Polinômios e Equações Polinomiais
Parte II
1. (Ita 2013) Considere o sistema na variável real x:
Parte I
4
3
2
1. (Ufsj 2012) Dado o polinômio p(x) = x – 3x – 3x + 11x –
6, é CORRETO afirmar que
a) p(10) é um número de cinco algarismos.
b) tem quatro raízes distintas.
c) na divisão por x + 2, apresenta resto igual a 4.
d) é divisível por x – 1.
 x 2 − x = α

 x − x3 = β .
a) Determine os números reais α e β para que o sistema
admita somente soluções reais.
b) Para cada valor de β encontrado em (a), determine
todas as soluções da equação x − x3 = β.
2. (Ufsj 2012) Se 2i é raiz da equação
x3 + ax 2 + bx + c = 0 (com a, b, c ∈ R), a soma das suas
duas outras raízes é
a) –a + 2i
b) –a – 2i
c) a + 2i
d) a − 2i
2. (Fgv 2012) Sendo m um número inteiro, considere a
equação polinomial 3x 4 + 2x3 + mx 2 + 4x = 0, na
4
1
e − .
2
5
Nessas condições, a menor raiz irracional da equação é
igual a
a) − 3
incógnita x, que possui uma raiz racional entre −
3. (G1 - cftmg 2010) Para um polinômio P, sabe-se que P(k)
= 0 se, e somente se, P(x) for divisível por (x – k). Sendo a, b
3
2
e –3 as raízes do polinômio de Q(x) = x + 5x + 4x – 6,
então, a + b vale
a) – 5
b) – 4
c) – 3
d) – 2
b) − 2
c) −
d)
e)
2
2
2
3
3. (Epcar (Afa) 2012) O polinômio
4. (Ufu 2006) Seja q(x) um polinômio com coeficientes
reais, cujo coeficiente dominante (coeficiente da variável x
que apresenta o maior expoente) é igual a 1 e que tem o
número complexo i e o número real a como raízes. Se o
2
polinômio p(x) = q(x)x + x + 1 tem grau 4, determine todos
os valores de a tais que p(x) não possua raízes reais.
4
2
5. (Ufmg 2006) Considere o polinômio p(x) = x - 2mx + 2m
- 1, sendo m um número real maior que 1/2.
a) Calcule as raízes de p(x) em função de m.
b) Determine os valores de m para que p(x) tenha quatro
raízes distintas e em progressão aritmética.
3
6. (Ufv 2004) O inteiro 2 é raiz do polinômio p(x) = 4x - 4x
- 11x + k, onde k é uma constante real.
a) Determine o valor de k.
b) Determine as outras raízes de p(x).
c) Determine os intervalos onde p(x) > 0.
2
3
2
7. (Ufmg 1995) Sejam P(x) = x - 4 e Q(x) = x - 2x + 5x + a,
onde Q(2) = 0. O resto da divisão de Q(x) por P(x) é
a) - x - 2
b) 9x - 18
c) x + 2
d) 0
e) - 9x + 18
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2
P ( x ) = x 4 − 75x 2 + 250x tem uma raiz dupla.
Em relação à P(x) é correto afirmar que
a) apenas uma de suas raízes é negativa.
b) a sua raiz dupla é negativa.
c) três de suas raízes são negativas.
d) nenhuma de suas raízes é negativa.
5
3
2
4. (Ita 2010) Sabe-se que o polinômio p(x) = x – ax + ax –
1, a a ∈ R , admite a raiz – i.
Considere as seguintes afirmações sobre as raízes de p:
I. Quatro das raízes são imaginárias puras.
II. Uma das raízes tem multiplicidade dois.
III. Apenas uma das raízes e real.
Destas, é (são) verdadeira(s) apenas
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e III.
e) II e III.
5. (Fuvest 1997) P(x) é um polinômio cujas raízes formam
uma progressão geométrica de razão 2 e primeiro termo 2.
O coeficiente do termo de mais alto grau de P(x) é 1 e o
21
termo independente é igual a 2 . O grau do polinômio é
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a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
3
2
4. (Ufjf 2007) Sobre o polinômio f(x) = 9x + 15x - 32x + 12,
podemos dizer que:
a) possui uma raiz real e duas raízes complexas que não são
reais.
b) a soma de suas raízes é igual a 15.
c) o produto de suas raízes é igual a 12.
d) uma de suas raízes é positiva de multiplicidade 1.
e) nenhuma de suas raízes é um número natural.
Parte III
1. (Ufjf 2012) Seja P(x) = ax 4 + bx3 + cx 2 + 3dx + e um
polinômio com coeficientes reais em que b = -1 e uma das
raízes é x = -1. Sabe-se que a < b < c < d < e formam uma
progressão aritmética crescente.
5. (Ufjf 2007) Considere o polinômio p(x) = x - 2x + x +
mx + n, onde m, n ∈ IR.
a) Determine a razão dessa progressão aritmética e os
coeficientes do polinômio P(x).
b) Encontre as demais raízes do polinômio P(x).
a) Para m = -8 e n = -12, escreva o polinômio como produto
de polinômios de grau 1.
b) Existem valores de m e n para os quais o polinômio p
possua quatro raízes inteiras e positivas? Justifique sua
resposta.
2. (Ufjf 2011) Dados dois polinômios A(x) e B(x) , sabe-se
que S(x) = A(x) + B(x) é um polinômio de grau 8 e que
D(x) = A(x) − B(x) é um polinômio de grau 5 . É correto
afirmar:
a) O polinômio W(x) = B(x) − A(x) tem grau 8 .
b) Os polinômios A(x) e B(x) têm o mesmo grau.
c) O polinômio C(x) = A(x) ⋅ B(x) tem grau 13.
d) O polinômio A(x) tem grau 5.
e) O grau do polinômio B(x) é menor que 7.
3
2
3. (Ufjf 2011) Seja p(x) = x + ax + bx + c um polinômio com
coeficientes reais. Sabe-se que as três raízes desse
polinômio são o quarto, o sétimo e o décimo sexto termos
de uma progressão aritmética, cuja soma de seus vinte
80
primeiros termos é igual a
e o seu décimo terceiro
3
termo é igual a 3 . Encontre os valores de a, b e c.
4
3
2
6. (Ufjf 2006) O polinômio p(x) é divisível por x + 3, por x - 1
e por x + 5. Podemos dizer que o seu grau g é:
a) g > 3.
b) g < 3.
c) g ≥ 3.
d) g = 3.
e) g ≤ 3.
2
7. (Ufjf 2002) Sabendo que os polinômios q1(x) = x - 9 e
2
4
3
2
q2(x)=x -5x+6 dividem o polinômio p(x)=x +ax +bx +cx+d,
onde a, b, c e d são reais, é INCORRETO afirmar que:
a) o polinômio q1(x) . q2(x) divide p(x).
b) 2, 3 e -3 são raízes de p(x).
c) o polinômio p(x) não possui raízes complexas.
d) se d = 36, então a = 0.
e) se d é irracional, então p(x) possui uma raiz irracional.
Determine o conjunto solução da inequação P(x) > 0.
Parte IV
1. (Uerj 2014) Observe o gráfico da função polinomial de
2. (Uerj 2002) O gráfico a seguir é a representação
3
2
cartesiana do polinômio y = x - 3x - x + 3.
ℝ em ℝ definida por P(x) = 2x3 − 6x 2 + 3x + 2.
a) Determine o valor de B.
3
2
b) Resolva a inequação x - 3x - x + 3 > 0.
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3. (Uerj 2002) As dimensões de um paralelepípedo
retângulo são dadas pelas raízes do polinômio a seguir.
3
2
3x - 13x + 7x -1
Em relação a esse paralelepípedo, determine:
1
2
b) x < - 2 ou x > 2
1
c) x < - 2 ou <x< 2
2
1
d) - 2 < x < ou x > 2
2
a) x < -
2 ou x > -
a) a razão entre a sua área total e o seu volume;
Parte V
b) suas dimensões.
4. (Uerj 1999) A figura a seguir representa o polinômio P
3
definido por P(x)=x -4x.
a) Determine as raízes desse polinômio.
b) Substituindo-se, em P(x), x por x-3, obtém-se um novo
polinômio definido por y=P(x-3).
Determine as raízes desse novo polinômio.
3
2
5. (Uerj 1998) Sabe-se que o polinômio P(x) = -2x - x + 4x
2
+ 2 pode ser decomposto na forma P(x) = (2x + 1) . (-x + 2).
2
Representando as funções reais f(x) = 2x + 1 e g(x) = -x + 2,
num mesmo sistema de coordenadas cartesianas, obtém-se
o gráfico a seguir:
1. (Espcex (Aman) 2014) Na figura abaixo está
representado o gráfico da função polinomial f, definida no
intervalo real [a,b].
Com base nas informações fornecidas pela figura, podemos
afirmar que:
a) f é crescente no intervalo [a,0].
b) f(x) ≤ f(e) para todo x no intervalo [d, b].
c) f(x) ≤ 0 para todo x no intervalo [c, 0].
d) a função f é decrescente no intervalo [c,e].
e) se x1 ∈ [a,c] e x2 ∈ [d,e], então f(x1 ) < f(x2 ).
2. (Unesp 2014) Sabe-se que, na equação
x3 + 4x 2 + x − 6 = 0, uma das raízes é igual à soma das
outras duas. O conjunto solução (S) desta equação é
a) S = {– 3, – 2, – 1}
b) S = {– 3, – 2, + 1}
c) S = {+ 1, + 2, + 3}
d) S = {– 1, + 2, + 3}
e) S = {– 2, + 1, + 3}
3. (Fuvest 2014) Os coeficientes a, b e c do polinômio
p(x) = x3 + ax 2 + bx + c são reais. Sabendo que −1 e
1 + αi, com α > 0, são raízes da equação p(x) = 0 e que o
resto da divisão de p(x) por (x − 1) é 8, determine
Tendo por base apenas o gráfico, é possível resolver a
3
2
inequação -2x - x + 4x + 2 < 0.
Todos os valores de x que satisfazem a essa inequação
estão indicados na seguinte alternativa:
a) o valor de α;
b) o quociente de p(x) por (x − 1).
i é a unidade imaginária, i2 = −1.
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número inteiro.
4. (Fuvest 2012) O polinômio
4
3
7. (Fgv 2009) Os vértices do quadrado na figura a seguir
representam, no plano de Argand – Gauss (plano
complexo), todas as raízes de um polinômio p(x) cujo
coeficiente do termo de maior grau é 1.
2
p(x) = x + ax + bx + cx − 8 , em que a, b, c são
números reais, tem o número complexo 1 + i como raiz,
bem como duas raízes simétricas.
a) Determine a, b, c e as raízes de p(x).
b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) e determine
todos os polinômios com coeficientes reais, de menor
grau, que possuam esses novos valores como raízes.
5. (Unicamp 2009) Seja
f(x) = an xn + an−1xn−1 + ⋯ + a1x + a0
um polinômio de grau n tal que an ≠ 0 e a j ∈ ℝ para
qualquer
entre
j
e
0
n.
Seja
g(x) = nan xn−1 + (n − 1)an−1xn−2 + ⋯ + 2a2 x + a1
o
n − 1 em que os coeficientes
polinômio de grau
a1, a2 , …, an são os mesmos empregados na definição de
a) Determine a expressão do polinômio p(x).
b) Calcule o resto da divisão de p(x) pelo polinômio
q(x) = x3 − 2x 2 + 4x − 8.
f(x).
a)
Supondo
n = 2,
que
mostre
que
h  f(x + h) − f(x)

g x +  =
, para todo x, h ∈ ℝ, h ≠ 0.
2
h

b) Supondo que n = 3 e que a3 = 1, determine a
expressão
do
polinômio
f(x),
sabendo
que
f(1) = g(1) = f( −1) = 0.

6. (Unifesp 2009) Seja x = 3

(
( 2 + 5 )  +
)
 3 2 − 5  . Elevando ambos os termos ao cubo,


3
3
teremos x = 4 - 3x. Seja p(x) = x + 3x - 4. Como p(1) = 0,
p(x) é divisível por x - 1 e, então, p(x) = (x - 1) . q(x), onde q
é um polinômio.
a) Mostre que q(x) possui como zeros somente números
complexos não reais e, portanto, que o número x = 1 é o
único zero real de p(x).

b) Mostre que 3

( 2 + 5 )  +  ( 2 − 5 )  é um
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