FUNÇÕES: SENO E COSSENO
Introdução
Definições
Definição, periodicidade e gráfico
Considere que a cada número
real x, percorremos na
circunferência trigonométrica, a
partir do ponto (1, 0), um arco
de comprimento IxI, no sentido
anti-horário se x > 0 e no
sentido horário se x < 0 .
Considere ainda que a
extremidade desse arco é o
ponto M.
A ordenada de M é o seno de x
A abscissa de M é o cosseno
de x.
Conceito
A função f, que associa a cada
número real x a ordenada do
ponto M, onde M é a
extremidade do arco com a
origem no ponto (1, 0) e o
comprimento IxI, é chamada de
função seno de x. (Representase por f(x) = sen (x)).
A função f, que associa a cada
número real x a abscissa do
ponto M, onde é a extremidade
do arco com origem no ponto
(1, 0) e comprimento IxI, é
chamada função cosseno de x.
(Representa-se por f(x) = cos
(x)).
Comportamento gráfico da função trigonométrica
Exemplo – p. 20
0
1
1
2
3
2
2
2
2
2
3
2
1
11
2
2
0
0
−1
−1
0
0
1
1
Exemplo – p. 20
a) Qual é o domínio das funções seno e
cosseno ?
R.: O conjunto dos números reais.
b) Qual é o conjunto-imagem das
funções seno e cosseno?
R.: O intervalo [-1, 1]
c) Em que quadrantes a função seno é
crescente? E decrescente?
R.: A função seno é crescente no 1º e 4º
Q e decrescente 2º e 3º Q.
d) Em que quadrantes a função cosseno
é crescente? E decrescente?
R.: A função cosseno é crescente no 3º
e 4º Q e decrescente 1º e 2º Q.
Exemplo – p. 20
e) O que aconteceria com os
gráficos das funções seno e
cosseno se continuássemos
para valores negativos ou
maiores que 2π?
R.: Os gráficos começariam a
repetir o formato observado
no intervalo [0, 2π]
f) Qual é o período das funções
f(x) = sen(x) e g(x) =
cos(x)?
R.: O período é igual 2π
Função seno e cosseno
Observação
Nos gráficos construidos anteriormente que
as funções seno de x e cosseno de x são
periódicas de período 2π, pois;
sen(x + 2π) = sen(x) e cos(x + 2π) = cos(x)
Além disso, o conjunto-imagem dessas
funções é o intervalo real [-1, 1].
Função seno e cosseno
Questionamento
A função f(x) = sen(2x) também tem o
mesmo período e imagem?
E a função h(x) = 1 + cos(x)?
Função seno e cosseno
Analisar a função f(x) = sen(2x)
Associando os pontos
encontrados em um sistema
de coordenadas
cartesianas, podemos
construir o gráfico
Observe que o período da função f é π, e o conjunto-imagem [-1; 1]
Função seno e cosseno
Analisar a função h(x) = 1 + cos(x)
Agora, o período da função h é 2π, e o conjunto-imagem é o [0; 2]
Função seno e cosseno
Conclusão
O período e o conjunto-imagem podem
variar.
Como obter o período e o conjunto-imagem sem
construir gráficos?
Lembra-se: -1 ≤ sen(x) ≤ 1 e -1 ≤ cos(x) ≤ 1
Substituímos o seno e cosseno do arco
correspondente por -1 e 1, obtemos o valor
máximo e o mínimo da função:
Consideremos: h(x) = 1 + cos(x)
cos (x) = -1 h(x) = 1 + (-1) = 0
cos (x) = 1 h(x) = 1 + (+1) = 2
Portanto: [0 ; 2]
Como obter o período e o conjunto-imagem sem
construir gráficos?
Já o período pode ser entendido pelo comprimento
que o arco deve percorrer para completar uma volta.
f(x) = sen(2x), temos:
2x = 0 → x = 0
2x = 2π → x = π
Portanto: fazendo a diferença entre os valores
obtidos para x encontramos o período, ou seja:
P=π–0=π
Como obter o período e o conjunto-imagem sem
construir gráficos?
Sejam f (x ) = a.b.sen(mx + n ) ou g(x ) = a + b. cos(mx + n )
n
2π + n
Se mx - n = 0, x = e se mx − n = 2π , x =
m
m
2π - n  n  2π
Assim, sendo P o período, temos P =
−+  =
m
 m m
2π
(considere m em módulo)
P=
m
O conjunto imagem é obtido substituin do sen (mx - n ) ou cos(mx - n ) por - 1 e por 1.
Relação trigonométrica
fundamental
Observe a figura ao lado:
Considere o arco AM, de
comprimento x.
No triângulo retângulo OMM’,
temos:
OM’ = cos (x)
MM’ = OM’’ = sen (x)
Pelo teorema de Pitágoras:
(OM)2 = (OM’)2 + (MM’)2
12 = [cos(x)]2 + [sen(x)]2
1 = cos2(x) + sen2(x)
sen2(x) + cos2(x) = 1
(Relação fundamental da
trigonometria)
Exemplo 2
Resolução de Atividades
Página 22
Exercícios 1 ao 5
Página 23
Exercícios 1 ao 3