Cálculo III - Séries de Fourier
SÉRIES DE FOURIER
1. FUNÇÕES PERIÓDICAS:
As funções periódicas podem ser definidas como aquelas funções f(t) para as quais:
f (t ) = f (t + T)
(1.1)
para qualquer t real (vide Figura 1.1). A menor constante T que satisfaz (1.1) é chamada período da
função f(t). Por iteração de (1.1), temos para todo t real que:
f ( t ) = f (t + nT ), n = 0,±1,±2, K ,
(1.2)
4
2
-2π
-π
π
2π
3π
T=2π
Figura 1.1. Um exemplo de função periódica de período T = 2π.
t
t
Exemplo 1: Ache o período da função f ( t ) = cos + cos .
4
3
Solução: Se a função f(t) for periódica com um período T, então, de (1.1), resulta:
cos
1
(t + T ) + cos 1 (t + T ) = cos t + cos t .
3
4
3
4
Como cos(φ + 2πm ) = cos φ , para qualquer inteiro m, então
1
T = 2πm, e
3
1
T = 2πn , onde m e n
4
são inteiros. Portanto, T = 6πm = 8πn. Quando m = 4 e n = 3, obtemos o menor valor de T. Isto pode
ser visto mediante um processo de tentativa. Então, T = 24π .
Em geral, se a função f ( t ) = cos ω1t + cos ω2 t for periódica com período T, deverá ser
possível, então, achar dois inteiros m e n, tais que:
ω1T = 2πm
(1.3)
e
ω 2 T = 2πn .
(1.4)
O quociente de (1.3) por (1.4) é
1
Cálculo III - Séries de Fourier
ω1 m
= ,
ω2 n
(1.5)
Isto é, a razão ω1 / ω2 deve ser um número racional.
Neste ponto, é importante observar que funções do tipo A cos( ωt + φ) (não devemos esquecer
que os senos estão incluídos neste grupo, pois sen( t ) = cos( t − π / 2) ) são funções periódicas de
período T, denominadas senóides, onde: ω =
2π
= 2πf é dita velocidade angular, f = 1 é
T
T
denominada freqüência, A é a amplitude e φ o ângulo de fase.
Exemplo 2: A função f ( t ) = cos10 t + cos(10 + π )t é periódica?
ω1
10
=
não é um número racional,
ω2 10 + π
Solução: Neste caso, ω1 = 10 e ω 2 = 10 + π. Assim,
ou seja, é impossível achar um valor T para o qual (1.1) seja satisfeita. Portanto, f(t) não é periódica.
Exemplo 3: Ache o período da função f (t ) = (10 cos t )2 .
Solução: Usando a identidade trigonométrica cos 2 θ =
f ( t ) = (10 cos t )2 = 100 cos 2 t = 100
1
(1 + cos 2θ) , obtemos que:
2
1
(1 + cos 2t ) = 50 + 50 cos 2t.
2
Como a função constante é função de período T, para qualquer valor de T, e o período de cos(2t) é π ,
concluímos que o período de f(t) é π .
Exemplo 4: Mostre que se f(t + T) = f (t), então:
T
∫0
f ( t ) dt = ∫
t0 +T
t0
f ( t ) dt , ∀t 0 ∈ ℜ .
(1.6)
Em particular, se t 0 = −T / 2 , obtemos que:
T
∫0
f ( t ) dt = ∫
T/2
−T / 2
f ( t ) dt .
(1.7)
Solução: Fazendo a mudança de variável t = τ + T na integral
β
∫α
f (t )dt = ∫
β−T
α −T
f (τ + T )dτ = ∫
β
∫ α f (t )dt , e usando-se (1.1), obtemos:
β−T
α −T
f (τ )dτ ,
ou seja,
β
∫α
f (t )dt = ∫
β−T
α −T
f ( t ) dt .
(1.8)
2
Cálculo III - Séries de Fourier
Por outro lado, podemos escrever o segundo membro de (1.6) como:
t 0 +T
∫t
0
T
t0 +T
t0
T
f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt + ∫
f ( t ) dt
e podemos aplicar o resultado de (1.8) à segunda integral do segundo membro da equação acima,
resultando:
t 0 +T
∫t
0
T
t0
T
t0
0
0
f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt .
2. DEFINIÇÃO DAS SÉRIES DE FOURIER
Suponhamos que uma certa função f(t) seja representada pela série trigonométrica:
∞
a
f ( t ) = 0 + ∑ (a n cos(nωt ) + b n sen( nωt ) ),
2 n =1
(2.1)
onde ω = 2π / T é denominada freqüência angular fundamental da função f(t), e que a série convirja
uniformemente no intervalo 0 ≤ t ≤ T. Se isso acontecer, a série convergirá uniformemente para todos
os valores de t. Multipliquemos a série por cos(mωt), sendo m um número inteiro positivo. Esta série é
ainda uniformemente convergente e pode ser integrada termo a termo, ou seja:
T
∫0
f ( t ) cos(mωt ) dt =
a0
2
∞
T
∫0
∞
cos(mωt ) dt + ∑ a n ∫ cos(nωt ) cos(mωt ) dt +
T
n =1
0
(2.2)
+ ∑ b n ∫ sen (nωt ) cos(mωt ) dt
n =1
T
0
Este processo permite a determinação dos coeficientes a n , desde que se conheça a função f(t),
baseando-se nas importantes propriedades de ortogonalidade dos senos e cosenos, quais sejam:
T
a ) ∫ sen (nωt ) cos(mωt ) dt = 0 (para todos os n , m)
0
b) ∫
T
0
⎧0 (se n ≠ m)
⎪
.
cos(nωt ) cos(mωt ) dt = ⎨T (se n = m = 0)
⎪T / 2 (se n = m ≠ 0 )
⎩
(2.3)
T
⎧0 (se n ≠ m)
c) ∫ sen (nωt ) sen (mωt ) dt = ⎨
0
⎩T / 2 (se n = m )
Assim, vemos que todos os termos da soma infinita (2.2) se anularão, com uma única
exceção, ou seja,
T
T
∫0 f (t ) cos(mωt ) dt = a m 2 ,
incluindo m = 0. Esta relação nos permite calcular
qualquer coeficiente a m desejado, quando conhecemos a função f(t). Os Coeficientes b m são tratados
3
Cálculo III - Séries de Fourier
de maneira semelhante, isto é, o desenvolvimento é multiplicado por sem(mωt) e é integrado. As
relações de ortogonalidade fornecem então que
T
T
∫0 f (t ) sen(mωt ) dt = b m 2 .
Segue-se, então, que os coeficientes a 0 , a n e b n podem ser calculados por meio das fórmulas
seguintes:
an =
2
T
∫0 f (t )cos(nωt ) dt (n ≥ 0)
T
.
e
bn =
2
T
(2.4)
T
∫0 f (t )sen (nωt ) dt (n > 0)
Estes coeficientes a n e b n são chamados de coeficientes de Fourier da função f(t). A série
trigonométrica (2.1) construída a partir destes coeficientes é conhecida como a série de Fourier da
função f(t). É importante observar que os coeficientes de Fourier podem ser construídos para uma
grande variedade de funções periódicas de período T, incluindo algumas descontínuas.
Não podemos esquecer que, pela equação (1.6), podemos calcular as integrais da Eq. (2.4) em
qualquer intervalo de comprimento T, em especial:
an =
2
T
T/2
∫− T / 2 f (t )cos(nωt ) dt (n ≥ 0)
.
e
bn =
2
T
(2.5)
T/2
∫− T / 2 f (t )sen (nωt ) dt (n > 0)
Esta forma das séries de Fourier é mais freqüentemente usada no tratamento dos fenômenos
periódicos no tempo; onde o símbolo t representa a variável tempo. Neste contexto, as séries de
Fourier são freqüentemente escritas sob uma forma envolvendo amplitudes e fases. Por exemplo, se
escrevermos:
a
A 0 = 0 , A n = a 2n + b 2n
2
b
e φ n = arctg n
an
(n > 0) ,
(2.6)
então a série de Fourier será:
∞
f ( t ) = A 0 + ∑ A n cos(ωn t − φ n ) ,
(2.7)
n =1
onde ω n = nω é dito o n-ésimo Harmônico da Fundamental e os coeficientes A n e φ n são
denominados, respectivamente, Amplitude e Fase do n-ésimo harmônico.
4
Cálculo III - Séries de Fourier
Exemplo 1. Considere a função f ( t ) = t 2 , definida no intervalo (− π,+ π) . Seus coeficientes
de Fourier são facilmente calculados:
a0 =
1 +π 2
1 +π
4
1 +π
t dt = 23 π 2 , a n = ∫ t 2 cos nt dt = (− 1)n 2 , b n = ∫ t 2sen nt dt = 0.
∫
π −π
π −π
π −π
n
Figura 2.1. A função periódica g(t).
É fácil notar que a série de Fourier é uniformemente convergente para todos os valores de t e
representa a função:
g(t ) =
∞
π2
cos nt
+ 4 ∑ (− 1)n
.
3
n2
n =1
O gráfico da função g(t) está mostrado na figura 2.1. Fica evidente que a série de Fourier de f ( t ) = t 2
representa uma extensão periódica dos valores de f(t) no intervalo (− π,+ π) .
⎧− 1
Exemplo 2. Considere agora a função periódica descontínua f (t ) = ⎨
⎩+ 1
(− L ≤ t < 0)
, com f(t
(0 ≤ t < L)
+ 2L) = f(t), para todo t real. Os coeficientes de Fourier são:
a0 =
1 0
1 L
(
)
(+ 1)dt = −1 + 1 = 0,
1
dt
−
+
L ∫− L
L ∫0
an =
1 0 ⎛
nπt ⎞
1 L⎛
nπt ⎞
cos
dt
+
−
⎟ dt = 0,
⎜ + cos
⎟
⎜
∫
∫
L
0
−
L
L ⎠
L ⎝
L ⎠
⎝
⎧4
(n = ímpar )
1 0 ⎛
nπt ⎞
1 L⎛
nπt ⎞
2 L
nπt
⎪
b n = ∫ ⎜ − sen
dt + ∫ ⎜ + sen
dt = ⎨ nπ
,
⎟ dt = ∫ sen
⎟
L −L⎝
L ⎠
L 0⎝
L ⎠
L 0
L
⎪⎩0 (n = par )
e a série de Fourier será g ( t ) =
(2n + 1)πt
4 ∞
1
sen
. A série é convergente no intervalo (-L,L) e,
∑
π n = 0 2n + 1
L
portanto, g(t) está bem definida. Explicitamente, a série de Fourier converge para +1, se 0 < t < L, para
–1, se –L < t < 0 e para zero se t = 0 ou t = ± L . Esta série “quase” reproduz f(t), sendo que as exceções
se localizam nos pontos de descontinuidade da função f(t).
5
Cálculo III - Séries de Fourier
Esta característica é uma propriedade geral das séries de Fourier. Se a função f(t) possui uma
descontinuidade de salto em um certo ponto t 0 , então sua série de Fourier converge para o “ponto
médio do salto”. Mais precisamente, considerando os limites laterais à direita e à esquerda da f(t)
quando t tende para t0, f (t 0 + 0 ) = lim f ( t ), f (t 0 − 0 ) = lim f ( t ) , então a série de Fourier converge
t→t0
t>t0
para
1
2
t→t0
t< t0
[f (t 0 + 0) + f (t 0 − 0)] .
Observação: Estas duas afirmativas permanecem válidas quando os dois limites f(t0 + 0) e
f(t0 - 0) são idênticos. Em outras palavras, se f(t) é contínua no ponto t = t 0 , então f(t0+0) = f(t0-0) =
f(t0) e a série de Fourier simplesmente converge para f(t0), que é o valor da função neste ponto. Surge
então um problema fundamental da teoria das séries de Fourier: "Que condições deve uma função f(t)
satisfazer para que sua série de Fourier convirja para f(t) nos intervalos 0 ≤ t ≤ T
ou
− T / 2 ≤ t ≤ T / 2 ?"
3. CONVERGÊNCIA PONTUAL DAS SÉRIES DE FOURIER
Deseja-se saber se a série de Fourier de uma dada função f(t) convergirá de fato para f(t).
Exemplos simples parecem indicar que, em via de regra, que a série de Fourier (2.1) convergirá para
1
2
[f (t + 0) + f (t − 0)] em todos os pontos do intervalo (0, T). A determinação das condições exatas sob
as quais este resultado pode ser esperado tem sido assunto de pesquisa intensa durante mais de um
século e chegou-se ao teorema abaixo, que é suficiente para a maioria das aplicações físicas.
Definição 1: Uma função definida em um intervalo fechado a ≤ t ≤ b é dita seccionalmente
contínua quando o intervalo pode ser dividido em um número finito de subintervalos nos quais f(t) é
contínua e possui limites finitos nas extremidades esquerda e direita destes subintervalos.
Definição 2: Uma função definida em um intervalo fechado a ≤ t ≤ b é dita satisfazer as
condições de Dirichlet se f(t) é seccionalmente contínua em [a, b] e o intervalo (a, b) pode ser
dividido em um número finito de subintervalos nos quais f(t) é monótona.
Teorema. Se f(t) satisfaz as condições de Dirichlet para 0 ≤ t ≤ T , então sua série de Fourier
(2.1) converge para
1
2
[f (t − 0) + f (t + 0)],
se 0 < x < T, ou
1
2
[f (0 + 0) + f (T − 0)],
6
se x = 0 ou T.
Cálculo III - Séries de Fourier
Observação: O teorema acima não encerra, de nenhuma maneira, a teoria das séries de
Fourier, pois existem funções que não o satisfazem, mas mesmo assim, possuem série de Fourier. Este
fato pode ser ilustrado com o seguinte exemplo:
(
)
Exemplo: A função f (t ) = log cos 2t , se − π < t < π, com f(t + 2π) = f(t), para todo t real,
∞
possui a série de Fourier g(t ) = − log 2 − ∑
n =1
(− 1)n cos nt.
n
Vemos que a série de Fourier convergirá
uniformemente para f(t), em qualquer intervalo t1 ≤ t ≤ t 2 com t1 > −π e t 2 < π. Ela vai divergir para
t = ± π : podemos dizer que se aproxima de "menos infinito" quando t → ± π , mas o mesmo acontece
com f(t). Evidentemente a série de Fourier representa f(t) de maneira extremamente fiel, e, no entanto,
f(t) não satisfaz as condições de Dirichlet.
4. PROPRIEDADES DE PARIDADE
Uma função f(t) é chamada função impar se f(-t) = -f(t), para todo t real. Assim, as funções
n
f(t) = t , com n ímpar, f(t) = sen(at) e a função f(t) desenhada na figura 4.1a são exemplos de funções
ímpares. Uma função f(t) é chamada função par se f(-t) = f(t), para todo t real. Assim, por exemplo, as
funções f(t) = tn, com n par, e f(t) = cos(at) e a função desenhada na figura 4.1b são funções pares.
1
-4
1
-3
-2
2
4
-1
1
3
6
5
-1
-1
(a)
(b)
Figura 4.1. Exemplos de funções pares e ímpares.
Suponhamos que devemos desenvolver uma função f(t) em uma série de Fourier no intervalo
(-T/2, T/2). Se f(t) for uma função par, então, pelas propriedades acima, todos os coeficientes b n
deverão anular-se, enquanto que os coeficientes a n serão obtidos simplesmente pela integração de 0 a
T/2, multiplicando-se os resultados por dois, ou seja:
a0 ∞
2π
4
f (t) =
, e an =
+ ∑ a n cos(nωt ), com ω =
2 n =1
T
T
T/2
∫0
f (t )cos(nωt ) dt .
Semelhantemente, se f(t) é impar, então todos os coeficientes a n serão nulos e:
7
(4.1)
Cálculo III - Séries de Fourier
∞
f (t ) = ∑ b n sen (nωt ), com ω =
n =1
2π
4 T/2
, e bn = ∫
f ( t ) sen (nωt ) dt .
T
T 0
(4.2)
Os resultados (4.1) e (4.2) dão origem outros tipos de desenvolvimentos trigonométricos,
conhecidos, respectivamente, como a Série de Fourier em Cosenos e a Série de Fourier em Senos.
Exemplo 1: Ache a série de Fourier para a função onda quadrada, mostrada na figura 4.1a.
Solução: Da figura 4.1a, decorre que f ( − t ) = −f ( t ), isto é, f(t) tem simetria ímpar. E mais, f(t)
tem período T = 4. Ou seja, ω = π / 2 . Então:
f (t) =
∞
⎡ nπ ⎤
t⎥
⎦
∑ b n sen ⎢⎣ 2
n =1
⎧4
, se n impar
−2
4 2 ⎡ nπ ⎤
2
⎡ nπ ⎤ 2
{1 − cos(nπ)} = ⎪⎨ nπ
bn =
sen ⎢ t ⎥ dt =
cos ⎢ t ⎥ =
.
4 0
nπ
⎣2 ⎦
⎣ 2 ⎦ 0 nπ
⎪⎩0, se n par
∫
Portanto,
f (t) =
π
4⎛
1
3π
1
5π
⎞
t + sen
t + K⎟ .
⎜ sen t + sen
π⎝
2
3
2
5
2
⎠
Exemplo 2: Ache a série de Fourier para a função f(t) do tipo onda quadrada mostrada na
figura 4.1b.
Solução: Da figura 4.1b, observa-se que f (− t ) = f ( t ) , isto é, a função f(t) tem simetria par. E
mais, f(t) tem período T = 4. Ou seja, ω = π / 2 . Assim,
f (t) =
∞
n =1
an =
1
4 2
⎡ nπ ⎤
⎡ nπ ⎤
f ( t ) cos ⎢ t ⎥ dt = cos ⎢ t ⎥ dt −
0
4 0
⎣2 ⎦
⎣2 ⎦
nπ
2
nπ 2
2
=
−
=
sen
sen(nπ) +
sen
2
nπ
2 nπ
nπ
∫
∫
⎡ nπ ⎤
t⎥
⎦
∑ a n cos⎢⎣ 2
2
⎡ nπ ⎤
⎡ nπ ⎤
cos ⎢ t ⎥ dt =
sen ⎢ t ⎥
1
nπ
⎣2 ⎦
⎣2 ⎦
nπ
4
sen .
2
nπ
∫
2
1
0
−
2
⎡ nπ ⎤
sen ⎢ t ⎥ 2 =
nπ
⎣2 ⎦ 1
Portanto,
f (t ) =
4⎛
1
3π
1
π
5π
⎞
t − K⎟ .
⎜ cos t − cos t + cos
2
3
2
5
π⎝
2
⎠
Exemplo 3: Ache a série de Fourier para a função f(t) mostrada na Figura 4.2a abaixo.
Solução: Como mostra a figura 4.2b, a função g( t ) = f (t ) − 12 é uma função ímpar; então:
8
Cálculo III - Séries de Fourier
g( t ) =
∞
∑
b n sen(nωt ), com b n =
n =1
4 T/2
g( t ) sen (nωt ) dt.
T 0
∫
1/2
1
-T
-2T
T
2T
3T
-2T
-1/2 T
-T
2T
3T
(a) f(t)
(b) g(t)
Figura 4.2. As funções f(t) e g(t) do exemplo 3.
Como g( t ) =
1 t
4 T/2⎛ 1 1 ⎞
− , para 0 < t < T, então: b n =
⎜ − t ⎟ sen (nωt ) dt . Integrando por partes:
2 T
T 0 ⎝2 T ⎠
∫
bn =
4 ⎡ ⎛ 1 1 ⎞ cos(nωt ) sen(nωt ) ⎤
−
⎥
⎢− ⎜ − t ⎟
T ⎢⎣ ⎝ 2 T ⎠ nω
T(nω)2 ⎥⎦
T/2
0
=
1
.
nπ
Assim,
f (t) =
∞
1 1
1
1 1⎛
1
1
1
⎞
sen(nωt ) = + ⎜ sen(ωt ) + sen(2ωt ) + sen(3ωt ) + K⎟ .
+ g (t ) = +
2 π⎝
2
3
2 π n =1 n
2
⎠
∑
5. FORMA COMPLEXA DA SÉRIE DE FOURIER
O desenvolvimento de Fourier dado pela equação (2.1) pode ser escrito sob forma complexa.
Para tanto, escreve-se:
cos (ω n t ) =
(
1 jωn t
e
+ e − jωn t
2
)
e sen (ω n t ) =
)
(
1 jωn t
e
− e − jωn t ,
2j
(5.1)
onde ωn = nω = 2nπ / T , e introduz-se estas expressões na série de Fourier (2.1). É conveniente definir
os coeficientes:
⎧ 1 (a n − jb n ) (n > 0),
⎪2
⎪
c n = ⎨ 12 (a n + jb n ) (n < 0),
⎪
⎪⎩ 12 a 0 (n = 0 ).
(5.2)
Então a série de Fourier pode ser rescrita em sua forma complexa:
9
Cálculo III - Séries de Fourier
f (t) =
+∞
∑ c n e jωn t (− T / 2 < t < T / 2 ) ,
(5.3)
n = −∞
onde os coeficientes c n são obtidos substituindo-se as fórmulas (2.4) para a n e b n nas equações (5.2),
resultando:
cn =
1 T/2
f ( t ) e − jωn t dt .
T ∫−T / 2
(5.4)
Alternativamente, a fórmula (5.4) acima pode ser deduzida multiplicando-se a série complexa
de Fourier (5.3) acima por e − jωn t e integrando. Mostra-se facilmente que as exponenciais complexas
são ortogonais, no sentido de que:
+T / 2
∫− T / 2
⎧0 (n ≠ m)
e jω n t e − jω m t dt = ⎨
⎩T (n = m )
(5.5)
e segue-se então a fórmula para c n .
Observação: Embora a série de Fourier apareça agora sob forma complexa, sua soma f(t) é
ainda supostamente real. Neste caso, as propriedades seguintes são facilmente verificadas:
1) c 0 é real; c − n = c n ;
2) Se f(t) é par, todos os coeficientes c n são reais;
3) Se f(t) é ímpar, c 0 = 0 e todos os coeficientes c n são imaginários puros.
⎧0
Exemplo: A função f ( t ) = ⎨
⎩1
(− π < t ≤ 0)
(0 < t ≤ π)
pode ser representada por uma série de Fourier
complexa. Os coeficientes serão:
c0 =
1 π
1
dt =
∫
2π 0
2
e cn =
1 π − jnt
1 − e − jnπ ⎧⎪0 (n = par )
e
dt
=
=⎨ 1
2π ∫0
2πnj
⎪⎩ πnj (n = impar )
e, portanto, a série complexa de Fourier da f(t) será:
f (t ) =
1 1 +∞ 1 jnt
+
∑ e .
2 πj n = −∞ n
n =ímpar
BIBLIOGRAFIA
Hsu, H. P. Análise de Fourier. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1973.
Spiegel, M. R. Análise de Fourier. São Paulo: Coleção Schaum, McGraw-Hill, 1976.
10
Cálculo III - Séries de Fourier
Churchill, R. V. Séries de Fourier e problemas de valores de contorno. Rio de Janeiro: Guanabara
Dois, 1978.
Spiegel, M. R. Transformadas de Laplace. São Paulo: Coleção Schaum, McGraw-Hill, 1979.
LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Dada a função periódica abaixo, determine os coeficientes de Fourier e os quatro primeiros
termos não-nulos da série de Fourier:
4
-4
-2
2
4
6
2) Dada a função periódica desenhada abaixo, determine todos os coeficientes de Fourier e os
três primeiros termos não-nulos da série de Fourier:
4
2
-6
-3
3
6
9
3) Dada a função periódica desenhada abaixo, determine todos os coeficientes de Fourier e os
três primeiros termos não-nulos da série de Fourier:
4
2
-2π
π
-π
2π
3π
4) Determine os coeficientes de Fourier e os três primeiros termos não-nulos da série de
Fourier para a função:
f ( t ) = t 2 , se
− π < t < π, e
f ( t + 2 π) = f ( t ), ∀t ∈ ℜ.
5) Ache os coeficientes de Fourier a0, a1, a2, b1 e b2 para a seguinte função:
2
-4
-2
2
4
6
-2
6) Ache os coeficientes de Fourier a0, a1, a2, b1 e b2 para a seguinte função:
11
Cálculo III - Séries de Fourier
3
-6
-3
3
6
9
-3
⎧2 − t , se 0 < t < 4
numa série de Fourier de período 8.
7) Desenvolva f ( t ) = ⎨
⎩t − 6, se 4 < t < 8
8) Encontre a série de Fourier da função descrita por:
f (t ) = t − 2 , se 0 ≤ t < 4 e f (t + 4 ) = f (t ).
9) Dada a seguinte função periódica:
f ( t ) = t , se − 3 < t < 3, e f ( t + 6) = f ( t ), ∀t ∈ ℜ,
determine os coeficientes a0, a3 e b5 da série de Fourier.
10) Determinar os coeficientes de Fourier e os três primeiros termos não-nulos da série de
Fourier de:
⎧1 + t, se − 2 < t < 0
e f(t +4) = f(t), ∀t∈ℜ .
f(t) = ⎨
⎩1 − t, se 0 ≤ t < 2
11) Dada a função abaixo:
⎧− t , se − 1 < t < 1
e f ( t + 4) = f ( t ), ∀t ∈ ℜ.
f (t) = ⎨
0
,
se
2
t
1
e
1
t
2
−
<
<
−
<
<
⎩
Calcular os coeficientes de Fourier a n e b n , para n = 0, 1, 2 e 3.
12)
Encontre
a
série
complexa
de
Fourier
de
f (t ) = e 3t ,
se
t ∈ (0, 2π) ,
e
f (t + 2π ) = f (t ), ∀t ∈ ℜ.
13) Ache a série de Fourier complexa para a função f ( t ) = sen 4 t , se t ∈ (0.π) , e
f (t + π ) = f (t ), ∀t ∈ ℜ.
14) Ache os coeficientes de Fourier complexos e esboce o espectro de freqüências para a onda
f(t) correspondente à retificação de meia senóide, definida por:
⎧A sen ω0 t , se 0 < t < T
2π
⎪
2
e f (t + T ) = f (t ), ∀t ∈ ℜ, onde ω0 =
.
f (t ) = ⎨
T
⎪⎩0, se T2 < t < T
12
Cálculo III - Séries de Fourier
15) Ache os coeficientes de Fourier complexos e esboce o espectro de freqüências da função
dente de serra definida por f ( t ) = −
1
1
t + , se 0 < t < T e f ( t + T) = f ( t ), ∀t ∈ ℜ .
T
2
16) Ache a série de Fourier complexa da função dente de serra definida por
f (t ) =
A
t , se 0 < t < T, e f ( t + T) = f ( t ), ∀t ∈ ℜ.
T
17) Ache a série de Fourier complexa da função periódica f(t), resultante da retificação
completa de uma onda senoidal, definida por:
f (t ) = A sen(πt ), se 0 < t < 1, e f (t + 1) = f ( t ), ∀t ∈ ℜ.
RESPOSTAS:
1) a 0 = 4, a n = 0 (n ≠ 0), b n = −
2) a 0 = 6, a n = 0 (n ≠ 0), b n =
3) a 0 = 4, a n =
4) a 0 =
4
sen(πt ) sen( 2πt ) sen(3πt )
4
⎞
; f ( t ) = 2 − 4⎛⎜
+
+
+ K⎟ .
nπ
2
3
π
π
π
⎠
⎝
[
[(−1) − 1](n ≠ 0), b
n
2 2
n π
]
2
4
⎛π ⎞ 4
1 − (−1) n ; f ( t ) = 3 + sen⎜ t ⎟ +
sen (πt ) + K .
nπ
π
⎝ 3 ⎠ 3π
n =−
[
]; f (t) = 2 − π8 cos t − π2 sen(2t) − K .
2
(−1) n + 1
nπ
2
π2
2π 2
4
− 4 cos t + cos 2 t − K .
, an =
(−1) n (n ≠ 0), b n = 0 ; f ( t ) =
3
3
n2
6) f ( t ) =
6 ∞ 1
⎛ 2nπt ⎞
sen⎜
⎟.
n
π
⎝ 3 ⎠
n =1
∑
8) f ( t ) = −1 +
∞
7) f ( t ) =
1
n =0
∑
n =1
⎫
πt 1
16 ⎧
3πt
1
5πt
+
+ K⎬ .
cos +
cos
cos
2 ⎨
2
2
4 3
4
4
π ⎩
5
⎭
⎛ 2n + 1 ⎞
πt ⎟ .
2
⎠
∑ (2n + 1) 2 cos⎜⎝
π2
8
4 ∞ 1
sen (nπt ) .
π
n
5) f ( t ) = −
9) a 0 = 3, a 3 = −
4
3π 2
, b5 = 0 .
2
⎧
⎤
8 ⎡ ⎛ πt ⎞ 1
⎛ 3πt ⎞ 1
⎛ 5πt ⎞
10) a n = ⎪⎨8 /(nπ) , se n impar, b n = 0 ; f ( t ) =
cos⎜ ⎟ + cos⎜
cos⎜
⎟+
⎟ + K⎥ .
⎢
2
⎪⎩0, se n par
1
2
11) a 0 = − , a 1 =
13) f ( t ) =
15) c n =
4
π2
π ⎣
−
)
(
j2 π n
, c0 = 0 .
⎝ 2 ⎠
2
2
4
2
, a2 =
, a1 =
+
e bn = 0 .
2
2
π
3π
9π
π
1 4 jt
e
− 4e 2 jt + 6 − 4e − 2 jt + e − 4 jt .
16
1
⎝2⎠ 9
16) f ( t ) =
A A
+
2 2π
14) c n =
∞
∑
n =−∞
(
25
⎝ 2 ⎠
⎦
+∞
12) f ( t ) = senh(3π)
∑
n = −∞
(
A
2π 1 − n
)
1 j n ω0 t + π2
e
.
n
13
) (1 + e ), para n ≠ ±1, e c
− jnπ
2
17) f (t ) = −
2A
π
∞
∑
1
e 3π+ jnt
.
3π − jnπ
= −c −1 = −
1
2
n = −∞ 4n − 1
jA
.
4
e j 2π nt .