INSTITUTO SUPERIOR
DEPARTAMENTO
ENGENHARIA
DE
DE
FÍSICA
E
DE
COIMBRA
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA APLICADA
25-02-04
Duração: 2.30h
Nota: A resolução completa dos exercícios inclui a justificação do raciocínio utilizado.
Recurso
1. Considere a função real f (x , y ) definida em D ⊂ IR 2 , dada pela expressão seguinte
f (x , y ) = arccos(x 2 − y )
(a) Determine o domínio de f e represente-o geometricamente.
(b) Qual das figuras/esboços representa o gráfico da superfície z = f (x , y ) ? Justifique.
Figura 1
Figura 2
(c) Mostre que, se z = f (x , y ) ∧ x ≠ 0 então verifica-se a seguinte equação às derivadas parciais
1 ∂z
∂z
+
=0
2x ∂x
∂y
(d) A temperatura T em (x,y) é dada por T = cos( f (x , y )) .
i) Calcule a taxa de variação de T em (1/2, 1) segundo a direcção π / 4 .
ii) Determine, a direcção e magnitude da taxa de variação máxima da temperatura em (1/2, 1)
2. Na figura ao lado considere a região com contornos
em formato de:
• segmentos de recta;
• arcos de circunferência de raio r = 1 ;
• arcos de parábola de eixo horizontal.
(a) Prove, usando o integral linha, que a área de um
quarto de circulo de raio r é igual a A = 14 πr 2 .
(b) Calcule o volume do sólido recto, limitado pelos
planos z = 0 e z = 4 , cuja projecção no plano xoy
coincide com a região do 1ºquadrante da figura. Faça
um esboço do sólido e calcule a sua massa.
(c) Verifique, se o integral
∫C −2xy 2dx − 2yx 2dy , onde
C é um arco regular que liga os pontos (0, 0) e (2, 2), é
independente do caminho. Calcule o valor do integral.
Figura 3
G
(d) Calcule o trabalho realizado pela força F(x , y ) = −2xy 2 i − 2yx 2 j quando aplicada a uma ferramenta que se
G
move ao longo do arco de parábola do 1ºquadrante. F é um campo conservativo? Justifique
EXAME
CURSO: ENG. MECÂNICA – 4ºA / 1ºS
®
0
, 0 ≤ t < π2
⎧
⎪
⎪
3. Seja f (t ) = ⎨
⎪
cos ( t − π2 ) , t ≥ π2
⎪
⎩
(a) Mostre, que a função é seccionalmente contínua e de ordem exponencial. Apresente dois processos que lhe
π
s
e− 2 s .
permitiriam calcular a transformada de Laplace da função f. Mostre que L { f (t )} = 2
s +1
(b) Calcule, se possível, a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
π
s
s
;
ii) F (s ) = e − 2 s
.
i) G (s ) = 4
( s − 1 ) (s + 1) ( s 2 + 1 )
s −1
(c) Utilizando a transformada de Laplace, determine a solução do problema de valores iniciais
y ′′ − y = f (t ),
4. Seja f (t ) = t 2 ,
y ( 0 ) = 1, y ′ ( 0 ) = 0 .
−π < t ≤ π,
f (t + 2π) = f (t )
(a) Determine a série de Fourier associada a f (t ) . Qual das figuras seguintes está associada ao desenvolvimento
da função em série de Fourier? Justifique.
∞
i) f (t ) =
cos(nt )
π2
+ 4 ∑ (−1)n
3
n2
n =1
ii) f (t ) = −
π2
4 cos 3t cos 4t
+ 4 cos t − cos 2t +
−
+"
3
9
4
y
y
π2
−π
−3 π
−2 π
−π
π
2π
3π
t
Figura 4
t
π
−π2
Figura 5
(b) Defina analiticamente uma função y = g(t ) , cujo desenvolvimento em série de Fourier coincide com o da
alínea que excluiu anteriormente.
(c) O modelo matemático associado ao sistema mecânico, representado pela
figura 6, é dado por:
Mola
my ′′ + by ′ + ky = r ( t )
onde:
Massa m
m = massa; y = deslocamento; b = factor de amortecimento;
k = constante da mola e r ( t ) = força aplicada
r (t )
Figura 6
Para m = 1 , b = 0.02 , k = 25 e r ( t ) = f ( t ) , apresente um algoritmo/diagrama que, usando séries de Fourier
e transformadas de Laplace, lhe permitiria determinar a solução particular do sistema com condições iniciais
y (0) = 9 e y ′(0) = 0 .
EXAME
CURSO: ENG. MECÂNICA – 4ºA / 1ºS
RECURSO