POLINÔMIOS ORTOGONAIS E QUADRATURA DE GAUSS
POLIANA MOITA BRAGA
Universidade Católica de Brasília
Curso de Matemática
Orientador: José Eduardo Castilho
RESUMO
O grupo de polinômios ortogonais vem sendo bastante estudado por apresentar propriedades e características
importantes, que podem ser empregadas em várias áreas da Matemática Pura e Aplicada, principalmente nos
campos de Engenharias, Estatística e Biologia. Através desses polinômios pode-se trabalhar nas áreas de
aproximação de zeros de funções, quadraturas numéricas, teorias de frações contínuas, teoria de códigos, entre
outras. Uma aplicação que será mostrada nesse trabalho é o desenvolvimento das fórmulas de Quadratura de
Gauss, por se basearem nas propriedades desses polinômios e serem de fácil implementação, com bons
resultados e excelente precisão.
Palavras-chave: polinômios ortogonais; quadratura de Gauss.
1. INTRODUÇÃO
As aplicações dos polinômios ortogonais surgem cada vez mais em problemas fundamentais
na matemática, nas áreas de aproximação de funções, frações contínuas, teoria dos códigos,
entre outras, sendo assim objeto de estudo de vários pesquisadores. A principal característica
dos polinômios ortogonais é que estes formam uma base ortogonal dos espaços de
aproximação com propriedades interessantes na resolução de certos problemas relacionados
com Equações Diferenciais, Frações Contínuas e Teoria da Aproximação (DARUIS,2003;
DAVIS, 1976; DIMITROV, 2000; GAUTSCHI, 1985).
Este trabalho tem como objetivo, mostrar a aplicação dos polinômios ortogonais clássicos na
geração de fórmulas de quadratura. Um método de quadratura numérica aproxima o valor de
uma integral de uma função f (x) , com relação a uma função peso w(x) , da seguinte forma:
b
n
a
k =0
∫ w( x) f ( x)dx ≈ ∑ Ak f (xk ) .
Em geral as fórmulas de quadratura são baseadas na estratégia de aproximar a função f (x)
por um polinômio interpolador e a integral da função é substituída pela integral do polinômio.
Este é o caso das Fórmulas de Newton-Côtes, a mais conhecida das fórmulas de quadratura.
As Fórmulas de Newton-Côtes baseadas no polinômio interpolador de grau n conseguem ser
exatas para polinômios de grau menor ou igual a n , se n for ímpar, e exata para polinômios
de grau menor ou igual a n + 1 , se n for par (BURDEN e FAIRES, 2003).
No caso das fórmulas de quadratura baseadas nos polinômios ortogonais de grau n + 1 , tem-se
que são exatas para polinômios de grau menor ou igual a 2n + 1 , um ganho considerável na
precisão de aproximação. Estas fórmulas são chamadas de Quadratura de Gauss, devido ao
resultado demonstrado por Gauss, em 1812, e que será apresentado no Teorema 5.
1
O trabalho está organizado da seguinte forma:
Na seção 2 - Polinômios ortogonais – contém a sua definição, demonstração das principais
propriedades e principais polinômios ortogonais.
Na seção 3 – Quadratura de Gauss – com a definição e exemplos de Fórmulas de
Quadraturas de Gauss.
Na seção 4 – Considerações Finais – apresentando as conclusões referentes às duas seções
anteriores.
2. POLINÔMIOS ORTOGONAIS
Os polinômios ortogonais são ferramentas essenciais na solução de diversos problemas em
Matemática Aplicada como também em Matemática Pura. Nesta seção será mostrado que os
polinômios ortogonais formam uma base para espaços de aproximação de funções, o que
permite resolução de problemas relacionados à essas aproximações.
Definição 1: Seja uma família de polinômios Φ 0 ( x), Φ1 ( x), Φ 2 ( x),..., de graus 0, 1, 2, ... . Se:
 Φ i ( x), Φ j ( x) = 0, para i ≠ j

e

 Φ i ( x), Φ j ( x) ≠ 0, para Φ i ≠ 0
então, os polinômios Φ 0 ( x), Φ1 ( x), Φ 2 ( x),..., se dizem ortogonais.
(1)
Neste estudo, será considerado o produto interno:
b
f , g = ∫ f ( x) g ( x) w( x)dx
(2)
a
com w( x) ≥ 0 e contínua em [a, b] . A função w(x) é chamada de função peso, podendo
atribuir vários graus de importância à aproximação em certas porções do intervalo.
Os polinômios Φ i (x) , i = 0,1,2,... podem ser obtidos pela ortogonalização da seqüência
{1, x, x ,...} ou, recorrentemente, pelo resultado do seguinte teorema:
2
Teorema 1: Sejam os polinômios Φ 0 ( x), Φ1 ( x), Φ 2 ( x),..., de graus 0, 1, 2, ..., definidos por:
 Φ 0 ( x) = 1,

x Φ 0 ( x), Φ 0 ( x)

Φ 0 ( x)
 Φ 1 ( x) = x −
Φ
(
x
),
Φ
(
x
)
0
0

 e, para k = 1,2,3,...,

 Φ k +1 ( x) = x Φ k ( x) − α k Φ k ( x) − β k Φ k −1 ( x)
onde: α k =
x Φ k ( x ), Φ k ( x )
Φ k ( x ), Φ k ( x )
e βk =
Φ k ( x ), Φ k ( x )
Φ k −1 ( x ), Φ k −1 ( x )
(3)
.
2
Os polinômios Φ 0 ( x), Φ1 ( x), Φ 2 ( x),..., assim definidos são dois a dois ortogonais, isto é,
satisfazem (1).
A demonstração deste teorema pode ser encontrada em (CUMINATO, 2008).
Assim, de (3), tem-se diversas famílias de polinômios ortogonais, que se diferenciam pela
definição do produto interno que geram os coeficientes α e β . De certa forma, do Teorema 1
obtém-se de forma fácil uma seqüência de polinômios ortogonais, pois é utilizado na fórmula
de recorrência apenas três termos para a obtenção de qualquer polinômio da seqüência k ≥ 2 .
2.1 Propriedades dos polinômios ortogonais
Seguem abaixo algumas das propriedades dos polinômios ortogonais que serão importantes
para a obtenção das fórmulas de quadratura de Gauss.
Teorema 2: Sejam Φ 0 ( x), Φ 1 ( x), Φ 2 ( x),..., polinômios ortogonais, não nulos, segundo um
produto interno qualquer. Então, qualquer polinômio de grau menor ou igual a n pode ser
escrito como uma combinação linear de Φ 0 ( x), Φ 1 ( x), Φ 2 ( x),..., Φ n ( x ) .
Demonstração: Os polinômios Φ 0 ( x), Φ 1 ( x), Φ 2 ( x),..., Φ n ( x ) constituem uma base para o
espaço dos polinômios de grau menor ou igual a n . Assim, se Q( x ) é um polinômios da
forma:
Q ( x) = a 0 + a1 x + ... + a n x n ,
então Q( x ) pode ser escrito, através de mudança de base, como:
Q ( x) = b0 Φ 0 ( x ) + b1Φ 1 ( x ) + ... + bn Φ n ( x ) .
Teorema 3: Sejam Φ 0 ( x), Φ 1 ( x), Φ 2 ( x),..., Φ n ( x ) nas condições do Teorema 1. Então Φ n (x)
é ortogonal a qualquer polinômio Q (x) de grau menor que n .
Demonstração: Seja Q (x) um polinômio de grau n − 1 . Pelo teorema anterior tem-se que:
Q ( x) = b0 Φ 0 ( x) + b1Φ 1 ( x) + ... + bn−1Φ n −1 ( x)
então:
Q( x), Φ n ( x ) = b0 Φ 0 ( x) + b1Φ 1 ( x) + ... + bn −1Φ n −1 ( x), Φ n ( x)
= b0 Φ 0 ( x), Φ n ( x) + b1 Φ 1 ( x), Φ n ( x) + ... + bn −1 Φ n −1 ( x), Φ n ( x)
= 0.
desde que os polinômios Φ 0 ( x), Φ 1 ( x), Φ 2 ( x),..., Φ n ( x ) sejam dois a dois ortogonais.
Teorema 4: Sejam Φ 0 ( x), Φ1 ( x), Φ 2 ( x),..., polinômios ortogonais segundo o produto interno:
b
f , g = ∫ f ( x) g ( x) w( x)dx
a
3
com w( x) ≥ 0 e contínua em [a, b] . Então Φ n ( x) tem n raízes reais distintas em [a, b] .
Demonstração: A fim de verificar a veracidade deste teorema, a demonstração será dividida
em três partes:
(a) Φ n ( x) possui algum zero em [a, b] ;
(b) os zeros de Φ n ( x) em [a, b] , são simples;
(c) os n zeros de Φ n ( x) estão em [a, b] .
Os três itens serão provados por absurdo.
Assim, para provar (a), supõe por absurdo que Φ n ( x) não possui zeros em [a, b] . Portanto em
[a, b] , Φ n ( x) ≠ 0 . Então:
b
Φ n ( x), Φ 0 ( x) = ∫ w( x)Φ n ( x)Φ 0 ( x)dx
a
b
= ∫ w( x)Φ n ( x)dx ≠ 0
a
desde que Φ 0 ( x) = 1 , w( x) > 0 , mas não pode ser identicamente nula, e Φ n ( x) ≠ 0 em [a, b] .
Mas Φ n ( x) e Φ 0 ( x) são ortogonais, conseqüentemente Φ n ( x), Φ 0 ( x) = 0 . Logo é um
absurdo supor que Φ n ( x) não possui zeros em [a, b] .
Para provar (b) por absurdo, supõe-se que exista uma raiz de Φ n ( x) que seja de
multiplicidade 2..
Seja x1 essa raiz. Portanto:
Φ n ( x)
,
( x − x1 ) 2
é um polinômios de grau n − 2 . Assim, pelo Teorema 3:
Φ n (x ),
Φ n (x )
(x − x1 )2
=0
mas, pelas propriedades de produto interno:
Φ n ( x ),
Φ n (x )
(x − x1 )
2
b
= ∫ w( x ) Φ n ( x )
a
Φ n (x )
(x − x1 )2
dx
4
b
= ∫ w( x)
a
Φ n (x ) Φ n (x )
dx
(x − x1 ) (x − x1 )
Φ n (x ) Φ n (x )
,
)≥0
(x − x1 ) (x − x1 )
Φ n (x )
onde a igualdade é válida se e somente se
for o polinômio nulo. Portanto é um
(x − x1 )
absurdo supor que os zeros de Φ n (x ) em [a, b] não são simples.
=(
Finalmente, para provar (c) será suposto, por absurdo, que exista apenas j zeros de Φ n (x )
em [a, b] , com j < n .
Sejam x1 , x 2 ,..., x j os zeros de Φ n (x ) em [a, b] . Então:
Φ n ( x) = ( x − x1 )( x − x 2 )...(x − x j ) q n− j ( x)
onde q n − j ≠ 0 em [a, b] .Assim, pelo Teorema 3, segue que:
Φ n ( x), ( x − x1 )( x − x 2 )...( x − x j ) = 0
Mas, pelas propriedades de produto interno:
Φ n ( x), ( x − x1 )( x − x 2 )...( x − x j ) =
b
= ∫ w( x)( x − x1 )...( x − x j )q n − j ( x)( x − x1 )...( x − x j )dx
a
b
= ∫ w( x)( x − x1 ) 2 ...( x − x j ) 2 q n − j ( x)dx ≠ 0
a
Portanto, é um absurdo supor que os n zeros de Φ n (x ) não estão em [a, b] .
Assim, comprova-se que Φ n (x ) possui n zeros (reais), distintos em [a, b] .
O teorema a seguir foi demonstrado por Gauss, em 1812, revelando assim a importância dos
polinômios ortogonais. Consequentemente, nos últimos séculos despertou-se a curiosidade no
estudo de localização precisa de zeros desses polinômios (BRACCIALI e ANDRADE, 2006).
Teorema 5: Sejam Φ 0 ( x), Φ1 ( x), Φ 2 ( x),..., nas condições do Teorema 4. Sejam x0 , x1 ,..., x n
as raízes de Φ n +1 ( x ) . Então, se f (x) é um polinômio de grau menor ou igual a 2n + 1 ,
b
n
a
k =0
∫ w( x) f ( x)dx = ∑ Ak f (xk )
(4)
5
onde
b
Ak = ∫ w( x)l k ( x )dx
a
e l k são polinômios de Lagrange sobre as raízes x0 , x1 ,..., x n de Φ n +1 ( x ) , isto é satisfazem
1
l k (xs ) = 
0
se
se
k =s
k ≠s
Demonstração: Como x0 , x1 ,..., x n são raízes de Φ n +1 ( x ) , pode-se escrever:
Φ n +1 (x ) = a 0 ( x − x 0 )( x − x1 )...( x − x n )
(5)
Seja Pn (x) o polinômio de interpolação de f (x) sobre x0 , x1 ,..., x n em [a, b] . Sabe-se que:
f ( x) = Pn ( x) + Rn ( x)
onde Rn (x) é o erro na interpolação. Assim:
f ( x) − Pn ( x) = Rn ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )...( x − x n )
com a ≤ ξ ≤ b e ξ dependendo de x .
(ξ )
(n + 1)!
f
( n +1)
Então, em vista de (5) e de que ξ é função de x , escreve-se:
f ( x) − Pn ( x) = b0 Φ n+1 ( x)
f ( n+1) ( x)
.
(n + 1)!
Como f (x) é um polinômio de grau menor ou igual a 2n + 1 , tem-se que:
q( x) =
f ( n +1) ( x)
,
(n + 1)!
é um polinômio de grau menor ou igual a n . Deste modo:
f ( x) − Pn ( x) = b0 Φ n +1 ( x)q ( x)
(6)
Integrando (6) de a até b , com a função peso w(x) , obtem-se que:
b
b
∫ w( x)[ f ( x) − P ( x)]dx = ∫ w( x)b Φ
n
a
0
n +1
( x)q( x)dx
a
6
Pelo Teorema 3, o lado direito da igualdade acima é igual a zero. Assim:
b
∫ w( x)[ f ( x) − P ( x)]dx = 0 ,
n
a
ou
b
b
a
a
∫ w( x) f ( x)dx = ∫ w( x) P ( x)dx
n
n

= ∫ w( x) ∑ l k ( x) f ( x k )
 k =0

a
b
n
b
k =0
a
= ∑ f ( x k ) ∫ w( x)l k ( x)dx
n
= ∑ Ak f ( xk )
k =0
Portanto, fica provada a relação (4).
Este teorema garante então que, para integrar um polinômio de certo grau k, basta trabalhar
com um polinômio ortogonal de grau (k + 1) / 2 , onde t  representa o menor inteiro que
supera t . E mais, descartados os erros de arredondamento, o resultado deve ser exato
(CUMINATO, 2008).
2.2 Principais polinômios ortogonais
Dentre os polinômios ortogonais destacam-se os polinômios de Legendre, Laguerre e
Hermite. Nessa seção será apresentado o produto interno, os primeiros polinômios e os termos
de recorrência de cada uma dessas famílias.
2.2.1 Polinômios de Legendre
Os polinômios de Legendre P0 (x ), P1 ( x ),..., são obtidos segundo o produto interno:
1
( f , g) =
isto é, com w( x ) = 1 , a = −1 e b = 1 .
∫ f ( x) g ( x)dx
(7)
−1
Os primeiros polinômios de Legendre são:
P0 ( x ) = 1
P1 ( x ) = x
1
P2 ( x ) = (3 x 2 − 1)
2
1
P3 ( x ) = (5 x 3 − 3 x )
2
7
P4 ( x ) =
(
1
35 x 4 − 30 x 2 + 3
8
)
.
.
.
Os polinômios de Legendre podem, ainda, ser obtidos pela fórmula de recorrência:
Pn ( x) =
2n − 1
n −1
xPn−1 ( x) −
Pn − 2 ( x), n = 2,3,...
n
n
(8)
2.2.2 Polinômios de Laguerre
Os polinômios de Laguerre L0 ( x), L1 ( x),...., provêm do uso do produto interno:
∞
( f , g ) = ∫ e − x f ( x) g ( x)dx
0
−x
portanto, w( x) = e , a = 0 e b = ∞ .
Primeiros polinômios:
L0 ( x ) = 1
L1 ( x) = − x + 1
L2 ( x ) = x 2 − 4 x + 2
L3 ( x) = − x 3 + 9 x 2 − 18 x + 6
.
.
.
Fórmula de recorrência:
Ln ( x) = (2n − x − 1) Ln −1 ( x) − (n − 1) 2 Ln − 2 ( x), n = 2,3,...
2.2.3 Polinômios de Hermite
O produto interno usado para se obter os polinômios de Hermite é:
( f , g) =
∞
∫e
− x2
f ( x) g ( x)dx ,
−∞
ou seja, função peso w( x ) = e − x , a = −∞ e b = ∞ .
2
Polinômios:
H 0 ( x) = 1
H 1 ( x) = 2 x
8
H 2 ( x) = 4 x 2 − 2
H 3 ( x) = 8 x 3 − 12 x
.
.
.
Com fórmula de recorrência:
H n ( x) = 2 xH n−1 ( x) − 2(n − 1) H n − 2 ( x)
3. QUADRATURA DE GAUSS
A Quadratura de Gauss é um método de integração numérica que fornece flexibilidade em
escolher não somente os coeficientes da função peso, mas também a localização onde as
funções são avaliadas. Uma grande vantagem do método de Quadratura de Gauss é a grande
precisão que se pode obter em relação às Fórmulas de Newton-Côtes. As regras da
Quadratura de Gauss são deduzidas para uma integral com intervalo de integração [a,b], no
qual dos polinômios satisfazem a condição de ortogonalidade (1). Mas podem ser facilmente
generalizadas a um intervalo de integração qualquer com uma mudança de variáveis
adequada.
Como demonstrado no Teorema 5, as Fórmulas de Quadratura de Gauss aproximam a integral
usando combinação linear dos valores da função. Assim, são formulas usadas para se calcular:
b
∫ w( x) f ( x)dx ,
a
e calcula-se o valor aproximado da integral usando:
b
n
a
k =0
∫ w( x) f ( x)dx ≅ ∑ Ak f ( x k )
onde :
b
Ak = ∫ w( x)l k ( x)dx
a
e l k (x) são polinômios de Lagrange sobre as raízes x 0 , x1 ,..., x n de Φ n+1 ( x) e satisfazem
1
l k (xs ) = 
0
se
k =s
se
k ≠s
.
Com isto, o algoritmo para se calcular uma integral usando Quadratura de Gauss, segue os
seguintes passos:
Passo 1: Determinar o polinômio ortogonal Φ n+1 ( x) , segundo o produto interno
conveniente, isto é, com função peso w(x) e no intervalo [a, b] .
Passo 2: Calcular as raízes x 0 , x1 ,..., x n de Φ n+1 ( x) .
9
Passo 3: Determinar os polinômios de Lagrange l k (x) , k = 0,1,...n , usando os pontos
x 0 , x1 ,..., x n do Passo 2.
b
Passo 4: Calcular Ak = ∫ w( x)l k ( x)dx , k = 0,1,...n .
a
Passo 5: Calcular o valor de f (x) em x 0 , x1 ,..., x n .
Passo 6: Calcular, finalmente,
b
n
a
k =0
∫ w( x) f ( x)dx ≅ ∑ Ak f ( x k )
Esse procedimento é válido para qualquer família de polinômios ortogonais definidas pelo
produto interno.
3.1 Exemplos Numéricos
Para ilustrar o procedimento da Quadratura de Gauss, são apresentados alguns exemplos, que
podem ser comparados com a solução exata.
∫ (x
1
Exemplo 1: Calcular
3
)
− 5 x dx
−1
Na integral, tem-se f ( x ) = x 3 − 5 x , a = −1 , b = 1 , w( x ) = 1 , o que determina o uso dos
Polinômios de Legendre. Assim f ( x ) é um polinômio de grau 3, e pelo Teorema 5, se f ( x ) é
um polinômio de grau 2n + 1 , o resultado da integral é exato quando o grau do polinômio
ortogonal for n = 1 (a menos de erros de arredondamento).
Assim devem-se utilizar os zeros de Φ n +1 ( x ) = Φ 2 ( x ) , para resolver a integral. Aplicando a
relação de recorrência (8), tem-se:
1
Φ 2 (x ) = 3x 2 − 1 ,
2
o que finaliza o passo 1.
(
)
O passo 2 determina que se encontre as raízes de Φ 2 ( x ) , sendo estas aproximadamente
x 0 = −0.57735 e x1 = 0.55735 .
Sendo: l 0 ( x ) =
(x − x1 )
,
(x 0 − x1 )
l 1 (x ) =
(x − x 0 )
,
(x1 − x 0 )
os polinômios encontrados no passo 3, segue
que:
10
(x − x1 )
dx
)
−
x
0
1
−1
1
1
A0 = ∫ l 0 ( x )dx =
∫ (x
−1
1
1
 x2

1
1

=
(
x
−
x
)
dx
=
− ( x x1 ) 
1
∫
(x 0 − x1 ) −1
(x 0 − x1 )  2
 −1
=
x2
Desde que x 0 = − x1 e
2
− 2 x1
= 1.
− 2 x1
1
= 0 . Do mesmo modo:
−1
1
A1 = ∫ l 1 ( x )dx =
−1
(x − x 0 )
dx
1 − x0 )
−1
1
∫ (x
1
1
 x2

1
1
 − ( x x 0 ) 
=
(
x
−
x
)
dx
=
0
∫
(x1 − x 0 ) −1
(x1 − x 0 )  2
 −1
=
− 2x0
= 1,
− 2x0
o que conclui o passo 4.
O passo 5 determina que a função f seja calculada nos zeros de Φ 2 ( x ) . Assim:
f ( x 0 ) = f (− 0.57735) = (− 0.57735) − 5(− 0.57735) ,
3
f ( x1 ) = f (0.57735) = (0.57735) − 5(0.57735) .
3
Finalmente, no passo 6, calcula-se a aproximação da integral:
∫ (x
1
3
)
− 5 x dx = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
−1
= 1× [(− 0.57735) − 5(−0.57735)]
3
+ 1× [(0.57735)3 − 5(0.57735)] = 0
O valor obtido é o valor exato da integral, já que a função é um polinômio de grau 3 e foi
usado o polinômio de Legendre de grau 2.
2
Exemplo 2: Calcular
∫
1
dx
.
x
Neste caso o intervalo de integração não coincide com o intervalo [−1,1] de definição do
produto interno de Legendre. Isto exige um procedimento de mudança de variável, onde, para
x = 1, t = −1 e para x = 2, t = 1 . A equação da reta que passa por (1,-1) e (2,1) pode ser obtida
por:
11
x
t
1
1 − 1 1 = −2 x + t + 3 = 0
2 1 1
Assim: x =
t +3
1
e dx = dt .
2
2
2
Portanto:
1
1
dx
1
1
dt
∫1 x = −∫1  t + 3  . 2 dt = −∫1 t + 3


 2 
Então, satisfeitas as condições de Quadratura de Gauss-Legendre com w( x ) = 1 , a = −1 e
1
b = 1 e f (t ) =
. Seguindo os passos do Exemplo 1 e considerando n = 2 a aproximação
t +3
é dada por:
1
2
1
dt
≅
∑ Ak f (t K ) =
∫
K =0
−1 t + 3
= (0.44935 + 0.26492)(0.55555) + (0.33333)(0.88888)
= 0.69310
Cuja solução exata é:
2
∫
1
dx
= ln(2) = 0.693147180...
x
Calculando com n = 4 e 9 casas decimais a aproximação obtida é:
2
dx
∫1 x ≅ 0.693147156 ,
o que pode ser considerado um bom resultado.
∞
Exemplo 3: Calcular
∫e
−x
cos x dx
0
A integral atende ao intervalo de integração da Fórmula de Gauss-Laguerre, onde a função
peso é w( x) = e − x , com intervalos a = 0 e b = ∞ , e f ( x) = cos x . Como não se tem condição
de determinar o número exato de pontos que se precisa ter para a resolução da integral, fixa-se
n = 2 , que adotando os passos do Exemplo 1, aproximará a integral da seguinte forma:
∞
∫e
−x
cos x dx = 0.7111 (0.9148) + 0.2785 (−0.6620) + 0.01039 (1.0)
0
≅ 0.4765 .
12
Comparando com o valor exato, 0.5, nota-se que a aproximação obtida foi da ordem de 10 −2 .
∞
∫e
Exemplo 4: Calcular
−x
x 2 dx .
1
A integral tem como função peso w( x) = e − x , assim pode-se empregar a Fórmula de
Quadratura de Gauss-Laguerre, mas o intervalo de integração não coincide com o do produto
interno definido para essa quadratura. Logo é necessário que se faça uma mudança de
variável. Como um dos limites de integração é infinito, a mudança de variável deverá ser feita
via cálculo. Define-se que x = z + 1 , tendo que quando x = 0 → z = 0 ; e quando
x = ∞ → z = ∞ ; dx = dz .
Então:
∞
∫e
−x
∞
x dx = ∫ e
2
1
− ( z +1)
( z + 1) dz = e
0
2
−1
∞
∫e
−z
( z + 1) 2 dz
0
satisfazendo deste modo, as condições da Fórmula de Quadratura de Gauss-Laguerre.
1
→ n = 1 , desde
2
que n indique o índice do último ponto a ser considerado, e, portanto deve ser um inteiro.
Com o polinômio ortogonal de grau 2, a integral é aproximada da forma:
Como f ( x) é um polinômios de grau 2, fazendo 2n + 1 = 2 , tem-se que n =
∞
∫e
−x
x dx = e
2
1
−1
∞
∫e
−z
( z + 1) 2 dz ≅ e −1 (4.9999998) .
0
O resultado exato da integral é 5 / e . A pequena diferença que existe entre o resultado exato e
o valor obtido é devido aos erros de arredondamento.
∞
e−x 2
Exemplo 5: Calcular ∫
x dx
−∞ 2
2
A integral atende as condições da Fórmula de Gauss-Hermite, com w( x ) = e − x , a = −∞ ,
2
x2
b = ∞ e f ( x) =
. Assim, seguido os passos do Exemplo 1 e considerando n = 2 , a
2
aproximação é dada por:
∞ − x2
e
2
∫−∞ 2 x dx = 0.8662 × 2 × 0.25 ≅ 0.4431
13
Observe que neste exemplo a solução exata é
π
2
= 0.4431134... , o que mostra que a
aproximação é exata até a quarta casa.
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os polinômios ortogonais, como descritos no trabalho, apresentam inúmeras aplicações em
várias áreas da matemática pura e aplicada. Entre elas foi apresentada a Fórmula de
Quadratura de Gauss que se baseia nas propriedades desses polinômios e aproximam a
integral usando combinação linear dos valores da função.
O que diferencia o método da Quadratura de Gauss das outras formas de aproximação, é que
ela nos fornece resultados mais precisos por serem exatas para polinômios de grau menor ou
igual a 2n + 1 . Mas leva a desvantagem de se ter que conhecer a função em pontos
específicos, pois não permite trabalhar com quaisquer problemas em que se tenham somente
os pontos tabelados.
No cálculo da Quadratura de Gauss, em que se tenha um intervalo distinto do intervalo [a, b]
onde os polinômios são mutuamente ortogonais, basta realizar uma mudança na variável de
integração. Assim, satisfazendo as condições de ortogonalidades, o procedimento para a
aproximação se torna simples, pois quando particularizamos o produto interno, isto é, quando
se utiliza os polinômios de Legrendre, Laguerre e Hermite, é necessário apenas efetuar os
passos 5 e 6 do algoritmo, uma vez que os valores de xk e Ak podem ser tabelados.
Em alguns exemplos apresentados para o cálculo de integrais a f ( x) é um polinômio de
ordem 2n + 1 ou menor. Em situações reais, f ( x) normalmente não é polinomial e neste
caso, é necessário determinar o erro cometido.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRACCIALI, Cleonice Fátima; ANDRADA, Eliana Xavier Linhares De. Zeros de polinômios ortogonais:
interpretação eletrostática e análise de freqüências. In: Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática, III.
Universidade Federal de Goiás, Salvador – GO, 2006.
Disponível em: http://www.mat.ufg.br/bienal/2006/mini/e.cleonice.pdf .
Acesso em: 21out. 2008.
BURDEN, Richard L., Faires Douglas J. Análise numérica, São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.
CUMINATO, José Alberto. Cálculo numérico. Notas de aula, ICMC/USP.
Disponível em: www.simulab.uel.br/hoto/grad/numerico_mat/textos/cuminato.pdf
Acesso em: 21out. 2008.
DARUIS, L., NJÅSTAD, O., VAN ASSCHE, W. Para-orthogonal polynomials in frequency analysis.
Rocky Mountain J. Math., 33, 629–645, 2003.
DAVIS, P.J., RABINOWITZ, P. Numerical integration. Blaisdell Publ. Co., 1967.
DIMITROV, D.K., VAN ASSCHE, W. Lamé differential equations and electrostatics. Proc. Amer. Math.
Soc., 128, 3621–3628, 2000.
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GAUTSCHI, W. Orthogonal polynomials - constructive theory and applications. Journal of Computational and
Applied Mathematics, 12 e 13, 61–76, 1985.
Poliana Moita Braga ([email protected])
Curso de Matemática, Universidade Católica de Brasília
EPCT – QS 07 – Lote 01 – Águas Claras – Taguatinga – CEP.: 72966-700
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