Funções: Tangente e cotangente
Definição,
periodicidade e gráfico
Resolução de
Atividades
Definição, periodicidade e gráfico
Considere que, cada
número real x, percorremos
na circunferência
trigonométrica, a partir (1;0);
Um arco de extremidade M
e comprimento IxI;
No sentido anti-horário se x
> o e no sentido horário x <
0;
Considere ainda uma reta
tangente à circunferência no
ponto (1; 0).
Para você fazer
Na circunferência trigonométrica da figura, o ponto M é
a extremidade de um arco cuja medida é x, e t é o eixo das
tangentes.
Sim, pois sendo paralelos os
segmentos MM’ e TA, os ângulos
correspondentes são congruentes.
Para você fazer
Para você fazer
Gráfico da função tangente
Gráfico da função tangente
Para você fazer
a) Qual é o domínio da função tangente?
R.: O domínio é o conjunto dos valores de x, tais que
x é diferente de π/2, diferente de 3π/2 e de
todos os arcos côngruos.Assim podemos
generalizar escrevendo que
b) Qual é o conjunto imagem da função tangente?
R.: O conjunto imagem é R, ou seja, o intervalo
Para você fazer
c) Em quais quadrantes a função tangente assume
valores positivos? E negativos?
R.: Observar no gráfico que a função assume valores
positivos no 1°e 3°quadrante e valores negativos no
2°e 4°quadrantes.
d) O que você observa quando o valor de x se aproxima
de π/2.
R.: Quando o valor de x se aproxima de π/2, o valor da
tangente de x tende ao infinito, ou seja, aumenta
indefinidamente.
e) Qual é o período?
R.: O período é π.
Função cotangente
Considerar uma reta tangente
no ponto (0, 1);
Na figura ao lado, sendo C o
ponto de intersecção da reta
que a passa por O e M com
reta tangente à circunferência
no ponto (0; 1);
Definimos cotangente de x e
representamos por cotg(x) a
abscissa do ponto /C.
A reta tangente à
circunferência no ponto B é
chamada eixo das
cotangentes.
Para você fazer
Na circunferência trigonométrica
da figura, o ponto M é a extremidade
de um arco cuja medida é x, e c é o
eixo das cotangentes.
a) Os triângulos retângulos OMM” e OCB são semelhantes
R.: Sim, pois sendo o eixo das cotangentes paralelo ao eixo das
abscissas, os ângulos correspondentes são congruentes.
b) Qual relação trigonométrica expressa a medida do segmento BC
em função das medidas dos segmentos OM’ e OM” .
R.:
Para você fazer
c) O que podemos afirmar sobre os valores de cotg
(0) e cotg (π)?
R.:
e
Assim, os valores
de
cotg (0) e cotg (p) não
estão definidos.
d) Qual é a relação existente entre a tangente e
contagente de um arco?
R.: A cotangente de um arco é igual ao inverso da
tangente do mesmo arco.
Para você fazer
e) Qual a condição para que a relação anterior seja válida?
R.: Os valores do seno e do cosseno do arco devem ser
diferentes de zero.
f) Se
, qual é o valor de cotg²(x)?
Gráfico da Cotangente
Gráfico da Cotangente
Com relação ao gráfico construído anteriormente, responda:
a) Qual é o domínio da função cotangente?
R.: O domínio é o conjunto dos valores de x é diferente de 0, diferente de π
e de todos os seus arcos côngruos. Assim, podemos generalizar
escrevendo que x ≠ kπ.
b) Qual é o conjunto-imagem da função cotangente?
R.: O conjunto-imagem é R, ou seja
.
c) Em quais quadrantes a função cotangente assume valores positivos? E
negativos?
R.: Observar no gráfico que a função assume valores positivos no 1º e 3º
quadrantes e valores negativos no 2º e 4º quadrantes.
d) O que você observa quando o valor de x se aproxima de 0 pela direita?
R.: Quando o valor de x se aproxima de 0, o valor da tangente de x tende ao
infinito, ou seja, aumenta indefinidamente.
e) Qual é o período da função cotangente?
R.: O período é π.
Resolução de atividades
Página 28
Exercícios 1-5