2. Algumas explorações
No primeiro conjunto de questões desta tarefa, os alunos devem escolher vários
valores a atribuir ao parâmetro b , de modo a estabelecerem as propriedades comuns aos
elementos da família do tipo y =
b
, b ≠ 0 . Comece-se por analisar o caso b > 0 ,
x
representando graficamente algumas funções deste tipo e tomando como referência a
função y =
1
.
x
Assim, podem obter-se as seguintes representações gráficas:
y=
b
, com b > 1
x
y=
b
, com b < 1
x
No caso de b < 0 , as representações gráficas das funções da família y =
b
obx
têm-se das anteriores por simetria em relação ao eixo das abcissas. Neste caso, podemos
obter:
y=
y=
b
, com b < − 1
x
74
b
, com − 1 < b < 0
x
Assim, após a análise das propriedades das funções representadas, os alunos podem concluir que:
y=
b
x
Domínio
Contradomínio
b>0
Paridade
Assímptotas
Funções ímpares
y = 0 - assímptota hori-
– as representa-
R \{ 0 }
R \{ 0 }
b<0
ções gráficas são
simétricas
em
relação à origem
zontal;
x = 0 - assímptota vertical;
Quanto ao sinal e variação, tem-se:
−∞
x
–
Sinal
b>0
–
−∞
+
Sinal
+
+∞
0Variação
b
y=
x
+∞
0
S.S.
0+
–
–
+∞
b<0
0–
S.S.
Variação
0
+
−∞
Deste modo, podem concluir que o parâmetro b , na família de funções do tipo
y=
b
, não altera o domínio, o contradomínio nem as assímptotas vertical e horizontal.
x
As funções desta família não têm zeros, mas os intervalos nos quais as funções são negativas ou positivas e a monotonia, são influenciadas pelo parâmetro b . De igual modo,
a curvatura da função e o afastamento dos ramos da hipérbole varia de acordo com o
valor absoluto do parâmetro b : à medida que o valor absoluto de b aumenta, a curvatura da função é menos acentuada e os ramos das respectivas hipérboles vão-se afastando
cada vez mais.
Como as representações gráficas das funções desta família são hipérboles equiláteras centradas em relação à origem, pode ainda verificar-se que as rectas y = x e
y = − x são eixos de simetria dos respectivos gráficos quando b > 0 e b < 0 , respecti-
vamente.
75
No segundo conjunto de questões desta tarefa, os alunos devem estudar a influência dos parâmetros a e d no comportamento das famílias de funções do tipo
y=a+
1
1
e y=
, nomeadamente quanto ao domínio, contradomínio, variax
x+d
ção, sinal e assímptotas. Neste caso, o estudo das alterações provocadas pela mudança
de sinal de cada um dos parâmetros é deixada ao cuidado dos alunos. No entanto, caso
seja necessário, o professor deverá sugerir a análise de valores positivos e negativos.
De modo a estudar a influência do parâmetro a , na família de funções do tipo
y=a+
1
, pretende-se que os alunos analisem as representações gráficas obtidas
x
para diferentes valores de a , tomando como referência a função y =
1
:
x
Recorrendo aos conhecimentos do 10.º ano de escolaridade, e de acordo com a
observação das representações obtidas, pretende-se que os alunos concluam que o gráfico das funções da família y = a +
y=
1
pode ser obtido a partir do gráfico da função
x
1
, por meio de uma translação vertical associada ao vector u ( 0, a ) . Para além
x
disso, poderão ainda concluir que:
Domínio
y =a +
1
x
R \{ 0 }
Contradomínio
R \{ 0 }
Variação
Assimptotas
Funções decres-
x = 0 - assímptota verti-
centes
] − ∞; 0 [
] 0; + ∞ [
76
em cal;
e em y = a - assímptota horizontal;
1
, influencia o contrax
Assim, o parâmetro a , na família de funções y = a +
domínio e a assímptota horizontal. Pode, também, reparar-se que os zeros e o sinal da
função são influenciados pela variação do parâmetro a . Com o intuito de estabelecer
uma relação entre a localização do zero da função e o sinal de a , os alunos poderão
verificar, analiticamente, que as funções do tipo y = a +
zero para x = −
1
(com a ≠ 0 ) admitem um
x
1
. Atendendo ao esboço das representações gráficas, podem ainda
a
apresentar as seguintes conclusões quanto à variação de sinal para a > 0 e para a < 0 :
−∞
y =a +
y =a +
1
x
1
x
, a>0
, a<0
1
−
+
0
−∞
0
–
0
+∞
S.S.
+
1
+∞
a
S.S.
–
−
+
a
0
–
De modo idêntico ao anterior, pretende-se que os alunos analisem alguns casos
de funções do tipo y =
rência a função y =
y=
1
, atribuindo a d diferentes valores, tomando como refex+d
1
. Assim, tem-se:
x
1
, com d > 0
x
y=
77
1
, com d < 0
x
Na análise desta família de funções, os alunos deverão ter especial atenção ao
modo como introduzem, na calculadora, as expressões das funções que pretendem visualizar. De facto, poderá haver a tendência, por parte dos alunos, de não usar parênteses
na expressão do denominador e, deste modo, irão analisar funções que pertencem às
famílias do tipo y = a +
1
.
x
De novo, tendo como referência os conhecimentos adquiridos no ano curricular
anterior, pode observar-se que os gráficos destas funções podem ser obtidos a partir do
gráfico da função y =
1
por meio de uma translação horizontal, associada ao vector
x
v ( − d , 0 ) . De acordo com o observado a partir das diferentes representações gráficas,
pretende-se que os alunos concluam que:
Domínio
y=
1
x+d
R \{ −d }
Contradomínio
R \{ 0 }
Variação
Assimptotas
Funções decrescentes
x = − d , assímptota
em
] − ∞; − d [
em ] − d ; + ∞ [ .
e vertical;
y = 0,
assímptota
horizontal;
Deste modo, conclui-se que o parâmetro d , na família de funções y =
1
,
x+d
influencia o domínio e a assímptota vertical. Pode ainda observar-se que as funções deste tipo não têm zeros e os intervalos para os quais as funções são negativas e positivas
dependem também do parâmetro d .
Explorações de alunos
1. Identificação de propriedades das funções racionais
Com a exploração desta tarefa pretende-se que os alunos identifiquem algumas
características das funções racionais, agrupadas em famílias, partindo da análise das
representações obtidas na calculadora gráfica.
Numa primeira fase, é de esperar que os alunos aceitem as sugestões dadas no
enunciado da tarefa e se dediquem ao estudo das propriedades pretendidas, analisem o
78
comportamento de vários elementos das famílias dadas e sintetizem as informações recolhidas com o preenchimento das tabelas dadas:
No entanto, o professor deve estar atento ao trabalho desenvolvido pelos alunos,
uma vez que alguns podem iniciar o preenchimento da tabela, baseando as suas conclusões na visualização de apenas um elemento das famílias dadas. Nesta situação, o professor deve incentivá-los a atribuir vários valores a cada um dos parâmetros indicados e
a visualizar simultaneamente as respectivas representações. Deste modo, os alunos podem adquirir maior convicção quanto às propriedades que se mantêm invariantes e à
influência provocada pela variação dos parâmetros.
No relatório das actividades desenvolvidas, os alunos devem também apresentar
um esboço das representações obtidas e podem registar as suas propriedades, de acordo
com o guião fornecido no enunciado:
Por vezes, a análise das propriedades das funções pode ser ainda mais exaustiva
e os alunos procuram estudar outras propriedades das famílias de funções que identificam como invariantes: a existência de zeros ou de extremos, a injectividade, ou o comportamento da função nos ramos infinitos:
79
Pode, também, acontecer que os alunos mostrem preocupação em fundamentar
matematicamente as propriedades analisadas, tendo como referência o esboço das representações que observaram:
No entanto, os alunos podem evidenciar algumas dificuldades em exprimir com
correcção matemática as suas observações e podem apresentar alguns erros, tanto no
que se refere a tentativas menos conseguidas de formalizar o conceito de assímptota
(noção que deve ser abordada intuitivamente em aulas anteriores), como na indicação
dos intervalos de monotonia da função. De facto, no que se refere a esta última proprie-
80
dade, é de prever que um número significativo de alunos refira que as funções de cada
uma das famílias são sempre crescentes (ou sempre decrescentes) ou que assinale o tipo
de variação da função recorrendo à união de intervalos que correspondem ao domínio,
como é o caso da seguinte resolução:
Noutros casos, os alunos podem caracterizar correctamente o tipo de monotonia,
mas interpretar o conceito de variação de função com a transcrição do comportamento
das respectivas imagens. Assim, referindo-se, por exemplo, à variação das funções da
família y =
b
, as respostas apresentadas por alguns alunos, para o caso de b > 0 ,
x
foram as seguintes:
Saliente-se que, neste caso, os “intervalos” indicados apresentam-se formalmente incorrectos, de acordo com o sentido definido para os eixos do referencial, mas correspondem a uma tentativa de transcrever o comportamento das imagens das funções
nos ramos em que x é maior do que zero e x é menor do que zero, respectivamente.
Na fase de discussão de resultados com o grupo turma, o professor deve ter em
atenção as dificuldades que os alunos podem manifestar e promover a oportunidade de
discutir em conjunto alguns conceitos cuja compreensão não lhes é tão imediata.
2. Análise da influência dos parâmetros nas famílias de funções racionais
2.1. Efeito do parâmetro b nas famílias de funções do tipo y =
b
, b≠0
x
Para além da análise das propriedades que se mantêm invariantes nesta família
de funções, os alunos devem identificar a influência do parâmetro b nas respectivas
representações gráficas. Deste modo, é de prever que identifiquem, com bastante facili-
81
dade, a alteração dos quadrantes em que se situam os ramos da hipérbole, em função do
sinal do parâmetro b , e concluam que tal facto vai influenciar o sinal das respectivas
funções:
O maior ou menor afastamento dos ramos das hipérboles em relação à origem é
um dos aspectos que os alunos observam, também, com relativa facilidade:
No entanto, é de prever que alguns alunos apresentem dificuldade em identificar
correctamente as alterações das representações gráficas desta família de funções, no
caso de b < 0 , e que retirem conclusões precipitadas:
Nesta situação, o professor deve questionar os alunos sobre a veracidade das suas conclusões, levando-os a compreender a necessidade de estudar a influência do parâmetro b em função do seu sinal ou de recorrer à noção de valor absoluto, de modo a
corrigir as suas conjecturas.
Na fase de discussão de resultados, o professor pode ainda discutir com os alunos se a conjectura formulada quanto ao maior ou menor afastamento dos ramos da hipérbole em relação à origem se mantém quando 0 < b < 1 ou quando −1 < b < 0 , uma
vez que, de modo natural, os alunos tendem a atribuir a cada parâmetro valores inteiros.
82
Neste caso, como em diversas situações (que se encontram assinaladas noutras
resoluções), os alunos tendem a não distinguir os conceitos de função e representação
gráfica dessa função e referem-se, na maioria das vezes, à função sempre que analisam
as alterações sofridas pela respectiva representação gráfica. Este deve, também, ser um
dos aspectos a discutir com os alunos na fase de validação de resultados.
2.2.
Efeito do parâmetro
a na família de funções do tipo y = a +
1
x
De modo análogo ao anterior, pretende-se que os alunos identifiquem alguns dos
efeitos produzidos pelo parâmetro a nas representações gráficas das respectivas funções. Ainda que, nesta questão, não haja uma referência explícita ao estudo, em separado, quanto ao sinal do parâmetro, as explorações anteriores podem orientar os alunos
para atenderem a esse pormenor nas análises realizadas. Nalguns casos, os alunos atribuem o valor 0 ao parâmetro, obtendo a função y =
1
como referência:
x
Os alunos podem ainda identificar as propriedades que se mantêm invariantes, a
partir do preenchimento da tabela fornecida no enunciado, mas também podem registálas em termos de conclusões, pondo em destaque a influência do parâmetro nas várias
representações das funções desta família:
83
Nesta situação, os alunos identificam a translação vertical associada às transformações sofridas pelas representações gráficas e, em vez de referirem as coordenadas do
vector associado à translação, identificam apenas o valor do deslocamento sofrido com
o valor do parâmetro a .
Noutros casos, podem também recorrer de modo mais explícito à linguagem das
transformações geométricas, para descrever o efeito provocado pela variação do parâmetro a , indicando as alterações registadas em função do sinal deste:
Pode também acontecer que a influência deste parâmetro seja descrita pelo
afastamento verificado nas representações gráficas, tomando como referência o eixo
Ox :
É de salientar que a conjectura formulada por estes alunos é válida quando se
consideram valores de a maiores do que zero, ou quando se refere o valor absoluto de
a.
Um dos aspectos em que os alunos podem evidenciar maiores dificuldades é na
exploração do sinal das funções desta família. De facto, os alunos podem verificar que
o sinal depende da determinação do zero da função, mas podem não descobrir de que
modo é que este está relacionado com o valor de a :
Noutros casos, os alunos podem recorrer a notações próprias para conseguir generalizar os intervalos para os quais a função é positiva ou é negativa:
84
Nestas situações, o professor deve atender às dificuldades que os alunos possam
evidenciar, promovendo a discussão com o grupo turma dos aspectos menos conseguidos nas suas explorações.
2.3.
Efeito do parâmetro d na família de funções do tipo y =
1
x+d
Também neste caso, é importante que os alunos realizem o estudo das transformações das representações gráficas em função do sinal positivo ou negativo do parâmetro
d . De modo análogo ao anterior, é de prever que os alunos identifiquem alguns dos
efeitos produzidos pelo parâmetro d nas representações gráficas das respectivas funções, partindo da visualização e registo das funções estudadas:
A influência do parâmetro na determinação do domínio, no estudo da variação
do sinal e nas assímptotas verticais pode ser registada com o preenchimento da tabela:
85
Os alunos podem, também, recorrer de modo mais explícito à linguagem das
transformações geométricas para descrever o efeito provocado pela variação do parâmetro d , indicando as alterações registadas em função do seu sinal:
Seguindo as estratégias adoptadas nas explorações anteriores, pode acontecer
que os alunos analisem o efeito do parâmetro d nas representações gráficas, tomando
como referência o respectivo afastamento em relação ao eixo das ordenadas, embora
não se torne evidente a discussão em relação ao sinal do parâmetro:
Considerações finais sobre a exploração da tarefa
Com a exploração desta tarefa os alunos podem recorrer à calculadora gráfica
para representar diferentes funções das famílias dadas, atribuindo diversos valores aos
parâmetros, e, a partir das observações efectuadas, identificar as características comuns
aos diferentes tipos de representações. Nalguns casos, os alunos podem também analisar
86
outras propriedades das funções, para além das solicitadas, que identificam ser invariantes para os diferentes elementos de cada uma das famílias estudadas.
Ao longo da tarefa, os alunos podem conseguir, também, perceber qual os efeitos provocados nas representações gráficas pela mudança de cada um dos parâmetros
nas famílias de funções que analisaram e descrever as suas observações em linguagem
natural.
Por vezes, ao exprimirem por palavras próprias as suas conclusões, os alunos colocam em destaque algumas dificuldades como é o caso da análise da variação das funções (tanto na indicação da união dos intervalos de monotonia como na leitura da monotonia em termos da variação das imagens da função).
Na fase de discussão, o professor deve proporcionar aos alunos a oportunidade
de confrontar diferentes conclusões e de explicar os raciocínios realizados. Este momento pode também ser rentabilizado para discutir e tentar colmatar as dificuldades que os
alunos apresentam.
87
EXPLORANDO FUNÇÕES RACIONAIS
Nesta tarefa não é permitido recorrer à calculadora gráfica
1. Observe as representações gráficas apresentadas na tabela 1 e as expressões analíticas das funções que figuram na tabela 2.
Tabela 1:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Tabela 2:
1
x−2
1
y =1+
x
y=
y=2−
y=
5
x
1
−2
x
1
y=
2− x
y=
3
−2
x
1
+2
x
3
y=2+
x
y=
A partir da tabela 2, identifique a expressão analítica associada a cada uma das
representações gráficas, colocando as legendas em falta na tabela 1.
Para cada situação, apresente todos os argumentos que lhe permitem fundamentar a sua opção, bem como as decisões que teve de tomar.
88
2. Na figura está uma representação gráfica da função f que é definida por uma expressão do tipo f ( x ) = a +
b
.
x−c
Indique os valores correspondentes a a , b e c .
Apresente os argumentos que lhe permitem fundamentar as suas opções.
.
3. Considere a função definida por g
(x)=
3x + 1
.
x +1
3.1. Escreva a função na forma g ( x ) = a +
b
.
x +1
3.2. Indique o valor dos seguintes limites:
lim g ( x ) ;
x →−∞
lim g ( x ) ;
lim g ( x ) ;
x →−1 −
x →+ ∞
lim g ( x ) .
x →−1 +
Apresente os argumentos que lhe permitem fundamentar as suas opções.
3.3. Faça um esboço da representação gráfica da função g .
89
Conhecimentos prévios dos alunos
Com o trabalho desenvolvido nas aulas anteriores relativas ao estudo das características das funções racionais do tipo y = a +
b
, os alunos devem ser capazes de:
x+d
Identificar o domínio e contradomínio de uma função, a partir de uma represen-
tação gráfica;
Identificar propriedades das funções e dos seus gráficos;
Reconhecer transformações simples de funções e respectivos deslocamentos em
termos gráficos.
Identificar a influência dos parâmetros a , b e d , nas representações gráficas de
funções do tipo y = a +
b
;
x+d
Reconhecer assímptotas horizontais e verticais, a partir de uma representação
gráfica;
Estudar o comportamento de uma função nos ramos infinitos.
Os alunos devem, ainda, recordar o algoritmo da divisão inteira de polinómios
(ou a regra de Ruffini) e a identidade da divisão, de modo a transformar uma expressão
racional, constituída pela divisão de dois polinómios de grau um, na forma
a+
b
.
cx + d
Aprendizagens visadas
Com o trabalho a desenvolver na exploração da tarefa, os alunos devem ser capazes de reforçar a sua capacidade de analisar representações gráficas de funções do
tipo y = a +
b
, identificar, sem recurso à calculadora, os efeitos provocados por
cx + d
cada um dos parâmetros nas respectivas representações gráficas e estabelecer relações
entre representações gráficas e analíticas de uma mesma função.
90
Em particular os alunos devem ser capazes de:
Identificar propriedades das funções racionais e dos seus gráficos, definidas de
modo gráfico ou analítico, nomeadamente: o domínio, contradomínio, variação,
sinal, assímptotas e comportamento nos ramos infinitos;
Estabelecer relações entre a representação gráfica e analítica de uma mesma fun-
ção;
Determinar a expressão analítica de uma função racional, dada a sua representa-
ção gráfica;
A realização desta tarefa pode, também, contribuir para o desenvolvimento da
capacidade de o aluno comunicar matematicamente, oralmente e por escrito, fundamentar raciocínios, discutir processos e comentá-los com outros.
Orientações para o professor
1. Indicações gerais
A duração prevista para a exploração desta tarefa corresponde a um bloco de aula de 90 minutos.
Transformações de funções racionais
Duração prevista
Exploração
Apresentação e validação de resultados
1 bloco (90 min)
60 min
30 min
Numa primeira fase, os alunos deverão explorar as questões propostas (durante
cerca de 60 minutos), trabalhando em pares ou em pequenos grupos, e devem elaborar
um relatório contendo os registos dos argumentos usados e que permitem fundamentar
as suas opções e as conclusões retiradas. Na parte final da aula (durante cerca de 30
minutos), deve ser feita a apresentação de resultados e conclusões e a validação dos
mesmos.
91
2. Algumas explorações
Na exploração desta tarefa pretende-se que os alunos, sem recorrer à calculadora
gráfica, estabeleçam relações entre diferentes tipos de representações de uma mesma
função, associem as representações gráficas com as respectivas expressões analíticas e
identifiquem algumas propriedades de uma dada função racional, que se podem traduzir
em termos gráficos, a partir da sua expressão analítica. Assim, tem-se:
1. Com a exploração da primeira questão pretende-se que os alunos analisem as seis
representações gráficas das funções dadas na tabela 1 e identifiquem algumas das
suas propriedades (nomeadamente o domínio, o contradomínio, a localização dos
ramos das hipérboles representadas, as assímptotas horizontais e verticais dos gráficos das funções, a existência de zeros, a relação imagem/objecto e a maior ou menor
“abertura” dos ramos das hipérboles), de modo a estabelecer uma correspondência
entre cada uma delas e a respectiva expressão analítica, escolhida entre as oito que
são fornecidas na tabela.
Nas opções fornecidas, existem funções que têm o mesmo domínio, as mesmas assímptotas verticais, o mesmo contradomínio, as mesmas assímptotas horizontais e a
mesma localização dos ramos das hipérboles, tendo como referência as assímptotas
do seu gráfico.
As discussões entre os alunos, ao longo da exploração desta questão, devem centrar-se na fundamentação das suas escolhas e das decisões que têm de tomar para
identificar a expressão analítica das funções cuja representação gráfica se encontra
na tabela 1.
Deste modo, os alunos devem concluir que:
1.
y=
1
2− x
2.
y=
3
−2
x
92
3.
y=2+
3
x
4.
y=
1
−2
x
5.
y=
1
+2
x
6.
y=
1
x−2
A existência de mais expressões analíticas do que as funções que se encontram representadas cria a necessidade de os alunos reflectirem sobre todas as opções tomadas e de, eventualmente, confrontar o comportamento de funções que tenham algumas características comuns.
2. Na resolução desta questão pretende-se que os alunos identifiquem as assímptotas
horizontais e verticais do gráfico da função dada e associem os seus valores, respectivamente, aos parâmetros a e c , de modo a escrever a função na forma
f(x)=a+
b
. Assim, observando que o gráfico da função admite como asx−c
símptota vertical a recta de equação x = 3 e como assímptota horizontal a recta
y = − 1 , pode concluir-se que a = − 1 e c = 3 , ou seja, uma expressão analítica da
função será do tipo f ( x ) = − 1 +
b
.
x−3
Para a determinação do valor de b , pretende-se que os alunos observem a representação gráfica, identifiquem a partir desta as coordenadas de um ponto conhecido do
gráfico da função e, recorreram aos valores do par ordenado (objecto, imagem) para
resolver a correspondente condição.
Assim, pode verificar-se, por exemplo, que
a função tem um zero para x = 1 , ou seja, o
par ordenado ( 1; 0 ) pertence ao gráfico da
função.
93
Em alternativa podem também ser utilizados outros pares ordenados de coordenadas
inteiras, sugeridos pela representação dada, como é o caso de
( 2; 1 ) , ( 4; − 3) ou
( 5; − 2 ) .
Recorrendo, por exemplo, ao par ( 1; 0 ) , vem:
f (1) = 0 ⇔ − 1 +
b
= 0 ⇔ b = − 2.
1−3
3. Com a exploração desta questão pretende-se que os alunos estabeleçam relações
entre a representação analítica de uma função racional e a correspondente representação gráfica, identificando algumas propriedades que lhes permitirão esboçar a representação gráfica da função. Assim:
3.1. Para resolver esta questão, os alunos devem recordar os procedimentos analíticos da
divisão de polinómios, abordados no ano curricular anterior, e determinar o quociente (que corresponde ao valor de a ) e o resto (que corresponde ao valor de b ) da
divisão inteira do polinómio que figura no numerador pelo polinómio do denominador. Deste modo, poderão escrever g ( x ) = 3 −
2
.
x +1
3.2. De acordo com o estabelecido na questão anterior, pretende-se agora que os alunos
conjecturem quanto ao comportamento da função nos ramos infinitos, relacionando
o valor de cada um dos limites indicados com a existência de assímptotas horizontais e verticais do gráfico da função e com a localização dos ramos da hipérbole,
tomando como referência as assímptotas do seu gráfico.
Deste modo, as rectas x = − 1 e y = 3 devem ser identificadas como assímptotas
vertical e horizontal, respectivamente, e considerando a influência do parâmetro b ,
os ramos da hipérbole vão situar-se nos quadrantes pares, tendo como referência as
assímptotas; assim, é possível criar uma imagem mental da representação gráfica da
função, a qual permite concluir que:
lim g ( x ) = 3 + ;
x →−∞
lim g ( x ) = + ∞ ;
lim g ( x ) = 3 − ;
x →−1 −
x →+ ∞
lim g ( x ) = − ∞ .
x →−1 +
3.3. Pretende-se que os alunos esbocem uma representação gráfica da função, dando
significado às conclusões retiradas com a exploração das questões anteriores.
94
Explorações de alunos
Com a exploração da primeira questão desta tarefa, os alunos devem identificar
qual a expressão analítica que define cada uma das representações gráficas apresentadas, sem utilizar a calculadora gráfica. A correspondência pedida pode ser assinalada no
relatório que devem realizar:
A par das correspondências estabelecidas entre as diferentes representações das
funções, os alunos devem apresentar os argumentos que julguem convenientes para a
fundamentação das suas opções. O professor deve estar atento pois podem surgir diferentes tipos de argumentos para justificar as escolhas dos alunos e estes devem ser confrontados na fase de discussão com a turma, contribuindo deste modo para abordagens
diversificadas de relações entre a representação gráfica, a correspondente expressão
analítica e as propriedades de uma função.
1. Utilização de argumentos geométricos
Na fundamentação das suas escolhas, os alunos podem recorrer a argumentos de
natureza geométrica, recordar as transformações simples de funções, os respectivos deslocamentos em termos gráficos e identificar a influência dos parâmetros a , b e d , nas
representações gráficas de funções do tipo y = a +
95
b
.
x+d
Assim, ao tomar como referência a função y =
1
, os alunos podem fundamenx
tar as suas escolhas a partir da identificação de:
1.1.
simetria em relação ao eixo
Ox ;
1.2. translações verticais:
Nalguns casos, os alunos podem analisar, caso a caso, o comportamento de cada
uma das representações gráficas das funções, em face da translação vertical associada,
tomando como referência a função definida por y =
1
x
. No entanto, nas suas resoluções
nem sempre referem com clareza os argumentos suficientes que lhes permitiram associar cada representação gráfica à expressão analítica correspondente:
Noutros casos, podem identificar todas as funções que admitem translações verticais e, em seguida, usar outro tipo de argumentos para justificar as suas opções:
96
1.3. translações horizontais:
De modo semelhante ao anterior, os alunos podem analisar, caso a caso, o comportamento de cada uma das representações gráficas das funções, em face da translação
horizontal associada e, eventualmente, complementar as suas justificações com outro
tipo de argumentos:
Neste caso, os alunos confundem a variação de sinal dos objectos com o sinal do
coeficiente de x , apesar de identificarem correctamente a localização dos ramos da hipérbole, a translação associada e a assímptota vertical.
Os alunos podem, também, identificar todas as funções que admitem translações
horizontais:
97
Em seguida, podem recorrer a outro tipo de argumentos para justificar as suas
opções e confrontar as diferenças entre as correspondentes representações gráficas, socorrendo para tal de linguagem própria para identificar o sentido das concavidades dos
ramos das hipérboles que representam as respectivas funções:
1.4. influência do parâmetro
b
Para além da identificação das translações verticais e horizontais sofridas pelas diferentes representações gráficas, os alunos podem analisar a influência do parâmetro b
nas representações gráficas de funções do tipo y = a +
b
, para decidir quais as
x+d
correspondências a estabelecer:
2. Utilização de argumentos analíticos
Alguns alunos podem mostrar preferência na análise das representações analíticas dadas, na identificação e no estudo de algumas das suas propriedades, fundamentan-
98