Análise Matemática I - 2006/2007
Cap. I - FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
1 . Noções topológicas no conjunto dos reais.
1. 1- Módulo, distância, vizinhança.
Def.1.1 Seja x∈ ℜ , designa-se módulo ou valor absoluto ao
real positivo,
x =
x se x ≥ 0
− x se x < 0
Prop.1.2* Sejam x e y, dois números reais, então:
(1)
x ≥0
(2)
x≤ x
(3)
−x = x
(4)
xy = x × y
(5)
se y ≠ 0,
(6)
x
x
=
y
y
x+ y ≤ x + y
(7)
x− y ≥ x − y
(8)
se n∈ Ν ,
xn = x
n
Equações com módulos
x =0⇔ x=0
x = a ⇔ x = a ∨ x = −a
x − b = a ⇔ x − b = a ∨ x − b = −a
*
A demonstração destas propriedades encontra-se no livro do Prof. Campos Ferreira
1ª aula teórica.
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Inequações com módulos
Supondo a ∈ ℜ + e b ∈ ℜ −
x < a ⇔ x < a ∧ x > −a ⇔ −a < x < a ⇔ x ∈ ]− a, a[
x ≤ a ⇔ x ≤ a ∧ x ≥ −a ⇔ −a ≤ x ≤ a ⇔ x ∈ [− a, a ]
x > a ⇔ x > a ∨ x < −a ⇔ x ∈ ]− ∞,−a[ ∪ ]a,+∞[
x ≥ a ⇔ x ≥ a ∨ x ≤ −a ⇔ x ∈ ]− ∞,−a] ∪ [a,+∞[
x < 0 ⇔ x ∈∅
x ≤0⇔ x=0
x < b ⇔ x ∈∅
Exemplos:
a) x + 1 =
x + 1 se x + 1 ≥ 0
− ( x + 1) se x + 1 < 0
b) x + 2 = 3 ⇔ x + 2 = −3 ∨ x + 2 = 3 ⇔ x = −5 ∨ x = 1
c) x + 2 < 3 ⇔ −3 < x + 2 < 3 ⇔ −5 < x < 1
d) x + 2 > 3 ⇔ x + 2 < −3 ∨ x + 2 > 3 ⇔ x < −5 ∨ x > 1
Def.1.3
Distância entre dois números reais
Seja x, y∈ ℜ , define-se distância entre x e y, d ( x, y ) = x − y
Prop.1.4 * Sejam x, y, e z ∈ ℜ e d a distância definida
anteriormente então, são válidas as três propriedades:
(1) d(x, y) ≥ 0
e
(2) d(x, y) = d(y, x)
d(x, y) = 0 sse x = y
(simetria da distância)
(3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdade triangular)
1ª aula teórica.
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Def.1.5 Vizinhança
Seja a um n.º real, (a∈ ℜ) , dado um n.º ε > o, designa-se
ε,
vizinhança
de
a,
de
raio
ao
conjunto
Vε (a) = {x ∈ ℜ : d ( x, a) < ε }= {x ∈ ℜ : x − a < ε }
Exemplo:
V1 (5) = {x ∈ ℜ : x − 5 < 1}= {x ∈ ℜ : 4 < x < 6}
1.2- Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um
conjunto.
Prop.1.6 Seja A um subconjunto de números reais, A ⊂ ℜ , e b
um número real. Diz-se que:
(i) b é um ponto interior ao conjunto A se existir uma
vizinhança de b contida em A, (isto é se existir ε >o Tal que
Vε (b) ⊂ A ).
(ii) b é um ponto exterior ao conjunto A se existir uma
vizinhança de b disjunta de A isto é se existir ε >o tal que
Vε (b) A = ∅ .
(iii) b é um ponto fronteiro de A se b não for ponto
interior nem ponto exterior de A .
(iv) b é um ponto aderente de A se ∀Vε (b) ∩ A ≠ φ
(v) b é um ponto de acumulação de A se
∀Vε (b) ∩ ( A | {b}) ≠ φ
Faça a aplicação dos conhecimentos anteriores ao conjunto A
A = ]1,4] ∪ {10}
1ª aula teórica.
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Def.1.7 Dado um conjunto A ⊂ ℜ , designa-se:
(1) Interior de A, int(A) (ou A ), o conjunto das pontos
interiores de A
(2) Exterior de A, ext(A), o conjunto dos pontos exteriores de A.
(3) Fronteira de A, fr(A), o conjunto dos pontos fronteiros a A.
(4) Aderência de A, ou fecho de A, o conjunto int(A) fr(A) e
denota-se por A , ( A = A
fr ( A) )
(5) Derivado de A, A´, é o conjunto dos pontos de acumulação.
Exemplos:
(1 ) B = [0,1]
int( B) = ]0,1[ fr(B)= {0,1}
ext (B) = ]− ∞,0[ ∪ ]1,+∞[
(2)
X=∅
int( X ) = ∅
ext (X)= ℜ
(3)
X=ℜ
Int(X)= ℜ
ext (X)= ∅
B = [0,1]
B′ = [0,1]
fr(X)= ∅
X =∅
X′ = ∅
fr(X)= ∅
X =ℜ
X′ = ℜ
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Obs.:
Sendo X c o complementar do conjunto X ( X c = ℜ \X)
Qualquer que seja X ⊂ ℜ e X c :
(i) int( X c )=ext(X)
(ii) fr( X c )=fr(X)
(iii) int(X) ⊂ X ⊂ X′ ⊂ X
1.3- Conjuntos abertos e conjuntos fechados. Conjuntos
limitados.
Def.1.8 Um conjunto A ⊂ ℜ diz-se aberto se coincide com o
interior (A= A ) e A ⊂ ℜ diz-se fechado se coincidir com o fecho
−
( A = A ).
Exemplos:
A= ]0,5[
B= [0,3]
C= ]0,5]
A é aberto
B é fechado
C não é aberto nem fechado
Def.1.9 Conjunto limitado
Um conjunto A ⊂ ℜ diz-se limitado se, dado um elemento b ∈ A ,
existe ε ∈ ℜ + tal que A ⊂ Vε (b) . Caso contrário diz-se que A é
ilimitado.
Exemplos:
(1)
B= [− 5,3[ ∪ ]10,100[
{π ,10 4 }
B é limitado
(2)
C= ]− ∞, π ]
C não é limitado, diz-se então que é ilimitado.
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