suas escolhas.
(a)
(b)
(c)
(d)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
11. Estabeleça a correspondência entre as funções (gráficos de (a) a (f)) e suas respectivas derivadas segundas
(gráficos de (i) a (vi)). Justifique suas escolhas.
16.9
(a)
(b)
(c)
(d)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Problemas propostos
1. A função f (x) = x3 + x − 1, sendo um polinômio de terceiro grau, corta o eixo x (por quê?) e portanto tem pelo
menos uma raiz real. Examinando f ′ (x), mostre que esta função tem somente uma raiz. Mostre analogamente
que
f (x) = 2 x5 + 5 x3 + 3 x − 17 tem uma e somente uma raiz real.
2. Considere a função y = xm (1 − x)n , onde m e n são inteiros positivos, e mostre que:
(a) se m é par, y tem um mı́nimo em x = 0.
(b) se n é par, y tem um mı́nimo em x = 1.
(c) y tem um máximo em x =
m
m+n
independente da paridade de m e n.
3. Dê uma expressão analı́tica para uma função f que apresente um máximo local em x = −2 e um mı́nimo local
em x = 1.
222
Cap. 16.
Traçado de Gráficos
n
4. (a) Prove que a desigualdade (1 + x) > 1 + n x é verdadeira para x > 0 e n > 1.
n
Sugestão: Mostre que a função f (x) = (1 + x) − (1 + n x) é crescente em [0, ∞).
(b) Prove que, para x > 0, as desigualdades abaixo são verdadeiras:
3
2
i. sen x > x − x6
ii. cos x > 1 − x2
(a) Mostre que o gráfico de uma função quadrática y = a x2 + b x + c não tem ponto de inflexão.
(b) Dê uma condição para que o gráfico desta função seja
i. côncavo para cima
ii. côncavo para baixo
(c) Mostre que um polinômio cúbico y = a x3 + b x2 + c x + d tem um único ponto de inflexão e três formas
possı́veis, conforme seja 3 a c < b2 , b2 = 3 a c ou b2 < 3 a c. Esboce estas possı́veis formas.
(d) Prove que um polinômio de quarto grau ou não tem pontos de inflexão ou tem exatamente dois pontos de
inflexão.
(e) Mostre que a função y = x2 + xa tem um mı́nimo mas não um máximo, para qualquer valor da constante
a. Esboce o gráfico desta famı́lia de funções.
5. Suponha que todas as funções a seguir sejam duas vezes diferenciáveis
(a) Se f é uma função positiva e côncava para cima em um intervalo I, mostre que a função g(x) = (f (x))2 é
côncava para cima em I.
(b) Se f e g são funções crescentes, positivas e côncavas para cima, mostre que a função produto f g é côncava
para cima.
(c) Suponha que as funções f e g sejam côncavas para cima no intervalo (−∞, ∞). Que condições sobre f
garantem que a função composta h = f (g(x)) é côncava para cima?
6. Prove que a função f (x) = x101 + x51 + x + 1 não tem máximo nem mı́nimo local.
7. Suponha que a pressão p (em atmosferas), o volume V (em centı́metros cúbicos) e a temperatura T (em kelvins)
de n moles de dióxido de carbono (CO 2 ) verifiquem a equação de Van Der Waals
(p +
n2 a
) (V − nb) = nRT ,
V2
onde a, b e R são constantes determinadas empiricamente. Realizou-se o seguinte experimento para determinar
os valores das constantes: comprimiu-se um mol de CO 2 à temperatura constante de 304 K. Os dados pressãovolume (pV ) foram então anotados e verificou-se que o gráfico da pressão como função do volume apresentava
um ponto de inflexão horizontal em V = 128, 1 e p = 72, 8. Com estes dados calcule a, b e R.
16.10
Para você meditar: Interpretando gráficos
−41 x −24 x+41
. Com a ajuda do Maple, traçamos o gráfico desta função no intervalo
1. Considere a função f (x) = 6 x (2
x+3) (7−x)
[−1000, 1000].
> plot((6*x^3-41*x^2-24*x+41)/((2*x+3)*(7-x)),x=-1000..1000,
3
>
2
y=-1000..1000);
1000
800
600
y
400
200
–1000
–600
–200 0
–200
200 400 x600 800 1000
–400
–600
–800
–1000
Evidentemente, esta não é uma representação gráfica adequada para a função considerada; no entanto, esta
imagem sugere uma caracterı́stica especial e importante do gráfico desta função. Que caracterı́stica é esta?
W.Bianchini, A.R.Santos
2. Considere a função f (x) =
223
x3 −6 x2 −12 x+49
.
(x−2) (x−7)
Dividindo o numerador pelo denominador obtemos:
9 1
14 1
+
5 x−2
5 x−7
Esta expressão indica que, para valores grandes de x, a função dada deve se comportar como a reta y = x + 3.
De fato, calculando os limites
x+3−
x3 − 6 x2 − 12 x + 49
− (x + 3)]
x→−∞
(x − 2) (x − 7)
x3 − 6 x2 − 12 x + 49
lim [
− (x + 3)]
x→∞
(x − 2) (x − 7)
lim [
podemos provar que esta reta é uma assı́ntota inclinada ao gráfico da função dada. Calcule estes limites e
explique como eles provam que a reta y = x + 3 é realmente uma assı́ntota inclinada ao gráfico da função.
3. A seguir traçamos o gráfico desta função
14
12
10
y8
6
4
2
–10 –8 –6 –4
–2
–4
–6
–8
–10
2
4
6
8 10 12 14
x
A imagem parece indicar que o gráfico da função intercepta a sua assı́ntota em algum ponto entre −10 e −5. De
fato, resolvendo a equação f (x) = x + 3, concluı́mos que as duas curvas se interceptam em x = −7.
(a) Use o comando solve para resolver a equação acima e comprovar a afirmação feita.
(Contrariando a opinião popular, você está vendo que é possı́vel o gráfico de uma função interceptar o
gráfico da sua assı́ntota.)
(b) Explique por que a interseção de f (x) com a sua assı́ntota y = x + 3 em x = −7 implica, necessariamente,
na existência de um ponto de inflexão de f , para x < −7. Determine este ponto e esboce “a mão” o gráfico
de f .
16.11
Projetos
16.11.1
Determinando a janela adequada para o traçado de gráficos em computador
Observe o gráfico da função y = (x (x − 1) (2 x − 1))2 , traçado com a ajuda do Maple.
>
plot((x*(x-1)*(2*x-1))^2,x=-1..2,y=-1..6);
6
5
4
y3
2
1
–1
–0.6 –0.2
0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2
x
–1
1. Determine os extremos locais desta função e trace o seu gráfico numa janela onde estes extremos sejam claramente
visı́veis.
(x−1) 4
2. Idem para f (x) = ( x (9 x−5)
) .
6
3. Considere a função y = 10000 x3 − a x2 + b x + c, onde os coeficientes a, b e c são definidos por a = 30011 + 2 n,
b = 30022 + 4 n e c = 10010 + 2 n e n é um número qualquer entre 0 e 9, gerado pela linha de comando abaixo:
> c1:=rand(1..9):n:=c1();
224
Cap. 16.
Traçado de Gráficos
(a) Execute este comando e calcule os valores de a, b e c, executando as linhas de comando abaixo.
>
a:=30011+2*n;
>
b:=30022+4*n;
>
c:= 10010+2*n;
(b) Ache os pontos de máximo e mı́nimo locais e o ponto de inflexão de f .
(c) Faça um gráfico de f que exiba claramente estes pontos.
(Se não for possı́vel obter este gráfico no computador, trace-o manualmente.)
(d) Idem para a função
y = x7 + 5 x6 − 11 x5 − 21 x4 + 31 x3 − 57 x2 − (101 + 2 n) x + (89 − 3 n)
4. Considere a função f (x) = (x (1 − x) (2 x − 1) (4 − 9 x))2 . Afirmamos que f tem pelo menos quatro mı́nimos
locais, três máximos locais e seis pontos de inflexão em [0, 1]. Faça um gráfico de f , em uma escala adequada,
onde apareçam claramente todos estes pontos.
5. Ache os extremos locais da função f (x) = x112 − 2
adequada, onde estes pontos apareçam claramente.
16.11.2
( 1000 )6
x
. Trace um gráfico desta função, em uma “janela”
Aproximando os zeros de uma função - Método de Newton
Vimos que, para funções suaves, a reta tangente é aquela que se confunde com a curva perto do ponto de tangência.
Então, o seguinte raciocı́nio, devido a Isaac Newton, parece ser válido:
Suponha que você de alguma maneira (experimentos numéricos, dedução fı́sica, inspiração divina ou outro meio qualquer) saiba que o zero da função y = f (x) está perto do ponto x = a. Como a equação da reta tangente à curva
y = f (x) nesse ponto é dada por y = D(f (a)) (x − a) + f (a), onde por D(f (a)) estamos denotando a derivada da
função f calculada em x = a, é um exercı́cio de álgebra elementar calcular o ponto b onde esta reta intercepta o eixo
x. Então, como a curva é suave, o seu gráfico e o gráfico da sua reta tangente no ponto (a, f (a)) estão próximos,
portanto, o ponto b deve estar bastante próximo do zero procurado da função.
Embora esta explicação esteja repleta de expressões que pecam por falta de precisão e rigor matemáticos, vamos
tentar esclarecer o método com um exemplo numérico.
Considere o polinômio y = x5 + 9 x4 − 19 x3 − 241 x2 − 150 x + 200 . Tracemos o seu gráfico com a ajuda do Maple:
>
plot(x^5+9*x^4-19*x^3-241*x^2-150*x+200,x=-10..10);
140000
120000
100000
80000
60000
40000
20000
–10 –8
–6
–4
–2 0
2
4 x 6
8
10
Para tentar localizar os seus zeros, que parecem estar todos localizados nesse intervalo, vamos traçar um outro
gráfico, restringindo agora a variação de y:
>
plot(x^5+9*x^4-19*x^3-241*x^2-150*x+200,x=-10..10,y=-10..10);
10
8
6
y
4
2
–10 –8
–6
–4
–2 0
–2
–4
–6
–8
–10
2
4 x 6
8
10
W.Bianchini, A.R.Santos
225
Embora este gráfico pareça nos dar menos informações que o anterior, ele nos permite afirmar que, aparentemente,
o ponto x = 1 está próximo de um dos zeros dessa função (os outros zeros devem estar próximos de 5, −1, −5 e −8).
No entanto, calculando o valor da função nesse ponto, vemos que x = 1 não é um zero para essa função:
>
f:=x->x^5+9*x^4-19*x^3-241*x^2-150*x+200;
f := x → x5 + 9 x4 − 19 x3 − 241 x2 − 150 x + 200
>
f(1);
−200
Vamos agora traçar o gráfico dessa função e da sua reta tangente no ponto (1, −200) na mesma janela:
>
m:=D(f);
m := x → 5 x4 + 36 x3 − 57 x2 − 482 x − 150
>
x0:=1;
>
m(x0);
>
T0:=x->m(x0)*(x-x0)+f(x0);
>
T0 := x → m(x0 ) (x − x0 ) + f (x0 )
plot([f(x),T0(x)],x=-1..3,y=-300..50);
x0 := 1
−648
50
x
0
–50
–100
y–150
–200
–250
–300
Por este gráfico podemos ver claramente que a interseção da reta tangente com o eixo x é uma aproximação melhor
que x = 1 para este zero da função. De fato:
>
x1:=solve(T0(x)=0,x);x1:=evalf(%);
56
x1 :=
81
x1 := .6913580247
Calculando o valor da função em x1 podemos constatar que, de fato, este valor é uma aproximação melhor para o
zero da função:
>
y1:=f(x1);
y1 := −22.9604001
Para conseguir uma aproximação ainda melhor, podemos repetir todo o processo considerando, agora, o ponto
(x1 , f (x1 )) como o novo ponto de tangência. A equação da nova tangente será dada por:
>
T1:=x->m(x1)*(x-x1)+f(x1);
T1 := x → m(x1 ) (x − x1 ) + f (x1 )
Vamos, novamente, traçar o gráfico da função e dessa nova reta tangente, para comprovar o aumento da precisão.
>
plot([f(x),T1],x=0.5..0.75,-25..2);
2
0
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
–18
–20
–22
–24
x
226
Cap. 16.
Traçado de Gráficos
Nesse ponto, a reta tangente e o gráfico da função estão tão próximos que não é mais possı́vel distingui-los. A nova
aproximação para o zero da função será dada por:
>
x2:=solve(T1(x)=0,x);
x2 := .6452009558
Calculando o valor da função nesse ponto obtemos:
>
f(x2);
−.5363646
Repetindo o processo mais uma vez teremos:
>
T2:=x->m(x2)*(x-x2)+f(x2);
T2 := x → m(x2 ) (x − x2 ) + f (x2 )
>
x3:=solve(T2(x)=0,x);
x3 := .6440698133
>
f(x3);
−.0003232
Note que x3 já deve ser uma razoável aproximação para o zero da função.
1. Trace na mesma janela os gráficos de f e de T 3 para ilustrar essa última afirmação.
2. Claramente podemos repetir este processo quantas vezes quisermos. O que aconteceria se tivéssemos iniciado o
processo acima com um valor diferente de x = 1, para construir a primeira tangente?
3. Vamos automatizar o procedimento acima:
(a) Sejam x0 , x1 , . . . , xn as primeiras n aproximações para a raiz da equação f (x) = 0, dadas pelo Método de
Newton. Supondo x0 conhecido, deduza uma fórmula para obter x1 .
(b) Como é possı́vel obter x2 a partir de x1 ?
(c) Supondo xk a k-ésima aproximação para a raiz da equação conhecida, deduza uma fórmula que permita
obter a próxima aproximação, isto é, xk+1 .
(d) Usando a estrutura for ... from ... to ... do ... od; do Maple, implemente um algoritmo no
computador para calcular as primeiras n aproximações da raiz da equação f (x) = 0 a partir de uma primeira
aproximação inicial x0 e do número n de iterações.
(e) Quando devemos parar o processo acima?
(Para responder a essa pergunta, note que a seqüencia formada por
x1 , x2 , x3 , . . ., é uma seqüencia convergente e, portanto, deve satisfazer o critério de convergência de Cauchy,
isto é, podemos tornar a diferença (em valor absoluto) entre os termos da seqüencia tão pequena quanto
quisermos, a partir de um certo n, desde que este n seja suficientemente grande. Se isto acontecer, a
diferença, em valor absoluto, entre os termos da seqüencia e o seu limite será da mesma ordem de grandeza.)
(f) O que acontece se a inclinação da reta tangente for muito pequena, em valor absoluto, isto é, se a declividade
da tangente for por exemplo 0, 001, isso afetará os cálculos?
(g) Suponha que, por sorte, nossa primeira aproximação x0 venha a ser a raiz da equação f (x) = 0, que estamos
procurando. O que podemos dizer sobre x1 , x2 , . . .?
4. Use o seu algoritmo para achar aproximações para os outros zeros da função estudada no exemplo desse projeto
explicitando a precisão do resultado obtido.
5. Aplicando o Método de Newton à equação x2 − a = 0, mostre que aproximações numéricas para a raiz quadrada
2
n
de um número positivo a qualquer podem ser encontradas por iterações sucessivas da expressão xn+1 = a+x
2 xn .
6. Mostre que esta fórmula é a mesma usada pelos babilônios para estimar a raiz quadrada de um número positivo.
(Veja: projeto Generalizando o método dos babilônios para estimar a raiz quadrada de um número positivo.)
√
7. Usando o Método de Newton, calcule 10 com duas decimais exatas.
8. Aplique o Método de Newton para encontrar uma fórmula que forneça aproximações sucessivas para a raiz
enésima de um número a. Use a sua fórmula para calcular a raiz cúbica de três com duas casas decimais exatas.
9. Mostre que x3 + 3 x2 − 6 = 0 tem somente uma raiz real e calcule-a com duas casas decimais de precisão.
W.Bianchini, A.R.Santos
227
10. A equação x2 + 1 = 0 não tem soluções reais. Tente achar uma solução pelo Método de Newton e descreva o que
acontece. Use a estimativa inicial x0 = 2.
11. O Método de Newton não se restringe à solução de equações polinomiais. Ele pode ser aplicado também a
qualquer equação contendo funções cujas derivadas possam ser calculadas. Por exemplo, ache uma aproximação
para o recı́proco de um número positivo C, definindo a função f (x) = x1 − C e aplicando o Método de Newton
descrito acima.
Observação: O Método de Newton aplicado a essa função nos permite calcular o inverso de um número sem
efetuar nenhuma divisão! Este método é útil porque, na maioria dos computadores de alta velocidade, a operação
de divisão consome mais tempo do que várias multiplicações e adições juntas.
12. Use o Método de Newton para achar aproximações para todas as raı́zes reais da equação x2 = cos x.
13. Um grande problema de Arquimedes consistiu em utilizar um plano para cortar uma esfera em duas partes com
volumes em uma dada razão prefixada. Arquimedes mostrou que o volume de uma parte altura h de uma esfera
2
de raio r é dado por V = π h (33 r−h) .
(a) Se um plano à distância x do centro de uma esfera de raio 1 corta a esfera em duas partes, uma com o
dobro do volume da outra, mostre que x é a raiz da equação 3 x3 − 9 x + 2 = 0.
(b) Aplique o Método de Newton para achar uma aproximação para x com quatro decimais exatas.
14. Em alguns casos, a seqüencia das aproximações produzida pelo Método de Newton pode deixar de convergir
para a raiz procurada. Os exemplos a seguir ilustram os problemas que podem surgir:
1
(a) Mostre que o método de Newton aplicado à função y = x( 3 ) leva a x1 = 2 x0 e é, portanto, inútil para
calcular x tal que f (x) = 0. Esboce um gráfico para ilustrar essa situação.
{√
x−a
x≥a
√
.
(b) Considere a função y = f (x) definida por f (x) =
− a−x x≤a
Mostre que, para todo número positivo r, se x1 = a + r, então x2 = a − r, e se x1 = a − r, então x2 = a + r.
Esboce um gráfico que ilustre essa situação.