Dosagem de concreto
Prof. M.Sc. Ricardo Ferreira
Regressão linear simples
Método dos mínimos quadrados
Prof. M.Sc. Ricardo Ferreira
Fonte: Dario Dafico
Regressão linear simples
Método dos mínimos quadrados
Dada um conjunto de pontos conhecidos de coordenadas (x,y) que
descrevem uma tendência linear como da figura abaixo:
Y
ε3
y3
y2
y1
y = a + b.x
ε2
ε1, ε2, ε3, ..., εi são os erros de
ε1
previsão ou desvios
x1
x2
x3
X
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Regressão linear simples
Método dos mínimos quadrados
Para obter os coeficientes a e b da equação da reta de regressão
representativa de um fenômeno linear, calcula-se:
x = média dos valores de x
y = média dos valores de y
S xx = Σ in=1 ( xi − x) 2
S xy = Σ in=1 ( xi − x).( yi − y )
Os coeficientes a e b são obtidos pelas expressões:
S xy
b=
a = y − b.x
S xx
Calculados os coeficientes, obtém-se a equação:
y = a + b.x
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Regressão linear simples
MMQ no Excel
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6/23
Regressão linear simples
MMQ no Excel
y = -8274,3 + 4,16.x
Regressão linear simples
Método dos mínimos quadrados
Para auxiliar o processo de cálculo da regressão linear, pode-se
empregar a tabela modelo abaixo:
Ponto
xi
yi
x
ӯ
( xi − x)
( xi − x) 2
( yi − y )
( xi − x).( yi − y )
1
2
3
4
5
6
7
8
⁞
n
Resultados
S xx = Σin=1 ( xi − x) 2
S xy = Σ in=1 ( xi − x).( yi − y )
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Exercício de fixação
Uma empresa produtora de blocos de concreto celular localizada
na cidade de São Paulo possui uma rede distribuidora por todo o
interior do Estado. Realizou um estudo para determinar qual a
função que liga o preço do produto ao consumidor e a distância do
mercado consumidor da cidade de São Paulo.
Yi
Xi
Preço
(R$/bloco)
Distância
(km)
36
48
50
70
42
58
91
69
50
240
150
350
100
175
485
335
Estimar a reta de regressão para representar essa relação.
(R: P = 30,19 + 0,12.d)
Com base na equação da reta encontrada estime o preço ao
consumidor numa nova “praça” situada a 420 Km de São Paulo.
(R: R$ 80,58)
Calcule e organize em uma tabela os erros de previsão de cada praça.
Regressão linear simples
Leis de Abrams, Lyse e Molinari
Prof. M.Sc. Ricardo Ferreira
Fonte: Dario Dafico
10/23
Lei de Abrams
A resistência à compressão de um concreto correlaciona-se com a
relação água/cimento a/c através de uma curva do tipo:
k1
fc = a / c
k2
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Lei de Abrams
Linearizando-se a equação de Abrams, através de logaritmos,
temos:
k1
fc = a / c
k2
log f c = log
k1
k2
a/c
log f c = log k1 − log k 2
a/c
log f c = log k1 − a c . log k 2
Reorganizando-se na forma de equação de reta, temos:
log f c = log k1 − log k 2 . a c
y
a
b
x
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Lei de Abrams
Para obter-se a equação de Abrams particular faz-se uma
regressão linear entre log fc e a/c obtendo-se a e b como
coeficientes da reta. Se:
Então:
a = log k1
b = − log k 2
log k1 = a
log k 2 = −b
k1 = 10a
k 2 = 10 −b
k1 = 10 a
k 2 = 10 − b
Com os valores dos coeficientes k1 e k2 tem-se a equação de
Abrams. Para se encontrar o valor da relação a/c necessária para
uma resistência especificada faz-se:
a
log k1 − log f c
c =
log k 2
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Lei de Inge Lyse
Para um certo conjunto particular de materiais, mantida a
consistência do concreto medida pelo ensaio do abatimento do
tronco de cone, o traço m é diretamente proporcional à relação a/c
segundo a equação:
m = k3 + k 4 . a c
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,
Lei
de Inge Lyse
,
Denomina-se teor de água do concreto, representado pela letra H,
o valor da relação massa de água/massa de materiais secos
presentes na mistura. Assim sendo:
H=
Como:
a
Logo:
c
=
M água
Mc
M água
(M c + M a + M b )
a=
( a c ).M c
H=
( M c + a.M c + b.M c )
Ma
Mc
b=
Mb
Mc
M c .( a c )
H=
M c .(1 + a + b)
Como o traço m é a soma das proporções de areia a e brita b em
relação ao cimento, ou seja:
m = a+b
(a c )
H=
(1 + m)
15/23
,
Lei
de Inge Lyse
,
Considerando H constante como afirma a lei de Lyse e fazendo m
como função de a/c temos:
(a c )
1+ m =
H
(a c )
m=
−1
H
1 a
m = −1 + .( c )
H
Chamando:
k 3 = −1
k4 =
e
Obtemos a equação de uma reta:
m = k 3 + k 4 .( a c )
y
a
b
x
1
H
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Lei de Molinari
O consumo de cimento de um concreto correlaciona-se com o
valor do traço seco m através de uma curva do tipo:
1000
C=
k 5 + k 6 .m
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Lei de Molinari
Para a obtenção dos valores de k5 e k6 é necessário linearizar a
equação de Molinari, permitindo assim o uso do Método dos
Mínimos Quadrados. Para isso faz-se:
1000
C=
k 5 + k 6 .m
103
k5 + k6 .m =
C
Rearranjando-se, para o formato da equação de reta, tem-se:
10 3
= k 5 + k 6 .m
C
y
a
b
x
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Diagramas de dosagem
m
19/23
Exercício resolvido
1) Os dados de dosagem abaixo são resultados de um estudo de
dosagem pelo método IPT/EPUSP. O teor ideal de argamassa
seca encontrado foi de 51%, o abatimento do tronco de cone
adotado foi de (140 ± 10)cm, o teor de ar medido foi de 2,5% e
foram empregados uma areia natural média e uma brita de granito
com Dmáx de 19 mm. A idade de controle foi 28 dias.
A) Calcular as equações da lei de Abrams, Lyse e Molinari para o
estudo de dosagem desenvolvido.
B) Calcular o traço unitário, o consumo de cimento e a eficiência
para um concreto que deva apresentar uma resistência à compressão
(fc) na idade de controle de 35 MPa.
fc
(MPa)
38,0
28,0
20,0
a/c
m
0,41
0,55
0,70
4,0
5,0
6,0
C
(kg/m³)
472
371
309
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Exercício resolvido
( xi − x) 2
( yi − y )
( xi − x).( yi − y )
1,5798 - 0,1433
0,0205
0,1371
- 0,0196
0,55
1,4472 - 0,0033
0,0000
0,0045
- 0,0000
0,70
1,3010
0,0215
0,1417
- 0,0208
x
ӯ
Ponto
x
1
0,41
2
3
Resultados
b=
S xy
S xx
y
( xi − x)
0,1467
0,5533 1,4427
=−
S xx = Σin=1 ( xi − x) 2
S xy = Σ in=1 ( xi − x).( yi − y )
0,0420
- 0,0404
0,04040
= −0,9619
0,0420
a = y − b.x = 1,4427 − (−0,9619.0,5533) = 1,9749
log f c = 1,9619 − 0,9619 .
log k1
log k2
a
c
k1 = 10 a = 101,9749 = 94,38
1
1
k 2 = b = −0,9619 = 9,16
10
10
fc =
94,38
9,16 a / c
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Exercício resolvido
A) Com base nas informações fornecidas, calcule as equações da lei
de Abrams, Lyse e Molinari para o estudo de dosagem desenvolvido.
1000
94,32
a
fc =
m = 1,185 + 6,894 .( c ) C =
a/c
9,15
− 0,111 + 0,559.m
B) Calcular o traço unitário, o consumo de cimento e a eficiência
para um concreto que deva apresentar uma resistência à compressão
(fc) na idade de controle de 35 MPa.
m = 4,27
C = 439 kg/m³
1
: 1,69
Ef = 12,5 kg/MPa
: 2,58
: 0,45
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Exercício resolvido
2) Os dados de dosagem abaixo são resultados de um estudo de
dosagem pelo método IPT/EPUSP. O teor ideal de argamassa
seca encontrado foi de 55%, o abatimento do tronco de cone
adotado foi de (120 ± 10)cm, o teor de ar medido foi de 1,5% e
foram empregados uma areia natural média e uma brita de granito
com Dmáx de 19 mm. A idade de controle foi 28 dias.
A) Calcular as equações da lei de Abrams, Lyse e Molinari para o
estudo de dosagem desenvolvido.
B) Calcular o traço unitário, o consumo de cimento e a eficiência
para um concreto que deva apresentar uma resistência à compressão
(fc) na idade de controle de 50 MPa.
fc
a/c
(MPa)
57,5 0,36
43,7 0,42
31,4 0,49
m
3,0
4,0
5,0
C
(kg/m³)
479
371
295
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Exercício resolvido
A) Com base nas informações fornecidas, calcule as equações da lei
de Abrams, Lyse e Molinari para o estudo de dosagem desenvolvido.
307,81
fc =
107,17 a / c
m = −2,50 + 15,35.( c )
a
1000
C=
0,12 + 0,65.m
B) Calcular o traço unitário, o consumo de cimento e a eficiência
para um concreto que deva apresentar uma resistência à compressão
(fc) na idade de controle de 50 MPa.
m = 3,49
C = 418 kg/m³
1
: 1,47
Ef = 8,4 kg/MPa
: 2,02
: 0,39