12
A derivada da função
inversa
Sumário
12.1 Derivada da função inversa . . . . . . . . . . . . . .
2
12.2 Funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . . .
10
12.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
12.4 Textos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1
Unidade 12
Derivada da função inversa
12.1
Derivada da função inversa
Nesta unidade estudaremos a derivabilidade da função inversa de uma função
derivável f . Vamos considerar funções f : I → R denidas em um intervalo não
trivial I . Se nos restringirmos às funções contínuas, o Teorema 2 da Unidade 8
garante que a imagem de um intervalo é um intervalo, logo f (I) também será
um intervalo, que pode ser trivial se f for constante.
Na verdade, toda a discussão que se segue pode ser feita considerando
funções denidas em uma união D de intervalos não triviais. A imagem f (D)
também será uma união de intervalos.
Comecemos recordando a denição de função invertível.
Definição 1
Dada uma função f : I → R dizemos que f é invertível se existe uma
função g : f (I) → R tal que
(i) g (f (x)) = x para x ∈ I .
(ii) f (g(y)) = y para todo y ∈ f (I).
Uma função invertível f tem uma única inversa g , pois, se g e h atendem
às condições (i) e (ii) da denição então, dado y ∈ f (I), seja x = g(y),
então f (x) = f (g(y)) = y , pela condição (ii). Logo g(y) = g (f (x)) = x e
h(y) = h (f (x)) = x, condição (i). Portanto, g(y) = h(y) para todo y ∈ f (I),
ou seja, h = g , provando assim a unicidade da inversa de uma função.
A função inversa de f é denotada f −1 . Toda função invertível f : I → R é
injetora, pois, se x1 , x2 ∈ I então
f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ f −1 (f (x1 )) = f −1 (f (x2 )) =⇒ x1 = x2
Portanto, uma função invertível f : I → f (I) é bijetora, pois é injetora e,
restringindo a imagem a f (I) é evidentemente sobrejetora.
Observe a gura a seguir.
2
A derivada da função inversa
Unidade 12
f
I
f (x)
x
b
f (I)
b
x = g (f (x))
g = f −1
Nem todas as funções contínuas são inversíveis. Além disso, algumas vezes
uma função será invertível depois de restringirmos seu domínio. Vamos a alguns
exemplos.
f : R → R denida por f (x) = x2 .
Para buscar a inversa da função, escrevemos y = f (x) e tentamos encontrar
x como função de y . Mas,
Exemplo 2
√
y = x2 =⇒ x = ± y .
√
√
Ou seja, para cada valor y há dois valor x1 = y e x2 = − y tais que
y = f (x1 ) = f (x2 ), A função não é invertível. Observe o gráco 12.1.
No entanto, restringindo o domínio para f : (0, ∞) → (0, ∞) temos uma
função invertível. A inversa é a função g : (0, ∞) → (0, ∞) dada por g(y) =
√
y , pois
√
g (f (x)) = g(x2 ) = x2 = |x| = x
√
√
f (g(y)) = f ( y) = ( y)2 = y .
Seja a função f : R → R denida por f (x) = x3 .
Buscando uma inversa para a função f , temos
y = x3 =⇒ x =
√
3
y
Portanto, a função f é invertível e sua inversa é a função g : R → R denida
√
por g(y) = 3 y .
3
Exemplo 3
Unidade 12
Derivada da função inversa
b
f (a)
f (a)
b
a
a
−a
b
Figura 12.1: f (x) = x2 denida em R Figura 12.2: f (x) = x2 denida em
(0, ∞) é invertível.
não é invertível
Exemplo 4
A função f : R∗ → R∗ dada por f (x) = x1 .
Fazendo y = x1 e resolvendo x em função de y , temos
y=
1
1
=⇒ xy = 1 =⇒ x = .
x
y
Assim, f é invertível e sua inversa é a função g : R∗ → R∗ dada por g(y) = y1 .
Portanto, f é sua própria inversa.
Figura 12.3: f (x) = x3
Figura 12.4: f (x) =
inversa
1
x
é sua própria
Como observamos antes, se f : I → R é função contínua denida em um
intervalo não trivial I então f (I) também será um intervalo não trivial se f não
4
A derivada da função inversa
Unidade 12
for constante.
Vamos agora atacar a seguinte questão: como garantir que uma função
f : I → R seja invertível? Em outras palavras, que condições são sucientes
para garantir a invertibilidade de f ?
Observe novamente os grácos nas guras 12.1 e 12.2. Na primeira, a
função não é invertível porque não é injetora: existem x1 , x2 ∈ I , x1 6= x2
tal que f (x1 ) = f (x2 ). Por outro lado, no gráco da direita, como a função
é crescente, se x1 < x2 (respectivamente, x2 < x1 ) então f (x1 ) < f (x2 )
(respectivamente, f (x2 ) < f (x1 )), o que garante injetividade.
O argumento acima mostra que, de maneira geral, toda função crescente
f : I → R é injetora. Um argumento análogo mostra que o mesmo vale para
funções f : I → R decrescentes.
O próximo teorema mostra que a condição de que a função contínua f : I → R
seja crescente ou decrescente é suciente para garantir que tenha inversa. Mostra também que, neste caso, sua inversa é uma função contínua.
Sejam I um intervalo não trivial e f : I → R uma função contínua crescente
(respectivamente, decrescente). Então:
Teorema 5
(i) f possui inversa f −1 : f (I) → I .
(ii) f −1 é crescente (respectivamente, decrescente) em f (I).
(iii) f −1 é contínua em f (I).
A demonstração do Teorema se encontra no link a seguir.
+ Para Saber Mais - Demonstração do Teorema 5 - Clique para ler
A função contínua f (x) = 2x+1
denida em R \ {1} é decrescente em
x−1
todo seu domínio, como você pode vericar no seu gráco na Figura 12.5.
Pelo Teorema 5, a função f é invertível, sua inversa é contínua e decrescente.
5
Exemplo 6
Unidade 12
Derivada da função inversa
Para obter a inversa de f , isolamos x em função de y na equação y = f (x):
2x + 1
x−1
xy − y = 2x + 1
y=
xy − 2x = y + 1
y+1
x=
y−2
Portanto, f −1 (y) =
de f −1 (em verde).
y+1
,
y−2
denida em R \ {2}. A Figura 12.5 mostra o gráco
g(y) =
y+1
y−2
y=x
f (x) =
2x+1
x−1
1
Figura 12.5: Gráco de f (x) =
2x+1
x−1
e de sua inversa g(y) =
y+1
y−2
Observe que no exemplo anterior a função não estava denida em um intervalo I , mas sim na união de dois intervalos: (−∞, 1) ∪ (1, ∞) = R \ {1}.
Não é difícil mostrar que o Teorema 5 vale para funções denidas sobre uniões
de intervalos.
Iremos agora estudar a questão da derivabilidade da função inversa de uma
função derivável f . O próximo teorema estabele condições sucientes para
garantir a derivabilidade da função inversa de uma função derivável f .
6
A derivada da função inversa
Seja f : I → R uma função derivável e crescente ou decrescente em um
intervalo não trivial I . Se f 0 (x) 6= 0 para todo ∈ I então f −1 é derivável em
f (I) e
0
1
f −1 (f (x)) = 0
f (x)
Unidade 12
Teorema 7
Teorema da função
inversa
A demonstração do teorema encontra-se no link a seguir.
+ Para Saber Mais - Demonstração do Teorema 7 - Clique para ler
Vamos retomar a função y =
0
f (x) =
2x + 1
x−1
0
=
2x+1
x−1
do exemplo 6. A derivada de f é:
Exemplo 8
2 · (x − 1) − (2x + 1) · 1
−3
=
.
2
(x − 1)
(x − 1)2
y+1
Vimos que a função inversa é a função g(y) = y−2
, denida em R \ {2}, cuja
derivada é:
0
y+1
−3
1 · (y − 2) − (y + 1) · 1
0
g (y) =
=
.
=
2
y−2
(y − 2)
(y − 2)2
Substituindo y =
2x+1
x−1
g 0 (y) =
obtemos:
−3
2x+1
x−1
2 =
−2
−3
9
(x−1)2
=
1
−3
(x−1)2
=
1
f 0 (x)
,
0
o que verica a relação entre (f −1 ) (y) e f 0 (x) do teorema.
No exemplo anterior havíamos obtido a expressão de f −1 . No entanto, a
grande vantagem do Teorema 7 é que, além de prova a derivabilidade de f −1 ,
permite calcular esta derivada sem necessariamente conhecer f −1 .
√ 0
Sabemos que ( x) = 2√1 x . Vamos chegar a esta mesma fórmula usando
a derivada da função inversa.
√
A função g(y) = y denida para y > 0 é a inversa de f (x) = x2 , pois
√
g (f (x)) = g(x2 ) = x2 = x, para x > 0. Considerando que f (x) = x2 é
7
Exemplo 9
Unidade 12
Derivada da função inversa
crescente no intervalo (0, ∞) e usando o teorema da função inversa, temos
√
( y)0 = g 0 (y) =
1
f 0 (x)
=
1
1
= √
2x
2 y
Vamos agora usar o teorema da função inversa para provar algo novo: a
derivada da função potência xn para expoentes fracionários.
Exemplo 10
√
Seja n inteiro positivo, n ≥ 2. A função g(x) = n x está denida em
(0, ∞) para n par e em R para n ímpar.
A função g é a inversa de f (x) = xn , denida em (0, ∞) para n par e em
R para n ímpar, e crescente no seu domínio. Logo, para x no domínio de f e
x 6= 0,
g 0 (y) =
Portanto, g(x) =
Exemplo 11
1
f 0 (x)
√
n
=
1
=
nxn−1
y
1
n
1 n−1
1
1 1− 1
n−1 = y n = y n .
n
n
x então g 0 (x) = n1 x1− n .
1
Seja f : (0, ∞) → R denida por f (x) = xn , em que n é um número
racional. Vamos provar que f é derivável e f 0 (x) = nxn−1 .
Seja n = pq , com p e q inteiros positivos. Usando o resultado do exemplo
anterior e a regra da cadeia:
1 p−1 1 0
p 0 1 p 0
= p xq
f 0 (x) = x q = x q
· xq
1 p−1 1 1
1
p p−1
p p
= p xq
· x q −1 =
x q + q −1 = x q −1
q
q
q
8
A derivada da função inversa
Exercícios
Para cada função a seguir, determine um domínio para a função f no qual
f seja invertível e tal que este domínio não possa ser estendido.
1.
f (x) = x2 + 2
2.
f (x) = x3
3.
f (x) =
4.
f (x) =
5.
f (x) =
6.
f (x) =
1
x
√
x
√
5
x
1
x2
Para cada uma das funções abaixo, determine se satisfazem as condições do
teorema da função inversa e, caso satisfaçam, aplique o teorema para determinar
a derivada da inversa no ponto x0 dado.
√
7. f (x) =
x − 1, denida em I = (1, ∞), x0 = 2.
8.
f (x) =
1
,
x−1
denida em I = (1, ∞), x0 = 2.
Assumindo que as hipóteses do teorema da função inversa se vericam, calcule
0
o valor de (f −1 ) (y) dado o seguinte:
9.
10.
y = 2, f (1) = 2 e f 0 (1) = 3.
y = 21 , f π6 = 12 e f 0 π6 =
√
3
.
2
9
Unidade 12
Unidade 12
Funções trigonométricas inversas
12.2
Funções trigonométricas inversas
Nesta seção iremos estudar a derivabilidade das funções trigonométricas
inversas: arcsen , arccos e arctan.
Como as funções seno, cosseno e tangente são funções periódicas, para
cada valor y na imagem, há innitos pontos no domínio que têm imagem y .
Portanto, para cada uma destas funções teremos que restringir o domínio de
forma a obter uma função injetora.
Iniciando pela função seno, sua imagem é o intervalo [−1, 1]. Podemos
restringir o domínio ao intervalo − π2 , π2 . A função sen : − π2 , π2 → [−1, 1]
é uma função bijetora, contínua, e crescente no seu domínio.
f (x) = sen x
1
− π2
π
2
−1
Figura 12.6: Gráco de sen : − π2 , π2 → [−1, 1]
A função sen : − π2 , π2 → [−1, 1] possui inversa, chamada função arco
seno arcsen : [−1, 1] → − π2 , π2 , denida por
y = arcsen x ⇐⇒ x = sen y .
Pelo Teorema 5, a função arcsen é crescente e contínua no intervalo [−1, 1].
Seu gráco pode ser observado na gura 12.7.
Usaremos agora o teorema da função inversa para estabelecer a derivabilidade da função arco seno.
Proposição 12
Derivada do arco seno
A função arco seno é derivável em (−1, 1) e sua derivada é
( arcsen )0 (x) = √
10
1
.
1 − x2
A derivada da função inversa
Unidade 12
π
2
f (x) = arcsen x
−1
1
− π2
Figura 12.7: Gráco de arcsen : [−1, 1] → − π2 , π2
Seja f (x) = sen : − π2 , π2 → [−1, 1]. Podemos observar na Figura 12.6
que f (x) = sen x é crescente no intervalo − π2 , π2 .
Pelo Teorema da função inversa, f −1 é derivável em (−1, 1) e
0
f −1 (y) =
1
f 0 (x)
=
Demonstração
1
.
cos x
Como y = sen x e sen 2 x + cos2 x = 1, segue que
p
√
cos2 x = 1 − sen 2 x =⇒ cos x = 1 − sen 2 x = 1 − y 2 .
Portanto,
0
1
f −1 (y) = p
.
1 − y2
Sendo f −1 (x) = arcsen x, segue o resultado.
√ √
Encontre a derivada da função f (x) = arcsen (x2 −1) para x ∈ (− 2, 2).
Teremos que usar a derivada do arco seno e a regra da cadeia. Seja g(x) =
√ √ 2
x − 1 e h(x) = arcsen x. Temos que g − 2, 2 = (−1, 1) está contido no
domínio de h. Como g e h são deriváveis em seus domínios, então f = h ◦ g é
√ √
derivável em (− 2, 2) e vale que:
2x
1
f 0 (x) = h0 (g(x)) · g 0 (x) = p
· (2x) = √
2
2
2x − x2
1 − (x − 1)
11
Exemplo 13
Unidade 12
Funções trigonométricas inversas
Passemos agora para a função arco cosseno.
A imagem da função cosseno é o intervalo [−1, 1]. Se restringirmos o domínio da função cosseno ao intervalo [0, π], obtemos a função bijetora cos : [0, π] →
[−1, 1] que é contínua e decrescente em todo seu domínio.
f (x) = cos x
1
π
π
2
−1
Figura 12.8: Gráco de cos : [0, π] → [−1, 1]
A função cos : [0, π] → [−1, 1] possui inversa, chamada função arco cosseno
arccos : [−1, 1] → [0, π], denida por
y = arccos x ⇐⇒ x = cos y .
Pelo Teorema 5, a função arccos é decrescente e contínua no intervalo [−1, 1].
Seu gráco pode ser observado na gura 12.9.
π
f (x) = arccos x
b
π
2
1
−1
Figura 12.9: Gráco de arccos : [−1, 1] → [0, π]
Usaremos agora o teorema da função inversa para estabelecer a derivabilidade da função arco cosseno.
12
A derivada da função inversa
A função arco cosseno é derivável em (−1, 1) e sua derivada é
1
.
(arccos)0 (x) = − √
1 − x2
Seja f (x) = cos : [0, π] → [−1, 1]. Como podemos observar no gráco da
gura 12.8, f é decrescente em (0, π). Logo, pelo Teorema da função inversa,
f −1 é derivável em (−1, 1) e
0
f −1 (y) =
1
f 0 (x)
=−
Unidade 12
Proposição 14
Derivada do arco
cosseno
Demonstração
1
.
sen x
Como y = cos x e sen 2 x + cos2 x = 1, segue que
sen 2 x = 1 − cos2 x =⇒ sen x =
Portanto,
√
1 − cos2 x =
p
1 − y2 .
0
1
f −1 (y) = − p
.
1 − y2
Sendo f −1 (x) = arccos x, segue o resultado.
Estude a derivabilidade da função f (x) = arccos 1 −
.
Para começar, devemos determinar o domínio de f . Como o domínio do
2
arccos é [−1, 1] então a imagem da função 1− x4 deve estar contido em [−1, 1].
2
Mas o gráco de g(x) = 1 − x4 é uma parábola com concavidade para baixo
√
2
e vértice no ponto (0, 1). Como 1 − x4 = −1 =⇒ x = ±2 2, então
√ √
2
x ∈ [−2 2, 2 2] =⇒ g(x) = 1 − x4 ∈ [−1, 1]. Veja o gráco da gura a
seguir.
1
√
−2 2
b
x2
4
g(x) = 1 − x2 /4
√
2 2
b
−1
13
Exemplo 15
Unidade 12
Funções trigonométricas inversas
2
Considerando a função f (x) = arccos 1 − x4
com domínio em
√ √
[−2 2, 2 2], então f = h◦g para h(x) = arccos(x) e g(x) = g(x) = 1−x2 /4.
√ √
Segue, pela regra da cadeia, que f é derivável em (−2 2, 2 2) e
x
x
· (− ) = q
2 2
2
1 − g(x)2
2 1 − 1 − x4
2x
x
x
= √
.
= q
= |x| √
2
2
x4
x2
|x|
8
−
x
2
8
−
x
2
−
4
1
f 0 (x) = h0 (g(x)) · g 0 (x) = − p
2
16
Estudaremos a seguir a função arco tangente.
A função tangente é periódica de período π e denida no conjunto
R \ kπ
;
k
∈
Z,
k
ímpar
. Sua imagem é todo o conjunto R. Se restringir2
mos o domínio da função tangente ao intervalo − π2 , π2 , obtemos a função
bijetora tan : − π2 , π2 → R que é contínua e crescente em todo seu domínio.
f (x) = tan x
π
2
− π2
Figura 12.10: Gráco de tan : − π2 , π2 → R
A função tan : − π2 , π2 → R possui inversa, chamada função arco tangente
arctan : R → − π2 , π2 , denida por
y = arctan x ⇐⇒ x = tan y .
14
A derivada da função inversa
Unidade 12
Pelo Teorema 5, a função arctan é crescente e contínua em R. Seu gráco
pode ser observado na gura 12.11.
π
2
f (x) = arctan x
− π2
Figura 12.11: Gráco de arctan : R → − π2 , π2
Usaremos agora o teorema da função inversa para estabelecer a derivabilidade da função arco tangente.
A função arco tangente arctan : R → − π2 , π2 é derivável em R e sua
derivada é
1
.
(arctan)0 (x) =
1 + x2
Proposição 16
Seja f (x) = tan : − π2 , π2 → R. Como podemos observar no gráco da
gura 12.10, f é crescente no intervalo − π2 , π2 . Logo, pelo Teorema da função
inversa, f −1 é derivável em R e
Demonstração
0
f −1 (y) =
1
f 0 (x)
=
1
1
cos2 x
Como y = tan x e 1 + tan2 x = sec2 x =
cos2 x =
Portanto,
= cos2 x .
1
,
cos2 x
segue que
1
1
=
.
2
1 + tan x
1 + y2
0
f −1 (y) =
1
.
1 + y2
Sendo f −1 (x) = arctan x, segue o resultado.
15
Derivada do arco
tangente
Unidade 12
Exemplo 17
Funções trigonométricas inversas
Encontre a derivada de f (x) = arctan x+1
para x ∈ R \ {1}.
x−1
Como o domínio de h(x) = arctan x é R, não temos que nos preocupar
x+1
. Então, para x 6= 1, temos
com a imagem de g(x) = x−1
!
0
1
x+1
0
0
0
f (x) = h (g(x)) g (x) =
2
x−1
1 + x+1
x−1
2
=
(x − 1)
1
−2
2
=− 2
·
=− 2
2
2
2
(x − 1) + (x + 1) (x − 1)
2x + 2
x +1
Como a função inversa de uma função f é representada por f −1 , alguns autores utilizam a notação sen −1 x para a função arcsen x, cos−1 x para arccos x
e tan−1 x arctan x. É importante car atento porque assim a notação ca
confusa. Repare: sen 2 x = ( sen x)2 , mas sen −1 x é a inversa de sen x e não
( sen x)−1 = sen1 x .
As escolhas que zemos para os domínios de arcsen x, arccos x e arctan x
são as escolhas usuais, mas não são únicas. Por exemplo, para a função arcsen x
qualquer intervalo I tal que sen : I → [−1, 1] é bijetora seria uma escolha tão
legítima quanto a escolha I = − π2 , π2 . Assim, o intervalo I = π2 , 3π
seria
2
tão bom quanto.
Encerramos aqui esta unidade. O estudo da derivabilidade das funções arco
secante, arco cossecante e arco cotangente será deixado como exercício.
16
A derivada da função inversa
12.3
Exercícios
Escolha domínios apropriados e dena as funções:
1.
Arco secante y = arcsec x.
2.
Arco cossecante y = arccosec x.
3.
Arco cotangente y = arccotan x.
Prove as seguintes relações:
π
2
− arcsen x
4.
arccos x =
5.
arccosec x =
π
2
− arctan x
6.
arccosec x =
π
2
− arcsec x
7.
arcsen (−x) = − arcsen x
8.
arccos(−x) = π − arccos x
9.
arctan(−x) = − arctan x
10.
arccos(1/x) = arcsec x
11.
arcsen (1/x) = arccosec x
12.
arctan(1/x) = π2 − arctan x =
arccotan x, se x > 0
Usando o Teorema da função inversa, mostre que:
1
0
13. ( arccotan x) (x) = −
para todo x ∈ R.
1 + x2
1
0
√
para todo x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞).
14. ( arcsec x) (x) =
|x| x2 − 1
15.
( arccosec x)0 (x) = −
1
√
para todo x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞).
|x| x2 − 1
Para cada uma das funções abaixo, determine seu domínio, os pontos onde é
derivável e sua derivada.
1
16. f (x) = arcsen
x
17.
f (x) = arccos(x2 − 1)
18.
f (x) = arccos( sen x)
√
f (x) = arcsen x2 − x + 2
arccos x2
f (x) =
x−1
19.
20.
17
Unidade 12
Unidade 12
Textos Complementares
12.4
Para Saber Mais
Demonstração
Textos Complementares
Demonstração do Teorema 5
Demonstraremos os três itens do Teorema para uma função f crescente.
A prova para uma função decrescente é inteiramente análoga.
Comecemos provando (i). Como a função f : I → f (I) é crescente, então
é injetora e, como o contradomínio é a imagem f (I), é bijetora. Toda função
bijetora é invertível, logo f tem inversa f −1 .
Para provar (ii), sejam y1 , y2 ∈ f (I) com y1 < y2 . Sejam x1 , x2 ∈ I tais
que y1 = f (x1 ) e y2 = f (x2 ). Então:
y1 < y2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 ) =⇒ x1 < x2 ,
pois f é crescente. Mas x1 = f −1 (y1 ) e x2 = f −1 (y2 ), logo
y1 < y2 =⇒ f −1 (y1 ) < f −1 (y2 ) ,
o que mostra que f −1 é uma função crescente.
Observe que até aqui não usamos a continuidade de f .
Agora a prova de (iii). Seja y ∈ f (I) e seja uma sequência (yn ) ⊂ f (I)
tal que yn → y . Para provar a continuidade de f −1 basta mostrar que
f −1 (yn ) → f −1 (y).
Dado > 0, sejam r, s ∈ I tais que
f −1 (y) − < r < f −1 (y) < s < f −1 (y) + .
Se f −1 (y) for um extremo de I , não haverá r ou s. Estes casos devem ser
analisados separadamente, mas a análise é análoga a que é feita aqui.
Como f é crescente,
f (r) < f f −1 (y) = y < f (s) .
Como yn → y , existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0 vale f (r) < yn < f (s).
Usando o fato de que se f é crescente então f −1 é crescente (provado no item
anterior), temos
f −1 (f (r)) < f −1 (yn ) < f −1 (f (s)) =⇒ r < f −1 (yn ) < s
=⇒ f −1 (y) − < r < f −1 (yn ) < s < f −1 (y) + .
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A derivada da função inversa
Portanto,
|f −1 (yn ) − f −1 (y)| < o que conclui a demonstração.
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Unidade 12
Unidade 12
Para Saber Mais
Demonstração
Textos Complementares
Demonstração do Teorema 7
Seja x ∈ I e seja y = f (x) ∈ f (I). Seja w 6= 0 tal que y + w ∈ f (I).
Então f −1 (y + w) ∈ I . Seja h = f −1 (y + w) − x, logo f −1 (y + w) = x + h e
y + w = f (x + h). Então
(x + h) − x
h
h
f −1 (y + w) − f −1 (y)
=
= =
=
w
w
w
f (x + h) − y
1
f (x+h)−f (x)
h
Como f é crescente ou decrescente e contínua por ser derivável, pelo Teorema 5, f −1 é contínua, logo
lim h = lim ((x + h) − x)) = lim f −1 (y + w) − f −1 (y) = 0 .
w→0
w→0
w→0
Por outro lado,
lim w = lim ((y + w) − y) = lim (f (x + h) − f (x)) = 0 .
h→0
h→0
h→0
Assim, h → 0 se, e somente se, w → 0.
Aplicando a propriedade do quociente para limites, obtemos:
f −1 (y + w) − f (y)
= lim
w→0
h→0
w
lim
1
f (x+h)−f (x)
h
=
1
(x)
limh→0 f (x+h)−f
h
o que mostra que f 0 é derivável em y = f (x) e
0
f −1 (y) =
20
1
f 0 (x)
.
=
1
f 0 (x)
,