15. Análise Espectral
Para um sinal determinístico x(t), o espectro é bem definido: Se X ( )
representa sua transformada de Fourier, isto é. se

X ( )    x(t )e jt dt ,
então | X ( ) |2 representa seu espectro de energia, que segue do teorema
de Parseval. Como energia do sinal é dada por

 
x (t )dt  21
2

2
|
X
(

)
|
d  E.
 
Assim | X ( ) |2  representa a energia do sinal na banda ( ,    )
como mostra a figura.
2
| X ( )|
X (t )
0
t
0
Energy in ( ,  )

   
1
Para um processo estocástico, uma aplicação direta da fórmula
geraria uma seqüência de variáveis aleatórias para todo . No entanto,
para um processo estocástico, E{| X(t) |2} representa um conjunto de
potências (energia instantânea) para um dado instante de tempo t.
Para obter a distribuição espectral de potência versus freqüência para um
processo estocástico, deve-se evitar intervalos infinitos. Considera-se
intervalos finitos (– T, T ) e define-se formalmente a transformada de
Fourier de um processo X(t) sobre o intervalo (– T, T ), isto é
T
X T ( )   T X (t )e jt dt
Tal que
2
| X T ( ) |2 1 T
 j t

X (t )e dt

T
2T
2T
representa a distribuição de potência associada ao intervalo de tempo
de (– T, T ). Note que a equação representa uma variável aleatória para
todo , cujo valor médio dá distribuição da potência média sobre o
2
intervalo (– T, T ). Assim
 | X T ( ) |2  1 T T
 j ( t1  t2 )
*
PT ( )  E 

E
{
X
(
t
)
X
(
t
)}
e
dt1dt2

1
2

 T  T
 2T
 2T
1 T T
 j ( t1  t2 )

R
(
t
,
t
)
e
dt1dt2
XX
1 2

 T  T
2T
representa a distribuição de potência de X(t) sobre o intervalo (– T, T ).
Para processos estacionários no sentido amplo, a expressão pode ser
simplificada, visto para processos E.S.A. RXX (t1 , t2 )  RXX (t1  t2 )
Então,
1 T T
 j ( t1  t2 )
PT ( ) 
R
(
t

t
)
e
dt1dt2 .
2

 T   T XX 1
2T
Fazendo   t1  t2
1
PT ( ) 
2T
2T
 j
R
(

)
e
(2T  |  |)d
  2T XX
   2T RXX ( )e  j (1  2|T| )d  0
2T
Que é a distribuição de potência de um processo ESA X(t) sobre o
intervalo de tempo (– T, T ). Finalmente fazendo T  
3

S XX ( )  lim PT ( )   RXX ( )e j d  0
Tem-se:
T 
que é a densidade espectral de potência de um processo ESA X(t). Note
que
FT
RXX ( ) 
S XX ( )  0.
isto é, a função autocorrelação e o espectro de potência de um processo
ESA formam um par de transformada de Fourier. Esta relação é
conhecida como Teorema de Wiener-Khinchin. A transformada
inversa dá

1
RXX ( )  2  S XX ( )e j d
e em particular para   0, tem-se
1
2

2
S
(

)
d


R
(0)

E
{|
X
(
t
)
|
}  P,
XX
 XX
the total power.
Isto é, a área sob S XX ( ) representa a potência total do processo X(t),
e assim S XX ( ) representa o espectro de potência do processo ESA4 X(t).
S XX ( )
0
S XX ( )  represents the power
in the band ( ,    )
   

Se X(t) é um processo E.S.A., então RXX ( ) = RXX ( ) tal que

S XX ( )    RXX ( )e  j d

   RXX ( ) cos  d

 2  0 RXX ( ) cos  d  S XX (  )  0
Assim o espectro de potência é uma função par, real e não negativa.
5
Espectro de Potência na Saída de Sistemas LTI
Se um processo E.S.A X(t) com função
h(t)
X(t)
Y(t)
autocorrelação RXX ( )  SXX ( )  0 é
aplicado a um sistema linear com resposta ao impulse h(t), então a
função correlação cruzada RXY ( ) e a função autocorrelação na saída
do sistema RYY ( ) são relacionadas por:
RXY ( )  RXX ( )  h* ( ), RYY ( )  RXX ( )  h* ( )  h( ).
f (t )  F ( ),
Se
Então:
g (t )  G( )
f (t )  g (t )  F ( )G( )

F { f (t )  g (t )}    f (t )  g (t )e jt dt

F { f (t )  g (t )}=  





f ( ) g (t   )d e  j t dt
=   f ( )e
 j
=F ( )G ( ).
d

 
g (t   )e  j ( t  ) d (t   )
6
Assim
pois,
S XY ( )  F {RXX ( )  h* ( )}  S XX ( ) H * ( )

  h ( )e
*
 j
d 


  h(t )e
 j t

*
dt
 H * ( ),

onde,
Portanto
H ( )    h(t )e jt dt
SYY ( )  F {RYY ( )}  S XY ( ) H ( )
 S XX ( ) | H ( ) |2 .
Ruído Branco:
O ruído branco é um processo E.S.A. com
RWW ( )  q ( )

SWW ( )  q.
Assim o ruído tem o espectro plano. Note que o ruído branco é um
processo irrealizável visto que sua potência total é indeterminada.
Se a entrada de um sistema LTI é um ruído branco, então o espectro
saída é dado por:
S ( )  q | H ( ) |2
YY
7
Exemplo 1: Um processo ESA W(t), ruído branco, é passado através
de um filtro passa-baixa (FPB) com largura de faixa B/2. Encontre a
função autocorrelação do processo de saída.
Solução: Seja X(t) o processo de saída do FPB. Se
RWW ( )  q ( )  SWW ( )  q.
q, |  | B / 2
Então
S XX ( )  q | H ( ) |  
.
0, |  | B / 2
E a transformada inversa de S XX ( ) dá a função autocorrelação da saída
2
RXX ( )    B / 2 S XX ( )e j d   q  B / 2 e j d 
sin( B / 2)
 qB
 qB sinc( B / 2)
( B / 2)
B/2
B/2
| H ( )|2
R XX ( )
qB
1
B /2
B/2


8
(a) LPF
(b)
Exemplo 2. Seja
Y (t ) 
1
t T

2T t T
X ( )d
que representa uma operação de suavização usando uma janela móvel
sobre um processo X(t). Encontre o espectro de potência Y(t) em
função de X(t).
h (t )
1 / 2T
Solução: Seja h(t) a resposta ao impulso
de um sistema LTI como mostrado na
t
T
T
figura. A resposta y(t) é dada por:
Tal que
Então

Y (t )    h(t   ) X ( )d  h(t )  X (t )
SYY ( )  S XX ( ) | H ( ) |2 .
T
H ( )   T
1
2T
e jt dt  sinc(T )
SYY ( )  S XX ( ) sinc 2 ( T ).
9
sinc 2 (  T )
S XX ( )


T
SYY ( )


Note que o efeito da operação de suavização no domínio da frequência
suprime as componentes de altas frequências do sinal de entrada.
É equivalente a operação de um filtro passa baixa.
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