Universidade Federal de São Carlos
Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia
Departamento de Matemática
TÓPICOS SOBRE POLÍGONOS
Autor:
Eriem Cortez Marques
Orientador:
Roberto Ribeiro Paterlini
Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso B
Curso:
Licenciatura em Matemática
Professores Responsáveis:
Karina Schiabel Silva
Tomas Edson Barros
Vera Lúcia Carbone
São Carlos, 27 de fevereiro de 2012.
TÓPICOS SOBRE POLÍGONOS
Autor:
Eriem Cortez Marques
Orientador:
Roberto Ribeiro Paterlini
Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso B
Curso:
Licenciatura em Matemática
Professores Responsáveis:
Karina Schiabel Silva
Tomas Edson Barros
Vera Lúcia Carbone
Instituição:
Universidade Federal de São Carlos
Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia
Departamento de Matemática
São Carlos, 27 de fevereiro de 2012.
Aluna: Eriem Cortez Marques
Orientador: Roberto Ribeiro
Paterlini
Agradecimentos
Agradeço primeiramente e principalmente a Deus, pois se não fosse por vontade d'Ele nada
disso seria possível. Ao meu orientador, Roberto Ribeiro Paterlini por ter muita paciência
e dedicação comigo e com meu TCC. Agradeço aos meus pais que sempre estiveram ao
meu lado, me incentivando, me ajudando e apoiando em todos os sentidos possíveis. E por
último, mas não menos importante, agradeço ao meu namorado por me aguentar falando
em seu ouvido, me desesperando com esse semestre que foi intenso.
Resumo
Este trabalho estudará tópicos sobre polígonos. No primeiro capítulo veremos denições,
propriedades e teoremas, que não serão demonstrados pelo fato de alguns desses tópicos
serem vistos no ensino médio e principalmente por serem abordados na disciplina de Geometria Euclidiana.
No segundo capítulo serão vistas considerações importantes sobre
polígonos convexos ou não convexos incluindo denições e teoremas com suas demonstrações. No terceiro capítulo faremos uma abordagem histórica de fórmulas para o cálculo
da área de alguns polígonos, como o triângulo e os quadriláteros. Compararemos estas
fórmulas com as fórmulas exatas que conhecemos hoje e veremos em que casos estas fórmulas históricas são válidas. No quarto capítulo será vista e demonstrada uma fórmula
para o cálculo da área de qualquer polígono que utiliza apenas as coordenadas de seus
vértices. No último capítulo estudaremos a Função Área que denimos para calcular a
área de qualquer polígono.
vii
Sumário
Apresentação
ix
1 Propriedades fundamentais dos polígonos
1
1.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Denições básicas sobre polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3
Propriedades e teoremas básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2 Algumas considerações importantes sobre polígonos
7
3 Fórmulas históricas para o cálculo da área de polígonos
13
3.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2
Fórmulas exatas da área do triângulo, do quadrilátero convexo e do losango
15
3.3
Análise da fórmula de Horo para losangos e trapézios isósceles
. . . . . . .
18
3.4
Análise da fórmula de Horo para quadriláteros convexos . . . . . . . . . . .
20
3.5
A fórmula egípcia para a área de um triângulo . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4 Área de polígonos em função das coordenadas de seus vértices
27
4.1
Fórmula de Gauss para triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.2
Fórmula de Gauss para polígonos
37
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Construção da Função Área
41
5.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.2
Função Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
viii
Sumário
ix
Apresentação
Este trabalho faz parte da disciplina intitulada Trabalho de Conclusão de Curso B, da
grade curricular do curso de Licenciatura em Matemática da UFSCar. O tema geometria
foi escolhido, pois me interesso muito, é uma coisa que está em todo lugar, faz mais parte
da nossa realidade do que imaginamos, e como quero ser professora, ele será de grande
utilidade no futuro.
1
Capítulo 1
Propriedades fundamentais dos
polígonos
1.1 Introdução
A Geometria Euclidiana estuda as guras geométricas abstratas do plano e do espaço.
No plano, a gura mais básica é o polígono. Uma denição provisória de polígono é dizer
que ele é uma linha poligonal fechada sem auto-interseções. Essas guras têm inúmeras
propriedades e aplicações, pois servem de base para a construção e estudo de outras guras
geométricas, do plano e do espaço, mais complexas.
Veremos neste capítulo a denição formal de polígono e suas propriedades fundamentais.
1.2 Denições básicas sobre polígonos
Iniciamos apresentando conceitos e denições relativas a polígonos.
Como é costume na Geometria Euclidiana, denotaremos pontos por letras maiúsculas
do alfabeto latino, como
AB ,
... O segmento de extremidades
A
e
B
será indicado por
assim como seu comprimento.
Denição 1.
com
A, B ,
n≥3,
colineares.
Consideremos uma sequência de
n
pontos
A1 , A2 ,
...,
An
de um plano,
diferentes dois a dois, sendo que quaisquer três pontos consecutivos não são
Consideramos consecutivos também os pontos
An−1 , An
e
A1 ,
assim como
An , A1 e A2 . Chama-se polígono A1 A2 A3 . . .An−1 An à reunião dos segmentos A1 A2 , A2 A3 ,
..., An−1 An e An A1 se estiverem satisfeitas as condições abaixo:
i) os segmentos
A1 A2 , A2 A3 ,
...,
An−1 An
e
An A1
se interceptam, quando o fazem,
apenas em suas extremidades;
ii) dois segmentos quaisquer com a mesma extremidade não pertencem à mesma reta.
2
1. Propriedades fundamentais dos polígonos
Figura 1.1: Exemplos de polígonos
Na Figura 1.1 vemos exemplos de polígonos.
Considerando o polígono
i) os pontos
A1 , A2 , A3 , . . ., An−1 , An
ii) os segmentos
iii)
A1 A2 A3 . . .An−1 An ,
usaremos a seguinte nomenclatura:
são denominados
A1 A2 , A2 A3 , . . ., An−1 An , An A1 ,
vértices
são chamados
do polígono;
lados
∠A1 = ∠An A1 A2 , ∠A2 = ∠A1 A2 A3 , . . ., ∠An = ∠An−1 An A1
gulos
do polígono;
são denominados
ân-
do polígono;
iv) Dois lados que têm um vértice em comum são lados consecutivos;
v) Dois ângulos de um polígono são consecutivos se têm em comum um lado do polígono;
vi) Um polígono de
n
vértices possui
n
lados e
n
ângulos;
vii) A soma dos lados de um polígono é o seu
A1 A2 A3 . . .An−1 An
é
perímetro.
Assim o perímetro de
A1 A2 + A2 A3 + . . . + An−1 An + An A1 .
Os nomes dos polígonos dependem do critério que utilizamos para classicá-los. Se
usarmos o número de ângulos ou o número de lados, teremos a seguinte nomenclatura:
Tabela 1.1: Classicação dos Polígonos
Número de lados
Nome do polígono em
Nome do polígono em
(ou ângulos)
função do número de ângulo função do número de lados
3
triângulo
trilátero
4
quadrângulo
quadrilátero
5
pentágono
pentalátero
6
hexágono
hexalátero
7
heptágono
heptalátero
8
octógono
octolátero
1.2. Denições básicas sobre polígonos
3
9
eneágono
enealátero
10
decágono
decalátero
11
undecágono
undecalátero
12
dodecágono
dodecalátero
15
pentadecágono
pentadecalátero
20
icoságono
icosalátero
Denição 2. Diagonal
de um polígono é um segmento de reta cujas extremidades são
vértices não consecutivos do polígono.
Denição 3.
nos determinados por
pontos de
P = A1 A2 . . . An se diz convexo quando um dos dois semipla←−→ ←−→
←−−−→ ←−−→
cada uma das retas A1 A2 , A2 A3 , ..., An−1 An e An A1 não contém
Um polígono
P.
Se um polígono não é polígono convexo, diremos que ele é um
polígono não convexo.
Esclarecemos que, para nós, um semiplano não contém a reta que é sua origem.
Na Figura 1.2 temos exemplos de um polígono convexo e outro não convexo.
Figura 1.2: Exemplo de polígono convexo (à esquerda) e não convexo (à direita)
Denição 4. Um polígono convexo é dito um polígono regular quando tem todos os lados
congruentes, ou seja, é equilátero, e tem todos os ângulos congruentes, isto é, é equiângulo.
Na Figura 1.3 vemos exemplos de polígonos regulares.
Denição 5.
Um polígono diz-se
inscrito
na circunferência quando todos os seus vértices
pertencem à circunferência.
Denição 6. Um polígono é circunscrito a uma circunferência quando todos os seus lados
são tangentes a ela.
4
1. Propriedades fundamentais dos polígonos
Figura 1.3: A esquerda temos um hexágono regular e a direita temos um eneágono regular
1.3 Propriedades e teoremas básicos
Teorema 1.1. Dividindo-se uma circunferência em n, com
n > 3, arcos congruentes
temos:
1) todas as cordas determinadas por dois pontos de divisão consecutivos, reunidas,
formam um polígono regular, de n lados, inscrito na circunferência;
2) as tangentes traçadas pelos pontos de divisão determinam um polígono regular, de
n lados, circunscrito à circunferência.
Teorema 1.2. Em todo polígono regular é sempre possível inscrever ou circunscrever uma
circunferência, e ambas têm o mesmo centro.
Denição 7. Centro de um polígono regular
é o centro comum das circunferências cir-
cunscrita e inscrita.
Denição 8.
Um ângulo é dito
cêntrico
quando tem o vértice no centro e lados passando
por vértices consecutivos do polígono.
Denição 9.
Em um polígono regular o
apótema
é o segmento com uma extremidade
no centro e outra no ponto médio de um lado. Este apótema é o raio da circunferência
inscrita no polígono.
Propriedade 1.3.
portanto:
Os ângulos internos (∠Ai ) de um polígono regular são congruentes,
(n − 2)1800
n
Todos os ângulos cêntricos (ac ) de um polígono regular são congruenm(∠Ai ) =
Propriedade 1.4.
tes, então a medida de cada um deles é dada por:
ac =
Propriedade 1.5.
O número de diagonais
dado por:
d=
3600
n
d
de um polígono de
n(n − 3)
2
n
lados, com
n > 3,
é
1.3. Propriedades e teoremas básicos
5
Teorema 1.6. Num polígono, um lado é menor que a soma dos outros.
Na Geometria Elementar costuma-se denir uma região triangular como a união de um
triângulo com seu interior, e uma região poligonal como a união de regiões triangulares,
obedecendo às condições:
i) a quantidade de regiões triangulares é nita;
ii) se duas regiões triangulares se intersectam, a interseção é um lado ou um vértice
das duas regiões triangulares;
Na Figura 1.4 temos exemplos de uma região triangular e uma poligonal.
Figura 1.4: Exemplo de uma região triangular (à esquerda) e uma região poligonal (à
direita).
Admitiremos os seguintes axiomas sobre áreas:
A1 )
Toda região poligonal está associada a um único número real positivo, que é chamado
área dessa região.
A2 )
Duas regiões triangulares determinadas por triângulos congruentes têm a mesma
área.
A3 )
Se duas regiões poligonais se intersectam apenas em lados ou vértices (ou se a
interseção é vazia) então a área da união dessas regiões é a soma das áreas de cada
uma.
A4 )
A área do quadrado de lado
a
é
a2 .
Admitiremos que valem as fórmulas das áreas das guras planas estudadas na Geometria Elementar.
Vamos provar no Capítulo 2 que todo polígono pode ser decomposto em triângulos
nas condições acima, de modo que a todo polígono está associado uma área.
Isto está
feito no Teorema 2.2, na página 8.
Provaremos no Capítulo 5 que essa área não depende da decomposição do polígono
em triângulos.
Proposição 1.7. A área de um polígono regular é a metade do produto do perímetro pelo
apótema.
7
Capítulo 2
Algumas considerações importantes
sobre polígonos
Teorema 2.1. Um polígono
P determina no plano dois conjuntos disjuntos Pi e Pe ,
denominados respectivamente interior e exterior de P , de modo que Pi é limitado e o
plano é a reunião de P , Pi e Pe .
Demonstração.
Seja
1)
Polígonos convexos
P = A 1 A 2 . . . An
um polígono convexo.
o semiplano determinado por
determinado por
←−−→
An A1
←−−−→
Aj Aj+1
que contém
que contém pontos de
Pi =
n
∩
1 ≤ j ≤ n − 1, seja Hj
pontos de P , e Hn o semiplano
Para todo
P.
Anotamos
Hj
j=1
Vemos que
Pi
é não vazio, pois todo
Hj
contém o interior do triângulo
A1 A2 A3 .
Também é convexo (no sentido de conjunto), pois é a interseção de conjuntos convexos (os semiplanos
Hj ).
Se xarmos um ponto
P
do interior de
P
e denirmos
Aj , 1 ≤ j ≤ n, então Pi está
contido na circunferência de centro P e raio r . Assim Pi é um conjunto limitado.
Denimos Pe como o complementar de P ∪ Pi no plano.
r
o número
2)
como a maior das distâncias entre
P
e
Polígonos quaisquer
Para polígonos quaisquer, a demonstração pode ser obtida nas páginas 281 e seguintes de [11]
Denição 10.
Seja
P
um polígono. A reunião
P ∪ Pi
chama-se
região determinada por P .
8
2. Algumas considerações importantes sobre polígonos
Denição 11.
denomina-se
P
um polígono. Um segmento que liga dois vértices não consecutivos
diagonal.
Se uma diagonal, com exceção de seus extremos, estiver contida no
Seja
P , chama-se diagonal interior de P . Uma triangulação de P é uma coleção de
triângulos cujos lados são lados de P ou diagonais interiores, de modo que esses triângulos,
quando se interceptam, o fazem em lados comuns ou em vértices de P , e a reunião desses
triângulos e seus interiores é a região determinada por P .
interior de
Na Figura 2.1 temos duas triangulações de um mesmo polígono, traçando diagonais
interiores de duas maneiras.
Figura 2.1: Triangulações de um polígono.
Teorema 2.2. Todo polígono P admite uma triangulação.
Demonstração.
Seja
i)
Polígonos convexos
P = A1 A2 . . . An
o semiplano determinado por
determinado por
A1 An−1
1 ≤ j ≤ n − 1, seja Hj
que contém pontos de P , e Hn o semiplano
pontos de P . As diagonais A1 A3 , A1 A4 , ...,
um polígono convexo.
←−−→
An A1
←−−−→
Aj Aj+1
que contém
Para todo
estão, com exceção de seus extremos, contidas em todos esses semiplanos,
logo são diagonais interiores.
Consideremos os triângulos
∆1 = A1 A2 A3 , ∆2 =
∆n−2 = A1 An−1 An . O polígono P está contido na reunião desses
triângulos, e o interior de P está contido na reunião dos interiores desses triângulos
e dos lados que estão no interior de P . Portanto ∆j , 1 ≤ j ≤ n − 2, formam uma
triangulação de P .
A1 A3 A4 ,
ii)
...,
Polígonos quaisquer
Suponhamos que o teorema não seja verdadeiro, então podemos obter um polígono
G,
de
n
lados, e este não pode ser decomposto em triângulos como no enunciado.
Escolhemos
intercepte
polígono
B.
G
G
G
de modo que
n
seja o menor possível. Tomamos uma reta
e que não seja paralela a nenhum lado. Chamamos de
localizado à menor distância de
Teremos dois casos possíveis.
r.
Sejam
A
e
C
B
r
que não
o vértice do
os vértices adjacentes a
2. Algumas considerações importantes sobre polígonos
.
....
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
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...
....
.
A
.....
..........
.... ..............
...... .. .......
....
.......
..
......
....
.......
...... .... .......
.
....
.
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....... ..........
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....
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......
... ....
.
......
...
......
.. ...
......
......
... ....
......
...
......
.
.
.
.
......
...... .......
...... ...
...
B
C
9
r
Figura 2.2: Figura para o primeiro caso da demonstração.
1o
caso:
A, B e C
ABC .
são os únicos vértices de
G 0 , obtido
n − 1 lados.
Neste caso o polígono
BC
por
AC ,
tem
G
que estão contidos na região triangular
do polígono
G,
substituindo-se os lados
AB
e
n é o menor número de lados para qual o teorema não
0
vale, então G pode ser decomposto em triângulos adjacentes. Juntando a G o
triângulo ABC , obtemos uma decomposição de G em triângulos justapostos.
Como destacamos acima
0
Isto contradiz o que assumimos inicialmente e conclui a demonstração deste
caso.
2o
caso: O triângulo
ABC
contém outros vértices do polígono
G
de
A, B
e
C.
A
G'
D
B
G"
C
Figura 2.3: Polígono
G.
Dentre estes vértices contidos no triângulo
lado
AC
ABC ,
seja
D
o mais distante do
(se houver mais de um, escolhemos um deles). Assim a diagonal
BD
G fora de B e D. Este segmento divide G em
0
dois polígonos adjacentes G e G”, os dois com o número de lados menores
0
que o de G . Este teorema vale então, para G e G”, que se decompõem em
não intercepta nenhum lado de
triângulos adjacentes. Unindo essas decomposições temos uma decomposição
para
G.
Absurdo! Isto demonstra o segundo caso.
Teorema 2.3. Seja P um polígono de n lados. Em qualquer triangulação de P , o número
de triângulos é n − 2 e o número de diagonais é n − 3.
10
2. Algumas considerações importantes sobre polígonos
Demonstração.
Suponha que teorema seja falso e considere
P
um polígono com o menor
P decompõe-se traçando
d diagonais internas, em t triângulos adjacentes, com d6=n − 3 ou t6=n − 2. Tomemos
0
uma dessas diagonais. Ela decompõe P em dois polígonos adjacentes P e P”, com
0
respectivamente n e n” lados.
0
0
Como n < n e n” < n, o teorema se aplica para P e P” com o número correto de
0
0
triângulos e diagonais. Levando em conta que n = n + n” −2, que t = t + t” e que
d = d0 + d” +1 as relações t0 = n0 − 2, d0 = n0 − 3, t” = n” −2 e d” = n” −3 implicam
que t = n − 2 e d = n − 3. Absurdo! Logo provamos o teorema.
número
n
de lados para qual o teorema não seja válido. Então
Denição 12.
P = A1 A2 . . . An um polígono. A medida interna do ângulo ∠Aj é a
medida euclidiana x de ∠Aj−1 Aj Aj+1 se o interior desse ângulo intercepta o interior de
P . Caso contrário, dizemos que essa medida é 360 − x.
Seja
A, B e C , entendemos por medida euclidiana de
0 < x < 180, dado pelos axiomas euclidianos (vide, por
Dados três pontos não colineares
∠ABC x
ao número
tal que
exemplo, [1], páginas 29 a 33).
Teorema 2.4. A soma das medidas internas dos ângulos de qualquer polígono de n lados
é igual a (n − 2)180o .
Demonstração.
P = A1 A2 . . . An um polígono com n lados. Pelos Teoremas 2 e 3
P admite uma triangulação com n − 2 triângulos. Notemos que a medida interna de
∠Aj é a soma das medidas dos ângulos do vértice Aj dos triângulos que têm Aj como
Seja
vértice. Notemos também que todo vértice de qualquer triângulo dessa triangulação é um
vértice do polígono. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é
180◦ ,
segue o
resultado.
Denição 13.
Um
ângulo externo
de um vértice de um polígono é formado por um lado
P = A 1 A 2 . . . An
−−−−→
um polígono. Dado um vértice Aj , com 1 ≤ j ≤ n, seja Bj um ponto da semirreta Aj−1 Aj
tal que Aj está entre Aj−1 e Bj . Então ∠Bj Aj Aj+1 denomina-se ângulo externo do
polígono correspondente ao vértice Aj . Nesta notação, se j = 1 então j − 1 signica n,
e se j = n, j + 1 signica 1. Seja x a medida euclidiana de ∠Bj Aj Aj+1 . Denimos a
medida algébrica do ângulo externo do polígono correspondente ao vértice Aj por x se o
interior do ângulo ∠Aj−1 Aj Aj+1 intercepta o interior de P . Caso contrário, dizemos que
essa medida é −x.
do polígono e o prolongamento do lado adjacente. Mais exatamente, seja
Observamos que os ângulos externos (∠Bi ) de um polígono regular são congruentes, e
m(∠Bi ) =
3600
n
Teorema 2.5. A soma algébrica das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono
é igual a 360o .
2. Algumas considerações importantes sobre polígonos
Demonstração.
11
Notemos que em um vértice de um polígono qualquer, a soma da medida
180o .
interna do ângulo com a medida algébrica do ângulo externo é
n lados.
S + (n − 2)180 = n180o
Seja
S
a soma dos
ângulos externos de um polígono de
Sabemos que a soma dos ângulos internos é
(n − 2)180
e daí
o
. Então
o
S = 360o .
Eventualmente usaremos a nomenclatura seguinte:
Denição 14. Um vértice Aj de um polígono qualquer é dito saliente se a medida interna
de
∠Aj
interna
< 180o . Um vértice Aj
o
de ∠Aj é > 180 .
é
de um polígono qualquer é dito
reentrante
se a medida
Para encerrar este Capítulo vejamos uma propriedade que usaremos mais adiante.
Teorema 2.6. Seja P
= A1 A2 . . . An um polígono. Qualquer triangulação de P tem um
triângulo com dois lados coincidindo com lados adjacentes do polígono.
Demonstração.
An A2
Seja
P = A1 A2 . . . An
um polígono munido de uma triangulação.
faz parte da triangulação, terminamos. Caso contrário,
diagonal da triangulação, digamos
3 ≤ j1 ≤ n − 1.
Se
j1 = 3,
Seja
terminamos.
diagonal da triangulação, digamos
4 ≤ j2 ≤ j1 .
A1 Aj .
A2 Aj .
j1
o menor
j
Caso contrário,
Seja
j2
o menor
j
A1
Se
é ponto extremo de uma
com essa propriedade. Temos
A2
é ponto extremo de uma
com essa propriedade. Temos
j2 = 4, terminamos. Caso contrário prosseguimos e encontramos uma
sequência decrescente j1 , j2 , j3 , ... tal que, para todo k ≥ 1, k + 2 ≤ jk e Ak Ajk faz parte
da triangulação, parando quando encontrarmos um k tal que jk = k + 2, o que ocorrerá
após uma quantidade nita de passos. Então Ak Ak+1 Ak+2 faz parte da triangulação, e
Se
terminamos a demonstração.
12
2. Algumas considerações importantes sobre polígonos
13
Capítulo 3
Fórmulas históricas para o cálculo da
área de polígonos
3.1 Introdução
Discutiremos neste Capítulo, a antiga fórmula egípcia para o cálculo da área de um
quadrilátero qualquer, dada por
A=
em que
a, b, c
e
d
(a + c) (b + d)
2
2
(3.1)
são as medidas dos lados consecutivos do quadrilátero.
Sabemos que, apesar de ser incorreta, os egípcios usavam essa fórmula conforme inscrições encontradas nas paredes do templo de Horo, em Edfu, após
Rhind.
15
séculos ao papiro
Ela pode nos dar alguma idéia de como eram calculadas as áreas de terrenos
irregulares no Egito naqueles tempos. Estas inscrições se referiam a lotes de terras doadas ao templo. No caso de lotes com formato de quadriláteros, que lá era maioria, eles
multiplicavam as médias aritméticas dos dois pares de lados opostos, o que corresponde à
formula acima. Essas mesmas inscrições, segundo nos relata [10], atestam que uma forma
que usavam para calcular a área de um triângulo era derivada desta mesma fórmula, na
qual se fazia um dos valores igual a zero.
Não há como ter conclusões precisas devido à escassez de documentos daquela época.
Provavelmente os egípcios tinham receitas para calcular áreas de algumas guras planas
como o retângulo, o triângulo e o trapézio. No caso de um triângulo, multiplicavam um
número pela metade de outro, mas não se sabe, se um desses números era a medida da
altura ou de um segundo lado. No entanto, no problema
51
do papiro de Rhind, o mais
importante documento remanescente da matemática egípcia, e que remonta ao ano 1650
a.C., a área de um triângulo isósceles é calculada acertadamente, inclusive justicando-se
que ele se decompõe em dois triângulos retângulos que podem ser reajuntados de modo a
formar um retângulo.
Segundo opina [5], essa fórmula possivelmente era usada por cobradores de impostos
14
3. Fórmulas históricas para o cálculo da área de polígonos
do faraó Sesóstris. A terra a ser cultivada era dividida entre os agricultores de modo a dar
a cada um deles um lote quadrado de igual tamanho e impondo-lhes o pagamento de um
tributo anual. Mas, devido às cheias do Rio Nilo, esses lotes podiam sofrer modicações.
Então o lote era novamente medido, e o tributo cobrado de acordo com sua nova área.
Por mais que não sejam cálculos exatamente corretos há vestígios de que eles vêm
sendo usados com frequência ao longo dos séculos. Seu uso ocorreu entre os babilônios
antigos, por volta de
3100
a.C., e atualmente ambos são utilizados em alguns pontos do
interior do Brasil, como Campinas do Sul-RS, por agricultores.
Foi descrito também,
conforme relata [5], que a fórmula do quadrilátero é usada por integrantes do Movimento
dos Trabalhadores Rurais do Rio Grande do Sul, e assim como em localidades do interior
de São Paulo e do Paraná.
Observamos que se existem vestígios de que os babilônios usavam a fórmula 3.1, o
autor [6] relata que eles conheciam, por volta de 2000 a. C., fórmulas corretas para as
áreas de retângulos, trapézio retângulo e triângulos quaisquer.
A fórmula incorreta dos egípcios possivelmente foi derivada da percepção de se obter
a área de um quadrilátero a partir de seus dados mais simples, que são os lados. Veremos
que essa fórmula só funciona para alguns casos especiais.
Observamos que existem fórmulas hoje conhecidas para a área de um quadrilátero
qualquer. Com as notações da Figura 3.1, valem as seguintes fórmulas para a área
A
do
quadrilátero:
C .....................................b........................................ B
..
........
..... ...
... .........
..... ....
.....
...
.....
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..... .....
................
................
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................
................
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..... ....
................
..... ...
................
.
................
................ ..............
......................
......
θ
a
q
A
p
c
d
D
Figura 3.1: Figura de um quadrilátero convexo.
A=
√
ou
A=
em que
s
1√ 2 2
4p q − (b2 + d2 − a2 − c2 )2
4
1
(s − a)(s − b)(s − c)(s − d) − (ac + bd + pq)(ac + bd − pq)
4
(3.2)
(3.3)
é o semiperímetro do quadrilátero.
Observe que essas duas fórmulas envolvem apenas segmentos do quadrilátero, o que,
de certo modo, é o que os egípcios queriam.
Se forem usados apenas os lados, só con-
3.2. Fórmulas exatas da área do triângulo, do quadrilátero convexo e do
losango
15
seguimos uma fórmula para os quadriláteros cíclicos, ou seja, para os quadriláteros que
são inscritíveis em uma circunferência. Essa fórmula, conhecida pelo matemático hindu
Bramagupta (c. 628), é
A=
em que novamente
s
√
(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)
(3.4)
é o semiperímetro do quadrilátero.
Se pudermos usar ângulos, temos as fórmulas
e
1
A = pq sen θ
2
(3.5)
1
A = (b2 + d2 − a2 − c2 ) sen θ
4
(3.6)
√
e
A=
(
(s − a)(s − b)(s − c)(s − d) −
abcd cos2
A+C
2
)
(3.7)
A última fórmula foi dada pelo matemático hindu Mahavira (c. 850).
Nos itens a seguir denominarei as fórmulas inexatas para a área de um quadrilátero e
a área de um triângulo, que mencionei anteriormente, como fórmulas egípcias ou fórmulas
do templo de Horo.
3.2 Fórmulas exatas da área do triângulo, do quadrilátero convexo e do losango
Para comparar a fórmula de Horo com o valor correto, usaremos algumas fórmulas exatas
atuais, que veremos nesta seção.
Conhecemos bem a fórmula da área do triângulo como sendo o semiproduto da base
pela altura. Expressaremos esta área como função de dois lados e o ângulo formado por
eles.
Seja
ABC
um triângulo de vértices
relação ao lado
AC .
A, B
Indiquemos a área do
C , e seja H o pé da altura do triângulo em
triângulo ABC por área(ABC).
e
Considerando a Figura 3.2 temos:
área(ABC)
Mas
sen  =
BH
AB
e portanto
=
AC · BH
2
BH = AB sen Â
Logo
área(ABC)
=
AB · AC sen Â
2
(3.8)
16
3. Fórmulas históricas para o cálculo da área de polígonos
H
A ................................................................................................................................................................................................................... C
...
....
....
...
.....
...
...
.....
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... ..
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... .. ........
... ... ......
..........
..
B
Figura 3.2: Figura para ilustração do cálculo da área do triângulo em função de um lado
e um ângulo.
Pode-se mostrar que esta fórmula vale mesmo que o ângulo
Â
seja reto ou obtuso.
Além disso, para cada par de lados vale uma fórmula análoga, bastando mudar as letras
ciclicamente.
Desta fórmula pode-se concluir que de todos os triângulos que têm dois lados de
comprimentos dados, o de maior área é aquele em que esses dois lados formam um ângulo
reto.
AB e AC na fórmula
sen  = 1 ou m(∠A) = 90o .
De fato, se xarmos
corresponde a
(3.8), o valor máximo de área(ABC)
Vejamos agora uma fórmula exata para a área do quadrilátero.
quadrilátero de lados
a, b , c
e
d
Seja
ABCD
um
de acordo com a Figura 3.3.
B ....................................b........................................ C
.
........
..... ...
... .........
..... .....
..... (II) ........
...
...
.....
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................
..... ..
................
..... ...
................
................
.... ..
................
................ ..............
......................
......
a
(I)
M
(III)
c
(IV )
A
d
D
Figura 3.3: Figura de um quadrilátero convexo.
Indiquemos por
M
(I), (II), (III)
AM B , BM C , CM D e DM A.
a interseção das diagonais e por
vamente, as áreas dos triângulos
e
(IV ),
respecti-
Utilizando a fórmula (3.8) temos:
1
1
1
1
ab sen B̂ + bc sen Ĉ + cd sen D̂ + da sen A =
2
2
2
2
= [(I) + (II)] + [(II) + (III)] + [(III) + (IV )] + [(IV ) + (I)] = 2a(ABCD)
3.2. Fórmulas exatas da área do triângulo, do quadrilátero convexo e do
losango
17
onde área(ABCD), indica a área do quadrilátero
área(ABCD)
ABCD.
Logo
1
= [ab sen B̂ + bc sen Ĉ + cd sen D̂ + da sen Â]
4
(3.9)
Temos que a partir da fórmula (3.9) podemos obter a fórmula da área de qualquer
quadrilátero convexo. Vejamos como obtemos a área do losango.
Sabemos que num losango todos os lados tem a mesma medida, que dois ângulos
opostos são congruentes e que dois ângulos consecutivos são suplementares. Considerando
sen(1800 − Â) = sen Â, para todo ângulo Â, então todos os ângulos do losango ABCD
têm o seno igual ao do ângulo Â, de acordo com a gura; assim, indicando por a a medida
comum dos lados ABCD , temos que
que
área(ABCD)
1
= (a2 sen  + a2 sen  + a2 sen  + a2 sen Â) = a2 sen Â
4
B
.........
...... .. ......
...... .... ...........
......
......
..
......
......
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.........................................................................................................................................................................................................................................
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......
......
..
......
......
...... .... ...........
..............
....
a
A
a
M
a
C
a
D
Figura 3.4: Figura de um losango.
Sabemos que
sen  = 2 sen
Â
Â
cos ,
2
2
com isto a fórmula anterior torna-se
área(ABCD)
= 2a2 sen
Mas, indicando-se as medidas das diagonais
AC
Â
Â
cos
2
2
e
BD
por
d1
temos
sen
Â
d2
=
2
2a
e cos
Â
d1
=
2
2a
Substituindo-se essas relações na igualdade anterior obtém-se
área(ABCD)
= 2a2
d2 d1
1
. = (d1 d2 )
2a 2a
2
e
d2 ,
respectivamente,
18
3. Fórmulas históricas para o cálculo da área de polígonos
3.3 Análise da fórmula de Horo para losangos e trapézios isósceles
Considerando a gura e notação da sessão anterior, temos
área(ABCD)
= a2 sen Â
A fórmula do tempo de Horo para a área deste losango,
área
∗
(ABCD)
que indicaremos por
é
área
∗
(ABCD) =
(a + a) (a + a)
= a2
2
2
Observe que
área(ABCD)
6 área∗ (ABCD)
Pois, para que
a2 = a2 sen Â
é necessário que
sen  = 1,
logo
m(∠A) = 900 .
Portanto a fórmula de Horo é válida
somente se o losango em questão é um quadrado.
Podemos chegar a esta conclusão de uma outra maneira.
Suponhamos
d1 > d2
e consideremos
E(ABCD) = área∗ (ABCD) − área(ABCD) = a2 −
d1 d2
,
2
como sendo o erro absoluto referente ao uso da fórmula do templo de Horo no cálculo da
área do losango.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo
ABM
temos que
d21 d22
a =
+
4
4
2
Substituindo a expressão acima na fórmula do erro absoluto chegamos a:
E(ABCD) =
d1 d2
1
d21 d22 d1 d2
+
−
= ( − )2 = (d1 − d2 )2
4
4
2
2
2
4
Portanto o erro cometido ao usar a fórmula do templo de Horo para obter a área do
losango é bem grande se a diferença entre as diagonais
d1
e
d2
for grande e bem pequeno
d1 xo. Então E → 0
quadrado) e E → +∞ quando
se a diferença entre essas diagonais for pequena. Assim, imaginemos
d2 → d1 (ou seja, quando o losango tende a um
d2 → +∞ (isto é, quando o losango vai se tornando cada
quando
vez mais alongado).
Vimos que para o losango a fórmula de Horo é verdadeira, pelo menos no quadrado.
Será que é possível usá-la com acerto no trapézio isósceles?
3.3. Análise da fórmula de Horo para losangos e trapézios isósceles
Tomemos um trapézio isósceles e seja área(ABCD) a sua área e área
∗
19
(ABCD)
a
expressão da fórmula egípcia para ele.
A.....................................a
.........................................B
.
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...................................................................................................................................................
b
b
D
..
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
h
C
c
Figura 3.5: Figura de um trapézio isósceles.
Suas bases serão
a
e
c, b
área
as laterais e
∗
(ABCD) =
h
a sua altura, conforme a gura. Então temos:
(a + c) (b + b)
b(a + c)
=
2
2
2
e
h(a + c)
2
∗
área (ABCD) > área(ABCD).
área(ABCD)
Como
b > h,
Exemplo 3.1.
então
=
Consideremos todos os trapézios isósceles, em que são satisfeitas as con-
dições:
•
base maior
b
e base menor
a
(xas)
• b>a
•
medida das laterais
•
seja
θ
o ângulo formado por uma lateral e a base maior.
•
seja
y
a altura do trapézio.
Então
x>
b−a
2
y = x sen θ
a
...........................................................................
.....
...
... ...
...
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... ..
...
.. ...
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.................................................................................................................................................
y
x
x
θ
b
Figura 3.6: Figura 2 de um trapézio isósceles.
Usando as notações anteriores, temos:
área(ABCD)
=
(a + b)x sen θ
2
20
3. Fórmulas históricas para o cálculo da área de polígonos
e
∗
área (ABCD)
=
(a + b) (x + x)
(a + b)
=
x
2
2
2
Utilizando a fórmula do erro relativo no exemplo em questão, temos que o erro de
quando se aplica a fórmula de Horo é:
E(ABCD) =
∗
área (ABCD)
− área(ABCD)
área(ABCD)
(a + b)
(a + b)x sen θ
x−
2
2
E(ABCD) =
(a + b)x sen θ
2
E(ABCD) = (
(a + b)
2
(1 − sen θ))
2
(a + b) sen θ
E(ABCD) =
1 − sen θ
1
=
−1
sen θ
sen θ
Derivando o erro relativo temos:
E 0 (ABCD) =
e portanto esse erro decresce no intervalo
Então
E→0
quando
θ→
π
e
2
E → +∞
− cos θ
sen2 θ
(0, π2 )
quando
θ→0
Ou seja, quando o trapézio tende à um retângulo , cando cada vez mais alongado, o
erro relativo tende a
0
e quando os trapézios vão cando achatados, o erro tende a
+∞
3.4 Análise da fórmula de Horo para quadriláteros convexos
ABCD. Sabemos que as
0
menores que 180 e assim valem
Tomemos um quadrilátero convexo
internos são maiores que
0
0
e
medidas de seus ângulos
para os senos respectivos
as seguintes relações:
0 < sen Â, sen B̂, sen Ĉ, sen D̂ 6 1
Disto temos:
área(ABCD)
1
1
= (ab sen B̂ + bc sen Ĉ + cd sen D̂ + da sen Â) 6 (ab + bc + cd + da)
4
4
1
a+cb+d
= [b(a + c) + d(a + c)] =
= área∗ (ABCD)
4
2
2
3.4. Análise da fórmula de Horo para quadriláteros convexos
Daí área(ABCD)
6
área
∗
(ABCD)
21
e concluímos que o valor correto da área do qua-
drilátero vai ser sempre menor ou igual ao valor encontrado com a fórmula do templo de
Horo.
ABCD um
área(ABCD), então
Seja
quadrilátero
convexo
e
suponhamos
∗
área (ABCD)
que
=
1
1
(a + c)(b + d) = (ab sen B̂ + bc sen Ĉ + cd sen D̂ + da sen Â)
4
4
Daí,
ab + da + bc + cd = ab sen B̂ + bc sen Ĉ + cd sen D̂ + da sen Â
e então
ab(1 − sen B̂) + ad(1 − sen Â) + bc(1 − sen Ĉ) + cd(1 − sen D̂) = 0
Como as parcelas dessa soma não são negativas, e sabemos que
ab, bc, cd
e
da
são
números reais positivos, então
1 − sen B̂ = 1 − sen  = 1 − sen Ĉ = 1 − sen D̂ = 0
Logo
sen  = sen B̂ = sen Ĉ = sen D̂ = 1
Com isso concluímos que
∠A, ∠B, ∠C, ∠D são retos e portanto ABCD é um retângulo.
Reciprocamente, vamos supor que
ABCD seja um retângulo e mostremos que podemos
calcular sua área corretamente pela fórmula egípcia.
Se
ABCD
é um retângulo, sua área é
a(ABCD) = ab,
onde
a
é a base e
b
é a altura.
Entretanto
área(ABCD)
= ab =
2a2b
(a + a)(b + b)
(a + a) (b + b)
4ab
=
=
=
= área∗ (ABCD)
4
4
4
2
2
b
......................................................................................................................................................................................
...
....
....
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..................................................................................................................................................................................
a
Figura 3.7: Figura de um retângulo.
Concluímos então que a fórmula do templo de Horo para o cálculo da área de um
quadrilátero convexo está correta se, e somente se esse quadrilátero é retângulo.
22
3. Fórmulas históricas para o cálculo da área de polígonos
3.5 A fórmula egípcia para a área de um triângulo
Será que podemos deduzir a fórmula encontrada no templo de Horo para triângulos à
partir da fórmula encontrada para quadriláteros? Ou seja, está correto fazer
d=0
na
fórmula dos quadriláteros para obter a área do triângulo.
E
.....
....... ..
.......
...
.......
.
.
.
.
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.
.
..
...
.......
.......
..
.......
...
.....
.
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........................................................................................................................................................
...
........ ....
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.
.........
.
...
........
...
.........
...
.. ..........
............. ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ......
c
A
B
b
a
D
C
Figura 3.8: Triângulo de base
De acordo com a gura, consideremos o triângulo
a, b
e
b.
ABC ,
cujas medidas dos lados são
c.
C a reta paralela a AB e por B a reta paralela a AC , formando o
paralelogramo ABCD . Após feito isso, prolonguemos o segmento de reta BD e tracemos
a reta paralela a BC por A, formando outro paralelogramo, AEBC , então temos:
Tracemos por
área
∗ (ABDC) =
∗
área (AEBC)
Com isso, a fórmula que se
ab (ABC)
2a2b
= ab
4
(b + 2b)(a + c)
3b(a + c)
=
4
4
deduz para o triângulo ABC , e
∗
área (AEDC)
∗
=
2b2c
= bc
4
=
que indicaremos por
é:
áreab
∗
(ABC) = área∗ (ABDC) + área∗ (AEBC) − área∗ (AEDC) =
= bc + ab −
=
3ba + 3bc
4bc + 4ba − 3ba − 3bc
=
=
4
4
ba + bc
b(a + c)
(a + c) b
=
=
4
4
2 2
Este raciocínio foi desenvolvido a partir do lado de medida
b (que chamaremos de base
relativa do triângulo) e também pode ser desenvolvido se tomarmos os outros lados como
base relativa.
3.5. A fórmula egípcia para a área de um triângulo
23
a:
Para a base de medida
áreaa
(ABC) =
(b + c) a
2 2
(ABC) =
(a + b) c
2 2
∗
c:
Para a base de medida
áreac
∗
Portanto, podemos deduzir a fórmula do templo de Horo para triângulo da fórmula
para quadriláteros. Além disso, obtemos três fórmulas diferentes para o cálculos das áreas
e estas nunca levam a resultados corretos, e mostraremos isso a seguir:
Comparação entre as fórmulas para a área do triângulo
Tomemos o triãngulo:
A
......
..... .....
... .....
... .. .........
.
.
.....
.. ..
.....
...
.....
...
..
.....
...
.....
..
...
.....
.
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.....
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..
.....
.
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.....
..
.
.
.
..
.
...........................................................................................................................................................................................
b
h
c
a
C
B
Figura 3.9: Triângulo
ABC .
Sua área é:
área(ABC)
Mas
h6b
e
h 6 c,
=
ah
ah ah
=
+
2
4
4
a igualdade vale no máximo uma vez.
Logo
área(ABC)
<
ab ac
a(b + c)
(b + c) a
+
=
=
= áreaa ∗ (ABC),
4
4
4
2 2
ou seja,
área(ABC)
< áreaa ∗ (ABC)
Analogamente se demonstra que:
área(ABC)
< áreab ∗ (ABC) e
área(ABC)
< áreac ∗ (ABC)
Exemplo
Mostraremos o quanto a fórmula do templo de Horo para a área de um triângulo pode levar
a resultados discrepantes com os da fórmula correta, ou até mesmo entre si, dependendo
24
3. Fórmulas históricas para o cálculo da área de polígonos
da escolha da base relativa.
Consideremos a sequência de triângulos isósceles de altura
e de laterais
n + 1,
com
n>1
em relação à base usual
como na gura abaixo:
....
.......
... ...
... . ...
.. .... ....
.
... . .....
...
...
...
...
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...
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...
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..
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..........................................................................................................................................................................................................................
n+1
...
...........
..... .. ........
... .......
.....
..
.....
.....
....
.
...
.
.....
.
.
...
....
.
.
.
.
.
.............................................................................
2.....................
n
1
n
bn
Figura 3.10: Triângulos isósceles de base
Indicando por
bn
n
e laterais
n + 1.
a semibase do enésimo triângulo, teremos duas versões da fórmula
egípcia para esse triângulo.
árean
∗
=
(n + 1) + (n + 1) bn + bn
2(n + 1)2bn
=
= (n + 1)bn
2
2
4
(isto se a base relativa for a base usual)
árean
∗∗
=
(n + 1 + bn + bn ) (n + 1)
(n + 1 + 2bn )(n + 1)
=
2
2
4
(quando a base relativa é um dos lados congruentes do triângulo)
Como a área do enésimo triângulo é árean
= bn n,
para o primeiro caso o erro relativo
é:
En ∗ =
Portanto,
En ∗ → 0
(n + 1)bn − nbn
nbn + bn − nbn
bn
1
=
=
=
nbn
nbn
nbn
n
quando
n → +∞
e
En ∗ → +∞
quando
n → 0.
Sabemos que o seno do ângulo formado pela base e qualquer lateral é
que
n → +∞
n
,
n+1
signica que esse ângulo tende a zero. Isto é, quanto mais alongados os
triângulos, menor o erro relativo, e quanto mais achatados, maior o erro relativo.
Para o segundo caso o erro relativo é:
Pelo Teorema de Potágoras temos
Logo
dizer
limn→∞ bn = 1.
Ainda
(n + 1)2 = n2 + bn 2 ⇒ bn =
√
2n + 1
3.5. A fórmula egípcia para a área de um triângulo
En ∗∗ =
25
(n + 1 + 2bn )(n + 1) − 4nbn
(n + 1)2 + 2(n + 1)bn − 4nbn
=
=
4nbn
4nbn
(n + 1)2 2(n + 1)bn − 4nbn
1 (n + 1)2 2(n + 1) − 4n
=
+
=
+
=
4nbn
4nbn
4bn
n
4n
=
1 n2 + 2n + 1 n + 1 − 2n
1
1
1 1
+
=
(n + 2 + ) + ( − 1)
4bn
n
2n
4bn
n
2 n
Logo
1
1
(0 + 2 + ∞) + (+∞ − 1) = +∞
4·1
2
Vejamos agora o caso em que n → ∞.
√
De bn =
2n + 1 temos limn→+∞ bn = +∞.
lim En ∗∗ =
n→0
En ∗∗ =
1 n2 + 2n + 1 1 1
+ ( − 1) =
4
nbn
2 n
1 n2
2n
1
1 1
= [
+
+
] + ( − 1) =
4 nbn nbn nbn
2 n
2
1
1 1
1 n
+
] + ( − 1)
= [ +
4 bn bn nbn
2 n
Podemos ver que
2
bn
→ 0,
1
nbn
→0
e
1
n
→ 0.
n
quando n → +∞. Temos
bn
√ √
√
√
√
n
n n
n
n
n
n
=√
= √
=√
=√
=√
bn
2n+1
2n + 1
2n + 1
2n + 1
2+
√
n
n
Falta ver o que ocorre com
Logo
lim √
n→∞
1
n
n
∞
=√
= +∞
2n + 1
2+0
Daí
Para este
1
1
lim En ∗∗ = [+∞ + 0 + 0] + (0 − 1) = +∞
n→∞
4
2
∗∗
segundo caso En
→ +∞ tanto para n → 0 quanto para n → +∞,
ou seja,
no caso em que os triângulos cam cada vez mais achatados ou cada vez mais alongados.
26
3. Fórmulas históricas para o cálculo da área de polígonos
27
Capítulo 4
Área de polígonos em função das
coordenadas de seus vértices
4.1 Fórmula de Gauss para triângulos
A determinação da área de um triângulo a partir das coordenadas de seus vértices é uma
tarefa interessante.
P1 , P2 e P3 em um sistema
P1 = (x1 , y1 ), P2 = (x2 , y2 ), P3 = (x3 , y3 )
Consideremos um triângulo qualquer de vértices
denadas cartesianas. Escrevemos
de coor-
Usaremos a seguinte notação
x x x x 1 2 3 1 = x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 − x2 y1 − x3 y2 − x1 y3
y1 y2 y3 y1 Esta notação é usada pois lembra um determinante.
(4.1)
Na verdade, se eliminarmos a
última coluna e acrescentarmos uma linha com 1 em todos os elementos, de modo a
formarmos uma matriz quadrada, e calcularmos o determinante, teremos a expressão
acima. Mais exatamente, temos
x1 x2 x 3 y1 y2 y3 = x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 − x2 y1 − x3 y2 − x1 y3
1 1 1 (4.2)
que é a mesma expressão acima (4.1).
Teorema 4.1. A área de um triângulo P1 P2 P3 em função das coordenadas de seus vértices
é:
1 2
x x x x 1 2 3 1 y1 y2 y3 y1 Chamaremos esta expressão de Fórmula de Gauss.
(4.3)
28
4. Área de polígonos em função das coordenadas de seus vértices
Temos duas demonstrações.
1a demonstração.
Consideremos um triângulo
P3 = (x3 , y3 )
P1 P2 P3 ,
cujos vértices são
em relação a um sistema ortogonal
Oxy .
P1 = (x1 , y1 ), P2 = (x2 , y2 )
e
Veja ilustração na Figura 4.1.
y
.......
.................
.......... ......
.......... .............
..........
.
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..... .........
..
.........
..
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...
.....
..
.....
..
.
.
.....
.....
...
..... ....
.......
.
P1
P2
H
P3
x
0
Figura 4.1: Uma demonstração da fórmula de Gauss.
Seja
H
o pé da altura do triângulo em relação ao lado
P2 P3 ,
e seja
S
a área do
triângulo. Temos:
(I)
(II)
S = 12 P2 P3 · P1 H
√
P2 P3 = (x2 − x3 )2 + (y2 − y3 )2
(III) equação geral da reta suporte de
P2 P3
é
ax + by + c = 0,
com
x y 1 x2 y2 1 = 0 ⇒ [y2 − y3 ]x + [x3 − x2 ]y + [x2 y3 − x3 y2 ] = 0
x 3 y3 1 em que
[y2 − y3 ] = a, [x3 − x2 ] = b
(IV) a distância
P1 H
do ponto
P1
e
(4.4)
[x2 y3 − x3 y2 ] = c.
à reta suporte de
P2 P3
é
ax1 + by1 + c P1 H = √
a2 + b2 Portanto
(y − y )x + (x − x )y + (x y − x y ) 2
3 1
3
2 1
2 3
3 2 √
P1 H = =
2
2
(y2 − y3 ) + (x3 − x2 )
(4.5)
4.1. Fórmula de Gauss para triângulos
29
1
=√
(x2 − x3 )2 + (y2 − y3 )2 x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1 (4.6)
Portanto temos a seguinte expressão para a área do triângulo:
x1 y1 1 1
1 S = P2 P3 · P1 H = x2 y2 1 2
2 x3 y 3 1 (4.7)
a
Isto termina a 1 demonstração do Teorema 4.1.
2a
demonstração.
Tomemos um triângulo
P1 P2 P3
em que os pontos
P1 , P2
e
P3
estão nomeados no
sentido anti-horário. Vamos calcular a área do triângulo usando as áreas dos trapézios
determinados pelos seus lados e pelos eixos coordenados. Com isso poderemos ver melhor
qual é o sinal do determinante que aparece na fórmula de Gauss.
o
Inicialmente supomos que o triângulo está no 1 quadrante, e depois mostraremos, na
Proposição 4.11, na página 34, que a fórmula não depende disso.
Para manipular as áreas dos trapézios, precisamos considerar quatro casos, que serão
abordados em forma de proposições.
Proposição 4.2. Consideremos o triângulo
P1 P2 P3 , com vértices P1 = (x1 , y1 ), P2 =
(x2 , y2 ), P3 = (x3 , y3 ), numerados no sentido anti-horário, como na Figura 4.2. Vale para
esse caso a fórmula de Gauss.
y3
y2
y1
0
P3
....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ................
.. . .............
.... .
..........
..........
..... .
..........
..... ....
..........
.....
.
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....... ....... ....... ....... ....... .............. ....... ....... ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ..............................
.
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....... ....... ....... ....................
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..
..
..
..
..
..
P2
P1
x1
x3
x2
Figura 4.2: Primeiro caso da fórmula de Gauss.
Demonstração.
A deste triângulo em função das coordenadas
de seus vértices observando o seguinte procedimento. Sejam A13 , A23 e A12 respectivamente as áreas dos trapézios x1 x3 P3 P1 , x3 x2 P2 P3 e x1 x2 P2 P1 . Podemos escrever:
Podemos determinar a área
30
4. Área de polígonos em função das coordenadas de seus vértices
A = A13 + A23 − A12
Usando a fórmula da área de um trapézio, temos:
1
A13 = [(y3 + y1 )(x3 − x1 )]
2
1
A23 = [(y3 + y2 )(x2 − x3 )]
2
1
A12 = [(y2 + y1 )(x2 − x1 )]
2
Ou seja,
1
A = [(y3 + y1 )(x3 − x1 ) + (y3 + y2 )(x2 − x3 ) − (y2 + y1 )(x2 − x1 )]
2
de onde temos
1
A = [y3 x3 − y3 x1 + y1 x3 − y1 x1 + y3 x2 − y3 x3 + y2 x2 − y2 x3 − y2 x2 + y2 x1 − y1 x2 + y1 x1 ] =
2
Daí
1
A = (x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 − x2 y1 − x3 y2 − x1 y3 )
2
Proposição 4.3. Seja
P1 P2 P3 o triângulo com vértices P1 = (x1 , y1 ), P2 = (x2 , y2 ),
P3 = (x3 , y3 ), numerados no sentido anti-horário, como na Figura 4.3. Então vale nesse
caso a fórmula de Gauss.
y3 ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ................................ P3
y2
y1
0
........
...........
...........
...............
.
.
.
.
..... ....
..... .....
...... ......
...... .....
...... ........
.
.
.
.
...... .........
.....
.
...... .........
......
..
.....
.
.....
.
.
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.....
...
.
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.
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.
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... ....... ....... ....... ....... ....... ................... ................
.... ............ ....
......
...
...... .......
..... ..............
.
.
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................
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....
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....... ....... .........
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....
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....
....
P2
P1
x1
x2
....
...
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
x3
Figura 4.3: Segundo caso da fórmula de Gauss.
4.1. Fórmula de Gauss para triângulos
Demonstração.
x2 x3 P3 P2
e
31
A12 , A23 e A13 respectivamente as áreas
x1 x3 P3 P1 e A a área do triângulo P1 P2 P3 . Temos
Sejam
dos trapézios
x1 x2 P2 P1 ,
A = A13 − A12 − A23
em que
1
A12 = [(y2 + y1 )(x2 − x1 )]
2
1
A23 = [(y3 + y2 )(x3 − x2 )]
2
1
A13 = [(y3 + y1 )(x3 − x1 )]
2
Assim
1
A = [(y3 + y1 )(x3 − x1 ) − (y2 + y1 )(x2 − x1 ) − (y3 + y2 )(x3 − x2 )] =
2
1
= [y3 x3 − y3 x1 + y1 x3 − y1 x1 − y2 x2 + y2 x1 − y1 x2 + y1 x1 − y3 x3 + y3 x2 − y2 x3 + y2 x2 ]
2
Disto temos
1
A = (x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 − x2 y1 − x3 y2 − x1 y3 )
2
Proposição 4.4. Consideremos o triângulo
P1 P2 P3 com vértices P1 = (x1 , y1 ), P2 =
(x2 , y2 ), P3 = (x3 , y3 ), numerados no sentido anti-horário, como na Figura 4.4. Então
vale a fórmula de Gauss nesse caso.
y3
y2
y1
0
P3
....... ....... ..................
... ...............
..........
..........
....
..........
...
..........
...
..........
..........
...
..........
...
........
....... ....... ......... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ......................
....
.... ..
...... .
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... ............
.....
............
....... ....... ..........
..
..
..
..
....
....
..
..
..
..
P2
P1
x1 = x3
x2
Figura 4.4: Terceiro caso da fórmula de Gauss.
Demonstração.
Sejam
A12
e
A23
respectivamente as áreas dos trapézios
x1 x2 P 2 P 1
e
32
4. Área de polígonos em função das coordenadas de seus vértices
x1 x2 P2 P3
e seja
A
a área do triângulo acima. Podemos escrever
A = A23 − A12
em que
1
A23 = [(y3 + y2 )(x2 − x3 )]
2
1
A12 = [(y1 + y2 )(x2 − x1 )]
2
Assim temos:
1
A = [(y3 + y2 )(x2 − x3 ) − (y1 + y2 )(x2 − x1 )]
2
1
A = [y3 x2 − y3 x3 + y2 x2 − y2 x3 − y1 x2 + y2 x1 − y2 x2 + y1 x1 ]
2
Sabemos que
x1 = x3 ,
então
y3 x3 = y3 x1
e
y1 x1 = y1 x3 .
Daí
1
(x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 − x2 y1 − x3 y2 − x1 y3 )
2
Proposição 4.5. Suponhamos o triângulo
P1 P2 P3 com vértices P1 = (x1 , y1 ), P2 =
(x2 , y2 ), P3 = (x3 , y3 ), numerados no sentido anti-horário, como na Figura 4.5. Então
vale a fórmula de Gauss nesse caso.
P
y3..... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ................................ 3
y1
y2
..
......
...
......
......
...
......
.
.
.
.
...
.
....
.
.
.
.
...
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....
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...
.
....
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.
...
.
....... ....... ....... ..........
...
.. ............
..........
...
..
..........
.
...
.
..........
..........
...
....
..........
..........
...
..........
..
.......... ...
.
.
.
.
.
... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ............
....
....
..
..
..
..
....
....
P1
x1
0
P2
x2 = x 3
Figura 4.5: Quarto caso da fórmula de Gauss.
Demonstração.
Sejam
x1 x2 P2 P1
A
e seja
A12
e
A13
respectivamente as áreas dos trapézios
a área do triângulo
P1 P2 P3 .
Escrevemos
A = A13 − A12
x1 x2 P2 P1
e
4.1. Fórmula de Gauss para triângulos
em que
33
1
A13 = [(y1 + y3 )(x3 − x1 )]
2
1
A12 = [(y2 + y1 )(x2 − x1 )]
2
Substituindo temos
1
A = (y1 x3 − y1 x1 + y3 x3 − y3 x1 − y2 x2 + y2 x1 − y1 x2 + y1 x1 )
2
Sabemos que
x2 = x 3 ,
assim
y 3 x3 = y 3 x2
e
y 2 x2 = y 2 x3 .
Daí
1
A = (x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 − x2 y1 − x3 y2 − x1 y3 )
2
Com isso concluímos a segunda demonstração da fórmula de Gauss para os casos em
o
que o triângulo está no 1 quadrante. Vejamos agora que não importa que o triângulo
esteja nessa posição.
Lembramos que uma translação em
T (x, y) = (x + a, y + b)
em que
a
e
b
R2
T : R2 → R2
é uma transformação
denida por
são números reais xos. Vamos utilizar a seguinte
propriedade:
Lema 4.6. Todo translação é uma isometria, isto é d(A, B) = d(T (A), T (B)), quaisquer
que sejam A,B ∈ R2
Demonstração.
Suponhamos
T (B) = (x2 + a, y2 + b).
Sabemos que
d(A, B) =
A = (x1 , y1 )
√
d(T (A), T (B)) =
=
e
B = (x2 , y2 )
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
√
e que
T (A) = (x1 + a, y1 + b)
e
então
[x2 + a − (x1 + a)]2 + [y2 + b − (y1 + b)]2 =
√
(x2 + a − x1 − a)2 + (y2 + b − y1 − b)2 =
√
= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 = d(A, B)
Proposição 4.7. Toda translação é bijetiva e sua inversa também é uma translação.
Demonstração.
T : R2 → R2
T (x, y) = (x + a, y + b),
em que a, b ∈ R são xos. Notemos que T é injetiva, pois se T (x, y) = T (z, w), então
(x + a, y + b) = (z + a, w + b) ⇒ x + a = z + a e y + b = w + b ⇒ x = z e y =
w ⇒ (x, y) = (z, w). Temos também que T é sobrejetiva, pois se (z, w) ∈ R2 , tomamos
(x, y) = (z − a, w − b) e temos T (x, y) = (z, w).
Seja
uma translação denida por
34
4. Área de polígonos em função das coordenadas de seus vértices
T é bijetiva, existe sua inversa, que chamamos de S : R2 → R2 . Temos S(x, y) =
(x − a, y − b), pois T ◦ S(x, y) = T (x − a, y − b) = (x, y), para todo (x, y) ∈ R2 . Logo
T ◦ S = id. Do mesmo modo se vê que S ◦ T = id. Logo S = T −1 , e T −1 é uma translação.
Como
Lembremos que três pontos
se
A, B
e
C
são colineares, com
B
entre
A e C , se e somente
d(A, C) = d(A, B) + d(B, C).
Proposição 4.8. Toda translação leva três pontos colineares em três pontos colineares.
Demonstração.
com
B
entre
A
T : R2 → R2 uma translação, e sejam A, B e C três pontos colineares
C . Como T é injetiva, T (A), T (B) e T (C) são três pontos, e
Seja
e
d(T (A), T (C)) = d(A, C) = d(A, B) + d(B, C) =
= d(T (A), T (B)) + d(T (B), T (C))
Logo,
T (A), T (B)
e
T (C)
são colineares com
T (B)
entre
T (A)
e
T (C).
Proposição 4.9. Toda translação leva três pontos não colineares em três pontos não
colineares.
Demonstração.
A, B e C três pontos não colineares e T : R2 → R2 uma translação. Se T (A), T (B) e T (C) fossem colineares, a inversa de T os levaria em três pontos
colineares, mas esses pontos seriam A, B e C , o que seria uma contradição. Logo T (A),
T (B) e T (C) são não colineares.
Sejam
Proposição 4.10. Sejam
T : R2 → R2 uma translação de ABC um triângulo. Então
T (A)T (B)T (C) é um triângulo congruente ao primeiro.
Demonstração.
Como
A, B
e
C
são pontos não colineares, então
não colineares, e formam um triângulo.
LLL
e
T (C)
são
Mas uma translação é uma isometria, e então
esses triângulos têm lados correspondentes congruentes, isto é,
Pelo caso
T (A), T (B)
AB ∼
= T (A)T (B),
etc.
de congruência, eles são congruentes.
Proposição 4.11. Dado um triângulo qualquer num sistema cartesiano, existe um triângulo congruente a ele no primeiro quadrante.
Demonstração.
P3 = (x3 , y3 ).
Seja
P1 P2 P3
um triângulo qualquer, com
Consideremos a translação
T : R2 → R2 ,
P1 = (x1 , y1 ), P2 = (x2 , y2 ),
denida por
T (x, y) = (x + a, y + b)
a > max{|x1 |, |x2 |, |x3 |} e b > max{|y1 |, |y2 |, |y3 |}
Então T (P1 ), T (P2 ) e T (P3 ) estarão todos no primeiro quadrante.
sendo
4.1. Fórmula de Gauss para triângulos
35
Vejamos agora que a Fórmula de Gauss é invariante por translações das coordenadas.Temos a
Proposição 4.12. A fórmula da Gauss é invariante por translação de coordenadas, isto
é, se a e b são números reais quaisquer, então
1 x1 + a x2 + a x3 + a x1 + a
2 y1 + b y2 + b y3 + b y1 + b
Demonstração.
Considere um triângulo
P1 P2 P3
1 x x x x 1 2 3 1 = 2 y1 y2 y3 y1 com vértices
(4.8)
P1 = (x1 , y1 ), P2 = (x2 , y2 ) e
P3 = (x3 , y3 ) em um sistema de coordenadas cartesianas. Se zermos uma translação em
P1 P2 P3 , em que agora temos P1 = (x1 +a, y1 +b), P2 = (x2 +a, y2 +b) e P3 = (x3 +a, y3 +b),
a fórmula de Gauss será:
1 x1 + a x2 + a x3 + a x1 + a
2 y1 + b y2 + b y3 + b y1 + b
=
1
= [(x1 +a)(y2 +b)+(x2 +a)(y3 +b)+(x3 +a)(y1 +b)−(x2 +a)(y1 +b)−(x3 +a)(y2 +b)−(x1 +a)(y3 +b)] =
2
1
= [x1 y2 + x1 b + ay2 + ab + x2 y3 + x2 b + ay3 + ab + x3 y1 + x3 b + ay1 +
2
+ab − x2 y1 − x2 b − ay1 − ab − x3 y2 − x3 b − ay2 − ab − x1 y3 − x1 b − ay3 − ab] =
1
1 x1 x2 x3 x1 = (x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 − x2 y1 − x3 y2 − x1 y3 ) = 2
2 y1 y2 y3 y1 Para encerrar a 2
a
demonstração da fórmula de Gauss vamos observar qual é o efeito
na fórmula se alterarmos a forma com que os vértices são nomeados.
Observamos que
se nomearmos os pontos no sentido anti-horário, obtemos sempre um valor positivo para
a fórmula, e não precisamos usar o módulo em (4.11).
expressão usada foi
A = A13 + A23 − A12 ,
De fato, na Proposição 4.2, a
que é um valor positivo. O mesmo aconteceu
nos outros casos. Observamos inclusive que não importa se deslocarmos os pontos, desde
que mantenhamos o sentido anti-horário. Para isso temos a
Proposição 4.13. A fórmula de Gauss não se altera se zermos um deslocamento dos
pontos P1 P2 P3 de um triângulo para P2 P3 P1 , isto é
1 x1 x2 x3 x1 1 x2 x3 x1 x2 = 2 y1 y2 y3 y1 2 y2 y3 y1 y2 Demonstração.
Tomemos os pontos deslocados
de Gauss para esses pontos é
P2 P3 P1
(4.9)
de um triângulo, então a fórmula
36
4. Área de polígonos em função das coordenadas de seus vértices
1 x2 x3 x1 x2 1
= (x2 y3 + x3 y1 + x1 y2 − x3 y2 − x1 y3 − x2 y1 ) =
2 y2 y3 y1 y2 2
1
1 x1 x2 x3 x1 = (x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 − x2 y1 − x3 y1 − x1 y3 ) = 2
2 x2 y2 y3 y1 Para concluir tudo, só falta determinarmos o que ocorre se os vértices do triângulo
forem nomeados no sentido horário. Vejamos o que ocorre no caso 1, estudado na Proposição 4.2, na página 29.
Consideremos o triângulo
P1 P2 P3 como na Figura 4.6, o mesmo utilizado na Proposição
4.2, mas agora com os vértices nomeados no sentido horário.
y2
y3
y1
0
P2
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P3
P1
x1
x2
x3
Figura 4.6: Fórmula de Gauss com vértices no sentido horário.
Vimos que sua área é
1 x1 x3 x2 x1 1
= (x1 y3 + x3 y2 + x2 y1 − x3 y1 − x2 y3 − x1 y2 )
2 y1 y3 y2 y1 2
(4.10)
1
= − (x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 − x2 y1 − x3 y2 − x1 y3 ) =
2
1 x1 x2 x3 x1 =− 2 y1 y2 y3 y1 (4.11)
Vimos na seção 4.1 que a notação 4.1 pode ser transformada em uma matriz quadrada
e ser comparada a um determinante como mostra a equação 4.2, e assim podemos explicar
a conclusão acima utilizando o seguinte teorema.
Teorema 4.14. Se
M 0 é obtida da matriz quadrada M = (aij ) de ordem n, trocando
entre si de lugar duas linhas (ou duas colunas) distintas tem-se que det M 0 = − det M .
4.2. Fórmula de Gauss para polígonos
37
A demonstração deste teorema pode ser vista em [8] na página
198.
E assim concluímos que para qualquer triângulo, ao percorrermos seus pontos no
sentido horário e os aplicarmos na fórmula 4.11, a área terá o mesmo valor em módulo
mas com o sinal ao contrário.
4.2 Fórmula de Gauss para polígonos
Nesta seção iremos mostrar que a fórmula de Gauss para o cálculo da área de triângulos
vista nas seções anteriores também é válida para polígonos quaisquer, convexos ou não.
Consideremos um polígono
P
qualquer de
em um sistema de coordenadas cartesianas.
n
P1 , P2 , P3 , . . ., Pn
P1 = (x1 , y1 ), P2 = (x2 , y2 ),
lados e de vértices
Escrevemos
P3 = (x3 , y3 ), . . ., Pn = (xn , yn ).
Usaremos a seguinte notação
x x ... x x 1 2
n
1 = x1 y2 + x2 y3 + x3 y4 + . . . + xn y1 − x2 y1 − x3 y2 − x4 y3 − . . . − x1 yn
y1 y2 . . . yn y1 (4.12)
e isto é igual a
x 1 x2
y1 y2
1 1
1 1
.
.
.
.
.
.
1
1
. . . xn . . . yn . . . 1 = x1 y2 +x2 y3 +x3 y4 +. . .+xn y1 −x2 y1 −x3 y2 −x4 y3 −. . .−x1 yn
... 1 . ..
.
.
. ··· 1 e esta matriz acima é uma matriz
(4.13)
n × n.
Já observamos na seção 1.3 do Capítulo
1
que todo polígono tem área, essa área é
igual à soma das áreas de uma decomposição do polígono em triângulos, e que a área não
depende da particular decomposição.
Teorema 4.15. Seja
A1 A2 . . . An um polígono plano com Ai = (xi , yi ) em um sistema
de coordenadas cartesianas Oxy . Suponhamos que o caminho A1 A2 . . . An seja no sentido
anti-horário. Então a área desse polígono é
1 x1 x2 . . . xn x1 2 y1 y2 . . . yn y1 Demonstração.
(4.14)
n > 3. Já sabemos que a
fórmula (4.14) vale para n = 3. Suponhamos que seja válida para n − 1. Seja A1 A2 . . . An
(n > 4) um polígono qualquer. Suponhamos primeiro que esse polígono é convexo. Então
Usamos o método da Indução Finita sobre
38
4. Área de polígonos em função das coordenadas de seus vértices
ele delimita uma região que é a união do polígono
triangular
A1 An−1 An .
A1 A2 . . . An−1
de
n − 1 lados e da região
Conra ilustração na Figura 4.7.
An−1
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An
A4
A1
A3
A2
0
Figura 4.7: Polígono convexo de
Usando a fórmula para
n=3
e
n − 1,
n
lados.
temos que a área do polígono
A 1 A 2 . . . An
1 x1 x2 x3 . . . xn−1 x1 1 x1 xn−1 xn x1 + =
2 y1 y2 y3 . . . yn−1 y1 2 y1 yn−1 yn y1 é
(4.15)
1
= (x1 y2 +x2 y3 +x3 y4 +. . .+xn−2 yn−1 +xn−1 y1 −x2 y1 −x1 y2 −x4 y3 −. . .−xn−1 yn−2 −x1 yn−1 )+
2
1
+ (x1 yn−1 + xn−1 yn + xn y1 − xn−1 y1 − xn yn−1 − x1 yn ) =
2
1
= (x1 y2 +x2 y3 +x3 y4 +. . .+xn−2 yn−1 +xn−1 y1 −x2 y1 −x1 y2 −x4 y3 −. . .−xn−1 yn−2 −x1 yn−1 +
2
+x1 yn−1 + xn−1 yn + xn y1 − xn−1 y1 − xn yn−1 − x1 yn ) =
1
= (x1 y2 +x2 y3 +x3 y4 +. . .+xn−2 yn−1 −x2 y1 −x1 y2 −x4 y3 −. . .−xn−1 yn−2 +xn−1 yn +xn y1 −xn yn−1 −x1 yn ) =
2
1 x1 x2 x3 . . . xn−1 xn x1 = 2 y1 y2 y3 . . . yn−1 yn y1 (4.16)
4.2. Fórmula de Gauss para polígonos
39
Assim vimos que a fórmula de Gauss vale para polígonos convexos.
Agora provaremos por indução que esta fórmula também é válida para polígonos não
convexos.
Seja
A1 A2 A3 A4
um polígono não convexo de
4
vértices.
4
lados.
Seja
A4
o vértice
reentrante como na gura 4.8.
A3
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A4
A1
A2
0
Figura 4.8: Polígono não convexo de
Para calcularmos a área deste polígono, basta somarmos as áreas dos triângulos
A1 A2 A4
e
A2 A3 A4 ,
ou seja,
1 x1 x2 x4 x1 1 x2 x3 x4 x2 + =
2 y1 y2 y4 y1 2 y2 y3 y4 y2 = x1 y2 + x2 y4 + x4 y1 − x2 y1 − x4 y2 − x1 y4 + x2 y3 + x3 y4 + x4 y2 − x3 y2 − x4 y3 − x2 y4 =
= x1 y2 + x2 y3 + x3 y4 + x4 y1 − x2 y1 − x3 y2 − x4 y3 − x1 y4
1 x1 x2 x3 x4 x1 = 2 y1 y2 y3 y4 y1 Assim concluimos que esta fórmula vale para o cálculo da área de quadriláteros não
convexos.
Suponhamos agora que a armação seja verdadeira para todo polígono com
vértices (convexos ou não). Seja
A1 A2 . . . An
n−1
um polígono não convexo munido de uma
triangulação. Nomeamos os vértices deste polígono no sentido anti-horário. Renomeando
os vértices se necessário, pelo Teorema 2 essa triangulação tem um triângulo como na
Figura 4.9.
A1 A2 . . . An devemos
A1 A2 . . . An−1 . Assim temos:
Para obter a área
polígono
A1 A2 . . . An−1 .
A1 An−1 An e a área do
Pela hipótese de indução, a armação vale para o polígono
somar a área do triângulo
40
4. Área de polígonos em função das coordenadas de seus vértices
An−1
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...... ....
...... ..
....
An
A4
A3
A1
A2
0
Figura 4.9: Polígono não convexo de
n
lados.
1 x1 x2 x3 . . . xn−1 x1 1 x1 xn1 xn x1 + 2 y1 y2 y3 . . . yn−1 y1 2 y1 yn1 yn y1 (4.17)
Analisando as equações acima podemos observar que caímos no mesmo caso para
polígonos convexos assim concluímos que esta soma é igual a
x
x
x
.
.
.
x
x
x
1 1 2 3
n−1
n
1 2 y1 y2 y3 . . . yn−1 yn y1 (4.18)
Assim mostramos que a fórmula de Gauss é válida para polígonos convexos e não
convexos.
Para encerrar esse estudo, observamos que se os vértices do polígono de
n
lados, seja
ele convexo ou não, forem nomeados no sentido horário, vale a mesma fórmula dada no
Teorema 4.15, mas dessa vez essa fórmula tem valor negativo. Assim, para obter a área,
devemos tomar seu valor absoluto.
41
Capítulo 5
Construção da Função Área
5.1 Introdução
Intuitivamente todos entendem que a área de uma gura plana é a medida de sua extensão, ou tamanho. O termo "tamanho" é utilizado no dia-a-dia. Mas na Matemática,
precisamos associar à palavra área um conceito preciso.
Necessitamos calcular a área de diversas regiões poligonais e vimos no nal do Capítulo
1 a denição de região triangular, assim como a de região poligonal. Vimos também quatro
axiomas que denem a área de uma região poligonal qualquer (pág 5).
Veremos no presente capítulo que é possível construir uma Função Área
denida no conjunto
α:R→R
R das regiões poligonais do plano, com contradomínio R, o conjunto
dos números reais.
5.2 Função Área
Para começar a construir a Função Área, devemos estabelecer inicialmente uma unidade.
Geralmente isso é feito colocando-se como denição que a área do quadrado de lado
é
1.
1
Aqui adotaremos outro caminho, melhor adaptado às nossas condições. Desejamos
estabelecer, desde logo, que a área de um triângulo de base
1
é bh.
2
b
e altura
Mas para isso precisamos provar antes que o produto
bh
h
correspondente
não depende da base
escolhida.
Lema 5.1. Em qualquer triângulo o produto da base pela altura correspondente não depende da escolha da base.
Demonstração.
de
B
até
AC .
Dado um triângulo
ABC , sejam AD
a altura de
Queremos provar que
AD · BC = BE · AC
A até BC
e
BE
a altura
42
5. Construção da Função Área
Figura 5.1: Triângulo
ABC .
E 6= C e D 6= C , como mostrado na gura 5.1. Então ∠C = ∠C , e
∠BEC ∼
= ∠ADC , porque ambos são ângulos retos. Portanto 4BEC ∼ 4ADC . Assim
Suponha
AC
AD
=
,
BE
BC
e
AD · BC = BE · AC,
como queríamos mostrar.
E = C , então o triângulo ABC é um triângulo retângulo com o seu ângulo reto em
temos também D = C . Conra a gura 5.2
Se
C
e
Figura 5.2: Triângulo retângulo
Neste caso, o teorema diz trivialmente que
Denição 15.
ABC .
ab = ba.
A área de um triângulo qualquer de base
b
e altura correspondente
h
é
1
bh
2
Agora dada uma região poligonal, a decompomos em um número nito de regiões
triangulares que se intersectam apenas em vértices e arestas comuns (gura 5.3). Para
cada um destes triângulos, a área já está denida pela fórmula
1
bh.
2
Isso sugere um
procedimento tentador, poderíamos resolver o problema de calcular a área de polígonos,
denindo a área desta região como a soma das áreas dos triângulos.
5.2. Função Área
43
Figura 5.3: Decomposição em regiões triangulares.
Há, no entanto, uma diculdade.
Toda região poligonal pode ser decomposta em
regiões triangulares de innitas maneiras (gura 5.4).
Portanto, antes que possamos
denir a área de uma região poligonal como a soma das áreas das regiões triangulares,
precisamos mostrar que esta soma depende apenas da região com que começamos e é
independente da maneira em que a decompomos em regiões triangulares.
Observamos
que agora estamos admitindo decomposições em triângulos mais gerais do que aquelas
consideradas no Capítulo 2, pois os triângulos podem ter vértices no interior da região
poligonal.
Figura 5.4: Algumas triangulações diferentes.
Seja uma região poligonal
R,
expressa como a união de um número nito de regiões
triangulares que se intersectam apenas em arestas comuns e vértices. O conjunto
elementos são as regiões triangulares é denominado
de
K
cujos
complexo, e é chamado de triangulação
R.
Figura 5.5: Triangulação da região
R.
44
5. Construção da Função Área
K
Ti , i = 1, . . . , 5 são
regiões triangulares. Notemos que R é um conjunto innito de pontos e K é um conjunto
nito de regiões triangulares. Os vértices e as arestas dos Ti são chamados de vértices e
arestas de K.
Na gura 5.5, o complexo
Denição 16.
Um
é o conjunto
T1 , T2 , T3 , T4 , T5
em que
A área de um complexo é a soma das áreas de seus elementos.
complexo-faixa
é um complexo que se parece com a gura 5.6:
Figura 5.6: Complexos Faixa.
Mais precisamente um complexo
1)
K
K
é um complexo-faixa quando:
é uma triangulação de um trapézio ou de um triângulo,
2) para o caso do trapézio, todos os vértices de
K
estão na base superior ou inferior,
3) para o caso do triângulo, todos os vértices de
K
estão sobre a base ou o vértice
oposto a ela.
Podemos notar que aqui o triângulo está sendo tratado como se fosse um trapézio que
tem um das bases igual a um ponto . O seguinte teorema também deve ser visto desta
forma.
Teorema 5.2. A fórmula da área de um complexo-faixa é
as bases e h é a altura.
Figura 5.7: Complexo faixa de bases
b1
e
, em que b1 e b2 são
1
(b + b2 )h
2 1
b2
e altura
h.
5.2. Função Área
Demonstração.
45
Veja a ilustração na gura 5.7. A soma da fórmula das áreas dos triângulos
com dois vértices sobre a base superior é
1
1
1
e1 h + e2 h + . . . + en h,
2
2
2
em que
e1 , e2 , . . . , en são os comprimentos dos segmentos em que a base superior é dividida
pelos vértices. A soma das fórmulas das áreas dos outros triângulos é
1
1
1
f1 h + f2 h + . . . + fm h,
2
2
2
em que
f1 , f2 , . . . , fm
são os comprimentos dos segmentos em que a base inferior é dividida
pelos vértices.
Portanto a fórmula da área do complexo é
1
1
h(e1 + e2 + . . . + en ) + h(f1 + f2 + . . . + fm ) =
2
2
1
1
1
= hb1 + hb2 = (b1 + b2 )h.
2
2
2
Entende-se por
decomposição em faixa
de triângulos e trapézios, decomposições como
na gura 5.8 :
Figura 5.8: Decomposição em faixa de triângulos e trapézios.
A fórmula da área para um trapézio está denida como
e
b1
e
b2
são as bases.
1
(b
2 1
+ b2 )h,
onde
h
é a altura
Os triângulos e trapézios de uma decomposição em faixa são
denominados partes da decomposição.
Teorema 5.3. Para qualquer decomposição em faixa de triângulos e trapézios, a fórmula
da área da gura original é a soma das fórmulas das áreas das partes.
Demonstração.
Conra ilustração na gura 5.9.
Se nenhuma das partes são trapézios,
esta segue imediatamente do teorema 5.2. Se houver alguns trapézios, separamos cada
um deles em dois triângulos, traçando uma diagonal.
Isto não muda a soma das fórmulas das partes.
teorema 5.2.
Portanto, este teorema decorre do
46
5. Construção da Função Área
Figura 5.9: Decomposição em faixa.
Teorema 5.4. Sejam A, D e C pontos, tais que D está entre A e C e sejam A, E e B
pontos, tais que E está entra A e B e DE k BC , então a fórmula da área para o 4ABC
é a soma das fórmula das áreas do 4ADE e do quadrilátero DEBC .
Figura 5.10: Triângulo
Demonstração.
b2 = DE ;
ABC
decomposto em um triângulo e um trapézio.
Podemos acompanhar a demonstração na gura 5.10. Sejam
b1 = BC
e
h1 e h2 as alturas do quadrilátero DEBC e do 4ADE , respectivamente.
4ACB ∼ 4ADE pelo caso AAA. Sendo assim temos que :
sejam
Notemos que o
b1
h1 + h2
=
⇔
b2
h2
b1 h2 = b2 (h1 + h2 ) ⇔
b1 h1 + b1 h2 = b2 h2 + b1 h1 + b2 h1 ⇔
1
1
1
b1 (h1 + h2 ) = b2 h2 + (b1 + b2 )h1
2
2
2
Portanto a fórmula da área do
do quadrilátero
4ABC
é a soma das fórmula das áreas do
4ADE
e
DEBC .
Por uma "decomposição em paralelas"
entendemos a decomposição de uma região
triangular em um ou dois triângulos e em um número nito de trapézios, como na gura
5.11 .
5.2. Função Área
47
(b)
(a)
Figura 5.11: Decomposição em Paralelas.
Teorema 5.5. Para qualquer decomposição em paralelas de um triângulo, a fórmula da
área do triângulo original é a soma das fórmulas das áreas dos trapézios e triângulos da
decomposição.
Demonstração.
Para o caso 1 (gura 5.11 b), esta segue por repetidas aplicações do
teorema 5.4, trabalhando de cima para baixo. Para o caso 2 (gura 5.11 a), observamos
primeiro que, pelo teorema 5.2, a fórmula da área do
áreas do
4BDC
e do
4ABD.
4ABC
é a soma das fórmulas das
Agora basta aplicar o resultado do caso 1 a cada um destes
triângulos.
Teorema 5.6. Todas as triangulações de uma mesma região poligonal têm a mesma
fórmula da área.
Demonstração.
Sejam
T1
e
T2
duas triangulações de uma região poligonal
Na gura 5.12, as arestas de
T1
são os segmentos sólidos e as de
T2
R.
são tracejadas.
Figura 5.12: Triangulações de uma região poligonal.
Tomamos uma família de retas paralelas
de
T1 ,
todos os vértices de
T2
L1 , L 2 , . . . , L n
passando por todos os vértices
e todos os pontos onde as arestas de
T1
intersectam as
48
5. Construção da Função Área
arestas de
T2 .
Agora as retas
Li ,
são decomposições em paralelas para cada triângulo de
T1 .
Figura 5.13: Algumas partes primárias de
T1 .
Denominaremos esses triângulos e trapézios de partes primárias de
a fórmula da área de
T1
T1 .
Pela denição,
é a soma das fórmulas das áreas destes triângulos. Aplicamos o
teorema 5.5 para cada triângulo e adicionamos os resultados.
Temos,
(1) A fórmula da área de
T1
é a soma das fórmulas das áreas das partes primárias de
T1 .
As arestas de
T2
fornecem uma decomposição em faixa de cada parte primária de
Figura 5.14: Algumas partes secundárias de
T1 .
Vamos chamar esses pequenos triângulos e trapézios de partes secundárias de
Observação:
T1 .
T1 .
Na gura 5.14, há um total de oito partes secundárias no triângulo. Já
na gura 5.12, no início da demonstração do teorema, há um total de 31 partes secundárias.
Sabemos, pelo teorema 5.3, que
5.2. Função Área
49
(2) A fórmula da área para cada parte primária de
T1
é a soma das fórmulas das áreas
das partes secundárias que se encontram na mesma.
Combinando (1) e (2), obtemos:
(3) A fórmula da área de
T1
é a soma das fórmulas das áreas das partes secundárias de
T1 .
T2 ,
Aplicando o mesmo raciocínio para
(4) A fórmula da área de
T2
obtemos:
é a soma das fórmulas das áreas das partes secundárias de
T2 .
Isto nos diz tudo o que precisamos saber, pois as partes secundárias de
mente as mesmas partes secundárias de
Portanto, por (3) e (4),
T2
são exata-
T1 .
T1 e T2 têm a mesma fórmula da área, como queríamos mostrar.
Com isso podemos denir:
Denição 17.
A área
α(R)
de uma região poligonal
fórmula da área de cada triangulação de
R
é o número correspondente à
R
Vericação dos postulados de área para a função α
Trivialmente, vemos que
A1 ) α
é uma função
R→R
e
α(R) > 0
Esta armação segue da denição de
para todo
R.
α e do Teorema 5.6, pois toda região poligonal
tem uma única área, e essa área é positiva, pois existe na região pelo menos um
triângulo.
A2 )
Duas regiões triangulares determinadas por triângulos congruentes têm a mesma
área.
Da Geometria Euclidiana sabemos que dois triângulos congruentes têm alturas correspondentes congruentes. Logo têm a mesma área.
A4 )
A área de quadrado de lado
a
é
a2 .
Sabemos que qualquer diagonal divide a região quadrada em duas regiões triangulares
a2
a2 a2
retas, de base a e altura a, assim cada uma destas regiões tem área
. Logo
+ = a2 ,
2
que é a área do quadrado.
Agora vericaremos o postulado
A3
2
2
50
5. Construção da Função Área
A3 )
Se duas regiões poligonais se intersectam apenas em lados ou vértices (ou se a
interseção é vazia), então a área da união dessas regiões a soma das áreas de cada
uma.
Sejam regiões
R1 e R2 , com triangulações T1 e T2 .
Suponha que
R1 e R2 se intersectam
apenas em vértices ou arestas.
Figura 5.15: Triangulações das regiões
R1
e
R2 .
T1 (ou T2 ) possam
alguns triângulos de T1
Pode acontecer como indicado na gura 5.15, que algumas arestas de
conter mais do que uma aresta de
(ou
T2 )
T2
(ou
T1 ).
Assim, dividimos
em triângulos menores.
T1 0 e T2 0 , cuja união T
de R1 ∪ R2 . Agora α(R1 ∪ R2 ) = α(R1 ) + α(R2 ), pois a fórmula da
das fórmulas das áreas de T1 e T2 .
Desta forma obtemos novas triangulações,
Figura 5.16: Nova triangulação de
Portanto,
A3
é satisfeita por
α.
R1
e
R2 .
é uma triangulação
área de
T
é a soma
51
Referências Bibliográcas
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