Funções trigonométricas
SENO
COSSENO
TANGENTE
Prof. Esp. Jefferson Fiel
Funções Seno e Cosseno
y
cos x 
M
M”
OM' OM'

OM
1
cos x  OM'
x
O
.
M’
x
sen x 
• Eixo x é o eixo dos cossenos;
• Eixo y é o eixo dos senos.
MM' MM'

OM
1
sen x  MM'
Sinais das funções : Seno e Cosseno
cosseno
seno
y
+
y
P
x
P
-
+
+
x
x
-
-
-
+
x
Importante!
Observe que para x 0,2 os valores do seno e do cosseno ficam
entre:
-1 senx 1
-1 cosx 1
1
seno
0
-1
0
cosseno
1
-1
Estes intervalos representam as imagens das duas funções.
E são melhores representadas graficamente.
Valores importantes do seno
Seno(ciclo)
y
Função Seno
90º 1
0º
180º
0
360º
x
0º
0
90º
1
180º
0
270º
-1
360º
0
270º -1
Gráfico(sen)
Valores importantes do cosseno
cosseno(ciclo)
y
Função cosseno
90º
-1
0
1 0º
360º x
180º
0º
1
90º
0
180º
-1
270º
0
360º
1
270º
Gráfico(cos)
Estudo da função seno
• Gráfico ( senóide)
• Domínio :
Imagem: -1 x 1
• Período : 2
• Crescente : 1º Quadrante e 4º Quadrante
• Decrescente : 2º Quadrante e 3º Quadrante
senx
+
+
-
-
Estudo da função cosseno
• Gráfico
(cossenóide)
• Domínio :
Imagem: -1 x 1
• Período : 2
• Crescente : 3º Quadrante e 4º Quadrante
• Decrescente : 1º Quadrante e 2º Quadrante
-
+
+
cosx
O seno é uma função ímpar
Exemplo :
sen
sen
30º
1/2
sen(x)
x
-x
sen(-x)
-1/2
-30º
sen(-x) = - senx
O cosseno é uma função par
Exemplo :
x
30º
cos(x)
cos
√3/2
cos
-x
cos(-x) = cosx
-30º
eixo da tangente
y
T
M
x
O
A
x
tgx = AT
Demonstração
tgx = AT
eixo da tangente
y
T
M
M”
senx
A
x
O
cosx
M’
x
1
Os triângulos OTA e OMM’ são semelhantes.
AT sen x

1
cos x
sen x
AT 
cos x
sen x
tgx 
cos x
Para encontrar a tangente, basta prolongar o
arco em direção ao seu eixo, passando sempre
pelo centro da circunferência. Veja :
tg
-
+
+
0
+
-
-
Valores importantes tangente
tg
90º 
180º
0º e 360º
0
0º
0
90º

180º
0
270º
360º
270º 
Retas paralelas não se interceptam.

0
Gráfico tangente
• Período : 
• Sinais
tgx
-
+
+
-
tgx 
sen x
cos x
, com
cosx  0
Gráfico(tg)
+
tg
/2 

x
0 , 2
•Imagem Im(f) = 
3/2 
-
Meia volta
• Domínio : D(f) ={ x / x  /2 + k, com k Z }
•A tangente é uma função ímpar.
As funções do tipo trigonométricas são
escritas na forma
f(x ) = a + b . Trig (cx + d)
a, b, c e d são constantes, com b e c diferentes de zero.
trig é uma das funções estudadas
Exemplos
f (x) = 3 . cos x , temos a=0 ; b=3 ; c=1 e d=0
f (x) = 2 + 5 . tg (2x – π/3) ,
temos a=2 ; b=5 ; c=2 e d =-π/3
Gráficos
Os valores de a e b alteram os
valores de y.
• O valor de a faz com que o gráfico
“suba”, para a>0, e “desça”, para
a<0, |a | unidades.
Exemplo: f(x)=2+sen(x)
• O valor de b “esmaga” ou “estica” a
função na vertical
Se b>0, estica
Se 0<b<1, esmaga
Se b<0, fica simétrico em relação
ao eixo x, ou seja, troca de posição
e estica.
Exemplo: f(x)= 3.senx,
maior que zero.
b
Exemplo: f(x)= (1/3).senx,
0<b<1.
Exemplo: f(x)= -3.senx, b<0.
Os valores de c e d alteram os valores de
x.
• A constante c altera o período da
função, ou seja, “estica” ou “esmaga” a
função na horizontal.
• C>0, esmaga a função
• 0<c<1, estica
• C<0, simétrica em relação ao eixo do x
f(x)=senx
f(x)=sen(2x)
f(x)=sen(1/2x)
f(x)=sen(-1/2x)
Para calcular o período de uma
função qualquer basta usar
Período= Per (trigo)
|c|
Exemplo
• Calcule o período das funções
f (x) = 1 + tg (2x – π/3)
f (x) = 3.cos x/2
Período = per (tg) = π
|c|
2
período = per (cos)
|c|
período = 2 π = 4 π
1
2
• A constante d faz com que o gráfico
ande |d/c| para:
Direita, se d<0
Esquerda, se d>0
Exercícios
(UFRGS) Se f(x)= a + b.sen x tem como gráfico
então, qual o valor de a e b?
Observando o gráfico da função seno na
origem, ele vale 0.
Já o gráfico da questão, ele começa no 1. É
como se ele tivesse subido 1 unidade.
Logo, a=1
A primeira concavidade da função seno é
voltada para baixo. Já no gráfico, ela é voltada
para cima, ou seja, houve uma translação em
relação ao eixo do x.
Quando isso acontece é porque o b é negativo.
Agora, qual o valor de b?
Analisando a função seno novamente, a
distância do começo do gráfico (x=0) até o
valor máximo e mínimo é 1.
O que é lógico porque f(x)= sen x = 1.sen x
Já no gráfico da questão, a distância do início
até o valor máximo e mínimo são 2 unidades.
Logo, b= -2
(Faap - SP) Considerando x entre 0° e 360°, o gráfico a
seguir corresponde a:
a) y = sen (x + 1)
b) y = 1 + sen x
c) y = sen x + cos x
d) y = 1- cos x
A dúvida é: a função é seno ou cosseno?
A única alternativa que traz cosseno o valor
de b vale -1 e a = 1.
O que não é verdade.
Sabemos pelas alternativas que a função é a
seno.
O período não mudou, logo c=0.
A distância do começo do gráfico até seus
pontos de máximo e mínimo é 1, logo a=1.
Em relação ao eixo do x o gráfico do seno
não andou, logo d=0.
Assim, f(x) = 1 + sen x.
Alternativa: b