Análise Matemática I - 2006/2007
2 - Generalidades sobre funções reais de variável real
2.1-Definição e Propriedades
Def.2.1
Sejam A e B conjuntos, e f uma correspondência de A para B, isto
é um processo de associar a cada elemento de A um único
elemento de B. Diz-se então que f é uma aplicação ou função de
A em B.
f :A→ B
Y=f(x)
A
B
C
Ao conjunto A chama-se domínio e ao conjunto B conjunto de
chegada.
Nota:
O domínio de uma função definida por ramos é a reunião dos
domínios dos ramos.
Ao subconjunto C de B formado por todos os elementos f(x), com
x ∈ A , é o contradomínio de f.
Uma função real de variável real é uma função cujo domínio e
cujo contradomínio são subconjuntos do conjunto dos reais.
2ª aula teórica
pág. 6
Análise Matemática I - 2006/2007
Def.2.2 Injectividade e Sobrejectividade de funções.
Dada uma função f : A → B , diz-se que f é função:
Injectiva
se dados x1 ≠ x2 , quaisquer se tiver sempre
f (x1) ≠ f ( x2 ) isto é ∀ x , x ∈ A , x1 ≠ x2
f ( x1 ) ≠ f ( x2 )
1
2
Exemplo: Estude, utilizando o gráfico, a injectividade de
y = x 2 e y = x3 .
Sobrejectiva se para qualquer y∈ B existir x∈ A tal que f(x)=y,
ou seja, ∀ y∈B ∃ X ∈ A : f ( x) = y
Exemplo: Estude, utilizando o gráfico, a sobrejectividade de
1
y=
x
Bijectiva se simultaneamente injectiva e sobrejectiva.
Def.2.3
Paridade de funções
Dada uma função f : A → B , diz-se que f é uma função:
Par se f ( x) = f (− x) , ∀ x∈A
Nota: Temos então nas funções pares uma simetria em relação ao
eixo dos yy.
Impar
se f ( x) = − f (− x) , ∀ x∈ A
Nota: Temos então nas funções impares uma simetria em relação
a um ponto (a origem).
Exemplos:
(1) f ( x) = x 2
(2)
g(x) = x 3
e w(x)=cos(x)
são funções pares
e
são funções impares
h(x)=sen(x)
2ª aula teórica
pág. 7
Análise Matemática I - 2006/2007
Def.2.4
Monotonia de funções
Seja f : A → B uma função e I ⊂ A um intervalo. Diz-se que f é:
Crescente em sentido lato em I se para ∀x1 < x2
Crescente em sentido estrito em I se para ∀x1 < x2
Decrescente em sentido lato em I se para ∀x1 < x2
Decrescente em sentido estrito em I se ∀x1 < x 2
f ( x1 ) ≤ f ( x2 )
f ( x1 ) < f ( x2 )
f ( x1 ) ≥ f ( x2 )
f ( x1 ) > f ( x2 )
Exemplos:
(1) A função constante, f ( x) = K , é simultaneamente crescente
e decrescente (em sentido lato) em ℜ .
(2) A função identidade, f ( x ) = x é estritamente crescente
em ℜ .
(3) A função f ( x) = x é estritamente decrescente em ]− ∞,0[e
estritamente crescente em ]0,+∞[.
Nota :
f ( x) = x tem:
Df = R
Cf = [0,+∞[
tem um zero em x=0
é positiva em ℜ \ {0}
tem um mínimo absoluto 0 em x=0
não é injectiva
não é sobrejectiva
2ª aula teórica
pág. 8
Análise Matemática I - 2006/2007
Def.2.5
Periodicidade de funções
f : A → B uma função, diz-se que f é periódica de período t>0 se
f ( x + t ) = f ( x), ∀x ∈ A
Mostre que: f ( x) = senx , é periódica de período 2π
f ( x) = tg ( x) , é periódica de período π
Nota:
sen(a ± b)=sen(a)cos(b) ± cos(a)sen(b)
cos(a ± b)=cos(a)cos(b) sen(a)sen(b)
2.2- Funções elementares e composição de funções
Def.2.6
Funções elementares principais
Designa-se funções elementares principais as funções definidas
pelas seguintes expressões analíticas:
(1)
f ( x) = xα ,α (cons tan te ) ∈ ℜ
função potência
(2)
f ( x) = a x , a ∈ ℜ + \ {1}
função exponencial
(3)
f ( x) = log a x, a ∈ ℜ + \ {1}
função logarítmica
(4)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
f(x) = tg(x)
f(x) = cotg(x)
f(x) = sec(x) = 1/cos(x)
f(x) = cosec(x) = 1/sen(x)
(5)
f(x) = arcsen(x)
f(x) = arcos(x)
f(x) = arctg(x)
f(x) = arcotg(x)
f(x) = arcsec(x)
funções trigonométricas
funções trigonométricas inversas
2ª aula teórica
pág. 9
Análise Matemática I - 2006/2007
Def.2.7 Funções elementares
Chama-se função elementar toda a função que possa ser obtida
como combinação em número finito de funções elementares
principais e de constantes com as operações de adição,
subtracção, multiplicação, divisão e composição de funções.
2.3 – Função composta. Função inversa. Função Implícita.
Def.2.8
Função composta
Seja f : A → B uma função, e g : C → D outra função, designase por função composta de f com g, a função h = fog que a cada
x ∈ Dh se tem: h( x ) = f ( g ( x ))
O domínio de h será Dh = {x ∈ C : g ( x) ∈ A}
Exemplo:
Seja f ( x ) = ln x
( fog )(x ) = f (g (x ))
f ( g ( x )) = ln
D f = ]0,+∞[
{
g ( x) = − x 2 + 4
e
(− x 2 + 4),
e
determine
{
D fog = x ∈ D g : g ( x) ∈ D f
}
D g = [− 2,2]
}
D fog = x ∈ D g : g ( x) ∈ D f = x ∈ [− 2,2] : − x 2 + 4 ∈ ]0,+∞[ =
x ∈ [− 2,2] : − x 2 + 4 > 0 = {x ∈ ]− 2,2[}
Def.2.9 Função inversa
Seja f : A → B uma função injectiva, chama-se função inversa
de f a f −1 : B → A tal que fof −1 = x e f −1of = x .
Exemplo: Verifique se as funções seguintes são inversas:
f ( x ) = x 3 + 1,
g ( x) = 3 x − 1
Def.2.10 Funções implícitas
2ª aula teórica
pág.10
Análise Matemática I - 2006/2007
Sejam x, y ∈ ℜ 2 duas variáveis relacionadas por uma condição
que designaremos simbolicamente por ψ ( x, y ) = 0 . Se existir
uma função y = f(x) definida num intervalo ]a, b[ tal que
ψ ( x, f ( x) ) é uma identidade em relação a x, então f(x) designa-se
função implícita definida pela equação ψ ( x, y )
Obs.: A condição
implícitas.
ψ ( x, y ) = 0
= 0.
pode definir várias funções
Exemplo: x 2 + y 2 − 4 2 = 0
y = + 42 − x 2
e
y = − 42 − x 2
Obs.: nem sempre é possível encontrar a forma explícita de uma
função implícita, isto é nem sempre é possível exprimir y = f (x)
com f função elementar.
Exemplo: y 3 − 3 y + 2 x = 0
2ª aula teórica
pág.11
Análise Matemática I - 2006/2007
Breves noções sobre funções trigonométricas
As funções sen(x) e cos(x) estão definidas e são contínuas em ℜ .
Têm como contradomínio o intervalo [− 1,1], são periódicas de
período 2 π .
A função tg(x) tem por domínio ℜ \
contradomínio ℜ .
π
2
+ Kπ , k ∈ Z e por
Exercício: desenhe o gráfico de sen(x), cos(x) e tg(x)
Devido ao facto da função sen(x), cos(x) e tg(x) não serem
invertiveis nos respectivos domínios há que considerar restrições
destas funções a intervalos nos quais sejam injectivas.
Assim:
A função arcsen(x)
tem como domínio
π π
contradomínio − , .
2 2
A função arcos(x) tem como domínio
contradomínio [0, π ] .
[− 1,1]
[− 1,1]
e como
e como
A função arctg(x) tem como domínio ℜ e como contradomínio
π π
− , .
2 2
2ª aula teórica
pág.12