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Um recipiente metálico de certa capacidade está cheio de ar a 27ºC. Aquece-se o
conjunto; a pressão permanece constante em virtude da ação de uma válvula que permite o
escape de ar. A que temperatura deve ser levado o conjunto para que escape 10% da massa
de ar primitivamente encerrada no recipiente? O coeficiente de dilatação cúbica do metal é
-1
0,0005ºC e o comportamento do ar e suposto como o de um gás perfeito.
Esquema do problema
Como queremos que escape 10% da
massa de ar, deve sobrar no recipiente os outros
90% da massa. Como existe uma relação direta
entre a massa de um gás e seu número de mols,
portanto, se escapa do recipiente 10% da
massa, então, escapa 10% do número de mols
do gás, e 90% permanecem no recipiente.
figura 1
Dados do problema
•
γ = 0,005 ºC −1;
coeficiente de dilatação cúbica do metal:
Estado inicial
Estado final
p1 = p
p2 = p
V1
V2
T1 = 27 ºC = 300 K
T2
n1
n2 = 0,90 n1
Solução
Como o gás é considerado perfeito podemos usar a Equação de Clapeyron para gases
ideais aplicado as situações inicial e final
p 1 .V1 = n 1 . R .T 1
(I)
p 2 .V 2 = n 2 . R .T 2
(II)
onde R é a constante universal dos gases, dividindo (I) por (II), temos
p .V 1
p .V 2
V1
V2
=
=
n 1 . R .T 1
n 2 . R .T 2
n 1 .T 1
n 2 .T 2
(III)
Para determinar a relação entre os volumes inicial (V1) e final (V2) lembremos que o
recipiente sofre dilatação durante o processo de aquecimento, a dilatação volumétrica do
recipiente é dada por
1
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[
(
V 2 = V1 . 1+ γ . T 2 − T1
V2
V1
(
= 1+ γ . T 2 − T1
)]
)
(IV)
invertendo a fração de (III) e substituindo em (IV), obtemos
n 2 .T 2
n 1 .T 1
(
= 1 + γ . T 2 − T1
)
isolando o valor de T2, escrevemos
n 2 .T 2
= 1 + γ .T 2 − γ .T 1
n 1 .T 1
n 2 .T 2
n 1 .T 1
− γ .T 2 = 1 − γ .T 1

 n2
− γ  = 1 − γ .T 1
T 2 .

 n 1 .T 1


1 − γ .T 1
T2 =

 n2

−γ 

 n 1 .T 1


multiplicando o lado direito da expressão por
T2 =
T2 =
T1
T1
, temos
1 − γ .T 1
.
T1
 T1
 n2

−γ 

 n 1 .T 1


T 1 . 1 − γ .T 1
(
)

n
 T1 . 2 − T1 . γ

n
1 .T 1





que simplificado dá
T2 =
dos dados temos que
n2
n1
(
T 1 . 1 − γ .T 1
n2
− T1 . γ
n1
)
= 0,90 e substituindo os valores o resultado final será
T2 =
300 . ( 1 − 0,0005 . 300 )
0,9 − 300 . 0,0005
T 2 = 340 K
A temperatura final será de 340 K ou 67ºC.
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