Lista Para Entregar 01 – Cálculo 2
Professor Daniel Henrique Silva
Turmas A e B
Instruções: Resolva todos os exercícios propostos nessa lista, explicando os passos intermediários utilizados, e
enunciando (mas não demonstrando) os teoremas utilizados, caso seja necessário para a resolução de algum dos
exercícios. A resolução dos exercícios deve ser entregue juntamente com o seu nome e RA, em papel, no dia 30/04
(data da primeira prova), ou por e-mail, para [email protected].
LISTAS FORA DO PRAZO NÃO SERÃO ACEITAS!
1) Sejam 𝛼 o último dígito do seu RA, e 𝛽 o penúltimo dígito do seu RA. Dadas as equações:
𝑥 2 + 𝑧 2 = (26 + 𝛼)
𝑥 + 2𝑦 + 7𝑧 = 𝛽 + 1
a) Identifique as duas superfícies descritas por essas equações em ℝ3. (Não se esqueça de descrever
características da superfície. Por exemplo, se você identificar um paraboloide, então dizer “é um paraboloide” não é o
suficiente. É importante dizer qual o seu vértice, e se esse paraboloide é circular ou elíptico, além do sentido de sua
orientação.)
b) Faça um esboço de ambas, separadamente.
c) Identifique a curva dada pela intersecção das duas superfícies, e dê uma parametrização dessa curva.
2) Um móvel se movimenta de acordo com a equação:
𝑥(𝑡) = cos(2𝑡)
𝛾(𝑡) = {
,𝑡 ≥ 0
𝑦(𝑡) = 2𝑠𝑒𝑛(𝑡)
a) Faça um esboço da trajetória da partícula, incluindo o sentido tomado pela partícula.
b) Existe algum momento no qual a partícula para? Justifique com cálculos.
c) Determine o momento em que a partícula atinge a maior velocidade (em módulo) durante a primeira volta de sua
trajetória. Determine também a posição em que isso ocorre.
𝑥2
4
3) Considere a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 − √
+
𝑦2
.
9
a) Determine o domínio dessa função e represente-o geometricamente.
b) Determine as equações das curvas de nível 𝐶 = 0; 𝐶 = 1; 𝐶 = 2; 𝐶 = 3; 𝐶 = 4, e esboce-as.
c) Faça os traços verticais dessa função, e esboce o gráfico de 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦).
0, 𝑠𝑒 𝑥. 𝑦 ≥ 0
4) Dada a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
1, 𝑠𝑒 𝑥. 𝑦 < 0
a) Esboce o gráfico dessa função.
b) Mostre pela definição (Ɛ, 𝛿) que o limite
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑓(𝑥, 𝑦) = ∄
5) Sejam 𝑓(𝑥, 𝑦) e 𝑔(𝑥, 𝑦) duas funções cujos domínios incluem uma bola aberta 𝐵𝑟 (𝑥0 ; 𝑦0 ), para algum r > 0. Suponha
que
lim
𝑓(𝑥, 𝑦) = 0, e que 𝑔(𝑥, 𝑦) é uma função limitada em 𝐵𝑟 (𝑥0 ; 𝑦0 ).
(𝑥,𝑦)→(𝑥0 ,𝑦0 )
Demonstre que
lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0 ;𝑦0 )
𝑓(𝑥, 𝑦). 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0