Matemática Elementar III – Funções exponenciais
No caso da função exponencial ela é crescente se, e sómente se, a > 1. E descrescente se, e somente se, 0 < a < 1. A demonstração da propriedade não será feita aqui.
TEMA 09
FUNÇÃO EXPONENCIAL
A função exponencial é injetora, pois para
todo par x1 e x2 ∈IR com x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2).
Esta propriedade é decorrência direta da propriedade acima.
Chamamos de funções exponenciais aquelas
nas quais temos a variável aparecendo em
expoente.
Como a base a é maior que zero, temos que
ax > 0 para todo x real. Daqui segue que o
conjunto-imagem da função exponencial é o
conjunto dos números reais positivos,sendo
assim temos que a função exponencial é
sobrejetiva. E portanto a função exponencial e
bijetiva, logo, admite inversa.
Definição: A função f:IR → IR+ definida por
f(x)=ax, com a IR+ e a1, é chamada função
exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é
IR+ (reais, maiores que zero).
Observações e propriedades
A função exponencial é definida somente para
base a positiva, uma vez que se a é negativo,
teremos valores da imagem ax não pertencente
ao conjunto dos números reais. Por exemplo,
para a = −2 e x = 1/2, ax é igual à raiz quadrada de −2, que pertence ao conjunto dos números complexos, contradizendo a definição
da função exponencial.
Sendo o conjunto imagem IR+, conclui-se que
a curva representativa (gráfico) da função está
toda acima do eixo dos x.
Gráfico da Função Exponencial
A função exponencial f:IR → IR+ definida por
f(x)=ax, com a∈IR+ e a ≠ 1 tem como representação gráfica as seguintes curvas:
A base também tem de ser diferente de 1
porque para todo x real teríamos como imagem, sempre, o valor 1, uma vez que 1 elevado a x é igual a 1 para qualquer que seja o x.
Em outras palavras, a imagem seria o conjunto
unitário {1}, o que também contradiz a definição. E a não pode ser zero, pois teríamos
uma indeterminação para x = 0.
Exponencial crescente: base a > 1
A função obtida acima é denominada de função constante, f(x) = c, x real, em que c = 1.
Qualquer que seja a função exponencial,
temos que: para x = 0 => f(0) = a0 = 1. Ou
seja, o par ordenado (0, 1) pertence à função
para todo a no conjunto dos reais positivos
diferente de 1. Isto significa que o gráfico cartesiano da função exponencial corta o eixo y no
ponto de ordenada 1.
Exponencial decrescente: base 0 < a < 1
Definição: Uma função f é dita crescente se
dados x1 < x2 pertencentes ao seu domínio,
então as imagens correspondentes obedecem
à relação f(x1) < f(x2).
Definição: Uma função f é dita descrescente
se x1 < x2 então f(x1) > f(x2).
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