Capítulo 3
67
Como vimos atrás, numa expansão isotérmica de
Transformação Politrópica.
um gás perfeito,
1
V
p∝
(1)
pV =
C
⇒
onde C é uma constante (C = nRT, neste caso).
Para uma expansão adiabática de um gás perfeito
p∝
1
V
γ
pV γ =
C
⇒
(2)
onde γ = Cp / CV e C é outra constante. Conforme ilustra a Fig. 3.12, a pressão varia
mais acentuadamente com o volume numa expansão adiabática do que numa
expansão isotérmica.
Uma expansão politrópica é um caso intermédio entre a expansão isotérmica e
adiabática:
p∝
1
V
n
pV n =
C
⇒
(3)
onde 1 < n < γ e C é uma outra constante. Assim, neste tipo de expansão, há calor
transferido (não é um processo adiabático) e há variação de temperatura (não é um
processo isotérmico).
Para calcularmos o trabalho envolvido numa transformação politrópica reversível de um gás perfeito, partimos (como não poderia deixar de ser) da definição de
trabalho de expansão (ou compressão):
dW =
− pext dV
⇒
Vf
Vf
∫V
∫V
W=
− pext dV =
− pdV
i
i
(4)
onde p é a pressão do gás, cuja dependência com o volume é expressa pela Eq. (4).
Assim, substituindo a Eq. (3) em (4), fica
Vf
∫V
W=
i
Vf
∫V
− pdV =
i
−
C
Vn
dV
(5)
Para n = 1, obtemos, obviamente, a expressão do trabalho de uma expansão isotérmica reversível de gás perfeito [Eq. (2.12)]:
68
Material Adicional
Vf
∫V
W= −
i
Vf nRT
V
C
dV = −
dV =
nRT ln i
Vi
V
V
Vf
∫
(6)
Para o processo politrópico (1 < n < γ) obtemos da Eq. (5):
V
 V 1−n − V 1−n
 V 1−n  f
Vf 1
Vf
C
−n
i
W=
dV =
dV =
V dV =
−
−C
−C
−C 
−C  f
 =

Vi
Vi V n
Vi
1− n
 1 − n 
Vn

Vi
∫
Vf
∫
∫

 (7)


Da Eq. (3) obtemos para o estado inicial (i) e para o estado final (f),
piVin= C= pf Vfn
(8)
Substituindo este resultado na Eq. (7), fica
 V 1−n − V 1−n
i
−C  f
W=

1− n

 p V n V 1−n − p V n V 1−n p V − p V
i i i
f f f
i i
f f
=
=

1− n
1− n

(9)
Por outro, uma vez que o gás é perfeito,
piVi = nRTi
(10)
pf Vf = nRTf
onde n é, neste caso, o número de moles do gás. Assim, a Eq. (9) pode escrever-se,
em alternativa, sob a forma
W=
nR(Ti − Tf )
(11)1
1− n
Combinando as Eqs. (8) e (10) para eliminar a pressão, obtemos
pf Vf
Tf 
piVi Ti 

pf Vin 
=
pi V n 
f
1
=
Vf  Vf
=
×
Ti Vi  Vi
Tf



−n
 Vf
=

 Vi
1−n



(12)
Notar o significado diferente dos dois “n” desta equação: o “n” no numerador, é o número de moles
[Eq. (10)]; o “n” no denominador, é o expoente politrópico definido pela Eq. (3).
Capítulo 3
69
Em termos da temperatura e da pressão (isto é, eliminando o volume), vem
pf Vf
T
= f
piVi Ti



1/ n 
n
pf Vi
Vf  pi 

⇒
=
=
 

pi V n
Vi  pf 

f
pf  pi
=
×
Ti pi  pf
Tf
1/ n



pf  pf
=
×
pi  pi



−1/ n
1−(1/ n)
 pf 
= =
 p 
 i
(13)
 pf

 pi
( n−1)/ n



Numa expansão politrópica [1 < n < γ, isto é, (1 – n) < 0], V f > Vi (e p f < p i ) e a Eq.
(12) mostra que Tf < Ti . Assim, o gás arrefece e efetua trabalho pois a Eq. (11) prova
que W < 0, já que (Ti – T f) > 0 e (1 – n) < 0 .
De modo semelhante, numa compressão politrópica de um gás perfeito, p f > p i e
a Eq. (13) mostra que Tf > Ti (o gás aquece). Por isso, é efetuado trabalho no sistema, pois a Eq. (11) mostra que W > 0, já que (T i – Tf ) < 0 e (1 – n) < 0.