1
p103-p164 :
2
Generalidades sobre funções reais de variável real.
Conceito de
► Ler com atenção.
► Monotonia de uma função
► Dominar os conceitos.
► Função Par e Função Impar.
► Fazer exercícios.
► Função Periódica.
► Função Limitada.
Conceito de
► Função (Aplicação).
► Classificação de funções reais de variável real.
► Correspondência Unívoca.
► Domínio e Contradomínio de uma função.
► Função Sobrejectiva, Injectiva e Bijectiva.
► Identidade, Restrição, e Extensão de uma função.
► Função Composta.
► Função Inversa.
► Operações com funções.
3
Função (Aplicação)
Sejam A e B conjuntos quaisquer e seja f uma relação binária de A
para B . Diz-se que f é uma aplicação de A em B ou uma função
definida em A com valores em B se
O domínio de uma função f : A → B é o conjunto dos objectos x ∈ A
tais que existe y ∈ B correspondente a cada um deles, e representa-se por
Df
1
∀x ∈ A, ∃ y ∈ B : y = f (x)
Note-se que se trata de uma correspondência unívoca definida de A para
B , ou seja, qualquer elemento de A tem correspondente em B e o
correspondente é único.
4
Domínio
∀x ∈ A, ∃1y ∈ B : y = f (x)
Contradomínio
O contradomínio de uma função f : A → B é o subconjunto de B cujos
elementos são as imagens por meio de f dos elementos do domínio, e
representa-se por CDf
Os elementos de A designam-se por objectos.
Os elementos de B designam-se por imagens ou transformados.
O conjunto A designa-se por conjunto de partida ou domínio.
O conjunto B designa-se por conjunto de chegada.
1
5
Função Sobrejectiva
A função f : A → B diz-se sobrejectiva se o contradomínio de f coincide
com o conjunto de chegada, CDf = B , isto é
6
Identidade de funções
Diz-se que duas funções f e g são idênticas se
- Têm o mesmo domínio
∀y ∈ B, ∃x ∈ A : y = f (x)
- Têm o mesmo conjunto de chegada
- f(x) = g(x), ∀x ∈ Df
Função Injectiva
A função f : A → B diz-se injectiva se a objectos diferentes correspondem
imagens diferentes
∀x1 , x2 ∈ Df , x1 ≠ x2 ⇒ f (x1 ) ≠ f (x2 )
Restrição de uma função
Seja f : A → B e C , um subconjunto de A , C ⊂ A . Chama-se
restrição de f a C à função g : C → B tal que
Função Bijectiva
∀x ∈ C , g(x) = f(x)
A função f : A → B diz-se bijectiva se for sobrejectiva e injectiva.
Extensão de uma função
1
Se g : C → B é uma restrição de uma função f : A → B onde C ⊂ A ,
então f diz-se uma extensão, ou prolongamento, de g a A
∀y ∈ B, ∃ x ∈ A : y = f (x)
7
Função Composta
Dadas duas funções quaisquer f e g , chama-se g composta com f , e
representa-se por g o f , ou g(f ) à função assim caracterizada
Exemplo:
8
f : A → B com A = {1,2,3} , B = {1,3,5,7} e f (x) = 2x + 1
g : C → D com C = {− 1,1,3,5} , D = {− 4,4,20,27} e g(x) = x 2 − 5
- O domínio de g o f é o subconjunto do domínio de f
C
-1
constituído pelos elementos cujas imagens pertencem ao domínio
1
de g .
{
Dg o f = x : x ∈ Df ∧ f (x) ∈ Dg
f
}
3
1
- O conjunto de chegada de g o f é o de g .
2
- (g o f )(x) = g [f(x)], ∀x ∈ Dg o f
3
A
Dg o f = {1,2}
g
5
7
-4
D
4
20
27
B
O conjunto de chegada é D
CDg o f = {4,20}
g o f = g [f(x)] = (2x + 1)2 − 5 = 4x 2 + 4x − 4
2
9
Função Inversa
Seja f : A → B uma função injectiva. Chama-se função inversa de f , e
Propriedades da composição e da inversão de funções
10
1. A composição de funções é associativa
Para quaisquer funções f , g , h tem-se: (f o g )o h = f o (g o h)
representa-se por f −1 , a função tal que
2. A composição de funções não é comutativa
- Tem por domínio o contradomínio de f , Df −1 = CDf
Para quaisquer funções f e g , tem-se em geral que: f o g ≠ g o f
- Tem por contradomínio o domínio de f , CDf −1 = Df
Se f o g = g o f , então f e g dizem-se permutáveis.
−1
- y = f (x) ⇔ x = f(y)
3. A aplicação identidade é elemento neutro para a composição de
aplicações, f o I A = I A o f = f .
Só as funções injectivas têm função inversa
4. A composição entre uma função e a sua inversa é a aplicação identidade.
Função Identidade
Chama-se função identidade num conjunto A , e representa-se por I A , a
função que a qualquer elemento de A faz corresponder o próprio
Sendo f : A → B , então f o f −1 = I B e f −1 o f = I A .
5. A inversa da composta de duas funções é igual à composta das inversas
dessas funções, em ordem inversa, (g o f )−1 = f −1 o g −1 .
elemento, ∀x ∈ A, I A (x) = x .
Função Real de Variável Real
11
12
Domínio
Chama-se função real de variável real a qualquer função dum subconjunto
É usual indicar uma função real de variável só pela sua expressão analítica,
de ℜ em ℜ , f : A ⊂ ℜ → ℜ, x → y = f(x)
neste casos convenciona-se que o domínio da função é o maior
subconjunto de ℜ para o qual a expressão analítica é possível (em ℜ ).
É usual usar a variável x para indicar qualquer objecto, e a variável y
para indicar a correspondente imagem. Diz-se que x é a variável
Sendo A(x) e B(x) quaisquer expressões analíticas, indicam-se na tabela
independente e y a variável dependente.
as condições a impor para a determinação do domínio
Expressão
Condição
A(x)
B(x)
B(x) ≠ 0
n A(x),
com n par
A(x) ≥ 0
log a (A(x)), (a > 0, a ≠ 1)
A(x) > 0
A(x)B(x)
A(x) > 0
3
Exemplo:
13
x
Domínio da função real de variável real f(x) = (3 − x )100
+1
14
Contradomínio
No caso geral a determinação do contradomínio de uma função real de
?
variável real implica o
Por definição de potência de expoente real, a base tem de ser positiva.
- Estudo da função: continuidade; assimptotas; monotonia;
3 − x > 0 ⇔ −3 < x < 3
extremos locais; etc.
D = {x ∈ ℜ : −3 < x < 3}
Nos casos mais simples o contradomínio pode ser determinado
Re(f(x))
3
- A partir da definição.
Im(f(x ))
0.4
- A partir do domínio da relação binária inversa.
0.3
2
0.2
1
0.1
0
0
-0.1
-1
-0.2
-2
-3
-5
-0.3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-0.4
-5
5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Exemplo:
15
(f + g)(x) = f(x) + g(x) , Df + g = Df ∩ Dg
2
Subtracção
y = 3 − 52x − x ⇔ 3 − y = 52x − x ⇔ log 5 (3 − y) = 2x − x 2
⇔x=
(f − g)(x) = f(x) − g(x) , Df − g = Df ∩ Dg
2 ± 4 − 4 log 5 (3 − y)
y < 3
⇒
y ≥ 2
2
4
Multiplicação
3
(f × g)(x) = f (x) × g(x) , Df × g = Df ∩ Dg
2
Divisão
(f ÷ g)(x) = f(x) ÷ g(x) , Df ÷ g = Df ∩ Dg ∩ {x ∈ ℜ : g(x) ≠ 0}
1
CDg = [− 2,3 [
16
Adição
2
Determine o contradomínio da função g(x) = 3 − 52x − x .
2
Operações com funções
0
Composição
-1
(f o g)(x) = f (g(x)) ,
-2
-3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
{
Df o g = x ∈ ℜ : x ∈ Dg ∧ g(x) ∈ Df
}
Inversão
y = f −1(x) ⇔ x = f (y) , Df −1 = CDf ,
CDf −1 = Df
4
Exemplo:
17
se x < 1
se x ≥ 1
 x

g(x) =  1

 x2 − 4
18
Uma função r.v.r. diz-se monótona num subconjunto A do seu domínio
Considerando as funções reais de variável real
x − 1

f (x) =  1

x − 2
Monotonia de uma função
se é crescente ou decrescente em A .
se x < 0
se x > 0
Função crescente. f(x) é crescente em A se
caracterize (f ÷ g)(x)
∀x1 , x2 ∈ A : x2 > x1 ⇒ f(x2 ) ≥ f(x1 )
Função estritamente crescente. f(x) é estritamente crescente em A se
∀x1 , x2 ∈ A : x2 > x1 ⇒ f(x2 ) > f(x1 )
Df ÷g = ℜ \ { 0,2}
Função decrescente. f(x) é decrescente em A se
x − 1
se x < 0
 x
 3
f
2
(x) = x − x − 4x + 4 se 0 < x < 1
g
x + 2
se x ≥ 1


∀x1 , x2 ∈ A : x2 > x1 ⇒ f (x2 ) ≤ f (x1 )
Função estritamente decrescente. f(x) é estritamente decrescente em A
se
∀x1 , x2 ∈ A : x2 > x1 ⇒ f (x2 ) < f (x1 )
Função Par e Função Impar
Uma função r.v.r. diz-se uma função par se
19
Função Limitada
20
Seja f(x) uma função r.v.r. e A um subconjunto do seu domínio.
∀x ∈ Df : f (x) = f(−x)
Uma função par é simétrica em relação ao eixo das ordenadas.
Uma função r.v.r. diz-se uma função impar se
f (x) diz-se uma função minorada em A se o conjunto f (A) for
minorado.
∀x ∈ Df : f(x) = −f (−x)
f(x) diz-se uma função majorada em A se o conjunto f(A) for
Uma função impar é anti-simétrica em relação ao eixo das
majorado.
ordenadas.
f (x) diz-se uma função limitada em A se o conjunto f (A) for
limitado.
Função Periódica
Uma função r.v.r. diz-se periódica se existir um T ∈ ℜ \ {0} tal que
∀x ∈ Df : f (x + T ) = f (x)
O menor valor positivo de T diz-se o período fundamental da função.
Chama-se supremo, ínfimo, máximo, e mínimo de f(x) em A , ao
supremo, ínfimo, máximo e mínimo do conjunto f(A) , se existirem.
Se f(x) for limitada em A , chama-se oscilação de f(x) em a A
sup(f (x)) − inf(f (x)) .
A
A
5
21
Classificação de funções reais de variável real
22
1.2 Função Quadrática
f (x) = ax 2 + bx + c
1 Funções Polinomiais
,
a ≠ 0, b, c ∈ ℜ
Uma função r.v.r. diz-se polinomial se a sua expressão analítica é da forma
f (x) = a0 x n + a1x n − 1 + a2x n − 2 + ... + an − 1x + an
a>0
em que a0 , a1 , ... , an são números reais, ditos os coeficientes do
polinómio, e n, n − 1, ... ,1,0 são inteiros não negativos, sendo n o grau do
polinómio.
1.1 Função Afim
f (x) = mx + b
,
y
a, b ∈ ℜ
y − y1
m= 2
x2 − x1
b = y1 − mx1
 b 
f−

 2a 
40
15
20
10
0
5
-20
0
-40
-5
-60
-10
-80
-15
-100
-20
-2
-1
y1
x2
23
4
5
6
-120
-10
7
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Exemplo:
f (x) =
a0 x n + a1x n − 1 + a2 x n − 2 + ... + an − 1x + an
b0 x m + b1x m − 1 + b2 x m − 2 + ... + bm − 1x + bm
analítica é da forma
lim f (x) =
x → −1−
lim f (x) =
a, b, c ≠ 0, d ∈ ℜ
2x
x+1
lim f (x) = lim
2.1 Função Homográfica
Uma função r.v.r. diz-se uma função homográfica se a sua expressão
24
5
4
x → ±∞
,
3
x
da forma
ax + b
cx + d
2
b
Uma função r.v.r. diz-se uma função racional se a sua expressão analítica é
f (x) =
1
b
x=−
2a
2 Funções Racionais
P (x)
0
y2
x1
f (x) = Q(x) =
a<0
20
x → −1+
2
x → ±∞
−2
0−
−2
0+
1+
= +∞
3
1
x
=2
2
1
0
-1
= −∞
-2
-3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
A representação geométrica duma função homográfica é uma Hipérbole
Equilátera com as assimptotas paralelas aos eixos coordenados
6
3 Funções Irracionais
25
Uma função r.v.r. diz-se uma função irracional se na sua expressão analítica
existem operações sobre a variável independente não redutíveis à adição,
subtracção, multiplicação e divisão em número finito.
3.1 Irracionais algébricas
Uma função r.v.r. diz-se uma função irracional algébrica se na sua
expressão analítica as operações sobre a variável independente são apenas as
de adição, subtracção, multiplicação, divisão, potenciação de expoente
inteiro e radiciação em número finito.
Exemplo: f(x) = x + 5 x2 + 1
3.1 Irracionais transcendentes
Uma função r.v.r. diz-se uma função irracional transcendente se não é
algébrica.
Exemplos: f(x) = sen(x) ; f(x) = e x
7