Energia, momentum e momentum angular
O que eu gosto em mecânica clássica é que tudinho sai das três leis de Newton.
Isso é ótimo! A segunda lei de Newton, então, dá origem a uma quantidade
imensa de relações úteis. É a equação dinâmica da mecânica clássica. Para uma
partícula pontual de massa m, com vetor posição r e sendo atuada por uma
força F, a segunda lei estabelece que
dp
,
dt
F
=
p
= m
onde
dr
dt
é o momentum linear, ou simplesmente momentum, da partícula.
Energia cinética e trabalho
O trabalho exercido pela força F, ao longo de uma trajetória que sai do ponto
A e chega no ponto B, é dado pela integral de linha da força sobre a curva C
da trajetória:
ˆ
WA→B
rB
F · dr,
=
rA
C
onde rA e rB são os vetores posição dos pontos A e B, respectivamente. Essa
integral pode ser parametrizada em termos do tempo t, uma vez que o vetor
posição da partícula, ao longo da trajetória C, do ponto A ao ponto B, é uma
função do tempo. Então, trocamos de variável escrevendo
dr
dr
dt = vdt
dt
=
e trocando os limites de integração para tA e tB , que são os instantes de tempo
em que a partícula, respectivamente, sai do ponto A e chega ao ponto B. Logo,
ˆ
WA→B
tB
dr
dt =
dt
F·
=
tA
C
ˆ
F · vdt,
tA
C
onde
v
dr
dt
=
denota a velocidade instantânea da partícula.
Agora dê uma olhadinha nisto:
F·v
=
1
dp
dt
tB
· v,
pela segunda lei de Newton e, portanto,
F·v
dp
d (mv)
=v·
.
dt
dt
v·
=
Como estamos falando de uma partícula, é natural pensarmos que sua massa
que constante ao longo da passagem do tempo. Então,
d (mv)
dt
= m
dv
dt
e, assim,
F·v
dv
.
dt
= mv ·
Mas, veja só:
v·
dv
dt
=
1
2
dv
dt
2v ·
=
1
dv
dv
v·
+
·v .
2
dt
dt
Pela regra da derivada do produto escalar, sabemos que
d (v · v)
dt
=
v·
dv
dt
dv
dt
=
1 d (v · v)
.
2
dt
+
dv
dt
·v
e, portanto,
v·
Consequentemente, podemos escrever que
F·v
= mv ·
dv
m d (v · v)
=
.
dt
2
dt
Como a massa é constante no tempo, podemos colocar m/2 dentro dos parênteses e car com
F·v
=
d m
v·v .
dt 2
Agora, o produto escalar de dois vetores é dado pelo produto de seus módulos,
multiplicado pelo cosseno do ângulo compreendido entre eles. O ângulo entre o
vetor v e ele mesmo é zero, cujo cosseno é a unidade. Logo,
v·v
2
= |v| .
Assim,
F·v
=
d
dt
2
1
2
m |v|
2
e, portanto,
ˆ
WA→B
ˆ
tB
tB
F · vdt =
=
tA
C
tA
C
d
dt
1
2
m |v| dt.
2
A integral da derivada de uma função é igual ao valor da função e, portanto,
ˆ
WA→B
tB
F · vdt =
=
tA
C
tB
1
1
1
2 2
2
m |v| = m |v (tB )| − m |v (tA )| .
2
2
2
tA
A energia cinética da partícula é denida como
T
1
2
m |v|
2
=
e, com essa denição, podemos escrever o trabalho para a partícula ir do ponto
A até o ponto B como a variação de sua energia cinética ao longo da trajetória,
isto é,
WA→B
TB − TA ,
=
com
TA
=
1
2
m |v (tA )|
2
TB
=
1
2
m |v (tB )| .
2
e
Momentum linear
Da segunda lei de Newton, podemos escrever:
ˆ
ˆ
t2
t2
Fdt =
t1
A quantidade
t1
ˆ
dp
dt = p (t2 ) − p (t1 ) .
dt
t2
Fdt
t1
é chamada de impulso da força F durante o intervalo de tempo entre t1 e t2 .
Logo, o teorema que acabamos de vericar estabelece que a variação do momentum linear é igual ao impulso da força no intervalo de tempo durante o qual
essa variação de momentum ocorre.
3
Momentum angular
O torque da força F, relativamente à origem do sistema de coordenadas, é dado
por
= r × F,
N
onde r é o vetor posição desde a origem até o ponto de aplicação da força F,
isto é, r é o vetor posição da partícula pontual de massa m, medido a partir da
origem. Note que, usando a segunda lei de Newton, o torque também pode ser
escrito assim:
= r×
N
dp
.
dt
Mas, o momentum é denido como
p
= m
dr
dt
e, portanto,
= r×
N
d
dt
m
dr
dt
= mr ×
d
dt
dr
dt
,
já que a massa m é constante. Assim,
d2 r
= m r× 2 .
dt
N
Agora, note a seguinte propriedade:
d
dt
dr
r×
dt
dr
d2 r
dr
×
+r× 2,
dt
dt
dt
=
onde usei a regra da derivada do produto. Como o vetor velocidade da partícula
é paralelo a ele mesmo, segue que
dr
dr
×
dt
dt
= 0.
Assim, concluímos que
d2 r
r× 2
dt
d
dt
=
dr
r×
dt
e, dessa forma,
N
= m
d
dt
r×
dr
dt
=
4
d
dr
r× m
,
dt
dt
isto é,
N
d
(r × p) .
dt
=
Denimos o momentum angular como
L
= r×p
e, portanto, o torque sobre a partícula, relativamente à origem do sistema de coordenadas, é igual à variação temporal do momentum angular relativo à origem:
N
=
dL
.
dt
A forma integral dessa equação ca
ˆ
L (t2 ) − L (t1 )
t2
Ndt.
=
t1
5