(Termodinâmica Estatística de Materiais – EN2815 )
!
!
!
01- Considere um gás de rede, constituído por N partículas distribuídas em V células
com N " V . Suponha que cada célula possa estar vazia ou ocupada por uma única
V!
partícula. O número de estados do sistema será dado por: "(V,N) =
.
N!(V # N)!
V
Obtenha uma expressão para a entropia por partícula s = s(v) , onde v = . A partir
N
P
dessa equação fundamental, obtenha uma expressão !
para . Escreva uma expansão
T
P
1
! que o primeiro termo dessa expansão
para
em termos da densidade " = . Mostre
!
T
v
corresponde a conhecida lei de Boyle dos gases ideais.
!
! para um semicondutor orgânico em duas dimensões pode
02 – Um modelo simples
ser imaginado como uma rede quadrada. Em cada ponto da rede o semicondutor
orgânico pode mover-se uniformemente em uma direção ou em duas direções com um
ângulo reto relativo a sua direção corrente. Cada vez que ele curva-se com um ângulo
reto, há um custo de energia " . Portanto, para uma determinada estrutura, a energia
de curvatura é " vezes o número de ângulos retos. Assumiremos que um segmento
inicial esteja fixo em algum lugar da rede e que esse semicondutor orgânico consiste
em N + 1 segmentos. Cada possível forma desse semicondutor é um estado acessível
!
do sistema. Quantas formas do semicondutor orgânico possuem energia total de
!
curvatura U , onde U = m" com 0 " m " N ? Qual é a entropia do sistema ?
03 – Considere um sistema constituído de N íons magnéticos localizados e não
interagentes entre si, sujeito a um campo magnético H. Cada íon pode estar em (2J+1)
!
níveis
de! energia. As! energias possíveis para os íons são : E m = "AH m , onde
m = "J,"J + 1,"J + 2,...,J "1,J e A é uma constante.
(a) Determine a função de partição (Z) e a energia livre de Helmholtz (F) como
função da temperatura e do campo.
!
#F
(b) Calcule a magnetização : M = "
#H
04 – Considere um sistema de N átomos localizados e não interagentes. Cada átomo
pode estar em três estados, com energias "1 e "2 > "1 (sendo essa última duplamente
!
degenerada).
(a) Calcule a energia interna U e a entropia do sistema em função da temperatura T.
(b) Determine U e S nos limites: T " 0 e T " # .
! !
(c) Esboce o gráfico S x T.
05 – Considere um sistema com N osciladores harmônicos clássicos, unidimensionais
!
!
e localizados. A freqüência
característica
é " e o sistema está em contato com um
reservatório a temperatura T.
(a) Calcule a função de partição e a energia livre de Helmholtz.
(b) Calcule a entropia, a energia interna e o calor específico.
!
(c) Como seriam modificados esses resultados se os osciladores fossem quânticos ?
(d) Esboce os gráficos S, U e C (calor específico) em função da temperatura T.
06 – Considere uma mistura homogênea de moléculas de gases ideais monoatômicos,
a temperatura T, dentro de um recipiente de volume V. Suponha que haja N1
moléculas de gás tipo 1 e N2 moléculas do gás tipo 2, ... e Nr moléculas do gás tipo r.
(a) Calcule a função de partição clássica deste sistema.
(b) Obtenha a energia livre de Helmholtz.
(c) Obtenha a equação de estado para a pressão, ou seja, P=P(T,V,Ni).
07 – Considere uma gás ideal monoatômico a temperatura T. Cada molécula do gás
tem massa m.
(a) Obtenha a distribuição da componente x da velocidade das moléculas, isto é, a
densidade de probabilidade "(v x ) .
(b) Calcule o valor médio de v x .
(c) Calcule o valor médio de < v x > 2 .
$
Dados : % e
"$
"#x 2
!
&
dx =!
! #
$
e
2 "#x 2
%xe
"$
dx =
1 &
2# #
08 – Considere um sistema de moléculas monoatômicas adsorvidas em uma
superfície. Suponha que essas moléculas possam ser tratadas como um gás ideal
!clássico em duas dimensões.
!
Calcule o calor específico do sistema.
09 – Considere um gás ideal monoatômico confinado em um recipiente de seção
transversal de área A a uma temperatura T. O gás esta sujeito a um campo
gravitacional cuja energia é dada por V = mgz com z " 0 .
(a) Calcule a função de partição.
(b) Determine a distribuição espacial das moléculas do gás na direção z , "(z) .
!
!
10 - Considere um gás ideal clássico de N moléculas que encontra-se confinado num
recipiente de volume V a uma temperatura T. O hamiltoniano de cada molécula
!!
p#2 '
1
1$ 2
2
2
2
é: H =
( px + py + pz ) + 2I & p" + sen 2" ) , onde m é a massa e I é o momento de
2m
%
(
inércia de cada molécula. Obtenha :
(a) a função de partição do gás,
(b) a energia interna U,
(c) o calor específico a volume constante.
!
11 – Uma mistura homogênea é composta por N/2 moléculas de um gás ideal
monoatômico A e N/2 moléculas de uma gás ideal monoatômico B. As moléculas dos
gases A e B tem massas mA e mB respectivamente. O sistema está confinado em um
volume V a temperatura T.
(a) Calcule a função de partição.
(b) Calcule a energia livre de Helmholtz.
(c) Calcule a entropia do sistema.
p2
Dado : H =
2m
!
12 – Uma liga binária é composta por NA átomos do tipo A e NB átomos do tipo B.
Cada átomo do tipo A pode estar no seu estado fundamental com energia 0 ou em um
estado excitado com energia " . Cada átomo do tipo B pode estar em seu estado
fundamental com energia 0 ou em um estado excitado com energia 2" .
(a) Calcule a função de partição ZA por átomo do tipo A e a função ZB para cada
átomo do tipo B.
!
(b) Calcule a energia interna do sistema.
!
(c) Calcule o calor específico.
!
#
1&
13 – Os níveis de um oscilador harmônico são dados por : E n = h"% n + ( , onde
$
2'
n = 0,1,2,3,... . Considere um sistema formado por N osciladores localizados desse
tipo. Calcule:
(a) a função de partição canônica ,
!
(b) o calor específico.
14 – Considere um sistema magnético unidimensional de N spins localizados, a
N
temperatura T, definido pela energia " = #J
%
i=1,3,5,...,N #1
N
$ i$ i+1 # µ0 H %$ i , onde os
i
parâmetros J, µ0 e H são positivos e " i = ±1 para qualquer sítio i.
Suponha que N seja um número par e observe que a primeira soma é sobre os
números ímpares de i.
!
(a) Obtenha a função de partição
canônica e calcule a energia interna por spin,
!
!
!
u=u(T,H). Esboce um gráfico de u=u(T,H=0) contra a temperatura T. Obtenha
uma expressão para a entropia de spin, s=s(T,H). Esboce um gráfico de
s(T,H=0) contra T.
(b) Obtenha
expressões
para
a
magnetização
por
partícula,
N
1
m = m(T,H) =
µ0 #" i , e para a susceptibilidade magnética,
N
i=1
# "m &
X = X(T,H) = % ( . Esboce um gráfico de X(T,H=0) contra a temperatura
$ "H 'T
T.
!
15 – Um sistema de N osciladores quânticos localizados e independentes está em
! contato com um reservatório térmico à temperatura T. Os níveis de energia de cada
#
1&
oscilador são : E n = h" 0 % n + ( , com n=1,3,5,7, ... . Note que n é um número inteiro
$
2'
e ímpar.
(a) Obtenha uma expressão para a energia interna u por oscilador, em função da
temperatura T. Esboce um gráfico u contra T. Qual a expressão de u no limite
! ( h" << KT ) ?
clássico
0
(b) Obtenha uma expressão para a entropia por oscilador em função da temperatura.
Esboce um gráfico da entropia contra a temperatura. Qual q expressão da entropia no
limite clássico ?
!(c) Qual a expressão do calor especifico no limite clássico ?
16 - Um conjunto de N osciladores clássicos em uma dimensão é definido pelo
N #
&
p2 1
hamiltoniano H = )% i + m" 2qi2 ( . Utilizando o formalismo canônico , no espaço
2
'
i=1 $ 2m
de fase clássico, obtenha expressões para a função de partição, a energia por
oscilador, a entropia por oscilador e o calor específico. Compare com o limite clássico
dos resultados quânticos. Calcule a expressão para o desvio quadrático da energia em
! da temperatura.
função
!
17 – Em uma determinada temperatura, T, uma superfície com N0 centros de adsorção
tem N " N 0 moléculas adsorvidas. Supondo que não haja interações entre as
moléculas, mostre que o potencial químico do gás adsorvido pode ser escrito na forma
N
µ = K B T ln
. Qual seria a interpretação da função a(T) ?
(N 0 " N)a(T)
18 – Mostre que a entropia de um gás ideal quântico pode ser escrita na forma
1
e fj = nj =
é a
S = "K B #{ f j ln f j + (1" f j )ln(1" f j )} ,
exp[" (# j $ µ)] + 1
j
!
distribuição de Fermi-Dirac. Mostre que esse resultado também é válido no limite
clássico.
! gás de férmions livres a temperatura nula ?
19 – Qual é a compressibilidade de um
Obtenha um valor numérico para elétrons com a densidade dos elétrons de condução
do sódio metálico e compare com os valores experimentais para o sódio a temperatura
ambiente.
!
!
!
20 – Um gás de férmions, com massa m e energia de Fermi E F , está em repouso no
r
zero absoluto. Encontre expressões para os valores esperados v x e v x2 , onde v é a
velocidade de uma partícula.
!
21 – Considere um gás de N elétrons livres, dentro de uma região de volume
V, num
!
!
!
1
regime ultra-relativístico. O espectro de energia é dado por " = [ p 2c 2 + m 2c 4 ] 2 # pc ,
r
onde p é o momento linear.
(a) Calcule a energia de Fermi desse sistema.
(b) Qual a energia do sistema no estado fundamental ?
!
(c) Obtenha uma forma assintótica para o calor específico
a volume constante no
limite T << TF .