Sucessões Reais
Ana Isabel Matos
DMAT
18 de Outubro de 2000
Conteúdo
1 Noção de Sucessão
2
2 Limite de uma Sucessão
2
3 Sucessões Limitadas
3
4 Propriedades dos Limites
4
5 Limites In…nitos
5.1 Propriedades dos Limites In…nitos . . . . . . . . . . . . . . . .
8
9
6 Sucessões Monótonas
12
7 Subsucessões
14
8 Resultados úteis no cálculo de limites
16
9 Sucessões de…nidas por recorrência
17
9.1 O Método de Indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10 Exercícios Propostos
21
11 Exercícios Complementares
25
1
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
1
Noção de Sucessão
De…nição 1 Chama-se sucessão de números reais a qualquer aplicação
u do conjunto N; dos inteiros positivos, em R, a qual pode ser representada
por (un )n2N , (un )n ou simplesmente por (un ). A un chama-se o termo geral
da sucessão.
São exemplos de sucessões de números reais:
u:N !
n
R
! un = n+3
n
;
v:N !
n
R
! vn =e
n2
e t:N !
n
R
:
p
! tn = 3 sin n
Exemplo 1 A progressão aritmética de razão r e primeiro termo a;
cujos termos são a; a + r; a + 2r; : : :, é de…nida por:
1) r , 8n2N :
un = a + (n
Exemplo 2 A progressão geométrica de razão r e primeiro termo a;
cujos termos são a; ar; ar2 ; : : :, é de…nida por:
un = arn
2
1
, 8n2N :
Limite de uma Sucessão
De…nição 2 Diz-se que o número real a é limite da sucessão (un ) ; ou
que (un ) converge ou tende para a; e escreve-se
lim un = a ou un ! a ou abreviadamente lim un = a
n!+1
se para qualquer > 0 existe p 2 N tal que para qualquer n > p , jun
Isto é
un ! a sse 8 > 0 9 p 2 N : n > p ) jun aj < .
aj < .
Ou seja, un ! a sse para qualquer > 0, existe uma ordem a partir da
qual todos os termos da sucessão pertencem ao intervalo ]a
; a + [.
De…nição 3 Uma sucessão (un ) diz-se convergente se existe um número
real a tal que un ! a. Uma sucessão que não é convergente diz-se divergente.
2
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
Exemplo 3 Dada a sucessão de termo geral un =
de…nição, que lim un = 0; ou seja que
8 > 0 9p 2 N : n > p ) jun
Seja
1
,
2n+3
mostremos, por
0j < :
> 0;
jun
1
1
<
,
< ,
pois 2n+3; >0
2n + 3
2n + 3
1
1 1
1
3,n>
3 :
, 2n + 3 > , 2n >
2
0j <
,
Considere-se p 2 N tal que p
1
0 < .
2n+3
1
2
1
3 . Então para n > p tem-se que
As sucessões (( 1)n )n e (2n + 3)n são divergentes.
Proposição 1 (Unicidade do limite) O limite de uma sucessão quando
existe é único.
De…nição 4 Uma sucessão que converge para zero diz-se um in…nitésimo.
Da de…nição de limite de uma sucessão, conclui-se imediatamente que:
un converge para a sse un
aé um in…nitésimo.
Observação 1 Assim como de…nimos as noções de sucessão e sucessão convergente nos reais, podemos também de…nir estas noções nos complexos ou
em qualquer corpo onde esteja de…nida uma relação de ordem que seja compatível com as operações (por exemplo, nos racionais). Em qualquer uma
destas situações, podemos fazer um estudo análogo ao que aqui será feito
para o caso dos reais.
3
Sucessões Limitadas
Recordemos que sendo A um subconjunto de R e a e b reais, diz-se que b é
um majorante de A se qualquer elemento de A for menor ou igual a b e
diz-se que a é um minorante de A se qualquer elemento de A for maior ou
igual a a. Diz-se que um subconjunto de R é majorado (ou limitado superiormente) se tiver majorantes, minorado (ou limitado inferiormente)
se tiver minorantes e limitado se for majorado e minorado. Um conjunto
que não seja limitado diz-se ilimitado.
3
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
De…nição 5 Uma sucessão (un ) diz-se limitada se o conjunto dos seus termos, fu1 ; u2 ; u3 ; : : : ; un ; : : :g ; é limitado, ou seja se,
9L; M 2 R 8n 2 N; L
un
M .
Note-se que a condição anterior é equivalente à seguinte:
9M 2 R+ 8n 2 N; jun j
M .
Por exemplo as sucessões de termos gerais un = ( 1)n , vn = sin2 n e
wn = n1 são limitadas.
Proposição 2 Toda a sucessão convergente é limitada.
Observação 2 O recíproco desta proposição não se veri…ca. Considere-se,
por exemplo, a sucessão (( 1)n )n . Esta sucessão é limitada mas não é convergente.
Proposição 3 Se (un ) é um in…nitésimo e (vn ) é uma sucessão limitada
então (un :vn ) é um in…nitésimo.
Exemplo 4 Consideremos a sucessão de termo geral
vn =
sin2 (n + 1)
:
2n + 3
A sucessão sin2 (n + 1) é limitada pois 0 sin2 (n + 1) 1; 8n2N .
2 (n+1)
converge
Pela proposição anterior, a sucessão de termo geral vn = sin2n+3
1
para zero, uma vez que é o produto do in…nitésimo 2n+3 pela sucessão
limitada sin2 (n + 1) .
4
Propriedades dos Limites
Proposição 4 Não se altera o limite de uma sucessão convergente modi…cando um número …nito de termos da sucessão.
Proposição 5 Se os termos de uma sucessão são todos iguais a uma certa
constante, então a sucessão tem por limite essa constante.
Por exemplo, aplicando os dois resultados anteriores conclui-se que a
1
n 7
n
sucessão de termo geral vn =
converge para 2.
2 n>7
4
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
Proposição 6 Se (un ) e (vn ) são sucessões convergentes tais que, a partir
de certa ordem, un vn , então lim un lim vn .
Observação 3 Note-se que o resultado anterior não se veri…ca para desigualdades estritas, isto é, não é verdade que sendo (un ) e (vn ) sucessões convergentes tais que, para qualquer n 2 N; un < vn , se tenha necessariamente que
lim un < lim vn .
Por exemplo, sendo un = n1 e vn = 0, tem-se que un < vn para qualquer
n 2 N, e no entanto lim un = lim vn = 0:
Proposição 7 (Propriedades operatórias) Sejam(un ) e (vn ) sucessões tais
que un ! a e vn ! b, com a; b 2 R. Então:
1. un + vn ! a + b;
2. cun ! ca, sendo c 2 R;
3. un :vn ! ab;
4. se b 6= 0 e vn 6= 0; 8n2N então
un
vn
! ab ;
5. se p 2 N; upn ! ap ;
6. jun j ! jaj ;
p
p
0; 8n2N então p un ! p a;
p
p
8. se p 2 N e p é ímpar então p un ! p a:
7. se p 2 N e un
Exemplo 5 Considerem-se as sucessões cujos termos gerais são:
un =
e
vn =
Como un ! 0 e vn !
1
n
1
n
n 7
:
2 n>7
2 tem-se:
un + vn ! 2; un :vn ! 0; vn2 ! 4;
p
p
un
! 0 e 3 vn ! 3 2:
vn
5
p
4
un ! 0;
un ! 0; jvn j ! 2;
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
Observação 4 A sucessão (jun j) pode ser convergente sem que (un ) seja
convergente. Por exemplo, ( 1)n é divergente mas j( 1)n j = 1 ! 1.
No entanto é verdade que
un ! 0 sse jun j ! 0;
o que é consequência imediata da de…nição de limite de uma sucessão.
Teorema 8 (Sucessões enquadradas) Sejam (un ), (vn ) e (wn ) sucessões
tais que, a partir de certa ordem, un vn wn .
Se un ! a e wn ! a; então vn ! a.
2
(n+1)
é um inExemplo 6 Vimos, no exemplo 4 , que a sucessão sin2n+3
…nitésimo. Podemos chegar à mesma conclusão aplicando o teorema das
sucessões enquadradas:
0
sin2 (n + 1)
sin2 (n + 1)
2n + 3
1; 8n2N ) 0
1
; 8n2N ;
2n + 3
2
(n+1)
1
= 0; então lim sin2n+3
= 0.
como o limite da sucessão nula é 0 e lim 2n+3
Exemplo 7 Considere-se a sucessão de termo geral
un =
n2
1
1
+ 2
+
+1 n +2
+
n2
1
:
+n
Vamos mostrar que un ! 0, para o que utilizaremos o teorema das sucessões
enquadradas.
Facilmente se veri…ca que un 0; 8n2N . Por outro lado temos que:
n2
1
1
+ 2
+
+1 n +2
+
n2
1
+n
1
1
+ 2
+
+1 n +1
n
= 2
:
n +1
n2
+
n2
1
=
+1
Tem-se assim,
n
:
+1
Como o limite da sucessão nula é 0 e lim n2n+1 = 0, pelo teorema das sucessões
enquadradas conclui-se que lim un = 0.
0
un
n2
Observação 5 Convém observar que para calcular o limite da sucessão de
termo geral un = n21+1 + n21+2 + + n21+n não é possível aplicar as propriedades
operatórias dos limites, visto estas serem válidas apenas quando o número de
parcelas é …xo, o que não acontece neste caso. Embora no caso do exemplo
anterior esse raciocínio, apesar de ser errado, conduzisse ao valor certo do
limite, isso já não se veri…ca no exemplo que se segue.
6
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
Exemplo 8 Considere-se a sucessão de termo geral
wn =
n2
n
n
+ 2
+
+1 n +2
+
n2
n
:
+n
Embora todas as parcelas desta soma tendam para zero, vamos mostrar,
utilizando o teorema das sucessões enquadradas, que wn ! 1.
Usando um raciocínio similar ao do exemplo anterior, tem-se que
n2
n
n
+ 2
+
+1 n +2
+
n2
n
+n
n
n
+ 2
+
+1 n +1
n:n
= 2
;
n +1
n2
+
n2
n
=
+1
isto é,
wn
n2
:
n2 + 1
Por outro lado,
n
n
+
+
n2 + 1 n2 + 2
+
n
n2 + n
ou seja,
wn
n
n
n
+
+
+
=
n2 + n n2 + n
n2 + n
n
n2
n
=n 2
= 2
=
n +n
n +n
n+1
n
:
n+1
Portanto,
n
n+1
wn
n2
:
n2 + 1
Como,
lim
n
= lim
n+1
n
n
n
n
e
n2
lim 2
= lim
n +1
+
1
n
n2
n2
n2
n2
+
1
n2
=1
= 1;
pelo teorema das sucessões enquadradas conclui-se que
lim wn = lim
n
n
+
+
n2 + 1 n2 + 2
7
+
n
n2 + n
= 1:
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
5
Limites In…nitos
De…nição 6 Diz-se que uma sucessão (un ) tem limite mais in…nito ou
tende para mais in…nito e, escreve-se,
lim un = +1 ou un ! +1;
se, para todo o número L positivo existe uma ordem p tal que para n > p; un
é maior do que L.
Ou seja, un ! +1 sse para qualquer real positivo existe uma ordem a
partir da qual todos os termos da sucessão são maiores do que esse real.
Simbolicamente,
un ! +1 , 8L > 0 9p 2 N : n > p ) un > L:
Se un ! +1 diz-se que (un ) tem limite menos in…nito ou tende para
menos in…nito e escreve-se
lim un =
1 ou un !
1:
Isto é,
un !
1 , 8L < 0 9p 2 N : n > p ) un < L:
Finalmente, se jun j ! +1 diz-se que (un ) tem limite in…nito ou tende
para in…nito e escreve-se
lim un = 1 ou un ! 1:
Isto é,
un ! 1 , 8L > 0 9p 2 N : n > p ) jun j > L:
De…nição 7 Uma sucessão com limite in…nito diz-se um in…nitamente
grande. Caso o limite seja +1 ou 1 a sucessão dir-se-á um in…nitamente grande positivo ou in…nitamente grande negativo, respectivamente.
Por exemplo:
- a sucessão de termo geral un = 2n3 + 1 é um in…nitamente grande
positivo;
- a sucessão de termo geral vn = 2n3 + 1 é um in…nitamente grande
negativo;
- a sucessão de termo geral wn = ( 1)n n3 + 1 é um in…nitamente grande
(sem sinal determinado).
Uma sucessão diz-se propriamente divergente se tende para mais in…nto ou para menos in…nto. Uma sucessão diz-se oscilante se não for convergente nem propriamente divergente.
Em resumo, as sucessões classi…cam-se do seguinte modo:
8
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
5.1
convergentes (limite …nito);
8
< propriamente divergentes (limite + 1 ou
divergentes
:
oscilantes (nos restantes casos).
1)
Propriedades dos Limites In…nitos
Proposição 9 Sendo(un ) e (vn ) duas sucessões tem-se que:
1. se un ! +1 e, a partir de certa ordem, un
vn , então vn ! +1;
2. se un !
un , então vn !
1 e, a partir de certa ordem, vn
1:
Exemplo 9 Mostremos que
p
n2 + 2n ! +1:
p
p
p
Temos que un = n2 + 2n
n2 para np 1 e como n2 = n ! +1,
então pelo resultado anterior conclui-se que n2 + 2n ! +1:
un =
Proposição 10 (Propriedades operatórias) Sendo (un ) e (vn ) duas sucessões tem-se que:
1. se un ! +1 e vn ! +1 então un + vn ! +1;
2. se un !
1 e vn !
3. se un ! +1 (resp.
(resp. 1);
1 então un + vn !
1;
1) e vn ! a; com a 2 R; então un + vn ! +1
4. se un ! 1 e vn ! a; com a 2 R; então un + vn ! 1;
5. se un ! +1 (resp.
(resp. 1);
1) e vn ! b; com b 2 R+ ; então un :vn ! +1
6. se un ! +1 (resp.
(resp. +1);
1) e vn ! c; com c 2 R ; então un :vn !
1
7. se un ! 1 e vn ! 1 então un :vn ! 1:
Observação 6 Muitas vezes estas propriedades são indicadas num modo
mais abreviado, que a seguir exempli…camos para o caso das alíneas 1 e 7:
(+1) + (+1) = +1 e 1:1 = 1:
9
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
Os símbolos
1 + 1; 1 1; (+1) (+1) ; (+1) + ( 1) ;
0:1;
0: (+1) ; 0: ( 1)
são designados por símbolos de indeterminação. Isto quer apenas dizer
que nestes casos o facto de existir ou não limite, bem como o seu valor,
depende das sucessões envolvidas.
Por exemplo, consideremos as sucessões de termos gerais
un = 2n2 + 1; vn = n3 + 3 e wn = n3 + 2:
Como (un ) ; (vn ) ; e (wn ) tendem para +1; as sucessões (vn wn ) e (un wn )
correspodem a situações de indeterminação, sendo no entanto fácil estudá-las
quanto à convergência. De facto:
lim (vn
wn ) = lim [(n3 + 3)
(n3 + 2)] = 1;
lim (un wn ) = lim [(2n2 + 1)
= lim n3 1 n2 + n13 = 1:
(n3 + 2)] = lim ( n3 + 2n2
1) =
Proposição 11 Sendo (un ) uma sucessão de termos diferentes de zero, temse que:
1. se un ! 1 então u1n ! 0 (isto é, o inverso de um in…nitamente grande
é um in…nitésimo);
2. se un ! 0 então u1n ! 1 (isto é, o inverso de um in…nitésimo é um
in…nitamente grande).
De…nição 8 Se uma sucessão (un ) tende para a e, a partir de certa ordem,
un > a diz-se que (un ) tende para a por valores superiores e escreve-se
un ! a+ : Analogamente, se uma sucessão (un ) tende para a e, a partir de
certa ordem, un < a diz-se que (un ) tende para a por valores inferiores
e escreve-se un ! a :
É fácil ver que
se un ! 0+ resp. 0
então
1
! +1 (resp.
un
1) :
Por exemplo, vimos que a sucessão de termo geral
vn =
sin2 (n + 1)
2n + 3
10
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
é um in…nitésimo. Pela proposição anterior podemos concluir que v1n é um
in…nitamente grande. Reparando que vn > 0; para qualquer n 2 N, podemos
mesmo a…rmar que v1n é um in…nitamente grande positivo.
Combinando os dois últimos resultados tem-se:
Proposição 12 Se (un ) e (vn ) são duas sucessões, tendo a última os termos
todos diferentes de zero, então:
1. se vn ! 1 e (un ) tem limite …nito,
un
vn
! 0;
2. se vn ! 0 e (un ) tem limite in…nito ou …nito e diferente de zero,
un
! 1;
vn
Tal como no caso anterior, estas propriedades são por vezes representadas
do seguinte modo:
1
a
a
=0,
= 1 e = 1, se a 6= 0:
1
0
0
Os símbolos
0 1
1
,
e
0 1
1
são também símbolos de indeterminação, pois tal como na situação anterior, o facto de existir ou não limite, bem como o seu valor, depende das
sucessões envolvidas.
Consideremos novamente as sucessões de termos gerais
un = 2n2 + 1; vn = n3 + 3 e wn = n3 + 2:
Todas tendem para +1; pelo que as sucessões uvnn ; uvnn e wvnn correspondem
a situações de indeterminação do mesmo tipo. No entanto, facilmente se
determinam os seus limites que são, respectivamente, 0; +1 e 1. De facto,
un
2n2 + 1
= 3
=
vn
n +3
2n2
+ n13
n3
n3
+ n33
n3
=
2
n
+ n13
!0
1 + n33
e analogamente se prova para os restantes casos.
Observação 7 Usando o raciocínio anterior, facilmente se prova que sendo
P (n) = a0 + a1 n +
+ ap np , com ap 6= 0; e Q (n) = b0 + b1 n +
+ bq n q ,
com bq 6= 0; polinómios de graus p e q, respectivamente, tem-se que:
lim P (n) =
P (n)
lim Q(n)
+1 ; se ap > 0
1 ; se ap < 0;
8
< 1 , se p > q
0 , se p < q
=
: ap , se p = q:
bq
11
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
6
Sucessões Monótonas
De…nição 9 Uma sucessão (un ) diz-se crescente (em sentido lato) se un+1
un , para todo o n 2 N.
Dir-se-á estritamente crescente se un+1 > un , para todo o n 2 N.
Uma sucessão (un ) diz-se decrescente (em sentido lato) se un+1 un ,
para todo o n 2 N.
Dir-se-á estritamente decrescente se un+1 < un , para todo o n 2 N.
Uma sucessão (un ) diz-se monótona se for crescente ou decrescente e
estritamente monótona se for estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Exemplo 10 Consideremos a sucessão de termo geral
un = p
1
:
+n
n2
É claro que esta sucessão é decrescente, uma vez que o numerador é constantemente igual a 1 e o denominador
De facto,
q é positivo e crescente.
p
(n + 1)2 +(n + 1) > n2 +n; pelo que (n + 1)2 + (n + 1) > n2 + n , donde
1
(sendo números positivos) se conclui que p
< pn12 +n : Portanto,
2
(n+1) +(n+1)
un+1 < un ,8n 2 N; pelo que (un ) é estritamente decrescente.
Exemplo 11 Para veri…car que a sucessão
p
an = n 2 n
é estritamente crescente, podemos recorrer ao estudo da diferença an+1 an
ou do quociente an+1
. Isto é, ver que an+1 an > 0 para qualquer n 2 N;
an
ou que an+1
>
1
para
qualquer n 2 N (note-se que an+1
> 1 é equivalente a
an
an
an+1 > an porque an > 0, 8n2N ).
Intuitivamente deve ser claro que esta sucessão é crescente, pois no seu
termo geral a parcela n2 cresce mais rapidamente que a parcela n e a raiz
quadrada é uma função crescente.
Assim,
q
p
p
p
an+1 an = (n + 1)2 (n + 1)
n2 n = n2 + n
n2 n =
p
p
p
p
n2 + n
n2 n
n2 + n + n2 n
p
p
=
=
n2 + n + n2 n
2n
p
> 0 ,8n2N :
=p
n2 + n + n2 n
12
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
Analogamente poderíamos mostrar que, para qualquer n > 1;
q
r
r
(n + 1)2 (n + 1)
an+1
n2 + n
n+1
p
=
=
>1:
=
2
2
an
n
n
n 1
n
n
Como a1 = 0 e, para qualquer n > 1; an+1
> 1; com an > 0, conclui-se que
an
an+1 > an :
p
Portanto, a sucessão an = n2 n é estritamente crescente.
Observe-se que no caso do exemplo anterior torna-se mais fácil averiguar
> 1.
a desigualdade an+1
an
Teorema 13 Toda a sucessão monótona e limitada é convergente.
Mais precisamente, toda a sucessão crescente e majorada tem limite (igual
ao supremo do conjunto dos seus termos) e toda a sucessão decrescente e
minorada tem limite (igual ao ín…mo do conjunto dos seus termos).
Re…ra-se que o supremo de um conjunto é o menor dos seus majorantes
e o ín…mo é o maior dos seus minorantes.
Exemplo 12 Consideremos novamente a sucessão do exemplo anterior supondo
n > 1. Como
p
1
1
>
:
an = n2 n > 0 e an < an+1 vem que
an
an+1
Portanto, a sucessão
como é limitada
…nito.
1
an
pois 0
; de…nida para n > 1; é monótona decrescente e,
p 1
n2 n
p1 ; 8n
2
> 1 ; conclui-se que tem limite
Proposição 14 Toda a sucessão monótona tem limite …nito ou in…nito.
Assim, dada uma sucessão monótona, tem-se um de dois casos:
a sucessão é limitada e, portanto, tem limite …nito, visto que é convergente;
a sucessão não é limitada, e neste caso tem limite +1 ou
é crescente ou decrescente.
1 conforme
A sucessão (an ) do exemplo anterior é monótona crescente e não é limitada, pelo que tem limite +1.
p
Analogamente, a sucessão de termo geral an =
n2 n é decrescente
e não é limitada, pelo que tende para 1.
13
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
Exemplo 13 Considere-se a sucessão de termo geral
1
1+
n
n
:
Prova-se que esta sucessão é crescente e tem todos os termos compreendidos entre 2 e 3. É , portanto, uma sucessão monótona e limitada, pelo que
é convergente em R:
O limite desta sucessão é um número real muito importante e representase por \e". Assim,
n
1
= e;
lim 1 +
n
sendo este número um irracional.
7
Subsucessões
De…nição 10 Seja (un ) uma sucessão e (nk ) uma sucessão estritamente
crescente de elementos de N. A sucessão vk = unk diz-se uma subsucessão
de (un ).
Uma subsucessão duma sucessão (un ) é simplesmente uma sucessão que
é extraída da original escolhendo certos índices, em número in…nito, por
ordem crescente. Escolhendo n1 ; n2 ; n3 ; : : : ; com n1 < n2 < n3 < : : : ; e
considerando a sucessão un1 ; un2 ; un3 ; : : : , constituída pelos elementos da
sucessão original correspondentes a esses naturais, obtemos uma subsucessão
da sucessão original.
Duma sucessão (un ) podem extrair-se uma in…nidade de subsucessões:
u2 ; u4 ; : : : ; u2k ; : : : (dos termos de índice par); u1 ; u3 ; : : : ; u2k 1 ; : : : (dos termos de índice ímpar); u3 ; u6 ; u9 ; : : : ; u3k ; : : : (dos termos de índice múltiplo
de 3); etc.
Por exemplo, no estudo da sucessão de termo geral un = ( 1)n n1 são
particularmente importantes duas sucessões - a subsucessão dos termos de
1
ordem par, de termo geral vn = u2n = 2n
; e a subsucessão dos termos de
ordem ímpar, de termo geral wn = u2n 1 = 2n1 1 .
Proposição 15 Toda a subsucessão duma sucessão com limite (…nito ou
in…nito) tem o mesmo limite.
Corolário 16 Se uma sucessão tiver duas subsucessões com limites diferentes, a sucessão não tem limite.
14
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
Por exemplo, a sucessão de termo geral
8 1
< n se né número primo
vn =
: 1
se n não é número primo
2
tem duas subsucessões com comportamentos perfeitamente distintos - a subsucessão dos termos correspondentes aos naturais primos e a subsucessão dos
termos correspondentes aos naturais não primos. A primeira subsucessão
tem limite 0 e a segunda tem limite 21 , pelo que a sucessão não tem limite.
Proposição 17 Se (un )n é uma sucessão tal que as suas subsucessões dos
termos de ordem par e dos termos de ordem ímpar são ambas convergentes
e têm o mesmo limite, então (un )n é convergente.
Por exemplo, aplicando este resultado, conclui-se facilmente que a sucessão
( 1)n n1 n é convergente.
Proposição 18 Toda a sucessão de reais tem uma subsucessão com limite
(…nito ou in…nito).
De…nição 11 Chama-se limite superior de uma sucessão (un ) ; e representase por limun ou lim sup un ; ao maior dos limites (…nitos, +1 ou 1) das
subsucessões que se podem extrair de (un ). Chama-se limite inferior de
uma sucessão (un ) ; e representa-se por limun ou lim inf un , ao menor dos
limites (…nitos, +1 ou 1) das subsucessões que se podem extrair de (un ).
No caso da sucessão de termo geral
8 1
< n se né número primo
vn =
: 1
se n não é número primo
2
tem-se que
limvn =
Exemplo 14 Seja xn = n sin
subsucessões:
1
2
n
2
e limvn = 0:
: Desta sucessão podemos extrair três
uk = x2k = 2k sin (k ) = 0
vk = x4k+1 = (4k + 1) sin 2k +
wk = x4k+3
2
3
= (4k + 3) sin 2k +
2
15
= 4k + 1
=
4k
3
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
cujos limites são, respectivamente, 0; +1 e 1. Qualquer outra subsucessão
de (xn ) tende para um destes limites, tendo-se
limxn = +1 e limxn =
1:
Observação 8 Os limites superior e inferior de um sucessão (un ) podem
também obter-se do seguinte modo:
limun = lim
n!1
supuk , sendo supuk = sup fuk : k
ng
inf uk , sendo inf uk = inf fuk : k
ng :
k n
k n
e
limun = lim
n!1
k n
k n
Recorde-se que o supremo de um subconjunto de R é o menor dos seus
majorantes e o ín…mo o maior dos seus minorantes (caso existam).
8
Resultados úteis no cálculo de limites
Proposição 19 (Limite da potência)
8
+1
>
>
>
>
< 0
n
1
lim a =
>
>
não existe
>
>
:
1
Sendo a um escalar real tem-se que
,
,
,
,
,
se
se
se
se
se
a>1
jaj < 1
a=1
a= 1
a < 1:
Proposição 20 (Limite da média aritmética) Se (un ) é uma sucessão
tal que un ! a, com a 2 R, a = +1 ou a = 1, então
u1 + u2 +
n
Exemplo 15 lim n1 1 + 12 + 13 +
+ un
+
1
n
!a.
= 0; pois
1
n
! 0:
Corolário 21 Sendo (un ) uma sucessão,
se (un+1
un ) ! a então
un
! a:
n
Exemplo 16 Considere-se a sucessão de termo geral un =
lim
ln n
= 0; pois [ln (n + 1)
n
16
ln n] = ln
ln n
:
n
n+1
! ln 1 = 0:
n
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
Proposição 22 (Limite da média geométrica) Se (un ) é uma sucessão
de reais não negativos e un ! a; com a 2 R ou a = +1, então
p
n
u1 u2 : : : un ! a.
Corolário 23 Sendo (un ) uma sucessão de reais positivos,
p
un+1
! a então n un ! a:
un
p
Exemplo 17 Sendo a > 0, lim n a = 1 pois lim aa = 1:
se
Exemplo 18 Considere-se a sucessão de termo geral un =
lim
p
n
n! = +1 pois lim
p
n
n!:
(n + 1)!
= lim (n + 1) = +1:
n!
Proposição 24 Se (un ) é um in…nitamente grande e a 2 R; então
lim 1 +
a
un
un
= ea .
Exemplo 19 Considere-se a sucessão de termo geral un =
lim
9
n 2
n+2
n
= lim 1 +
4
n+2
n+2
: lim 1
4
n+2
n 2 n
n+2
2
= e 4 :1 = e
4
Sucessões de…nidas por recorrência
Uma sucessão pode ser de…nida por uma relação de recorrência. Nesta situação não é dada a expressão do termo geral sendo indicado o valor do primeiro
termo (ou dos primeiros termos) e o valor de um certo termo é de…nido a
partir do anterior (ou então a partir de mais do que um termo anterior),
como por exemplo,
u1 = 1
un+1 = n2 un , 8n2N ;
cujos cinco primeiros termos são 1; 1; 4; 36; 576; ou
v1 = 1 , v2 = 2
vn+2 = 2vn+1 3vn , 8n2N ;
17
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
cujos cinco primeiros termos são 1; 2; 1; 4; 11:
Duas sucessões bem conhecidas, das quais já falámos anteriormente, que
podem ser de…nidas por recorrência, são:
- progressão aritmética de razão r e primeiro termo a;
de…nida por
u1 = a
un+1 = un + r , 8n2N ;
- progressão geométrica de razão r e primeiro termo a;
de…nida por
u1 = a
un+1 = un :r , 8n2N :
9.1
O Método de Indução
Consideremos a sucessão (un )n de…nida por recorrência do seguinte modo:
u1 = 21
:
un+1 = u2n , 8n2N
Deve ser intuitivo que, qualquer que seja n 2 N; 0 < un < 1, visto que o
primeiro termo é 12 (que é positivo e menor do que 1), o segundo termo é o
quadrado deste (e portanto também é positivo e menor do que 1) e assim
sucessivamente.
O Método de Indução Finita, que se apresenta de seguida, é o método
ideal para provar esta a…rmação.
De facto, este método é fundamental para provar muitas das propriedades
dos naturais e também outras propriedades em que intervêm naturais. Como
se perceberá facilmente, é especialmente indicado para provar propriedades
de sucessões de…nidas por recorrência.
Teorema 25 (Princípio de Indução Finita) Seja P (n) uma condição na
variável (natural) n tal que
P (1) é verdadeira,
para qualquer n 2 N, P (n) ) P (n + 1).
Então P (n) é verdadeira, para qualquer n 2 N.
O Método de Indução Finita aplica-se, então do seguinte modo:
prova-se que P (1) é verdadeira;
18
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
para n 2 N (arbitrário), assume-se como hipótese que P (n) é verdadeira (é chamada Hipótese de Indução) e prova-se que P (n + 1)
é verdadeira (é chamada Tese de Indução) - a este passo chama-se
Passo de Indução, e uma propriedade P (n) nestas condições diz-se
hereditária;
conclui-se, pelo Princípio de Indução Finita, que P (n) é verdadeira
para qualquer n 2 N.
Observação 9 De um modo intuitivo, este método funciona porque podemos
obter qualquer número natural a partir do 1 adicionando sucessivamente 1:
De facto, sabendo que se P (n) é verdadeira então P (n + 1) é verdadeira
(para qualquer natural n), e tendo provado que P (1) é verdadeira, tem-se
que P (2) é verdadeira (pois 2 = 1 + 1 e P (1) é verdadeira), sendo P (2)
verdadeira, então P (3) é verdadeira (pois 3 = 2 + 1 e P (2) é verdadeira), e
assim sucessivamente.
Deve ser claro que métodos perfeitamente análogos funcionam para propriedades em N0 ou propriedades que sejam verdadeiras apenas para os naturais maiores ou iguais a um certo k 2 N. A diferença reside, no primeiro
caso, em começar-se por provar que P (0) é verdadeira, e no segundo caso,
que P (k) é verdadeira.
Exemplo 20 Consideremos a sucessão de…nida por recorrência do seguinte
modo:
u1 = 21
:
un+1 = un u2n , 8n2N
Provemos, por indução, que 0 < un < 1, 8n2N .
Neste caso, a propriedade P (n) é 0 < un < 1:
P (1) é verdadeira, pois u1 = 12 , pelo que 0 < u1 < 1;
Suponhamos que 0 < un < 1, com vista a provar que 0 < un+1 < 1:
Tem-se que un+1 = un u2n .
Como 0 < un < 1, u2n < un ; pelo que 0 < un u2n :
Por outro lado, como u2n 0, un u2n un < 1.
Portanto, 0 < un u2n = un+1 < 1.
Pelo Princípio de Indução conclui-se que, para qualquer n 2 N;
0 < un < 1.
19
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
É agora fácil provar que a sucessão é convergente e calcular mesmo o valor
do seu limite.
De facto, provámos que a sucessão é limitada e é imediato que é decrescente ( pois un+1 = un u2n < un ), pelo que é convergente.
Seja a 2 R o limite desta sucessão.
Como
un ! a; un+1 ! a e un+1 = un u2n ;
pelas propriedades dos limites conclui-se que a = a a2 , pelo que a = 0:
Note-se que para podermos aplicar o método que seguimos para o cálculo
deste limite, é indispensável provar primeiro que tal limite existe, isto é, que
a sucessão é convergente.
Observação 10 Por indução, é fácil provar que:
a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, (an ) ; de
n
:n;
razão r e 1o termo a; é dada por Sn = a+a
2
a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, (an ) ; de
n
razão r 6= 1 e 1o termo a; é dada por Sn = 11 rr :a:
Referências
[1] Apostol, T. M., Calculus, Reverté, 1977;
[2] Azenha, Acilina e Jerónimo, M. A., Cálculo Diferencial Integral em R e
Rn , McGraw-Hill, 1995;
[3] Caraça, Bento de Jesus, Conceitos Fundamentais de Matemática,
Gradiva, 1998;
[4] Piskounov, N., Calcul Di¤érentiel et Intégral, MIR, 1976;
[5] Wade, W. R., An Introduction to Analysis, Prentice Hall, 1995;
20
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
10
Exercícios Propostos
n+10
n!+1 2n 1
Exercício 1 Prove, por de…nição, que lim
= 12 .
Exercício 2 Calcule o limite das seguintes sucessões:
1.
n2 +1
3n2 2n+1
2.
n3 +1
2n2 3
3.
n 2
n3 +2n2 2
4.
(n+2)! n!
n!(n2 +2)
5.
1+2+3+:::+n
n2
6.
n
P
1 k
3
k=0
7.
2n +3n
2n 3n
8. n
9.
p
cos(n )
n2
11.
nn+1
nn +2
12.
p n
n2 +n
14.
15.
p
n
(n + 1)!
q
n
p
n
log n
4n 3 n
4n+1
17.
n
n 1
1
2n
n!
n3 1
4n3 +2
16.
18.
n
n+sen2 n
2n+3
10.
13.
n2
+
2n
1
4n
+
1
6n
+
+
1
2n2
Exercício 3 Utilize o teorema das sucessões enquadradas para calcular os
seguintes limites:
21
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
1.
2.
1
n2
+
n
P
k=1
3.
n!
nn
4.
2n
n!
1
(n+1)2
+
+
1
(n+n)2
=
n
P
k=0
1
(n+k)2
p 1
n2 +k
Exercício 4 Diga, justi…cando, quais das seguintes a…rmações são verdadeiras ou falsas:
1. A sucessão de termo geral
an =
n
n+1
se n 10
3 se n > 10
é divergente.
2. A sucessão de termo geral
an =
n
n+1
se né par
3 se né ímpar
é divergente.
3. Se (un )n é uma sucessão decrescente de termos positivos então é convergente.
4. Uma sucessão decrescente de termos positivos tende para zero.
Exercício 5 Estude a natureza das seguintes sucessões e indique se são ou
não limitadas. Calcule, em cada caso, os limites inferior e superior.
1. [2 + ( 1)n ] :n
2.
(sen n)n
5n 1
3.
cos(n )+cos(2n )
n
4.
an
;
42n
a2R
5. ( 1)n n!
2
6. [( 1)n + 1] n2n2 +2nn
22
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
7. n(
1)n
8. sen n3 + cos n3
9.
n+( 1)n (2n 1)
:
n+1
Exercício 6 Prove que, para qualquer n 2 N,
n
P
i=
i=1
n(n+1)
:
2
Exercício 7 Sendo (an )n a progressão aritmética de razão r e 1o termo a,
n
prove que Sn = n a+a
; onde Sn é a soma dos n primeiros termos desta
2
progressão.
Exercício 8 Seja (an )n a progressão geométrica de razão r e 1o termo a.
1. Sendo Sn a soma dos n primeiros termos desta progressão, prove,
n
supondo a 6= 0 que, se r 6= 1 então Sn = a 11 rr :
2. Diga em que condições a sucessão (Sn ) é convergente.
Exercício 9 Sendo a 2 R; com 0 < a < 1, considere a sucessão de…nida por
recorrência do seguinte modo:
u1 = a
1
un = unun1 +1
1. Prove, por indução, que 0
; 8n > 2:
1; 8n 2 N:
un
2. Prove que (un ) é convergente e calcule o seu limite.
Exercício 10 Seja (an ) uma sucessão de…nida por recorrência do seguinte
modo:
a1 = 1
an+1 = nan ; 8n > 1:
Seja (bn ) a sucessão de termo geral
bn =
+
an
:
nn
1. Calcule b3 :
2. Prove, por indução, que 0
3. Prove que
bn
nn 1 , para todo o natural n.
an
+ n1 , para todo o natural n.
23
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
4. Mostre que (bn ) é convergente e calcule o seu limite.
Exercício 11 Considere a sucessão
un+1
u1 = 34
= 2un + 1; 8n > 1:
1. Mostre que un > n; 8n > 1.
2. Mostre que lim un = +1:
n!+1
24
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
11
Exercícios Complementares
Exercício 12 Sejam (un ) e (vn ) duas sucessões de termos positivos tais que
u1 = 4; v1 = 2; un+1 =
p
un + v n
e vn+1 = un vn ; 8n 2 N:
2
1. Prove, por indução que un > vn , 8n 2 N ;
2. Justi…que que (un ) é decrescente.
Exercício 13 Considere a sucessão un =
3n
.
n!
1. Mostre, usando o princípio de indução …nita, que se tem, qualquer que
n
seja n > 3 , un < 34 42 ;
2. Utilizando o teorema das sucessões enquadradas e o resultado da alínea
anterior, determine lim un .
Exercício 14 Determine, caso exista, o limite das sucessões que têm por
termo geral:
( 1)n+1
n
1.
cos(n )
n+1
2.
3
pn +n+5 ;
2n5 +3n4
+
+ 3;
1
3. (2n3 + n2 ) 3 n
P2n pn
p
4.
k=0 n3 +k ;
5.
2n2 +n+5
n2 +3
6. [(n + 3)!
3n2 +2
;
1
(n + 2)!] n :
Exercício 15 Seja un = 1
n 2 N:
1 2n
n2
e vn =
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+
+
1
,
n!
em que
1. Calcule lim un ;
2. Prove, pelo método de indução …nita que vn < 3
1
;
n!
8n 2 N ;
3. Justi…que que (un + vn ) é convergente.
25
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
Exercício 16 Considere a sucessão
u1 =
un+1 =
1
un
1 2un
1. Prove, pelo método de indução matemática que un =
1
;
1 2n
2. Calcule lim un :
n!+1
26
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0
Soluções
1: 2.1: 31 ; 2.2: +1; 2.3: 0; 2.4: 1; 2.5: 21 ; 2.6: 32 ; 2.7: 1; 2.8: 12 ; 2.9: 12 ;
2.10: 0; 2.11: +1; 2.12: 1; 2.13: +1; 2.14: 1; 2.15: 1; 2.16: e 1 ; 2.17:
e 2 ; 2.18: 0;
3.1: 0; 3.2: 1; 3.3: 0; 3.4: 0;
4.1: falsa; 4.2: verdadeira; 4.3: verdadeira; 4.4: falsa;
5.1: propriamente divergente, ilimitada, +1; +1; 5.2: convergente, limitada, 0; 0; 5.3: convergente, limitada, 0; 0; 5.4: se jaj < 16; conv.,
limitada; 0; 0; se a > 16, propriamente divergente, ilimitada, +1; +1; se
a < 16, oscilante, ilimitada, 1; +1; se a = 16, conv., limitada, 1; 1; se
a = 16, oscilante, limitada, 1, +1. 5.5: oscilante, ilimitada, 1; +1;
5.6: oscilante,
limitada,
0,4; 5.7: oscilante, ilimitada, 0; +1; 5.8: oscilante,
p
p
3+1
3+1
; 2 ; 5.9: oscilante, limitada, 1, 3;
limitada,
2
6: 7: 8.1: -; 8.2: jrj < 1
9.1: -; 9.2: 0
2
10.2: -; 10.3: -; 10.4:
10.1: + 27
11: 12: 13.1: -; 13.2: 0
14.1: 3; 14.2: +1; 14.3: +1; 14.4: 2; 14.5: +1; 14.6: +1
15.1: 1; 15.2: -; 15.3: 16.1: -; 16.2: 0
27
1 8 / O u tu b ro / 2 0 0 0