MATEMÁTICA
2006-2007
Exercícios Adicionais (1)
Derivadas: sentido de variação de uma função
1. Determine os intervalos em que são crescentes ou decrescentes as seguintes funções de variável
real:
a)
y = 3x − 2
b)
y = −4 x + 2
c)
y = x 2 − 4x + 1
d)
y = −3 x 2 + 6 x + 5
e)
y = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 1
f)
y=
x +1
x+3
2. Qual é o valor de verdade da seguinte proposição? Justifique.
“Toda a função real de variável real definida por uma expressão do tipo
f ( x) = ax + b ,
a, b ∈ ℜ, é estritamente crescente se a > 0 e é estritamente decrescente se
a < 0 ”.
3. Mostre que as funções seguintes são funções decrescentes em todo o intervalo dos domínios das
funções.
f ( x) =
2x − 1
3x − 2
g ( x) = − x 3 +
1 2
x − x+5
2
4. Considere a função real de variável real, m( x) = 3x 2 − 4 x + 2 , determine o intervalo onde a
função é crescente.
Derivadas: extremos relativos
5. Calcule se existirem os extremos relativos de cada uma das seguintes funções reais de variável
real:
a)
y = 3x 2 − 6 x + 1
d)
y = 1 − x 2 −1
b)
y = x 3 − 3x 2 + 2
e)
y= x−2
c)
y=
f)
x 2 + 1
y=
− x + 4
3x
x +4
2
se
x <1
se
x ≥1
6. Considere as seguintes funções de variável real:
3x − 2 ⇐ x ≠ 1
r ( x) = 
⇐ x =1
4
x 2 + 1 ⇐ x ≠ 1
s ( x) = 
⇐ x =1
3
1
a) Mostre que para x=1, a primeira função tem um máximo relativo e a segunda função tem um
mínimo relativo.
b) Esboce o gráfico de cada uma das funções.
7. Considere a função quadrática
f ( x) = ax 2 + bx + c
(a ≠ 0)
a) Prove que a função tem um extremo relativo em x = −
b
.
2a
b) Prove ainda que será um máximo ou um mínimo conforme a < 0 ou a > 0.
8. Considere a função
t ( x) = x 2 − 4 x
a) Calcule as derivadas laterais para x = 0 e x = 4.
b) A função tem um máximo e dois mínimos relativos. Calcule-os.
[
]
c) Esboce o gráfico da função, no intervalo − 1, 5 .
9. Calcule os números reais a e b de modo que, relativamente à função
h( x) = ax 2 + bx + 3
o ponto (1, 1) seja um extremo relativo.
Trata-se de um máximo ou de um mínimo? Justifique.
Derivadas: concavidades e pontos de inflexão.
10. Acerca da função
f ( x) = ax 2 + bx + c
(a, b, c ∈ ℜ),
sabe-se que
f(0) = 3,
f ’(1) = 6,
f ‘’(2) = 4.
Calcule a, b e c.
11. Estude o sentido das concavidades e calcule as coordenadas dos pontos de inflexão, se
existirem, das seguintes funções de variável real:
a)
f ( x) = x 3 − 3 x 2
b)
g ( x) = ( x 2 − 3) 2
c)
h( x ) =
x −1
x+2
d)
p ( x) =
x2
x2 + 3
12. Considere a função de variável real, y = 3 x .
2
a) Mostre que y ′(0) = +∞ .
b) Mostre que o ponto (0, 0) é um ponto de inflexão do gráfico da função.
c) Esboce o gráfico da função.
Estudo e esboço de gráficos de funções
13. Defina analiticamente as assímptotas dos seguintes gráficos das funções de variável real:
a)
f ( x) =
3− x
x +1
d)
m( x ) =
2x 2
x2 − 4
b)
g ( x) =
x
( x + 1) 2
e)
n( x ) =
x−4
x2 −1
c)
h( x ) =
x2
3x + 1
f)
( x − 1) 2
p ( x) = 2
x −8
14. Considere a função real de variável real
f ( x) =
x −1
x2
a) Indique as equações das assímptotas do gráfico da função.
b) Mostre que a função tem um máximo relativo igual a
1
para x = 2 .
4
c) Investigue a existência de pontos de inflexão do gráfico.
d) Esboce o gráfico.
15. Faça o estudo das seguintes funções reais de variável real:
a)
f ( x) = 2 x 2 − 3 x − 2
b)
g ( x) = 4 − x 2
c)
y ( x) = 4 − x 2
d)
y ( x) = x 3 − 6 x 2
e)
h( x) = ( x + 1) 3
f)
j ( x) =
2−x
2x + 1
4
g) m( x ) = 2
x −4
h)
n( x ) =
x
x −1
i)
p ( x) =
x2 + x +1
( x + 1) 2
j)
q ( x) =
( x + 1) 2
x3
1
se
 x
k) r ( x ) = 
x 2 − 7

2
l)
 1 − x 2 se
s ( x) = 
3
se
x<0 ∨x≥2
se
0≤ x≤2
−2 ≤ x ≤ 2
x < −2 ∨ x > 2
2
3