Exercícios Temas atuais de Física
Relatividade e Física de partículas
Marco Sampaio Departamento de Física 2º piso [email protected]
11 de Janeiro de 2012
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Pré-relatividade
1. Considere duas massas atraídas de acordo com a lei da gravitação de Newton
(a) Escreva as suas equações do movimento no plano xy .
(b) Escreva explicitamente uma rotação do sistema coordenado no plano xy por
um angulo θ constante em torno da origem.
(c) Exprima a Força entre as duas massas no novo sistema de coordenadas explicitamente, usando a transformação determinada no ponto anterior.
(d) Escreva a lei de Newton no novo sistema e mostre que toma a mesma forma.
(e) Assuma o ângulo é dependente do tempo θ = ωt. O que falha nesse caso?
Assumindo que uma das massas está em repouso na origem tente interpretar
o termo extra devido à dependência do ângulo com o tempo.
2. Considere uma transformação do sistema de coordenadas obtida de uma translação
constante com uma transformação de galileu. Mostre que a composição de duas
transformações deste tipo, é ainda uma transformação do mesmo tipo e identique
a translação e velocidade da operação composta.
3. Considere as equações de Maxwell no vazio.
~ para expandir os campos eletromag(a) Usando os potencias escalar e vetor φ e A
néticos, e a condição de gauge de Lorentz, mostre que os potenciais obedecem
~ = ∇(∇ · A)
~ − ∆A
~ ).
ambos equações de onda (Use a condição ∇ × ∇A
(b) Mostre que as equações de onda obtidas no ponto anterior admitem soluções
do tipo onda plana e obtenha a relação de dispersão.
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4. Considere a experiência de Michelson Morley. Assuma que o vento etério não
está na alinhado na direcção de um dos braços mas sim num ângulo arbitrário θ
constante.
(a) Dentro da teoria do éter, determine a velocidade da luz em cada um dos
braços, nos dois sentidos de propagação da luz.
(b) Determine o tempo de propagação dos raios em cada um dos braços até se
recombinarem e calcule a diferença de tempos entre o braço 1 e 2.
(c) Escreva a variação da diferença de tempos, quando o dispositivo é rodado
por um ângulo α xo e determine a translação nas franjas de interferência.
(d) Especialise o resultado da alínea anterior para α = π/2. Analise a função
resultante de θ e comente sobre a importância de ir rodando a orientação
inicial do dispositivo ao longo do decorrer da experiência.
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A teoria da Relatividade restrita
1. Considere o grupo das rotações.
(a) Mostre que o produto de duas matrizes de rotação é ainda uma matriz de
rotação utilizando as duas condições na sua denição
(b) Escreva uma rotação em torno do eixo z e identique o âgulo de rotação
(c) Calcule a rotação composta de duas rotações da alínea anterior com ângulos
diferentes e mostre explicitamente qual é o ângulo correspondente à rotação
composta.
2. Considere o grupo das transformações de Lorentz.
(a) Mostre que a composição de duas transformações de Lorentz é ainda uma
transformação de Lorentz.
(b) Usando a parametrização de uma transformação no plano xt (designado
boost de Lorentz), escreva uma transformação com um pseudo-angulo φ
(c) Calcule a composição de duas transformações da alínea anterior para dois
pseudo-angulos diferentes e identique:
i. O pseudo-ângulo de cada transformação e da transformação composta
ii. a velocidade de cada transformação e a velocidade da transformação
composta como função das velocidades das transformações individuais.
iii. Compare e comente com a composição de duas transformações de Galileu.
iv. Tire o limite de baixas velocidades da alínea anterior e recupere a transformações das velocidades de Galileu.
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(d) Escreva a matriz para a transformação de Lorentz correspondente a uma
rotação pura em torno no eixo z .
i. Calcule a composição da rotação com um boost de Lorentz no plano xt.
ii. Calcule a composição da rotação com um boost de Lorentz no plano xt
em ordem inversa.
iii. Comente os resultados das duas alíneas anteriores
(e) Considere uma transformação de Lorentz em x, t:
i. Calcule a inversa.
ii. Mostre que ainda é uma transformação de Lorentz e identique a velocidade respetiva
iii. Considere uma matriz de Lorentz geral e a sua inversa denida formalmente. Mostre que a inversa é ainda uma transformação de Lorentz
(i.e. que obedece ainda a condição de ortogonalidade em relação a η e a
condição do determinante).
3. Mostre que a soma de dois vetores do tipo tempo dirigidos para o futuro é ainda
um vetor do tipo tempo dirigido para o futuro.
4. Considere um diagrama espaço-tempo t−x num referêncial inercial O. Represente
nesse diagrama:
(a) A trajetória de um observador em repouso em x = 1m
(b) a trajetória de uma partícula que se move com velocidade v = 0.1c e que em
ct = 0m está em x = 5m
(c) os eixos t0 x0 de um observador O0 que se move com velocidade v = 0.5c ao
longo do eixo x relativamente a O e com origem coincidente.
(d) Considere um vetor genérico ∆r nesse diagrama que liga a origem a um
acontecimento P :
i. Represente os pontos no diagrama que correspondem a um acontecimento separados por um tempo próprio ∆rT η∆r = −1m
ii. Represente os pontos no diagrama que correspondem a acontecimento
separados por uma distância própria ∆rT η∆r = 1m
(e) o local dos acontecimentos que ocorrem simultâneamente para O no instante
ct = 2m
(f) o local dos acontecimentos que ocorrem simultâneamente para O0 no instante
ct0 = 2m
(g) a trajetória de um fotão que é emitido no instante ct = −1m e x = 0m,
viaja no sentido negativo do eixo x, é reetido num espelho quando chega a
x = −1m passando a viajar no sentido positivo, e é absorvido quando chega
a x = 0.75m.
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Relatividade em Física de partículas
1. Considere um muão que é formado através de uma colisão de um raio cósmico no
topo da atmosfera. Sabendo que a massa do muão é 1.9.10−28 Kg , que tem uma
energia total de cerca de 5GeV , e que o seu tempo de decaimento em repouso é
T0 = 2µs calcule:
(a) o modulo do seu 3-momento
(b) a sua velocidade v/c e a distância percorrida se em movimento sobreviver o
mesmo tempo que T0
(c) o tempo medido T por um observador no referêncial em que o muão está em
movimento até ao seu decaimento no referêncial próprio.
(d) A distância percorrida no tempo T à velocidade v/c.
(e) Comente as duas distâncias calculadas através de T0 e T , e com isso explica
que se observe uma grande fração de muões cósmicos na superfície da Terra.
2. Considere o processo de aniquilação de um eletrão e um positrão com momento
espacial ao longo do eixo x, P~ = (±p, 0, 0), (igual e oposto) numa colisão no
referêncial do laboratório
(a) Escreva o 4-momento de cada partícula
(b) Escreva o 4-momento conservado no sistema
(c) Considerando o 4-momento da última alínea, calcule a sua norma invariante
T
η P ).
(Ptotal
(d) Usando o resultado da alínea anterior explique porque é que a aniquilação
não pode ser apenas para 1 fotão
e+ + e− → γ
(e) Assumindo a aniquilação se processa da seguinte forma
e+ + e− → γ + γ
calcule o 4-momento de cada fotão, assumindo que são emitidos em direções
opostas
3. Considere o decaimento
π + → µ + + νµ
(a) Calcule o número bariónico e os números leptónicos do estado inicial e nal
e compare
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(b) Assumindo que o π + está em repouso calcule usando a conservação do momento o 4-momento do muão e neutrino assumindo que são emitidos em
direções opostas.
4. Considere a seguinte possibilidade para a reação de produção de anti-protão
p + p → p + p + p̄ + e+
explique porque é que esta reação não é possivel apesar de conservar carga elétrica.
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