INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO
ELECTROMAGNETISMO
Alfredo Barbosa Henriques
e
Jorge Crispim Romão
Departamento de Fı́sica
2005
ii
Conteúdo
1 Electrostática
1.1 O conceito de campo e o estudo dos fenómenos electromagnéticos
1.2 Campo eléctrico e campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Linhas de campo e equipotenciais . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Dipolo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Distribuição arbitrária de cargas . . . . . . . . . . . . . .
1.3.6 Presença de condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Lei de Gauss e aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~ . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Condições fronteira para o campo E
1.4.3 Algumas aplicações simples da lei de Gauss. . . . . . . . .
1.4.4 Influência eléctrica: elementos equivalentes . . . . . . . .
1.5 Capacidade de sistemas de condutores . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Capacidade de um condutor . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Coeficientes de capacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Condensador plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.5 Condensador esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Equações de Poisson e Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Solução da equação de Laplace a uma dimensão . . . . . .
1.6.3 Soluções gerais da equação de Laplace . . . . . . . . . . .
1.6.4 O método das imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.5 Soluções numéricas da equação de Laplace . . . . . . . . .
1.7 Dieléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
2
3
4
4
8
11
12
14
16
17
17
20
21
24
24
24
25
26
26
27
28
28
29
30
38
41
46
ii
CONTEÚDO
1.7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Polarização de um dieléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Vector deslocamento. Permitividade de um dieléctrico . . . . . . .
1.7.4 Condições fronteira na superfı́cie de separação de dois dieléctricos .
1.7.5 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Energia do campo electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Energia dum sistema de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Energia dum sistema de condutores . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.3 Expressão de Maxwell para a energia . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.4 Energia de um dieléctrico colocado num campo exterior . . . . . .
1.8.5 Energia dum dipolo num campo exterior . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.6 Raio clássico do electrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problemas Capı́tulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
46
47
50
51
53
60
60
62
63
66
68
69
71
2 Magnetostática
2.1 Corrente eléctrica estacionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Densidade de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Intensidade de corrente I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Equação da continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Resistência dum condutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Força electromotriz (f.e.m.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.7 Lei dos nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Força magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Força sobre cargas eléctricas em movimento . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Forças sobre correntes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Lei de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 As equações fundamentais da magnetostática. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 O potencial vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Unicidade de A
2.5.3 Dedução da lei de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~ As equações da magnetostática . . . . . . . . .
2.5.4 A divergência de B.
2.6 Fluxo magnético. Coeficientes de indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Fluxo magnético Φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Coeficientes da indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Dipolo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 O potencial e campo do dipolo magnético . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Acção dum campo magnético uniforme sobre um dipolo magnético. .
2.8 Substâncias magnéticas. Vector campo magnético . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
79
80
80
81
81
83
84
86
86
87
91
91
92
94
97
97
99
104
105
105
105
106
108
108
111
112
iii
CONTEÚDO
~ . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Vector magnetização M
2.8.2 Correntes de magnetização . . . . . . . . . . .
~ . . . . . . . . . . .
2.8.3 Vector campo magnético H
2.8.4 Substâncias magnéticas . . . . . . . . . . . . .
2.8.5 Permeabilidade magnética . . . . . . . . . . . .
2.8.6 Condições fronteira . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Energia do campo magnetostático . . . . . . . . . . .
2.9.1 Expressão da energia em termos das correntes .
2.9.2 Energia de um sistema de correntes . . . . . .
2.9.3 Expressão da energia em termos dos campos .
Problemas Capı́tulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Equações de Maxwell
3.1 Indução electromagnética . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Lei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Coeficientes de auto-indução (L) e de indução
3.2 Corrente de deslocamento . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Equações de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Equações para os potenciais . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Relação entre os campos e os potenciais . . .
3.4.2 Invariância padrão (gauge). . . . . . . . . . .
3.4.3 Equações para os potenciais . . . . . . . . . .
3.4.4 Potenciais de Lorenz . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Equações de Maxwell longe das fontes . . . . . . . .
3.5.1 Cargas e correntes nulas (ρ = 0 ; J~ = 0) . . .
~ . . . . . .
3.5.2 Meios condutores (ρ = 0; J~ = σ E)
3.6 Energia do campo electromagnético . . . . . . . . . .
Problemas Capı́tulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
112
112
118
120
122
122
124
124
125
129
131
. . . . . . .
. . . . . . .
mútua (M )
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
139
140
140
143
144
151
153
153
153
154
155
155
155
157
157
163
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
167
168
168
168
170
170
171
171
172
172
174
4 Ondas Electromagnéticas
4.1 Equação das ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Ondas planas monocromáticas . . . . . . . . . .
4.1.4 Representação complexa . . . . . . . . . . . . . .
4.1.5 Perı́odo e comprimento de onda . . . . . . . . . .
4.1.6 Propagação numa direcção arbitrária . . . . . . .
4.2 Ondas electromagnéticas planas . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Ondas electromagnéticas . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Carácter transversal das ondas electromagnéticas
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
iv
CONTEÚDO
~ eH
~ numa onda plana . . . . . . . .
4.2.3 Relação entre E
4.3 Polarização das ondas electromagnéticas . . . . . . . . . . .
4.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Polarização circular: |E0x | = |E0y | = E0 . . . . . . .
4.3.3 Polarização linear: |E0x | = ou 6= |E0y |, mas em fase
4.3.4 Polarização elı́ptica: |E0x | 6= |E0y |, mas desfasados .
4.4 Energia das ondas planas electromagnéticas . . . . . . . . .
4.4.1 Valor médio de grandezas sinusoidais . . . . . . . . .
4.4.2 Energia das ondas planas electromagnéticas . . . . .
4.5 Leis da reflexão e refracção . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Equações de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~ perpendicular ao plano de incidência . . . . . . .
4.6.1 E
~ paralelo ao plano de incidência . . . . . . . . . . .
4.6.2 E
4.6.3 Incidência normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.4 Coeficientes de reflexão e de transmissão . . . . . . .
4.6.5 Ângulo de Brewster . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.6 Reflexão total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Princı́pio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Propagação rectilı́nea da luz . . . . . . . . . . . . . .
4.7.2 Lei da reflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.3 Lei da refracção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.4 Miragens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Arco-ı́ris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Interferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9.2 A matemática da interferência . . . . . . . . . . . .
4.9.3 A experiência de Young . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9.4 Agregados de antenas . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Difracção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Velocidade de fase e velocidade de grupo . . . . . . . . . . .
4.12 Propagação guiada: guias de ondas . . . . . . . . . . . . . .
4.12.1 Guias de ondas rectangulares . . . . . . . . . . . . .
4.12.2 Frequência de corte e velocidade de grupo . . . . . .
4.12.3 O campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problemas Capı́tulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
176
178
178
178
179
180
186
186
188
189
192
192
195
197
197
198
199
204
205
205
206
207
208
212
212
214
217
219
223
225
227
228
230
231
234
5 Ondas em Meios Dispersivos
241
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.2 Polarização electrónica e atómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.2.1 Campo aplicado estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
v
CONTEÚDO
5.2.2 Campo aplicado variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.2.3 Cálculo mais rigoroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
5.2.4 Generalizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
5.2.5 Fórmula de Drude para a condutividade . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.3 A permitividade em situações reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
5.3.1 Gases a baixas pressões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
5.3.2 Gases polares a baixas pressões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
5.3.3 A permitividade de lı́quidos não polares: a equação de Clausius-Mossotti253
5.3.4 A permitividade de lı́quidos polares: a equação de Debye . . . . . . . 254
5.4 Atenuação das ondas electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
5.4.1 Expressões gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
5.4.2 Casos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
5.5 Ondas electromagnéticas em meios condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
5.5.1 Efeito pelicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
5.5.2 Índice de refracção dos metais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
5.5.3 Reflexão em superfı́cies metálicas: incidência normal . . . . . . . . . . 261
Problemas Capı́tulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6 Solução Geral das Equações de Maxwell
6.1 Potenciais retardados . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Dipolo oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~. . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 O potencial A
6.2.2 O potencial escalar φ . . . . . . . . . . . .
~ eE
~ . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Os campos B
6.2.4 Potência radiada por um dipolo oscilante
6.2.5 Antena linear . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Difusão da luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Espectro visı́vel . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Raios X . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Polarização . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Campos duma carga em movimento . . . . . . .
6.4.1 Os potenciais de Liénard-Wiechert . . . .
6.4.2 Os campos duma carga em movimento . .
Problemas Capı́tulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
265
266
267
267
269
269
272
274
274
276
276
277
277
277
281
283
7 O Electromagnetismo e a Teoria da Relatividade
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Postulados da relatividade . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Consequências das transformações de Lorentz . . .
7.3.1 Dilatação do tempo . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
287
288
288
289
289
vi
CONTEÚDO
7.3.2 Contracção de Lorentz . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Simultaneidade . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.4 Dinâmica relativista . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.5 Transformação das velocidades . . . . . . . . .
7.4 A geometria do espaço-tempo . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Intervalos de espaço-tempo . . . . . . . . . . .
7.4.2 Cone de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.3 Quadrivectores . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Electrodinâmica relativista . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 Equações para os potenciais . . . . . . . . . . .
7.5.2 Equações de movimento de uma carga eléctrica
~ eB
~ .
7.5.3 Transformações de Lorentz dos campos E
7.5.4 É a lei de Biot-Savart uma lei aproximada? . .
7.5.5 Covariância das equações de Maxwell . . . . .
7.6 Leis de transformação das frequências . . . . . . . . .
7.6.1 Efeito de Doppler relativı́stico . . . . . . . . . .
7.6.2 O pseudo paradoxo dos gémeos . . . . . . . . .
Problemas Capı́tulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A A Matemática do Electromagnetismo
A.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Sistemas de coordenadas . . . . . . . .
A.2.1 Coordenadas polares . . . . . .
A.2.2 Coordenadas cilı́ndricas . . . .
A.2.3 Coordenadas esféricas . . . . .
A.3 Cálculo integral em Rn . . . . . . . . .
A.3.1 Integrais a uma dimensão . . .
A.3.2 Integrais de superfı́cie . . . . .
A.3.3 Integrais de volume . . . . . .
A.4 Campos escalares e vectoriais . . . . .
A.5 Superfı́cies, ângulo sólido e fluxo . . .
A.5.1 Superfı́cies orientadas . . . . .
A.5.2 Ângulo sólido . . . . . . . . . .
A.5.3 Fluxo dum campo vectorial . .
A.6 Operadores diferenciais . . . . . . . . .
A.6.1 Gradiente . . . . . . . . . . . .
A.6.2 Divergência . . . . . . . . . . .
A.6.3 Rotacional . . . . . . . . . . .
A.6.4 Laplaciano . . . . . . . . . . .
A.6.5 Identidades importantes . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
290
290
291
292
293
293
293
294
296
296
297
298
302
305
307
307
307
311
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
315
316
316
316
317
317
318
318
320
325
330
331
331
331
333
334
335
337
339
344
344
vii
CONTEÚDO
A.6.6 Coordenadas curvilı́neas . . . .
Problemas Apêndice A . . . . . . . . . . . .
Constantes fı́sicas, grandezas e unidades SI
Soluções dos problemas . . . . . . . . . . .
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Índice remissivo . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
345
348
349
351
354
356
viii
CONTEÚDO
Capı́tulo 1
Electrostática
1
2
1.1
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
O conceito de campo e o estudo dos fenómenos electromagnéticos
De uma forma muito geral podemos dizer que no electromagnetismo se estudam as interacções
entre cargas eléctricas em repouso ou em movimento e as propriedades gerais do campo
electromagnético no espaço. A importância deste estudo resulta óbvia se nos lembrarmos da
variedade de situações em que nos aparecem forças de natureza eléctrica e magnética: forças
entre os electrões e o núcleo no interior dos átomos, forças entre átomos e entre moléculas,
forças de coesão nos sólidos, isto para não falarmos da imensa variedade de aplicações das
leis que regem estas forças, motores eléctricos, telecomunicações, etc.
Vital no desenvolvimento da teoria e da compreensão destes fenómenos foi a introdução
da noção de campo, devida a Faraday, fı́sico inglês da primeira metade do séc. XIX. Faraday
descobriu que, ao estudarmos as forças eléctricas entre corpos carregados, terı́amos de atender
não só às cargas eléctricas existentes nesses corpos, mas também aos fenómenos que se passavam no espaço separando estes corpos. Que algo se passa neste espaço torna-se evidente
quando, ao introduzirmos um material isolador entre dois corpos carregados, verificamos
haver uma variação na força que eles exercem entre si. Simultaneamente, observa-se o aparecimento de cargas eléctricas induzidas no material isolador, as quais desaparecem quando
ele é retirado. Não tendo à sua disposição o arsenal matemático que nós hoje possuı́mos para
descrever estes fenómenos, Faraday tentou descrevê-los com o auxı́lio da noção de linhas de
campo (ou linhas de força), linhas que em cada ponto têm a direcção da força eléctrica exercida sobre uma carga-teste aı́ colocada. Para representar a intensidade dessa força, Faraday
convencionou que o número de linhas de campo atravessando a unidade de área perpendicular, o fluxo da força através dessa superfı́cie, seria proporcional ao valor local da força. As
linhas de campo partiam das cargas positivas e iam terminar nas cargas negativas. As linhas
de campo apresentavam-se como uma visualização do campo eléctrico existente no espaço em
torno das cargas eléctricas. O mesmo tipo de descrição foi depois generalizado por Faraday
para os fenómenos magnéticos, com o conceito de campo magnético.
A teoria que iremos desenvolver não é mais do que o estudo das leis que regem os campos
eléctrico e magnético, e cuja formulação matemática está contida nas chamadas equações
de Maxwell. Foi Maxwell quem deu ao electromagnetismo a sua forma moderna, e com ele
a noção de campo provou a sua superioridade relativamente à noção, que até aı́ permeava
a fı́sica, de acção à distância entre massas ou entre cargas, superioridade que se manifesta
especialmente no caso de estarmos em presença de campos rapidamente variáveis no tempo.
Utilizaremos o sistema Giorgi racionalizado de unidades, também designado por sistema
internacional (SI), onde as unidades fundamentais são: metro (m), quilograma (kg), segundo
(s), ampere (A).
1.2. CAMPO ELÉCTRICO E CAMPO MAGNÉTICO
1.2
3
Campo eléctrico e campo magnético
São as cargas e as correntes eléctricas as fontes dos campos eléctrico e magnético. Para
vermos como se chegou à necessidade de introduzir dois tipos de forças, dois tipos de campos, imaginemos uma pequena carga-teste q (ou seja, uma partı́cula com uma pequena carga
eléctrica q) numa região do espaço onde se manifesta a influência de uma distribuição de
cargas e de correntes sob a forma de uma força actuando sobre q. Supomos q suficientemente pequena para não afectar essa distribuição. Verifica-se, experimentalmente, que essa
força se pode decompor em duas: uma força, que designaremos por eléctrica, independente
da velocidade ~v da carga, e uma outra força, força magnética, proporcional a ~v e actuando
perpendicularmente a ~v ; se ~v = 0, verifica-se que a força magnética se anula. Estas caracterı́sticas permitem-nos separar claramente os dois tipos de forças e os seus efeitos. Qualquer
destas forças é proporcional ao valor da carga q. A carga é expressa em coulomb (C) no
sistema internacional.
~ e a força magnética, a um campo
A força eléctrica é devida a um campo eléctrico E,
~
de indução magnética B, definidos de tal maneira que a força total electromagnética F~ que
actua na carga q vem dada por
~ + ~v × B)
~ .
F~ = q(E
(1.1)
Se a carga estiver em repouso (~v = 0), a segunda parcela anula-se e o campo eléctrico vem
~ = F~ /q.
dado por E
~ mede, pois, em cada ponto do espaço, a força que se exerce sobre a unidade
O campo E
~ são o newton por
de carga positiva colocada em repouso nesse ponto. As unidades de E
coulomb (N/C), que mais tarde veremos ser equivalente a volt por metro (V/m), a unidade
~ como sendo newton vezes
utilizada no SI. Da expressão (1.1) tiram-se as unidades de B
segundo por coulomb e por metro, que designamos por weber por metro quadrado (Wb/m 2 )
ou ainda tesla (T), a unidade utilizada no SI; volt e weber são unidades cujo significado será
dado na altura devida. A força (1.1) é conhecida por força de Lorentz.
~ e B
~ introduzidos acima não são independentes um do
Na realidade, os dois campos E
outro. Será um dos pontos altos do nosso estudo compreender quão intimamente estas duas
entidades se relacionam uma com a outra. Apesar disso, é conveniente começar o estudo do
campo electromagnético no caso limite de termos cargas em repouso e correntes estacionárias
~ e B,
~ isto é, os fenómenos eléctricos e magnéticos,
(não variáveis no tempo), situação em que E
se podem estudar independentemente. Este estudo constitui os capı́tulos de electrostática,
~ e B,
~
com que começaremos, e de magnetostática. Neles veremos como calcular os campos E
dadas distribuições de cargas em repouso e de correntes estacionárias.
4
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
1.3
Campo eléctrico
1.3.1
Lei de Coulomb
~ num ponto P devido a uma carga pontual
A lei de Coulomb diz-nos que o campo eléctrico E
q em repouso (carga estática) no ponto P0 é inversamente proporcional ao quadrado da
distância entre o ponto P e a posição da carga, e está orientado segundo a linha definida
pelos dois pontos, isto é,
~ r) =
E(~
q
~r − ~r0
1
,
2
4π0 | ~r − ~r0 | | ~r − ~r0 |
(1.2)
z
PSfrag replacements
q
~r − ~r0
P(x, y, z)
~r0
~r
y
x
Figura 1.1: Campo eléctrico devido a uma carga q situada num ponto de coordenadas ~r0 .
~
r −~
r0
|~
r−~
r0 |
é um vector unitário orientado no ponto ~r segundo o sentido radial associado
~ será paralelo a ~r−~r0 ; se for negativa, E
~
à carga q (Fig. 1.1). Se a carga q for positiva, E
|~
r −~
r0 |
apontará no sentido da carga. A constante 0 é a permitividade do vazio. Quando fizermos
o estudo dos meios isoladores (dieléctricos), teremos ocasião de introduzir a permitividade
do meio em causa. No sistema SI 0 é expressa em farad por metro (F/m), e tem o valor
onde
0 ' 8.854 × 10−12 (F/m) .
(1.3)
Se em P (ver Fig. 1.1) colocarmos uma carga q 0 resulta uma força de q sobre q 0 dada por
F~ =
qq 0
1
~r − ~r0
.
4π0 | ~r − ~r0 |2 | ~r − ~r0 |
(1.4)
A força é atractiva, se as cargas forem de sinal contrário, e repulsiva se forem do mesmo
sinal.
5
1.3. CAMPO ELÉCTRICO
A lei de Coulomb é uma lei experimental e é a base dos desenvolvimentos que se seguem.
Existe uma outra propriedade fundamental do campo eléctrico (e magnético, também), muito
importante, muito simples e raras vezes explicitada. É o chamado princı́pio da sobreposição.
Se tivermos várias cargas pontuais, o campo eléctrico total é a soma vectorial dos campos
devidos a cada uma das cargas:
X
~i (qi ) .
~ =
E
(1.5)
E
i
Este princı́pio traduz-se na natureza linear das equações que regem o campo electromagnético,
como veremos mais tarde.
Vamos dar alguns exemplos de aplicação, calculando o campo eléctrico de distribuições
simples de cargas. É sabido que a carga de qualquer corpo é um múltiplo inteiro de carga
do protão (e = 1.6 × 10−19 C). O valor de e é tão pequeno que na prática podemos, muitas
vezes, esquecer o carácter granular da carga do corpo macroscópico e admitir que estamos na
presença de uma distribuição contı́nua de carga. Introduz-se neste caso a noção de densidade
volumétrica de carga, ρ, que se exprime em C/m3 . A distribuição é dividida matematicamente em pequenos elementos de volume dV , com carga ρ dV , a cada um dos quais se aplica
a lei de Coulomb, Eq. (1.2), com q substituı́do por ρdV , como se indica na Fig. 1.2. Aplica-se
R
P ~
~
Ei → dE.
em seguida o princı́pio de sobreposição, com
i
z
PSfrag replacements
~r0
ρdV
~r − ~r0
P(x, y, z)
~r
y
x
Figura 1.2: Campo eléctrico produzido por uma distribuição de carga em volume.
Igualmente, no caso de distribuições de carga em superfı́cies e em linhas, definimos as
densidades superficiais (σ) e lineares (λ) de carga, respectivamente.
Exemplo 1.1 No primeiro exemplo vamos calcular o campo eléctrico de um fio rectilı́neo muito comprido (teoricamente infinito)∗ , carregado uniformemente com uma
∗ Em fı́sica usamos muitas vezes casos limite em que os cálculos são mais simples. Dizer, por exemplo, que
o fio é infinito será uma boa aproximação para fios de comprimento muito maior que a distância de P ao fio.
6
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
~ num ponto P , à distância
densidade de carga λ expressa em (C/m). Calcularemos E
R do fio (ver Fig. 1.3).
PSfrag replacements
x + dx
x
λdx
d
α
O
P
R
~
dE
R = d cos α
x = R tan α
Figura 1.3: Fio infinito carregado com densidade de carga linear λ.
~ de um elemento de carga, λ dx, à distância
Comecemos por achar a contribuição dE
x de O, pé da perpendicular tirada de P sobre o fio. A cada elemento λdx poderemos
associar um outro igual, simetricamente colocado em relação a O, pelo que é fácil ver
~ paralelas ao fio se cancelam entre si, somando-se
que as componentes dos vectores dE
as componentes normais ao fio. Daı́ que só interesse determinar a componente normal
~
de dE:
~ · ~eρ =
dEρ = dE
1 λ dx
cos α ,
4π0 d2
(1.6)
onde ~eρ é o vector unitário perpendicular ao fio. Não temos mais do que integrar esta
~ = Eρ ~eρ , e
expressão para obtermos o campo resultante E
Eρ =
=
1
4π0
Z
f io
1 λ
4π0 R
Z
λdx
1
cos α =
λ
d2
4π0
+π/2
cos α dα =
−π/2
Z
π/2
−π/2
λ
.
2π0 R
cos2 α
R
cos α dα
R2 cos2 α
(1.7)
~ com a distância R, é mais lenta do que se se tratasse
Notemos que a variação de |E|
7
1.3. CAMPO ELÉCTRICO
~ é normal ao fio, saindo
do campo produzido por uma carga pontual, q. O campo E
radialmente deste, o mesmo acontecendo com as respectivas linhas de campo.
Exemplo 1.2 Um outro exemplo tradicional é o de uma superfı́cie plana carregada
uniformemente, com densidade σ expressa em C/m2 . Razões de simetria idênticas às
~ é normal ao plano.
anteriores permitem-nos concluir que E
PSfrag replacements
x+dx
d
x
α
O
R = d cos α
x = R tan α
R
~
dE
P
σ
Figura 1.4: Plano infinito carregado com densidade de carga em superfı́cie σ.
Facilita a resolução considerarmos a contribuição de um anel circular situado entre x e
x + dx (ver Fig. 1.4). Não esquecer também a multiplicação por cos α, dado que apenas
~
estamos interessados na componente normal de dE:
~ cos α =
dEn = |dE|
1 σ 2πx dx
cos α ,
4π0 R2 + x2
(1.8)
e exprimindo tudo em função de α
En =
2πσ
4π0
Z
π/2
sin α dα =
0
σ
.
20
(1.9)
Embora os exemplos dados possam atribuir um certo ar de simplicidade ao cálculo de
~ a verdade é que o método de integração directa utilizado não é de aplicação geral, pois
E,
muitas vezes nos falta o conhecimento do ingrediente inicial, a própria distribuição das cargas
eléctricas. Isto é particularmente verdadeiro em problemas envolvendo condutores carregados, assim como em dieléctricos, por razões que adiante entenderemos. Para avançarmos e
podermos resolver situações como as referidas, convém introduzir uma noção fundamental,
a de potencial escalar, ou simplesmente potencial.
8
1.3.2
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
Potencial
O campo gerado por uma carga pontual q, em repouso no ponto P0 , Eq. (1.2), é um campo
central com simetria esférica, sendo portanto um campo conservativo. Como se sabe, para
campos conservativos, numa variação entre um estado inicial i e um estado final f ,
∆Upot = −∆W ,
(1.10)
onde Upot é a energia potencial, e W o trabalho realizado. Se dividirmos pela carga q,
∆
Upot
q
= −∆
W
q
=−
Z
f
i
~ · d~r .
E
(1.11)
Definimos então o potencial electrostático, ou mais simplesmente potencial, como a energia potencial por unidade de carga
Upot
φ≡
,
(1.12)
q
e então
φ(f ) − φ(i) = −
Z
f
i
~ · d~r ,
E
(1.13)
onde o caminho entre os pontos inicial e final é arbitrário, uma caracterı́stica das forças
conservativas. Em electrostática é convencional escolher o potencial zero no infinito (o que
é sempre possı́vel para distribuições localizadas de carga). Com esta convenção, φ(∞) = 0,
obtemos a expressão para o potencial num ponto de coordenadas ~r:
Z ∞
~ · d~r .
φ(~r) =
E
(1.14)
~
r
A unidade de potencial no SI é o volt (V). Para o caso da carga pontual, Eq. (1.2), obtemos
φ(~r) =
q
1
.
4π0 |~r − ~r0 |
(1.15)
É fácil de verificar que, e de acordo com as definições equivalentes de força conservativa,
o campo eléctrico, Eq. (1.2), é igual a menos o gradiente (em ordem a ~r) do potencial,
Eq. (1.14),
~ = −∇
~ ~r φ ,
E
(1.16)
~ × E(~
~ r ) = ~0 .
∇
(1.17)
e que o seu rotacional é igual a zero:
9
1.3. CAMPO ELÉCTRICO
A Eq. (1.17) traduz o carácter conservativo do campo electrostático, sendo uma das relações
fundamentais da electrostática. Este resultado também se pode exprimir na forma integral
I
~ · d~r = 0
E
(1.18)
Γ
por aplicação do teorema de Stokes ou considerando o integral de linha de um gradiente,
tendo em conta que Γ corresponde a um percurso fechado.
Na Eq. (1.14) escolhemos como ponto de referência, para o qual o potencial se anula, o
infinito. Podı́amos ter tomado como referência qualquer outro ponto, que se convencionaria
então ter potencial zero (caso que se faz frequentemente com a Terra). O potencial é definido
a menos de uma constante, pelo que no caso geral deverı́amos escrever, em vez da Eq. (1.15),
φ(~r) =
q 1
+C ,
4π0 r
(1.19)
onde considerámos ~r0 = ~0. Como a constante C desaparece ao tomarmos o gradiente de φ,
ou ao considerarmos a diferença de potencial entre dois pontos, no que se segue ignoraremos
C sem qualquer perda de rigor nos nossos raciocı́nios.
A Eq. (1.16) resulta justamente de se verificar que
1
1
1
~
~
= −∇
,
(1.20)
e~r = ∇ −
2
r
r
r
~ se pode escrever sob a forma
pelo que o campo E
1 1
~ = −∇
~
~ .
E
= −∇φ
4π0 r
(1.21)
A expressão dada para φ é imediatamente generalizável, para o caso de estarmos em presença
de uma distribuição contı́nua de cargas, usando o processo descrito para o campo eléctrico.
Para uma distribuição volumétrica temos a situação descrita na Fig. 1.5
φ(~r) =
1
4π0
Z
V
ρ(r~0 )
dV ,
| ~r − r~0 |
(1.22)
onde r~0 são as coordenadas dum ponto arbitrário na distribuição de cargas, e dV = dx 0 dy 0 dz 0
é o elemento de volume dessa distribuição. As superfı́cies satisfazendo φ(x, y, z) = constante
são chamadas superfı́cies equipotenciais; constituem uma famı́lia de superfı́cies, obtida dando
~ = −∇φ
~ e das propriedades do
diversos valores à constante, ou seja, ao potencial. De E
~ é normal às superfı́cies equipotenciais. As linhas de campo,
gradiente, concluı́mos que E
~ em cada ponto, cortam as equipotenciais segundo ângulos rectos. Um exemplo
tangentes a E
10
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
PSfrag replacements
z
r~0
~r − r~0
ρdV
φ(~r)
P
~r
y
x
Figura 1.5: Potencial dum distribuição de carga em volume.
simples é o fio infinito carregado uniformemente. As superfı́cies equipotenciais são superfı́cies
cilı́ndricas cujo eixo coincide com o fio; estas superfı́cies cortam normalmente as linhas de
campo, como se vê na Fig. 1.6, onde se mostra um corte segundo um plano normal ao fio. A
tracejado representam-se as linhas de campo e, a cheio, as equipotenciais.
Figura 1.6: Linhas de campo e equipotenciais dum fio infinito carregado com uma densidade
de carga λ > 0, num plano perpendicular ao fio.
11
1.3. CAMPO ELÉCTRICO
1.3.3
Linhas de campo e equipotenciais
As linhas de campo e as equipotenciais em electrostática foram introduzidas por Faraday
~ Estes dois conceitos permitem uma aplicação
para permitirem uma visualização do campo E.
simples das técnicas de programação. Vamos aqui descrever brevemente como obter as linhas
de campo e as equipotenciais. Exemplos de aplicação serão deixados para os problemas.
Linhas de campo
~ Se for dada
Por definição, uma linha de campo é tangente em cada ponto ao campo E.
uma distribuição arbitrária de cargas pontuais, é imediato calcular o campo eléctrico em
qualquer ponto do espaço. Para simplificar, vamos admitir que todas as cargas se encontram
no mesmo plano que tomamos como o plano z = 0. Assim, nesse plano o campo depende
somente das coordenadas (x, y).
Consideremos então um conjunto de N cargas pontuais qi situadas nos pontos de coor~ num ponto arbitrário P definido por ~r = (x, y) será
denadas ~ri = (xi , yi ). O campo E
então
Ex (x, y)
=
Ey (x, y)
=
N
(x − xi )
1 X
qi
,
4π0 i=1
|~r − ~ri |3
N
(y − yi )
1 X
qi
.
4π0 i=1
|~r − ~ri |3
(1.23)
~ em todos os pontos do plano podemos encontrar as linhas de campo.
Sabendo o campo E
Começamos por seleccionar uma carga positiva e um ponto inicial junto a essa carga. Designemos as coordenadas desse ponto por ~r0 . Partindo desse ponto é possı́vel encontrar
iterativamente os pontos sobre a linha de campo que passa por ~r0 , através da expressão
~rn+1 = ~rn + ∆r
~ rn )
E(~
~ rn )|
|E(~
;
n = 0, 1, 2, . . .
(1.24)
Na implementação numérica deste algoritmo é preciso decidir (ver Problema 1.43):
• Quantas linhas de campo desenhar.
• Qual o melhor passo ∆r.
• Estabelecer um critério para parar quando a linha de campo se afasta muito das cargas
ou quando se está demasiadamente perto das cargas negativas.
12
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
Equipotenciais
As equipotenciais podem ser desenhadas a partir do facto de sabermos que são perpendiculares em cada ponto às linhas de campo. O seguinte processo iterativo conduz ao cálculo das
equipotenciais:
xn+1
= xn ± ∆r
yn+1
= yn ∓ ∆r
Ey (~rn )
~ rn )|
|E(~
,
Ex (~rn )
,
~ rn )|
|E(~
(1.25)
assegurando que, ao longo da equipotencial,
~ =0.
∆~r · E
(1.26)
Os sinais ± na Eq. (1.25) correspondem a percorrer a equipotencial em sentidos contrários.
1.3.4
Dipolo eléctrico
O dipolo eléctrico é um sistema constituı́do por duas cargas iguais em módulo e de sinal
oposto, separadas por uma distância d; define-se d~ como o vector que aponta da carga
negativa para a positiva. É um sistema simples, mas muito importante, e que aparecerá
repetidas vezes ao longo do nosso estudo. Define-se momento dipolar p~, o vector dado por
p
~ = q d~ .
(1.27)
É frequente encontrar a noção de dipolo elementar ou infinitesimal, por exemplo em fı́sica
atómica e molecular, em que a distância d entre as cargas é muito pequena.
Calculemos o potencial do dipolo para pontos situados a uma distância r muito maior do
que d:
1
1
q
−
.
(1.28)
φ(~r) =
4π0 r+
r−
d
conforme se indica na Fig. 1.7. Usando r± ' r ∓ d2 cos θ = r 1 ∓ 2r
cos θ ,
φ(~r) '
q 1
4π0 r
'
q 1
4π0 r
1
−
1
1−
d
2r
1+
d
d
cos θ − 1 +
cos θ
2r
2r
cos θ
1+
d
2r
cos θ
!
13
1.3. CAMPO ELÉCTRICO
PSfrag replacements
z
P
θ
~er
rd
r+
r−
+q r
d
x
−q
Figura 1.7: Dipolo eléctrico.
'
p cos θ
1 p~ · e~r
=
.
2
4π0 r
4π0 r2
(1.29)
~
Conhecido φ(~r), é fácil calcular
p o campo E. Vamos fazê-lo em coordenadas cartesianas,
2
2
substituindo cos θ = z/r e r = x + y + z 2 :
Ex
= −
p 3xz
∂φ
=
,
∂x
4π0 r5
Ey
= −
p 3yz
∂φ
=
,
∂y
4π0 r5
Ez
= −
∂φ
p 3z 2 − r2
=
.
∂z
4π0
r5
(1.30)
Poderemos condensar estas três expressões numa única expressão vectorial:
~ =
E
1 3 (~
p · ~er ) ~er − p~
,
4π0
r3
(1.31)
~ segundo os eixos x, y e z definidos na Fig. 1.7. Na
como facilmente se verifica projectando E
Fig. 1.8 indicamos as linhas de campo do campo eléctrico do dipolo no plano y = 0. A figura
tem obviamente simetria de rotação em torno da direcção do dipolo, neste caso, o eixo z.
14
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
z
x
PSfrag replacements
Figura 1.8: Linhas de campo dum dipolo eléctrico.
1.3.5
Distribuição arbitrária de cargas
Consideremos uma distribuição arbitrária de cargas qi ocupando um volume finito, e calculemos o potencial por ela criado num ponto ~r a uma distância r, com r muito maior do que a
dimensão tı́pica do sistema; ~ri representa o vector posição da carga qi em relação à origem O,
escolhida arbitrariamente (Fig. 1.9). Sabemos que
PSfrag replacements
z
P
~r − ~ri
qi
~ri
qn
q3
O q2
q1
~r
y
x
Figura 1.9: Cálculo do potencial dum distribuição arbitrária de cargas.
15
1.3. CAMPO ELÉCTRICO
φ(~r) =
n
1 X qi
.
4π0 i=1 Ri
(1.32)
Vejamos como estimar φ(~r) por meio de aproximações convenientes. Num primeiro passo
tomemos os diferentes Ri = |~r − ~ri | como sendo aproximadamente iguais a r, distância de P
à origem, pois as diferenças entre os vários Ri são muito menores do que r. Neste caso
n
φ(~r) '
1 1X
1 Q
,
qi =
4π0 r i=1
4π0 r
(1.33)
e tudo se passa como se estivéssemos a calcular o potencial de uma carga pontual Q, que é
a soma das cargas da distribuição.
Mas podemos estar interessados numa aproximação melhor do que esta. Para isso, e tal
como fizemos no cálculo do dipolo, escrevemos r ' Ri + ri cos θi = Ri + ~ri · ~er numa notação
óbvia. Então Ri ' r − r~i · e~r e
φ(~r) '
qi
1 X
.
4π0 i r − ~ri · ~er
(1.34)
À Eq. (1.34) podemos dar uma forma mais conveniente, considerando que
1
Ri
'
=
1
1 1 1
≡
=
1 + x + O(x2 )
~ri · ~er
r 1−x
r
r 1−
r
1 ~ri · ~er
+
+···
r
r2
(1.35)
onde x ≡ ~ri r· ~er 1 ; substituindo na Eq. (1.34) vem
1 X
1 1X
1
φ(~r) =
qi +
qi~ri · ~er + · · ·
4π0 r i
4π0 r2 i
(1.36)
Define-se momento dipolar da distribuição como o vector
p~ =
n
X
qi~ri ,
(1.37)
i=1
numa generalização óbvia da noção de momento de um dipolo; então a Eq. (1.36) toma a
forma
16
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
φ(~r) =
1 Q
1 p~ · ~er
+
+··· ,
4π0 r
4π0 r2
(1.38)
onde a segunda parcela corresponde ao potencial de um dipolo de momento dipolar p
~. Nesta
aproximação, a nossa distribuição comporta-se como um sistema formado por uma carga
pontual Q e por um dipolo de momento p~ colocado na origem. Em geral, mas não sempre,
o termo mais importante é o primeiro,
actuando o segundo como uma pequena correcção.
P
Mas se a distribuição for neutra, i qi = Q = 0, o termo dominante (se diferente de zero)
será o segundo, e a distribuição comporta-se fundamentalmente como um dipolo. Os termos
desprezados na Eq. (1.38) são de ordem 1/r 3 (termo do quadripolo) e superiores. Estes
termos variam segundo funções de ~ri cada vez mais complicadas e representam multipolos
de ordem sucessivamente mais elevada. O quadripolo, em particular, é um sistema neutro
de quatro cargas, duas positivas e duas negativas. Se o termo do dipolo for nulo, isto é, se
P
~i = 0, teremos de considerar estes termos de ordem mais elevada.
i qi r
Temos assim introduzida a ideia do desenvolvimento de uma distribuição em termos
de multipolos, desenvolvimento a que poderá ser dada uma forma matemática rigorosa,
correspondente ao desenvolvimento da função φ(~r; ~r1 , . . . , ~rn ) (considerada como função de
~r1 , . . . , ~rn ) em série de Taylor com centro no ponto ~r1 = ~0, . . . , ~rn = ~0. Para um tratamento
rigoroso do desenvolvimento multipolar ver o livro de J. D. Jackson [6].
1.3.6
Presença de condutores
Um condutor caracteriza-se por possuir cargas livres que se movem por aplicação de um
campo eléctrico. Estas cargas são os electrões da última camada dos átomos que constituem
o condutor e cuja energia de ligação é extremamente débil. Como as cargas são livres, isto
implica a ausência de forças eléctricas no corpo do condutor em equilı́brio electrostático, pelo
~ = 0. Dada a relação E
~ = −∇φ,
~
que E
concluı́mos que o potencial é constante em todo o
volume do condutor. Este é, pois, um volume equipotencial, e as linhas de campo do campo
eléctrico deverão ser normais à superfı́cie do condutor.
~ = 0 no interior do
Mas se, na presença de um campo electrostático no exterior, temos E
condutor, somos levados a concluir que as suas cargas se redistribuı́ram de modo a criar no
seu interior um campo que contrabalança e anula o campo aplicado. Estas movimentações de
cargas originam correntes que se extinguem rapidamente, resultando uma distribuição final
de cargas complicada e desconhecida à partida. Daı́ que os métodos de integração directa
que desenvolvemos não sejam adequados. No entanto, há uma grandeza que caracteriza
o condutor: o seu potencial. Veremos adiante que é este facto que permitirá resolver o
problema do cálculo do campo eléctrico na presença de condutores.
17
1.4. LEI DE GAUSS E APLICAÇÕES
1.4
1.4.1
Lei de Gauss e aplicações
Lei de Gauss
Consideremos uma superfı́cie S, fechada, limitando uma região do espaço de volume V , e
contendo no seu interior um conjunto de cargas q1 , q2 , ..., qn (ver Fig. 1.10). Provemos a lei
~n
PSfrag replacements
S
qn
q1
~
E
dS
q3
qi
q2
Figura 1.10: Cargas contribuindo para a lei de Gauss.
~ através da superfı́cie fechada S com a carga total no
de Gauss, que relaciona o fluxo de E
interior desta:
Z
~ · ~n dS = 1 Q,
E
0
S
(1.39)
P
sendo Q = ni=1 qi e ~n a normal à superfı́cie orientada de dentro para fora.
Comecemos por provar o resultado para uma carga q. Escolhamos a origem das coor~ através de um elemento dS da superfı́cie:
denadas na carga q e consideremos o fluxo de E
~
E · ~n dS = E cos α dS, em que dS cos α é igual à projecção de dS sobre o plano normal a ~r
~ ou seja, igual a r 2 sin θ dθdφ = r2 dΩ, dΩ designando o ângulo sólido elementar segundo
e E,
o qual dS é visto de q (Fig. 1.11). Substituindo E pelo sua expressão q/4π 0 r2 vem
Z
S
~ · ~n dS =
E
Z
S
q
q
r2 sin θdθdφ =
.
2
4π0 r
0
(1.40)
Provado para uma carga, fica o resultado provado para um número arbitrário de cargas,
~ pelo
pelo princı́pio da sobreposição. Devemos apenas substituir q pela carga total Q, e E
campo total. É imediato verificar, Fig. 1.12, que cargas exteriores a S não contribuem para
~ através de S (embora contribuam para E).
~
o fluxo de E
Reparemos que a lei de Gauss
depende crucialmente do facto de E variar com 1/r 2 .
18
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
PSfrag replacements
dΩ
~
E
q
α
dS
~n
~r
Figura 1.11: Ângulo sólido.
~
E
~n
S
~n
PSfrag replacements
~
E
q
~
Figura 1.12: A carga fora da superfı́cie S não contribui para o fluxo de E.
Se tivermos uma distribuição contı́nua de cargas de densidade ρ, Q =
o teorema da divergência, podemos escrever
Z
Z
Z
~ · ~n dS =
~ ·E
~ dV = 1
ρ dV .
E
∇
0 V
S
V
R
V
ρ dV e aplicando
(1.41)
A segunda igualdade na Eq. (1.41) é independente de V , o que implica a igualdade entre
integrandos:
~ ·E
~ = ρ/0 ,
∇
(1.42)
que é a forma diferencial ou local da lei de Gauss.
~ ·~n apresenta
Naqueles casos em que por considerações de simetria podemos garantir que E
o mesmo valor em todos os pontos da superfı́cie, a lei de Gauss revela-se muito útil no cálculo
~ Mas frisemos que a sua importância no desenvolvimento da teoria ultrapassa de longe
de E.
estas aplicações simples.
19
1.4. LEI DE GAUSS E APLICAÇÕES
Como exemplo destas, é fácil derivar de novo os resultados encontrados para o campo
criado por uma superfı́cie plana carregada e por um fio rectilı́neo infinito.
Exemplo 1.3 No primeiro exemplo, superfı́cie plana uniformemente carregada, tomaremos uma superfı́cie de Gauss S cilı́ndrica de raio R, eixo normal ao plano e bases
~ é perpendicular às bases do cilindro,
paralelas a este (ver Fig. 1.13a). Por simetria, E
sendo pois nulo o seu fluxo através da superfı́cie lateral deste.
λ
σ
~n
~n
S
~n
~n
l
~n
S
PSfrag replacements
~n
PSfrag replacements
R
a)
b)
Figura 1.13: Superfı́cie de Gauss S para determinar o campo: a) do plano infinito; b) do fio
infinito.
~ igual em ambas as bases,
Se as bases forem equidistantes do plano, garantimos ser |E|
tomando o mesmo valor em cada um dos seus pontos:
Z
S
~ · ~n dS =
E
Z
~ · ~n dS = 2πR2 |E|
~ = 1 πR2 σ ,
E
0
bases
(1.43)
~ = σ/20 .
donde |E|
Exemplo 1.4 O fio rectilı́neo infinito é igualmente simples de tratar, sendo S neste
caso uma superfı́cie cilı́ndrica de raio R, cujo eixo coincide com o fio, conforme se
indica na Fig. 1.13b. Considerações de simetria análogas às anteriores permitem-nos
imediatamente escrever:
~ 2πR l = 1 λ l ,
|E|
(1.44)
0
20
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
ou seja,
~ =
|E|
1.4.2
1 λ
.
2π0 R
(1.45)
~
Condições fronteira para o campo E
A lei de Gauss permite-nos calcular a descontinuidade sofrida pelo campo eléctrico sobre uma
superfı́cie com uma distribuição superficial de carga de densidade σ. Um exemplo particular
~ aponta em sentidos opostos, dum lado e do outro
disto é o do plano carregado. Dado que E
do plano, a sua descontinuidade através do plano será 2 × σ/20 = σ/0 . Mostremos que
~ normal à superfı́cie. Tomemos uma
este resultado é geral, se referido à componente de E
superfı́cie Σ qualquer com densidade de carga σ, e construamos uma superfı́cie de Gauss S
cilı́ndrica de bases, ∆Σ, paralelas a Σ e altura δ (ver Fig. 1.14a). A construção é feita de
1
σ
Σ
~n
δ
2
∆r
1
~n1
~n2
2
Γ
δ
PSfrag replacements
δ
∆Σ
PSfrag replacements
Σ
a)
b)
Figura 1.14: a) Condições na fronteira duma superfı́cie para: a) componentes normais;
b) componentes tangenciais.
tal maneira que as bases se encontram uma imediatamente antes, outra imediatamente após
Σ; dito de outro modo, ao tomarmos os limites, suporemos que a área lateral do cilindro
tende para zero mais rapidamente do que a área das bases, de forma a podermos desprezar
~ Definindo a normal a Σ como apontando do lado 1 para o lado 2
o fluxo lateral de E.
(~n2 = ~n = −~n1 ), da lei de Gauss vem
Z
~ · ~n dS = (E
~ 1 · ~n1 + E
~ 2 · ~n2 )∆Σ = (E2n − E1n )∆Σ = 1 σ ∆Σ ,
(1.46)
E
0
S
21
1.4. LEI DE GAUSS E APLICAÇÕES
~ normais a Σ:
pelo que obtemos a relação entre as componentes de E
E2n − E1n = σ/0 ,
(1.47)
para o caso de uma distribuição superficial σ.
~ ×E
~ = 0, permite-nos concluir que a
A outra equação fundamental da electrostática, ∇
~ é contı́nua através de Σ. Construı́mos um contorno rectangular
componente tangencial de E
Γ, cujos lados maiores são paralelos a Σ. Os outros lados são infinitesimais δ → 0, tal
como se indica na Fig. 1.14b. Tomando cuidados similares aos anteriores nesta construção,
~ ×E
~ = 0), vem
e aplicando o teorema de Stokes (e usando ∇
I
~ =E
~ · dr
~ 1 · ∆~r1 + E
~ 2 · ∆~r2 = (E
~1 − E
~ 2 ) · ∆~r = (E1t − E2t )∆r = 0 ,
E
(1.48)
Γ
donde se conclui que
E1t = E 2t .
(1.49)
Estes resultados são independentes da forma de Σ. No caso de a região 1 ser um condutor,
E1 = 0 (E1n = E1t = 0) e
En ≡ E = σ/0 ,
(1.50)
para o campo eléctrico junto à superfı́cie do condutor. A importância deste resultado vem
~ poderemos calcular σ, a distribuição da carga sobre a superfı́cie do
de que se conhecermos E
condutor. Da lei de Gauss resulta que a carga eléctrica é nula no interior de um condutor.
~ = 0, resulta ∇
~ ·E
~ = 0, e portanto ρ = 0. Num condutor carregado em
De facto, como E
equilı́brio electrostático as cargas dispõem-se à sua superfı́cie.
1.4.3
Algumas aplicações simples da lei de Gauss.
~ criado, no exterior, por uma esfera de raio a,
Exemplo 1.5 Calculemos o campo E
com uma distribuição radial de carga ρ(r) esfericamente simétrica, sendo Q a carga
total (Fig. 1.15).
Escolhe-se como superfı́cie de Gauss uma superfı́cie esférica S, cujo raio é igual à
~ Da simetria
distância à origem a que se encontra o ponto onde queremos calcular E.
do problema:
Z
Z
1
1
2
~ · ~n dS = |E|4πr
~
ρ dV =
Q,
E
=
0 esfera
0
S
(1.51)
e portanto
~ =
|E|
1 Q
,
4π0 r2
(1.52)
22
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
~
E
z
S
r
PSfrag replacements
a
y
O
x
Figura 1.15: Campo duma distribuição de carga esfericamente simétrica.
tudo se passando como se a carga estivesse concentrada no centro da esfera. Este
resultado é semelhante ao encontrado na mecânica para o campo gravitacional criado
por uma distribuição de massa com simetria esférica.
Exemplo 1.6 Consideremos um condutor com uma cavidade vazia feita no seu inte~ (Fig. 1.16).
rior e colocado num campo E
~
E
S
PSfrag replacements
~ =0
E
Figura 1.16: Condutor com cavidade.
~ = 0 na cavidade. Devido à ausência de cargas dentro da cavidade,
Mostremos que E
~ através de qualquer superfı́cie de Gauss construı́da no interior
é nulo o fluxo de E
da cavidade. Seja agora uma outra superfı́cie S construı́da na massa do condutor
~ = 0, no condutor, é nulo o fluxo. Mas isto não
(a tracejado na figura). Como E
impede situações como P
a da Fig. 1.17, com cargas de sinal oposto situadas na parede
da cavidade, desde que
q = 0. Neste caso poderiam existir linhas de campo indo das
cargas positivas para as negativas. Tal, no entanto, é proibido, em consequência da
23
1.4. LEI DE GAUSS E APLICAÇÕES
~ ×E
~ = 0. Para o demonstrar, tracemos o contorno Γ passando na massa do
condição ∇
H
~ · d~r = 0. Como
condutor e fechando-se ao longo de uma linha de campo e usemos Γ E
a parte no interior Hdo condutor dará uma contribuição nula para o integral, e ao longo
~ · d~r 6= 0, somos, pois, obrigados a concluir, por absurdo, que a
da linha de campo Γ E
~ = 0.
situação da figura não é permitida e E
~
E
PSfrag replacements
- -
++
+
Γ
Figura 1.17: Contorno Γ seguindo uma hipotética linha de campo.
Uma superfı́cie condutora fechada separa o espaço em duas regiões, tornando o interior
independente do que se passa fora do condutor. É o efeito de ecrã eléctrico ou de blindagem.
Mas será válida a situação contrária? Isto é, colocando cargas no interior da cavidade será
nulo o campo no exterior? Não, e isso pode verificar-se, desenhando uma superfı́cie de Gauss
~ não é nulo.
S à volta do condutor e verificando que o fluxo de E
Exemplo 1.7 Ainda por aplicação da lei de Gauss é fácil ver que uma carga +q colocada no interior da cavidade induzirá o aparecimento de cargas, na superfı́cie interior
do condutor, de módulo igual (no total), mas de sinal contrário a q (Fig. 1.18).
Mas se tivermos o cuidado de ligar o condutor à Terra, colocando-o a um potencial
(convencionalmente) nulo, as cargas não produzirão qualquer efeito no exterior.
+
+
+ +
+
+
+ +
+
+
- - - - - ---+q
- - - - - --
+
+
PSfrag replacements
+
+
+ +
+
+ + +
+
+
+
+
Figura 1.18: Cargas num condutor neutro com uma carga q no seu interior.
24
1.4.4
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
Influência eléctrica: elementos equivalentes
Unamos o elemento de superfı́cie dS1 de um condutor 1 com um elemento dS2 de um outro
condutor 2 através de um tubo de fluxo (de linhas de campo), conforme se indica na Fig. 1.19.
R
~ · ~n dS = 0, através da superfı́cie limitando o tubo de fluxo; ou seja:
Pela lei de Gauss, S E
~ 1 · (−~n1 ) dS1 + E
~ 2 · (−~n2 ) dS2 = 0 ,
E
(1.53)
e como
E in
σ1 dS1
= σi /0 ,
(i = 1, 2) ,
= −σ2 dS2 → dq1 = −dq2 .
(1.54)
Colocando vários condutores na presença uns dos outros, as suas cargas superficiais vão-se
redistribuir de forma a satisfazerem esta relação. É o fenómeno da influência eléctrica.
2
1
PSfrag replacements
dS1
σ1
dS2
σ2
Figura 1.19: Elementos correspondentes em dois condutores.
1.5
1.5.1
Capacidade de sistemas de condutores
Capacidade de um condutor
Se tivermos um condutor com carga Q e potencial φ, da linearidade das equações da electrostática é de esperar uma relação simples de proporcionalidade entre Q e φ, Q = Cφ,
ou
C=
Q
≡ capacidade do condutor .
φ
(1.55)
1.5. CAPACIDADE DE SISTEMAS DE CONDUTORES
25
O valor de C é independente dos valores de Q e φ, apenas dependendo da geometria e do
meio em que o condutor se encontra.
Exemplo 1.8 Esfera condutora de raio R.
~
E
PSfrag replacements
~r
R
Figura 1.20: Esfera condutora de raio R.
Vimos, no Exemplo 1.5, que o campo no exterior duma distribuição esfericamente
simétrica é equivalente ao duma carga pontual na origem, com valor igual à carga total
da distribuição. Portanto o potencial será
φesfera =
Q 1
.
4π0 R
(1.56)
Logo
C=
Q
= 4π0 R .
φesfera
(1.57)
A unidade de capacidade é o coulomb por volt, que no SI se designa por farad (F). Da
Eq. (1.57) vemos que a unidade SI de 0 é o F/m.
1.5.2
Coeficientes de capacidade
Para um sistema de n condutores, a linearidade das equações do electromagnetismo implica
Qi =
n
X
Cik φk ,
(1.58)
k=1
em que os Cik são os chamados coeficientes de capacidade. As unidades são as de capacidade.
26
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
1.5.3
Condensadores
Um condensador é um sistema formado por dois condutores próximos um do outro, carregados com cargas iguais em módulo, mas de sinal contrário. O sistema é caracterizado pela
carga Q e pela diferença de potencial (∆φ ≡ V ) entre os condutores (chamados placas ou
armaduras). Define-se capacidade do condensador como a razão entre a carga Q e a diferença
de potencial V , isto é,
C=
Q
.
V
(1.59)
A capacidade dum condensador depende somente da sua geometria e dimensões e do meio
entre os condutores.
1.5.4
Condensador plano
É constituı́do por 2 placas planas e paralelas de área A, separadas por uma distância d.
Admite-se no cálculo de C que a dimensão fı́sica das placas é muito maior do que a distância
d entre elas. Nesta aproximação, o campo criado por cada placa é +σ/2 0 (placa positiva)
e −σ/20 (placa negativa). No exterior do condensador, o campo é nulo. No interior do
condensador, as contribuições das duas placas apontam no mesmo sentido: Eint = σ/0
uniforme, desprezando os efeitos dos bordos do condensador.
+++++++++++++++++
~
E
d
PSfrag replacements
------------------------Figura 1.21: Condensador plano.
A diferença de potencial entre as placas é igual a
∆φ ≡ V =
A capacidade é então dada por
Z
~ = Ed = σ d = Qd .
~ · dr
E
0
0 A
(1.60)
27
1.5. CAPACIDADE DE SISTEMAS DE CONDUTORES
Q
A
= 0
.
(1.61)
V
d
Notar que a capacidade é directamente proporcional à área das armaduras e inversamente
proporcional à distância d entre elas.
C=
1.5.5
Condensador esférico
Este condensador é formado por duas superfı́cies esféricas concêntricas de raios r 1 e r2 (com
r1 < r2 ). Da lei de Gauss (superfı́cie esférica a tracejado de raio r na Fig. 1.22) vem
Er 4πr2 = Q/0 ,
(1.62)
e portanto
~ =
E
Q
Q
~er → φ =
.
2
4π0 r
4π0 r
(1.63)
(1.64)
Daqui tira-se que
Q
∆φ ≡ V =
4π0
1
1
−
r1
r2
,
−Q
r
Q
PSfrag replacements
r1
r2
Figura 1.22: Condensador esférico.
e portanto obtemos para a capacidade,
C=
4π0
.
1
1
−
r1
r2
(1.65)
28
1.6
1.6.1
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
Equações de Poisson e Laplace
Introdução
~ ·E
~ = ρ/0 e E
~ = −∇φ
~ obtemos
Das equações fundamentais ∇
ρ
.
(1.66)
0
Esta equação tem a designação de equação de Poisson. O potencial φ terá de obedecer a
esta equação. Mostra-se que a expressão obtida na Eq. (1.22),
∇2 φ = −
1
φ(~r) =
4π0
Z
V
ρ(r~0 )
dV ,
| ~r − r~0 |
(1.67)
para uma distribuição volumétrica de carga, é solução desta equação.
No caso de distribuições superficiais de carga, vimos que E2n − E1n = σ/0 . Aplicando o
conceito de derivada dirigida (neste caso, segundo a normal), podemos escrever
σ
∂φ
∂φ
−
=− .
(1.68)
∂n 2
∂n 1
0
Para distribuições superficiais, a solução da Eq. (1.66) toma a forma
Z
σ
1
dS .
φ(~r) =
4π0 S | ~r − r~0 |
(1.69)
A solução geral é dada pela soma das Eqs. (1.67) e (1.69). Se a superfı́cie S for a superfı́cie
dum condutor, então obtemos em vez da Eq. (1.68)
∂φ
σ
(1.70)
=− .
∂n
0
No vazio (ρ = 0), e obtemos
∇2 φ = 0 ,
(1.71)
que tem o nome de equação de Laplace. Notemos que a equação de Laplace, Eq. (1.71),
aparece numa grande variedade de situações em fı́sica.
Na prática, e na presença de condutores, são conhecidos os potenciais destes condutores e
as suas posições. O problema consiste então em determinar a solução da equação de Laplace
que nos dá o potencial φ na região entre os condutores, solução tal que φ toma sobre esses
mesmos condutores os valores especificados para os seus potenciais. A solução deverá ainda
satisfazer a condição
φ(r = ∞) = 0 ,
(1.72)
29
1.6. EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE
aplicável a distribuições de carga ocupando um volume finito. Conhecida a solução φ, é
simples calcular, por aplicação das expressões já conhecidas, as distribuições das cargas
~ em qualquer ponto do espaço. Mostra-se [6] que a solução
sobre os condutores e o campo E
φ, satisfazendo as condições especificadas, é única – é o teorema da unicidade das soluções
da equação de Laplace.
1.6.2
Solução da equação de Laplace a uma dimensão
Antes de abordar o caso geral da solução da equação de Laplace em R 3 vamos considerar um
problema em que ela se reduz a uma dimensão. Para isso consideremos o exemplo seguinte.
Exemplo 1.9 Condensador plano carregado com carga Q, na aproximação do condensador infinito.
Vamos começar por determinar o potencial electrostático no espaço entre as armaduras.
Para a geometria descrita na Fig. 1.23 e na aproximação do condensador infinito o
potencial só pode depender da coordenada x.
+Q
−Q
~
E
PSfrag replacements
d
O
x
Figura 1.23: Condensador plano.
A equação de Laplace escreve-se então
d2 φ
=0.
dx2
(1.73)
É imediato ver que a solução geral desta equação é
φ(x) = a + bx .
(1.74)
30
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
As constantes a e b são determinadas a partir dos valores que o potencial toma sobre
as armaduras do condensador. Devemos ter φ(0) = φ1 e φ(d) = φ2 . Obtemos portanto
x
(1.75)
φ(x) = φ1 − (φ1 − φ2 ) .
d
~ De
Falta-nos relacionar φ1 e φ2 com a carga Q. Para isso calculamos o campo E.
~ = −∇φ
~ obtemos
E
~ = (φ1 − φ2 ) 1 ~ex .
E
(1.76)
d
O campo é uniforme, como vimos anteriormente. O seu valor é dado por
Ex =
σ
Q
=
,
0
0 A
(1.77)
e portanto
σ
d
d=Q
.
(1.78)
0
0 A
Note-se que temos só informação suficiente para determinar a diferença de potencial e
não os potenciais φ1 e φ2 .
V = φ1 − φ2 =
1.6.3
Soluções gerais da equação de Laplace
O Exemplo 1.9 é particularmente simples, pois diz respeito a um problema a uma dimensão.
Devido à importância do assunto, vamos generalizar para o caso de três dimensões e desenvolver um método que nos permita encontrar as soluções gerais da equação de Laplace.
Uma equação de derivadas parciais, como esta que estamos a estudar, apresenta uma
grande variedade de soluções possı́veis. A solução final dependerá das condições fronteira que
nós vamos exigir que sejam satisfeitas, sendo estas últimas motivadas pelo tipo de problema
que estamos a resolver. Por exemplo, poderemos estar interessados em calcular a distribuição do potencial num espaço limitado por superfı́cies condutoras submetidas a potenciais
previamente fixados. Iremos ver que um problema destes tem uma, e uma só, solução.
A escolha do tipo de coordenadas a utilizar dependerá do tipo de simetrias apresentadas
pelas condições fronteira. Se impusermos que o potencial satisfaça certas condições sobre
uma superfı́cie esférica centrada na origem, naturalmente que a nossa escolha recairá sobre coordenadas esféricas; se, pelo contrário, as condições forem impostas sobre superfı́cies
planas, será mais conveniente trabalhar com coordenadas cartesianas.
O método que iremos apresentar é conhecido por método de separação de variáveis. Essencialmente, o que se pretende é encontrar uma solução na forma de produto de três funções,
cada uma delas dependendo de apenas uma das variáveis. Começaremos com as coordenadas cartesianas, por ser mais simples. Quanto às coordenadas esféricas, estudaremos apenas
algumas soluções particulares especialmente importantes nas aplicações.
31
1.6. EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE
Coordenadas cartesianas
Na equação de Laplace, Eq. (1.71), e de acordo com a filosofia exposta, comecemos por
escrever o potencial sob a forma
φ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) .
(1.79)
Substituindo na equação, esta fica
YZ
d2 Y
d2 Z
d2 X
+
XZ
+
XY
=0,
dx2
dy 2
dz 2
(1.80)
pois o operador ∇2 em coordenadas cartesianas é simplesmente
∇2 =
∂2
∂2
∂2
+
+
.
∂x2
∂y 2
∂z 2
(1.81)
Dividindo (1.80) por XY Z, obtemos
1 d2 Y
1 d2 Z
1 d2 X
+
+
=0.
X dx2
Y dy 2
Z dz 2
(1.82)
Dos três termos desta equação, o primeiro é função apenas de x; o segundo, de y, e o
terceiro de z. Escrevamos, por exemplo
1 d2 X
1 d2 Y
1 d2 Z
=
−
+
,
(1.83)
X dx2
Y dy 2
Z dz 2
o primeiro membro só depende de x, enquanto o segundo depende de y e de z. Para que a
igualdade se verifique para todos os valores de x, y e z, tendo em conta a independência das
variáveis, é necessário que os dois membros sejam constantes, e os valores destas, iguais. Se
em vez de X tivéssemos separado Y ou Z, o raciocı́nio seria o mesmo. Temos então, tendo
em conta a Eq. (1.82), que
1 d2 X
= a2 ;
X dx2
1 d2 Y
= b2 ;
Y dy 2
1 d2 Z
= c2 ,
Z dz 2
(1.84)
com a condição
a2 + b 2 + c 2 = 0 .
(1.85)
Encontrar a solução da equação inicial transforma-se no problema de encontrar a solução
das três equações diferenciais (1.84), problema simples e bem conhecido:
32
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
X = Aeax + A0 e−ax ;
Y = Beby + B 0 e−by ;
Z = Cecz + C 0 e−cz .
(1.86)
É claro que, da condição imposta a a, b e c, algumas destas constantes serão complexas, o
que acarreta que algumas das funções variarão sinusoidalmente. Qualquer combinação linear
de soluções particulares das do tipo acima será ainda solução da equação de Laplace. A
solução geral será da forma
φ(x, y, z) =
X
(Aj eaj x + A0j e−aj x )(Bj ebj y + Bj0 e−bj y )(Cj ecj z + Cj0 e−cj z ) ,
(1.87)
com a2j + b2j + c2j = 0, para cada valor do ı́ndice j.
À partida temos uma infinidade de constantes, que serão escolhidas de maneira a satisfazerem as condições fronteira impostas. Uma vez isto feito, a solução geral φ dá-nos o
potencial em qualquer ponto do espaço. Vamos exemplificar com um caso concreto.
Exemplo 1.10 Determinar o potencial φ(x, y, z) numa região do espaço limitada
pelos planos x = 0, x = d e ainda pelo plano y = 0 (ver Fig. 1.24). O potencial está
sujeito às condições seguintes: é nulo sobre as superfı́cies x = 0 e x = d, e é uma
função arbitrária ϕ(x) sobre aquela parte da superfı́cie y = 0 compreendida entre x = 0
e x = d.
z
O
y
PSfrag replacements
d
x
Figura 1.24: Geometria do Exemplo 1.10.
Na região entre os três planos ∇2 φ = 0 e, dada a simetria do problema, vemos que o
potencial é independente de z, pelo que na solução geral fixaremos as constantes c j = 0,
englobando Cj + Cj0 nas outras constantes:
33
1.6. EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE
φ(x, y) =
X
(Aj eaj x + A0j e−aj x )(Bj ebj y + Bj0 e−bj y ) ,
(1.88)
com a2j + b2j = 0, ou seja, aj = ±i bj . Notemos que os coeficientes reais têm de ser
os bj , para que o potencial decresça quando y → +∞. Tomaremos assim, sem perda
de generalidade, bj real e positivo e aj = +i bj . Na região y > 0 deveremos apenas
considerar a exponencial e−bj y , pois é fisicamente impossı́vel que o potencial aumente,
à medida que nos afastamos do plano y = 0; isto significa que Bj = 0.
Passemos às outras condições do problema. Para x = 0 temos
φ(0, y, z) = 0 →
e para x = d:
X
φ(d, y, z) = 0 →
(Aj + A0j )Bj0 e−bj y = 0 → Aj = −A0j ,
X
(1.89)
(Aj ei bj d + A0j e−i bj d )Bj0 e−bj y = 0
→ Aj (ei bj d − e−i bj d ) = 0 ,
(1.90)
donde deduzimos que os bj terão de obedecer à relação 2bj d = 2πn, ou bj = πn/d, com
n = 0, 1, 2, 3, .... Estes são os únicos valores possı́veis para os b j , pelo que designaremos
agora as constantes por meio do ı́ndice n, isto é, bn , An e Bn . Podemos então escrever
φ na forma
φ(x, y, z) =
∞
X
n=0
=
n
X
An Bn0 (ei πnx/d − e−i πnx/d )e−πny/d =
(2i An Bn0 ) sin
0
=
n
X
0
Cn sin
πnx d
πnx d
e−πny/d =
e−πny/d .
(1.91)
Os coeficientes Cn serão calculados utilizando a condição fronteira sobre y = 0:
φ(x, 0, z) = ϕ(x) =
∞
X
Cn sin
n=1
πnx d
.
(1.92)
Admitamos que ϕ(x) tem uma forma simples sinusoidal sobre y = 0:
ϕ(x) = ϕ0 sin
πx d
.
(1.93)
34
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
Da igualdade
ϕ0 sin
πx d
resulta que
=
∞
X
Cn sin
n=1
πnx d
,
(1.94)
n = 1 → C 1 = ϕ0
(1.95)
n > 1 → Cn = 0 .
(1.96)
A solução geral do problema, para este caso, será então
φ(x, y, z) = ϕ0 sin
πx d
e−πy/d .
(1.97)
Exemplo 1.11 Na continuação do exemplo anterior, consideremos o caso em que o
potencial ϕ(x), sobre a superfı́cie y = 0, é dado por uma expressão ligeiramente mais
complicada – aquela que representamos na Fig. 1.25, um dente de serra descrito pela
seguinte expressão
ϕ(x)
ϕ(x)
2
x,
d
2
= ϕ0 (x − d),
d
= ϕ0
no intervalo [0, d/2]
no intervalo [d/2, d]
(1.98)
Notar que esta expressão para o potencial é uma aproximação, pois o potencial é uma
PSfrag replacements
ϕ(x)
ϕ0
O
d/2
d
x
−ϕ0
Figura 1.25: Potencial em dente de serra.
função contı́nua. Numa situação real, o potencial vai variar muito rapidamente entre
ϕ0 e −ϕ0 para x = d/2. A solução geral, Eq. (1.92), apresenta-se sob a forma de uma
série de senos. É de facto uma expansão em série de Fourier da função ϕ(x) que se
35
1.6. EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE
anula para x = 0 e x = d. Para encontrarmos os coeficientes Bn vamos rever algumas
propriedades das séries de Fourier. Primeiro, notemos que as funções sin(nπx/d)
formam uma base ortogonal no intervalo [0, d]. De facto,
Z
d
sin
0
πm πn d
x sin
x dx = δmn .
d
d
2
(1.99)
Esta propriedade permite calcular o coeficiente Cn da Eq. (1.92). Usando a Eq. (1.99)
na Eq. (1.92), obtemos sucessivamente
Z
d
ϕ(x) sin
0
∞
X
πm x
=
d
Cn
n=1
Z
d
sin
0
πm πn x sin
x dx
d
d
d
Cm .
2
=
(1.100)
e portanto
Cn =
2
d
Z
d
ϕ(x) sin
0
πn x dx .
d
(1.101)
Vamos agora usar a Eq. (1.101) para encontrar os coeficientes para a função dente de
serra, Eq. (1.98). Obtemos
Cn
=
4
ϕ0
d2
= −ϕ0
Z
d/2
x sin
0
Z d
πn πn 4
x dx + 2 ϕ0
x dx
(x − d) sin
d
d
d
d/2
4 cos(nπ/2)
.
nπ
(1.102)
Os coeficientes Cn são então
C0
= 0;
C2n+1 = 0
C2n (n ≥ 1) =
2ϕ0
(−1)n+1 .
nπ
(1.103)
(1.104)
A solução geral do problema será finalmente
φ(x, y, z) =
∞
X
2πn
2ϕ0
(−1)n+1 sin(
x)e−2πny/d .
πn
d
n=1
(1.105)
36
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
Coordenadas esféricas
A utilização destas coordenadas é extremamente importante, pois existem muitos problemas
apresentando uma simetria esférica. Como o seu uso, no caso geral, implicaria o conhecimento de certas funções especiais, iremos limitar-nos a algumas situações susceptı́veis de
interpretações fı́sicas simples, mas de grande aplicação.
Como se mostra na Secção A.6.6 do Apêndice, em coordenadas esféricas a equação de
Laplace escreve-se
1
∂ψ
1
1 ∂ 2 ∂ψ
∂2ψ
∂
(r
)+ 2
(sin θ
)+ 2 2
=0,
(1.106)
2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ2
(nesta secção usaremos ψ, para representar o potencial, em vez de φ, a fim de evitar possı́veis
confusões com a coordenada ϕ). Tal como no caso anterior, escreveremos o potencial como
o produto de três funções, cada uma delas dependendo de apenas uma das coordenadas:
ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Θ(θ)Φ(ϕ) ,
(1.107)
obtendo-se a equação
1 1 d
dΘ
1 1 d2 Φ
1 d 2 dR
(r
)+
(sin θ
)+
=0.
R dr
dr
Θ sin θ dθ
dθ
Φ sin2 θ dϕ2
A solução mais simples, como se poderá verificar por substituição, é dada por
(1.108)
b
,
(1.109)
r
com a e b constantes a determinar. Neste caso, Θ(θ) = 1 e Φ(ϕ) = 1. Vejamos qual a
interpretação desta expressão. Da variação com r, o termo b/r corresponde a um potencial
criado por uma carga q colocada na origem. Então b virá dado por b = q/4π 0 . A constante
a corresponderá a um potencial constante (lembremos que o potencial é definido a menos de
uma constante).
Estudemos uma outra solução ligeiramente mais complicada:
b
(1.110)
ψ = ar + 2 cos θ ,
r
ψ(r, θ, ϕ) = a +
onde Θ(θ) = cos θ e Φ(ϕ) = 1. O primeiro termo, ar cos θ = az, representa um potencial
~ = −∇ψ,
~
aumentando linearmente com z; da equação para o campo eléctrico E
vemos que
descreve um campo eléctrico paralelo ao eixo z, sendo a constante de integração a = −E z .
O segundo termo, b/r 2 cos θ, corresponde ao potencial criado por um dipolo eléctrico. Por
comparação com a expressão do respectivo potencial, dada anteriormente, o seu momento é
dado por p = 4π0 b.
Com o auxı́lio desta expressão podemos resolver o seguinte problema interessante.
37
1.6. EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE
Exemplo 1.12 Consideremos uma esfera condutora, de raio R, ligada à terra, sujeita
a um campo eléctrico exterior uniforme, paralelo ao eixo z, e de valor E. Queremos
calcular o potencial eléctrico no exterior da esfera e ainda a distribuição de cargas sobre
a superfı́cie desta.
Lembrando-nos que a = −E, e que a superfı́cie da esfera (r = R) está ao potencial
zero, temos a relação
b
−ER + 2 cos θ = 0 ,
(1.111)
R
o que implica
b
(1.112)
−ER + 2 = 0 ,
R
pois θ é qualquer. Daqui tiramos que b = ER 3 . A solução para o potencial é dada por
ER3
ψ = −Er + 2
cos θ .
(1.113)
r
Vemos que a expressão tem a variação correcta para valores muito elevados de r, onde
predominará o campo uniforme, ψ = −az. Na ausência da esfera o potencial seria
o correspondente ao campo uniforme aplicado E; a contribuição devida à presença da
esfera está traduzida pelo segundo termo, equivalente a um dipolo de momento p =
4π0 ER3 . Este dipolo deve o seu aparecimento ao facto de a esfera ficar polarizada,
devido precisamente ao campo exterior. Poderemos agora calcular a distribuição da
carga eléctrica sobre a superfı́cie da esfera. Sabemos que
−
Calculando a derivada de ψ
−
∂ψ
∂r
r=R
∂ψ
∂r
=
r=R
σ
.
0
ER3
= − −E − 2 3
R
(1.114)
cos θ =
σ
;
0
(1.115)
donde concluı́mos que a distribuição de carga é dada por σ = 3 E 0 cos θ. A esfera
polarizada adquire um momento dipolar induzido.
Solução geral em coordenadas esféricas
Mostra-se que a solução geral da equação de Laplace em coordenadas esféricas é dada por
uma soma de termos da forma [6]
b`
m
`
R` (r) Θm
(θ)
Φ
(ϕ)
=
a
r
+
· P`m (cos θ) · f m (cos ϕ, sin ϕ) .
(1.116)
`
`
r`+1
38
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
Tais termos podem sempre interpretar-se como sendo criados por distribuições de carga mais
ou menos complicadas. P`m (cos θ) designa um conjunto de polinómios em cos θ conhecidos por
polinómios de Legendre associados. Vimos dois exemplos simples: Θ(θ) = 1 e Θ(θ) = cos θ,
que estavam ligados a soluções correspondentes a uma carga na origem (monopolo) e a um
dipolo na origem, respectivamente. O termo seguinte seria da forma Θ(θ) = 12 (3 cos2 θ−1) associado a um quadripolo, etc. Recuperamos desta maneira o desenvolvimento em multipolos
dado anteriormente.
1.6.4
O método das imagens
Apesar do nome, não estamos, na verdade, na presença de um processo geral de resolução
de problemas, mas sim de um conjunto de truques para encontrar o potencial e o campo
eléctrico criados por um conjunto de cargas na presença de condutores mantidos a potenciais
fixos. É claro que a solução encontrada obedecerá à equação de Laplace no espaço fora dos
condutores e das cargas, daı́ a sua inclusão nesta secção. Vamos limitar-nos a dar alguns
exemplos.
Exemplo 1.13 Campo eléctrico devido a uma carga +q situada a uma distância d
de um condutor plano ligado à terra (φcondutor = 0), conforme indicado na Fig. 1.26.
φ=0
+q
PSfrag replacements
Figura 1.26: Carga q e plano condutor ligado à terra.
Consideremos primeiro o problema de calcular o campo criado por duas cargas +q e
−q, situadas entre si a uma distância 2d, conforme indicado na Fig. 1.27. O plano
indicado, situado simetricamente em relação às cargas, corresponde a uma superfı́cie
equipotencial φ = 0. Ou seja, se na posição deste plano geométrico colocarmos um
condutor plano ligado à terra, então nada mudará na fı́sica do problema. Podemos
suprimir a carga −q e conservar +q; no lado esquerdo do condutor as linhas de campo
não são alteradas (as condições fronteira sobre a superfı́cie plana são as mesmas),
39
1.6. EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE
incidindo perpendicularmente ao condutor, e o campo nessa região será portanto o
mesmo. Se agora nos for dado o problema de calcular o campo criado por uma carga
φ=0
−q
+q
PSfrag replacements
d
d
Figura 1.27: Linhas de campo entre duas cargas ± q.
+q, à distância d de um condutor plano ligado à terra, sabemos que este problema
é idêntico ao problema das duas cargas +q e −q. Podemos substituir o plano por
uma carga −q, imagem da primeira carga +q, e situada à distância 2d desta; −q é
simplesmente uma carga virtual, fictı́cia.
Como sabemos calcular o campo criado por duas cargas eléctricas, sabemos automaticamente resolver o nosso problema. Mais, como conhecemos o campo eléctrico junto ao
plano de simetria, logo junto ao condutor, podemos calcular as cargas induzidas neste,
cuja densidade é dada pela expressão σ = 0 En . Integrando sobre o plano, encontraremos −q, tal como esperarı́amos. Da Fig. 1.28 temos que
E ≡ En = 2
1 q
cos θ ,
4π0 R2
(1.117)
não esquecendo o factor 2, pois estamos na presença de duas cargas; σ virá dada por
σ = −0 En = −2
q 1
cos θ .
4π R2
(1.118)
(Porquê o sinal menos?) A carga dqind sobre o cı́rculo elementar indicado é dada por
dqind = −0 En 2πxdx = −q sin θdθ, e a carga induzida vem
Z
Z π/2
qind = − σ2πx dx = −q
sin θ dθ = −q .
(1.119)
0
40
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
dx
R
x
PSfrag replacements
θ
+q
−q
Figura 1.28: Integração no plano.
Vejamos um outro exemplo, bastante útil em aplicações.
Exemplo 1.14 Calcular o potencial criado por uma carga pontual q e uma esfera
condutora ligada à terra (ver Fig. 1.29).
PSfrag replacements
φ=0
C
r2
r1
O
A
q
B
Figura 1.29: Esfera condutora ligada à terra na presença duma carga q.
Comecemos por tomar um ponto C, qualquer, sobre a superfı́cie da esfera. Seguidamente escolhamos sobre OB o ponto A, tal que OA/OC = OC/OB. Notemos que OC é
simultaneamente lado dos triângulos OAC e OCB. Estes dois triângulos têm um ângulo
comum, e os lados que incluem o ângulo são proporcionais. São triângulos semelhantes
e
OA
OC
r1
=
=
.
(1.120)
r2
OC
OB
41
1.6. EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE
Se colocarmos no ponto A a carga q 0 = −q OC/OB, o potencial em C será igual a
φ(C)
=
=
1 q
1 q OC/OB
−
4π0 r2
4π0
r1
q
1
q
≡0.
−
4π0 r2
r2
(1.121)
(1.122)
Sendo C um ponto qualquer, arbitrário, sobre a superfı́cie esférica, esta estará ao
potencial zero. O problema da esfera e da carga é idêntico ao de calcular o campo
criado pelas duas cargas q e sua imagem q 0 .
Colocando uma segunda carga q 00 no centro da esfera, podemos resolver o problema do
campo devido a uma carga em B e de uma esfera condutora a um certo potencial.
1.6.5
Soluções numéricas da equação de Laplace
Embora os métodos analı́ticos tenham uma elegância e um poder únicos, hoje os problemas
são usualmente atacados por meio de poderosos métodos numéricos. Antes de introduzirmos
estes procedimentos, começaremos por provar um importante resultado.
Teorema do valor médio
Numa região do espaço onde não existem cargas, o valor de φ num ponto é igual
ao valor médio de φ sobre qualquer superfı́cie esférica centrada nesse ponto.
Se não existem cargas, então pela lei de Gauss deve ter-se para qualquer superfı́cie fechada S
Z
Z
~ · ~n dS = 0 →
~ · ~n dS = 0 .
E
∇φ
(1.123)
S
S
Escolhendo para S a superfı́cie esférica de raio r com centro no ponto considerado e usando
o facto de que ~n = ~er , podemos escrever
~ · ~n = ∇φ
~ · ~er = ∂φ .
∇φ
∂r
(1.124)
dS = r2 dΩ
(1.125)
e
onde dΩ = sin θdθdϕ é o ângulo sólido elementar sobre a superfı́cie esférica. Então
Z
∂φ
dΩ = 0 ,
(1.126)
Ω ∂r
42
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
ou
d
dr
donde
Z
Z
φ dΩ = 0 ,
(1.127)
Ω
φ dΩ = constante .
(1.128)
Ω
O valor médio sobre a superfı́cie de raio r será dado por
Z
1
hφi =
φ dΩ ,
4π Ω
(1.129)
e de acordo com o resultado anterior não depende de r. Por outro lado, quando fazemos
tender r → 0, o valor médio hφi coincide com o valor do potencial no ponto, pelo que temos
Z
1
hφi =
φ dΩ = φ0 ,
(1.130)
4π Ω
onde φ0 é o potencial no ponto considerado.
Métodos aproximados
Na prática, o teorema do valor médio não é muito útil para o cálculo do potencial, pois exige
o conhecimento prévio do potencial que queremos determinar. É no entanto importante para
motivar métodos aproximados.
Comecemos por considerar uma região do espaço onde ∇2 φ = 0 e um ponto P(x, y, z).
Calculemos agora o potencial em seis pontos à distância h segundo os eixos coordenados,
~ fazemos uma expansão em série
conforme
indica na Fig. 1.30. Supondo que h |φ|/|∇φ|
PSfrag se
replacements
5
2
z
4
3
y
x
1
6
Figura 1.30: Pontos na vizinhança de P(x, y, z).
em torno de P:
φ1 = φ(x + h, y, z) = φ(x, y, z) + h
∂φ h2 ∂ 2 φ h3 ∂ 3 φ
+
+
+ O(h4 )
∂x
2 ∂x2
6 ∂x3
43
1.6. EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE
∂φ h2 ∂ 2 φ h3 ∂ 3 φ
+
−
+ O(h4 )
∂x
2 ∂x2
6 ∂x3
∂φ h2 ∂ 2 φ h3 ∂ 3 φ
+
+
+ O(h4 )
φ3 = φ(x, y + h, z) = φ(x, y, z) + h
∂y
2 ∂y 2
6 ∂y 3
φ2 = φ(x − h, y, z) = φ(x, y, z) − h
φ4 = φ(x, y − h, z) = φ(x, y, z) − h
∂φ h2 ∂ 2 φ h3 ∂ 3 φ
+
−
+ O(h4 )
∂y
2 ∂y 2
6 ∂y 3
φ5 = φ(x, y, z + h) = φ(x, y, z) + h
∂φ h2 ∂ 2 φ h3 ∂ 3 φ
+
+
+ O(h4 )
∂z
2 ∂z 2
6 ∂z 3
φ6 = φ(x, y, z − h) = φ(x, y, z) − h
∂φ h2 ∂ 2 φ h3 ∂ 3 φ
+
−
+ O(h4 ) .
∂z
2 ∂z 2
6 ∂z 3
(1.131)
Definimos então a média dos 6 pontos por
hφi6 =
6
1 X
φi = φ(x, y, z) + h2 ∇2 φ + O(h4 ) .
6 i=1
(1.132)
Como ∇2 φ = 0, obtemos uma aproximação muito boa (válida até à ordem O(h 4 )):
φ(x, y, z) ' hφi6 .
(1.133)
Consideremos agora o caso particular em que não há dependência segundo z, como nos
Exemplos 1.10 e 1.11. Então uma demonstração análoga conduziria a
φ(x, y) ' hφi4 ,
onde
1
hφi4 =
4
(1.134)
φ(x + h, y) + φ(x − h, y) + φ(x, y + h) + φ(x, y − h) .
(1.135)
Vamos ver num exemplo como podemos aplicar estes resultados para calcular numericamente o potencial.
Exemplo 1.15 Consideremos a situação descrita no Exemplo 1.10, excepto que agora
temos também um plano (não condutor) em y = d, delimitando portanto uma região
0 ≤ x ≤ d e 0 ≤ y ≤ d. Os valores dos potenciais na fronteira dessa região são (não
há dependência em z pelo que escrevemos simplesmente φ(x, y)),
φ(0, y) = 0,
φ(d, y) = 0
φ(x, 0) = 0, φ(x, d) = V0 sin
πx
d
;
V0 = 100V .
(1.136)
44
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
Seguindo o procedimento do Exemplo 1.10 verificamos que a solução geral, Eq. (1.88),
da equação de Laplace, com as condições fronteira correctas, é
φ(x, y) =
∞
X
Cn sin
n=1
nπx d
sinh
nπy ,
n≥2
d
.
(1.137)
Comparando com a Eq. (1.136), verificamos que
C1 =
V0
sinh π
e
φ(x, y) =
;
Cn = 0
πy πx V0
sinh
.
sin
sinh π
d
d
(1.138)
(1.139)
PSfrag
replacements
Vemos,
assim, que este problema tem solução analı́tica. É portanto indicado para
testarmos os métodos numéricos aproximados. Para este fim consideramos uma grelha
no espaço entre os planos como a indicada na Fig. 1.31. O método consiste em começar
y
V = φ(x)
d
V =0
O
A
B
C
D
E
F
G
H
I
V =0
V =0
d x
Figura 1.31: Grelha para calcular o potencial.
por colocar os potenciais nos pontos da grelha a zero e em percorrer sucessivamente os
pontos:
A→B→C→D→E→F→G→H→I→A
(1.140)
Em cada ponto o potencial é obtido tomando a média dos pontos vizinhos. Em cada
iteração usa-se o potencial que o ponto tem nesse momento. Na Tabela 1.1 estão
indicados os valores dos potenciais nos planos e nos pontos A → I para sucessivas
iterações, bem como a comparação com o resultado exacto. Vemos que com 10 iterações
já temos um resultado com um erro menor que 10%. Um maior número de iterações
não melhora o resultado. Para aumentar a precisão é necessário usar uma grelha com
45
1.6. EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE
mais pontos. Isto está mostrado na Tabela 1.2, onde estão representados os mesmos
pontos mas se usou uma grelha 8 × 8.
2
6
6
6
6
6
6
4
2
6
6
6
6
6
6
4
2
6
6
6
6
6
6
4
0
0
0
0
0
70.711
17.678
4.419
1.105
0
100.000
29.419
8.460
2.391
0
70.711
25.033
8.373
2.691
0
0
0
0
0
0
1 iteração
0
0
0
0
0
70.711
33.181
15.089
5.835
0
100.000
46.925
21.339
8.252
0
70.711
33.181
15.089
5.835
0
0
0
0
0
0
3
7
7
7
7
7
7
5
3
7
7
7
7
7
7
5
2
6
6
6
6
6
6
4
2
6
6
6
6
6
6
4
0
0
0
0
0
70.711
33.156
15.064
5.823
0
100.000
46.900
21.314
8.240
0
70.711
33.169
15.076
5.829
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
3
10 iterações
0
0
0
0
0
70.711
32.010
14.090
5.319
0
100.000
45.269
19.927
7.522
0
70.711
32.010
14.090
5.319
0
7
7
7
7
7
7
5
7
7
7
7
7
7
5
100 iterações
Resultado exacto
Tabela 1.1: Potencial na fronteira e nos pontos A → I para uma grelha 4 × 4.
0
0
0
0
0
70.711
28.332
10.001
2.993
0
100.000
40.910
14.971
4.665
0
70.711
29.444
11.110
3.580
0
0
0
0
0
0
3
7
7
7
7
7
7
5
2
6
6
6
6
6
6
4
0
0
0
0
0
70.711
32.316
14.348
5.451
0
100.000
45.701
20.292
7.709
0
70.711
32.316
14.348
5.451
0
0
0
0
0
0
3
7
7
7
7
7
7
5
10 iterações
100 iterações
Tabela 1.2: Potencial na fronteira e nos pontos A → I para uma grelha 8 × 8.
Vemos que com uma grelha maior os resultados demoram mais iterações a estabilizarse, mas consegue-se um erro muito menor. O resultado está estabilizado, depois de
100 iterações, com um erro menor que 1%. A convergência pode ser melhorada com
melhores algoritmos. Por exemplo, usar uma grelha 4 × 4 como input para uma grelha 8 × 8 pode melhorar a eficiência do processo. Vemos, assim, que com algoritmos
numéricos muito simples é possı́vel obter valores do potencial com precisão tão pequena
quanto se queira. Notar que se as condições na fronteira fossem diferentes o método
analı́tico poderia ser inviável, mas o método numérico é sempre possı́vel. Os valores
das Tabelas 1.1 e 1.2 foram obtidos com um programa muito simples de Mathematica.
Mais exemplos serão estudados nos problemas.
46
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
(*** Begin
Numerical Solution of Laplace Equation: 4x4 Grid ***)
Pot = Function[{x, y},100/Sinh[Pi]*Sin[Pi*x]*Sinh[Pi*y]];
PotInicial = {{N[Pot[0, 1]], N[Pot[1/4, 1]], N[Pot[1/2, 1]],
N[Pot[3/4, 1]], N[Pot[1, 1]]}, {0, 0, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, 0},{0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0}}
TabelaPotExacto=
Table[N[Pot[x, y]],{y, 1, 0, -1/4},{x, 0, 1, 1/4}]
TabelaPotIterado= Function[n, in = 1;
While[in <= n, i = 2; PotAproximado=PotInicial;
While[i < 5, j = 2; While[j < 5,PotAproximado[[i,j]] =
(PotAproximado[[i, j - 1]] + PotAproximado[[i, j + 1]] +
PotAproximado[[i - 1, j]] + PotAproximado[[i + 1, j]])/4.;
j = j + 1]; i = i + 1]; in = in + 1];
MatrixForm[PotAproximado]];
(********* End Numerical Solution of Laplace Equation ********)
1.7
1.7.1
Dieléctricos
Introdução
Um dieléctrico ou isolador é um material que não contém cargas livres. A aplicação de um
~ vai ter efeitos sobre a distribuição electrónica dos átomos. A modificação
campo exterior E
dessa distribuição vai por sua vez produzir efeitos macroscópicos visı́veis. Dizemos que o
dieléctrico fica polarizado. O estudo em pormenor da polarização necessita da mecânica
quântica e é muito complexo. Vamos aqui fazer um estudo simplificado, que rigorosamente
só é válido para gases ou lı́quidos pouco densos† . Neste estudo simplificado representaremos o
~ através do aparecimento de momentos dipolares
resultado da aplicação dum campo exterior E
no dieléctrico. Estes momentos dipolares podem ter dois tipos de origem:
• Em todos os materiais as cargas positivas e negativas que entram na constituição das
moléculas deslocam-se sob a acção do campo aplicado; diremos que as moléculas se
polarizaram e poderemos representá-las classicamente por pequenos dipolos.
† Ver no entanto a discussão no Capı́tulo 5. Para um estudo rigoroso, ver o artigo de revisão de R. Resta [14].
Agradecemos ao colega José Luı́s Martins o ter chamado a nossa atenção para esta questão.
1.7. DIELÉCTRICOS
47
• Nos materiais com moléculas polares, de que são exemplos o ácido clorı́drico (HCl) e
a água (H2 O), o momento dipolar é diferente de zero, mesmo na ausência de campo
exterior. Na ausência dum campo exterior, os dipolos encontram-se orientados ao
acaso, resultando num momento dipolar médio nulo. Sob a acção do campo, os dipolos
~ originando um momento dipolar total diferente de zero.
orientam-se paralelamente a E,
~ resulta no aparecimento de um
Resumindo, em qualquer dos casos a aplicação de E
momento dipolar. Define-se o vector polarização como o momento dipolar por unidade de
volume, ou seja,
d~
p
P~ =
.
(1.141)
dV
A sua unidade no SI é C/m2 . O vector P~ descreve o estado de polarização do material,
do ponto de vista macroscópico. A sua ligação com os momentos dipolares elementares p~
adquiridos por cada molécula é feita através da relação
N
(1.142)
P~ = p~ ,
V
onde N é o número de moléculas e V é o volume do material.
O efeito de polarização das moléculas será tanto mais acentuado quanto maior o valor
~ Isto porque campos maiores dão origem a deslocamentos maiores dos centros de
de E.
carga positiva e negativa. Nos casos simples de meios dieléctricos lineares, isotrópicos e
~
homogéneos, que iremos considerar, o vector polarização P~ é proporcional ao campo E:
N ~
~ .
P~ = αE
, com p
~ = α0 E
V
A constante α tem a designação de polarizabilidade do dieléctrico.
1.7.2
(1.143)
Polarização de um dieléctrico
Para compreendermos melhor o fenómeno da polarização, comecemos por considerar o caso
da polarização constante num dieléctrico com uma fronteira plana infinita, Fig. 1.32.
Antes da aplicação do campo exterior, as cargas positivas e negativas compensam-se
~ as cargas positivas deslocam-se no sentido do
exactamente. Depois da aplicação do campo E,
campo, e as negativas, no sentido contrário. Sendo a polarização constante, os deslocamentos
são iguais em todo o material. Dentro do volume do material, as cargas positivas e negativas
~ Nas superfı́cies do dieléctrico, esta
compensam-se de novo, tal como na ausência de E.
compensação não se pode dar, porque o material acaba. Aparece então como resultado
da polarização uma carga eléctrica nessas superfı́cies. Consideremos o paralelepı́pedo de
volume ∆V , representado na Fig. 1.32, de bases ∆S paralelas à fronteira do dieléctrico e
48
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
PSfrag replacements
~
E
0
d
P~
∆S
∆V
~n
S
Figura 1.32: Efeito da polarização na superfı́cie plana dum dieléctrico.
lados paralelos a P~ e de comprimento igual ao módulo do deslocamento das cargas d =| d~ |.
É óbvio que ∆S será atravessada por uma quantidade de carga dada por
∆Q0
=
=
N
q ∆V
V
N ~
q d · ~n ∆S ≡ P~ · ~n ∆S ,
V
(1.144)
onde se usou a definição de P~ e a normal ~n é, como habitualmente, a normal que aponta
para o exterior do material. Como o valor de d é muito pequeno, podemos considerar que
este excesso de carga ∆Q0 se concentra na fronteira do dieléctrico com uma densidade de
carga superficial dada por
σ 0 = P~ · ~n ,
(1.145)
onde ~n é a normal exterior. Notemos que com esta convenção os sinais das cargas de polarização estão automaticamente correctos.
Consideremos agora o caso mais geral de a polarização não ser uniforme. Primeiro notemos que é sempre possı́vel arranjar um volume suficientemente pequeno para que a possamos
considerar uniforme. Seja então um elemento de superfı́cie dS com normal ~n. A quantidade
de carga que passa através de dS é P~ · ~n dS, sendo P~ o valor da polarização nesse elemento
de superfı́cie. Seja agora um volume V no interior do dieléctrico limitado pela superfı́cie S,
como indicado na Fig. 1.33.
Antes da aplicação do campo exterior, a carga total em V é nula. Quando aplicamos um
~ vamos dar origem a uma polarização P~ , não necessariamente uniforme. Devido
campo E,
à polarização, alguma carga vai atravessar a superfı́cie S. A carga total que atravessa S é
dada por
49
1.7. DIELÉCTRICOS
~n
~ ext
E
dS
PSfrag replacements
V
S
Figura 1.33: Polarização em volume.
Z
S
P~ · ~n dS .
(1.146)
Se esta carga saiu de dentro de V , passou aı́ a existir uma carga igual e de sinal contrário
(pois inicialmente a carga total era zero). Designemos essa carga por
Z
Q0 = − P~ · ~n dS .
(1.147)
S
Se introduzirmos a densidade de carga de polarização ρ0 , tal que
Z
Q0 =
ρ0 dV ,
(1.148)
V
obtemos
Z
S
P~ · ~n dS =
Z
V
~ · P~ dV = −
∇
Z
ρ0 dV ,
(1.149)
V
onde se usou o teorema da divergência. Da Eq. (1.149) concluı́mos então que
~ · P~ = −ρ0 .
∇
(1.150)
O raciocı́nio e o resultado seriam exactamente os mesmos se o dieléctrico estivesse inicial~
mente carregado com uma densidade de carga ρ (a qual contribuiria para o campo E).
Portanto, em resumo, os efeitos da polarização podem ser descritos pela introdução das
chamadas cargas de polarização σ 0 e ρ0 , tais que
P~ · ~n
σ0
=
ρ0
~ · P~ .
= −∇
(1.151)
50
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
1.7.3
Vector deslocamento. Permitividade de um dieléctrico
Como resulta da explicação anterior, as cargas de polarização são tão reais como quaisquer
outras cargas. A separação das cargas em cargas livres e de polarização é somente uma
questão de conveniência, para nos recordarmos melhor dos fenómenos fı́sicos que estão na
sua origem. Enquanto que as cargas livres se podem mover livremente sob a acção dum
campo exterior, as de polarização só se deslocam ligeiramente, dando origem à polarização.
Assim, é importante notar que a densidade de carga de polarização ρ 0 vai também contribuir
para o campo eléctrico. Desta maneira, e em geral, deveremos escrever, na presença de
dieléctricos,
~ ·E
~ = 1 (ρ + ρ0 ) ,
∇
0
(1.152)
onde ρ é a densidade de carga livre. Substituindo na Eq. (1.151), vem
~ · (0 E
~ + P~ ) = ρ .
∇
(1.153)
~ = 0 E
~ + P~ ,
D
(1.154)
À combinação
dá-se o nome de vector deslocamento eléctrico. A Eq. (1.153) pode então escrever-se na forma
~ · D
~ =ρ,
∇
(1.155)
que é, como veremos, uma das equações de Maxwell. Nela apenas aparece a carga livre ρ,
~ Aplicando o teorema da divergência à
estando os efeitos da polarização incluı́dos em D.
Eq. (1.155):
Z
~ · ~n dS = Q ,
D
(1.156)
S
onde Q é a carga livre no interior do volume V limitado pela superfı́cie S. A Eq. (1.156) é a
expressão da lei de Gauss, Eq. (1.39), para o caso dos meios dieléctricos.
~ pode ser complicada, mas nós aqui estaremos somente
Em geral, a relação entre P~ e E
‡
interessados no caso particular dos dieléctricos lineares, isotrópicos e homogéneos. Isto quer
~ e a constante de proporcionalidade é a mesma para todo o
dizer que P~ é paralelo a E,
material. Assim, teremos
~ ,
P~ = 0 χe E
(1.157)
onde χe é uma grandeza sem dimensões designada por susceptibilidade eléctrica. Se introduzirmos esta relação na Eq. (1.154), obtemos
‡ Embora
importante, porque válido para a maioria dos materiais não cristalinos.
51
1.7. DIELÉCTRICOS
~
D
~ + P~
= 0 E
~
= 0 (1 + χe ) E
~ ,
≡ E
(1.158)
onde se definiu a chamada permitividade do meio através da relação
= 0 (1 + χe ) .
(1.159)
Também é usual definir a grandeza adimensional
r =
0
(1.160)
designada por permitividade relativa do meio§ .
Para o caso dos dieléctricos lineares isotrópicos e homogéneos é fácil encontrar uma relação
entre ρ e ρ0 . De facto, obtemos
h
i
~ · P~ = ∇
~ · ( − 0 )E
~ = − 0 ∇
~ ·D
~ .
−ρ0 = ∇
(1.161)
~ ·E
~ por ρ/ obtém-se finalmente
Substituindo ∇
− 0
ρ.
(1.162)
Desta relação resulta que ρ0 = 0, se ρ = 0. Num dieléctrico não carregado (ρ = 0), e
polarizado pela aplicação de um campo eléctrico exterior, as cargas de polarização dispõemse à superfı́cie, sendo a densidade superficial respectiva dada por
ρ0 = −
σ 0 = P~ · ~n .
1.7.4
(1.163)
Condições fronteira na superfı́cie de separação de dois dieléctricos
Vamos supor que não há cargas livres e que temos dois dieléctricos homogéneos, isotrópicos
e lineares de permitividades 1 e 2 , separados por uma superfı́cie que, sem perda de generalidade, podemos supor plana, Fig. 1.34.
§ Em textos mais antigos é usual designar a permitividade por constante dieléctrica. No entanto, como
veremos no Capı́tulo 5, a permitividade é em geral uma função da frequência, razão pela qual preferimos a
designação mais moderna de permitividade.
52
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
1
2
PSfrag replacements
~n
1
2
Figura 1.34: Superfı́cie de separação entre dois dieléctricos.
Aplicando raciocı́nios idênticos aos usados para as distribuições superficiais de carga, isto
é, aplicando os teoremas de Stokes e de Gauss, concluı́mos que (ver Fig. 1.14 e Fig. 1.15)
~ ×E
~ = 0 → E 1t = E 2t ,
∇
(1.164)
~ · D
~ = 0 → D 1n = D 2n ,
∇
(1.165)
D2 n − D 1 n = σ ,
(1.166)
~ sobre a superfı́cie de separação é contı́nua. Como ρ = 0,
isto é, a componente tangencial de E
então
~ (notar que de D1n = 1 E1n e D2n =
isto é, há continuidade das componentes normais de D
2 E2n se conclui que E1n 6= E2n ).
No caso de ser ρ 6= 0 (dieléctrico carregado) vem que
em que σ é a densidade superficial da carga existente sobre a superfı́cie de separação.
Exemplo 1.16 Refracção das linhas de campo eléctrico ao atravessarem uma superfı́cie de separação entre dois dieléctricos.
Consideremos a situação descrita na Fig. 1.35. Da geometria da figura, resulta
Et1,2
~ 1,2 | sin θ1,2
= |E
En1,2
~ 1,2 | cos θ1,2 .
= |E
Por outro lado, das condições na fronteira obtemos
(1.167)
53
1.7. DIELÉCTRICOS
~1
E
PSfrag replacements
θ1
1
2
~
θ2 E2
~
Figura 1.35: Refracção das linhas de campo de E.
E t1
1 E n1
= E t2
= 2 E n2 ,
(1.168)
1
tan θ2
2
(1.169)
donde resulta
tan θ1 =
ou ainda
1 cot θ1 = 2 cot θ2 .
1.7.5
(1.170)
Aplicações
Vamos considerar alguns exemplos com dieléctricos para compreendermos melhor quais são
as alterações que as substâncias dieléctricas introduzem no cálculo dos campos.
Exemplo 1.17 Consideremos um condensador plano preenchido com um dieléctrico
~ o
de permitividade , conforme se indica na Fig. 1.36. Vamos calcular o campo E,
~
~
vector D e a polarização P .
Na aproximação do condensador infinito (dimensões lineares das placas muito maiores
~ D
~ e P~ são perpendiculares às placas.
do que a distância entre elas ), os campos E,
Então escolhemos a superfı́cie cilı́ndrica S indicada na figura, para aplicação da lei de
Gauss. Esta, para o caso de dieléctricos, toma a forma
54
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
+Q
S
PSfrag replacements
R
~
E
−Q
Figura 1.36: Condensador preenchido com dieléctrico.
Z
S
~ · ~n dS = Q .
D
(1.171)
Escolhendo uma das bases do cilindro dentro do condutor, onde os campos são nulos,
e a superfı́cie lateral paralela aos campos, obtemos
~
|D|∆S
= σ∆S ,
(1.172)
~ =σ .
|D|
(1.173)
ou ainda
De notar que a altura do cilindro não altera este resultado, desde que a aproximação
~ é uniforme dentro do condensador. Para
do condensador infinito seja válida. Então D
~ e P~ obtemos
E
~
E
=
1 ~
D
P~
=
− 0 ~
D.
(1.174)
~ é menor do que no caso em que existe o vácuo entre
Vemos, assim, que o campo E
as armaduras. Como consequência, a diferença de potencial é menor, e a capacidade,
maior. De facto
55
1.7. DIELÉCTRICOS
V =
e portanto (Q = σA):
Z
2
1
~ · d~r = σ d .
E
(1.175)
Q
A
A
= > 0 .
(1.176)
V
d
d
As cargas de polarização só existem na superfı́cie do dieléctrico (ρ = 0 → ρ 0 = 0).
Obtemos
C=
σ10
− 0 ~
− 0
= P~ · ~n1 = −
|D| = −
σ
σ20
− 0 ~
− 0
= P~ · ~n2 = +
|D| = +
σ .
(1.177)
Observemos que σ10 + σ20 = 0, o que significa que a carga total no dieléctrico continua
~ é menor do que no caso
a ser nula. Também podemos compreender a razão por que E
~
sem dieléctrico. O campo E tem como origem a carga total, isto é a soma das cargas
livres e das cargas de polarização, a qual passa a ser menor. Obtemos de facto
σ1 + σ10 =
0
σ<σ .
(1.178)
Exemplo 1.18 Calculemos as capacidades dos dois condensadores representados na
Fig. 1.37 (1 e 2 são as permitividades dos meios considerados).
+Q
+Q
1
PSfrag replacements
1
PSfrag replacements
2
2
−Q
−Q
Figura 1.37: Condensadores com dois dieléctricos.
a) Dentro das mesmas aproximações do Exemplo 1.17 concluı́mos que os campos são
perpendiculares às placas. Usando a lei de Gauss, obtemos
~ 1 | = |D
~ 2| = σ .
|D
(1.179)
56
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
Este resultado está de acordo com as condições fronteira na superfı́cie de separação
entre os dois dieléctricos. De facto, como não há cargas livres nessa superfı́cie, devemos
~ Para E
~ e P~ obtemos
ter continuidade das componentes normais de D.
~1
E
=
1 ~
D
1
1 − 0 ~
P~1 =
D
1
~2
E
=
1 ~
D
2
2 − 0 ~
P~2 =
D.
2
(1.180)
Para a capacidade, temos de calcular a diferença de potencial:
V
=
Z
2
1
~ · d~r
E
~ 1 | d1 + |E
~ 2 | d2
= |E
=
σ
σ
d1 +
d2 ,
1
2
(1.181)
e portanto
C=
A
.
d1 + d2
1
2
(1.182)
b) No caso do condensador do lado direito da Fig. 1.37, novamente concluı́mos, dentro
das mesmas aproximações, que os campos são perpendiculares às placas. Utilizando
um raciocı́nio semelhante aos casos anteriores (Exemplos 1.17 e 1.18a) poderı́amos ser
~ = σ. De facto, isto não está correcto. Sejam D
~1 e D
~ 2 os
levados a pensar que |D|
vectores deslocamento nos dieléctricos 1 e 2, respectivamente:
~1 = 1 D
~1
E
1
~2 = 1 D
~2 ;
E
2
(1.183)
~ na superfı́cie de separação dos dois dieléctricos
da continuidade das componentes de E
obtemos
1 ~
1 ~
D1 =
D2 ,
(1.184)
1
2
~ 1 | 6= |D
~ 2 |. Mas se |D|
~ é dado pela densidade de carga livre, como é isto
o que implica |D
possı́vel? Só se as densidades de carga em superfı́cie forem diferentes nas duas regiões.
Assim, a densidade não é uniforme em toda a placa. Para assegurar as condições na
fronteira entre os dieléctricos vai haver uma redistribuição de cargas nas placas. Nas
57
1.7. DIELÉCTRICOS
aproximações que estamos a usar, essas densidades σ1 e σ2 são uniformes em cada
lado. Para as obter notemos que
Q =
σ1
1
=
A
(σ1 + σ2 )
2
(A1 = A2 =
σ2
,
2
1
A)
2
(1.185)
donde resulta
σ1
=
21 Q
1 + 2 A
σ2
=
22 Q
.
1 + 2 A
(1.186)
A diferença de potencial virá
V
=
=
Z
2
1
~ 1 · d~r =
E
Z
2
1
~ 2 · d~r
E
σ1
σ2
d=
d
1
2
= Q
d
2
,
1 + 2 A
(1.187)
1
A
(1 + 2 )
.
2
d
(1.188)
e a capacidade:
C=
Na expressão anterior admitimos que os volumes ocupados pelos dois dieléctricos eram
iguais. Se tal não for verdade, a expressão geral virá
C = 1
A1
A2
+ 2
.
d
d
(1.189)
Exemplo 1.19 Determinemos o potencial e o campo eléctrico devido a uma es~ 0 uniforme. O dieléctrico é
fera dieléctrica (), submetida a um campo eléctrico E
homogéneo, isotrópico e linear (h.i.l.).
58
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
~ 0 . Como vimos na Secção 1.6.3 a
Definamos a direcção Oz como sendo paralela a E
2
solução da equação ∇ φ = 0 é neste caso dada, para pontos exteriores à esfera, por
b
(1.190)
φ = ar + 2 cos θ ,
r
em que a = −E0 e considerámos a origem das coordenadas no centro da esfera. Notar
que este potencial tem a condição fronteira apropriada no infinito. De facto para r
~ 'E
~ 0.
muito grande φ ' −E0 r cos θ = −E0 z e portanto E
Como, neste problema, φ não é constante sobre a superfı́cie do dieléctrico, não podemos
usar o valor do potencial sobre a superfı́cie como condição fronteira para determinar
b. Mas sabemos que φ terá de ser contı́nuo através da superfı́cie do dieléctrico (caso
~ viria infinito, pois E
~ = −∇φ),
~
contrário E
assim como teremos de satisfazer a conti~
~ 0 é uniforme, e
nuidade da componente normal de D. Uma vez que o campo aplicado E
a esfera dieléctrica é h.i.`., tentemos a hipótese de ser uniforme o campo no interior:
φint = −E1 r cos θ .
(1.191)
As condições sobre r = R serão dadas por
• Continuidade de φ −→ −E0 R + b2 cos θ = −E1 R cos θ
R
• Continuidade de Dn −→ (E1 ) cos θ = 0 E0 + 20 b3 cos θ .
R
Destas expressões tira-se que
E1
=
30
E0 ,
20 + 4π0 b = 4π0 R3
− 0
E0 .
20 + (1.192)
Como > 0 , |E1 | < |E0 |. A grandeza 4π0 b interpreta-se como sendo o momento
dipolar induzido na esfera dieléctrica por aplicação do campo exterior.
Exemplo 1.20 Com base no problema anterior podemos calcular o campo eléctrico
no interior de um alvéolo esférico cavado num dieléctrico.
Para isso basta trocar 0 com no resultado anterior.
Obtemos
~ int =
E
3
~0 ,
E
2 + 0
(1.193)
59
1.7. DIELÉCTRICOS
0
PSfrag replacements
Figura 1.38: Dieléctrico com alvéolo esférico no interior.
e portanto
~ int | > |E
~0| .
|E
(1.194)
Verifica-se haver uma intensificação local do campo eléctrico pelo facto de ser > 0 .
Assim, defeitos em dieléctricos levam a um aumento do campo eléctrico.
Exemplo 1.21 Cavidades paralelepipédicas, de espessura muito reduzida, colocadas
~
paralelamente e normalmente ao campo aplicado E.
Quando o campo é paralelo à dimensão maior da cavidade, como na Fig. 1.39, a con~ implica que
tinuidade da componente tangencial de E
~ int = E
~
E
(1.195)
~
E
0
PSfrag replacements
~
Figura 1.39: Cavidade paralelepipédica paralela ao campo E.
60
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
~ é perpendicular à dimensão maior da cavidade, como
Por outro lado quando o campo E
~ resulta
na Fig. 1.40, da continuidade da componente normal de D
~ int = E
~
0 E
→
~ int = r E
~
E
(1.196)
~
E
0
PSfrag replacements
~
Figura 1.40: Cavidade paralelepipédica perpendicular ao campo E.
1.8
1.8.1
Energia do campo electrostático
Energia dum sistema de cargas
A energia electrostática de um sistema de cargas em repouso é igual ao trabalho que temos
de efectuar para constituir o sistema trazendo as cargas desde o infinito até às suas posições
finais. Como resulta da própria definição de potencial electrostático, o trabalho efectuado
contra as forças do campo electrostático para transportar uma carga do infinito até à sua
posição final é igual ao produto da carga pelo potencial eléctrico na sua posição final. Comecemos por calcular a energia potencial acumulada num sistema de duas cargas pontuais
q1 e q2 . Quando trazemos a primeira carga, ainda não há nenhuma carga na posição final,
pelo que o potencial é nulo. Quando trazemos a segunda, já existe o potencial criado pela
primeira. Como podemos criar o sistema de duas maneiras diferentes (trazendo primeiro q 1
ou q2 ) devemos ter
Uele
= q 1 φ1 = q 2 φ2
=
1
(q1 φ1 + q2 φ2 ) ,
2
(1.197)
61
1.8. ENERGIA DO CAMPO ELECTROSTÁTICO
onde φ1 (φ2 ) é o potencial na posição da carga q1 (q2 ) devido à outra carga. Para obtermos
a expressão geral analisemos o caso de três cargas. Neste caso temos seis (3!) maneiras
diferentes de constituir o sistema:
Uele
= 0 + q2 φ21 + q3 (φ31 + φ32 )
= 0 + q3 φ31 + q2 (φ21 + φ23 )
= 0 + q1 φ12 + q3 (φ31 + φ32 )
= 0 + q3 φ32 + q1 (φ12 + φ13 )
= 0 + q1 φ13 + q2 (φ21 + φ23 )
= 0 + q2 φ23 + q1 (φ12 + φ13 ) ,
(1.198)
onde φik é o potencial na posição da carga qi devido à carga qk . Podemos reescrever esta
expressão como
Uele
=


1

3q1 ( φ12 + φ13 ) + 3q2 ( φ21 + φ23 ) + 3q3 ( φ31 + φ32 )
| {z }
| {z }
| {z }
6
φ1
=
φ2
φ3
1
(q1 φ1 + q2 φ2 + q3 φ3 )
2
3
=
1X
q i φi ,
2 i=1
(1.199)
onde φi é o potencial na posição final da carga qi devido a todas as outras cargas.
Repetindo o argumento para n cargas
n
Uele
que pode ainda ser escrita na forma
Uele =
1X
=
q i φi ,
2 i=1
(1.200)
n
n
n
1 X
1 qi qj
1 X X qj
qi
=
,
2
4π0 rij
2 i=1
4πrij
i,j(i6=j)
j6=i
(1.201)
62
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
onde rij =| ~ri − ~rj | é a distância entre as cargas qi e qj . Se a distribuição de cargas for
contı́nua, podemos generalizar a Eq. (1.200) para
Z
Z
1
1
Uele =
ρφ dV +
σφ dS ,
(1.202)
2 V
2 S
onde ρ e σ são as densidades de carga em volume e superfı́cie, respectivamente.
1.8.2
Energia dum sistema de condutores
Para os condutores, vimos que só havia cargas na superfı́cie. Devemos ter, portanto, para n
condutores
Uele
Z
n
X
1
=
σα φα dS .
2 Sα
α=1
(1.203)
Mas como a superfı́cie de cada condutor é uma equipotencial, podemos ainda escrever
Uele
=
=
Z
n
X
1
φα
σα dS
2
α
α=1
n
1X
Q α φα .
2 α=1
(1.204)
A expressão anterior é formalmente análoga à expressão para a energia dum sistema de
cargas, Eq. (1.200), embora o significado das grandezas fı́sicas seja diferente nos dois casos.
Exemplo 1.22 Energia dum condensador.
Um condensador é um sistema de dois condutores, tais que Q1 = Q e Q2 = −Q. A
energia vem dada por
Uele
=
1
(Q1 φ1 + Q2 φ2 )
2
=
1
(Qφ1 − Qφ2 )
2
=
1
1
1 Q2
QV = CV 2 =
,
2
2
2 C
onde se usou V = φ1 − φ2 e C = Q/V .
(1.205)
63
1.8. ENERGIA DO CAMPO ELECTROSTÁTICO
1.8.3
Expressão de Maxwell para a energia
A Eq. (1.202) é apenas válida em electrostática. Vamos deduzir uma expressão para a energia
~ que será igualmente válida no caso de campos variáveis.
em função de E,
~
~
De ∇ · D = ρ e admitindo meios dieléctricos lineares, isotrópicos e homogéneos, vem
~ · E)
~ φ.
ρφ = (∇
(1.206)
Usemos a identidade
~ · (Eφ)
~
∇
~ · E)φ
~ + ∇φ
~ ·E
~
= (∇
~ · E)φ
~ −E
~ ·E
~ ,
= (∇
(1.207)
~ = −∇φ:
~
onde se fez E
~ · E)
~ φ
ρφ = (∇
~ ·E
~ + ∇
~ · (Eφ)
~
= E
=
~ ·E
~ + ∇
~ · (Eφ)
~ .
D
(1.208)
Introduzindo a Eq. (1.208) na Eq. (1.202), e considerando que temos apenas distribuições
de carga em volume, podemos escrever a expressão para Uele na forma
Uele
=
=
1
2
Z
1
2
Z
V
~ ·E
~ dV + 1
D
2
Z
V
~ ·E
~ dV + 1
D
2
Z
V
~ · (φE)
~ dV
∇
S
~ · ~n dS ,
φE
(1.209)
aplicando o teorema da divergência.
Uma vez que podemos supor que V abrange todo o espaço, S será uma superfı́cie cujo
raio → ∞. No caso de distribuições de carga ocupando regiões finitas do espaço, quando
r → ∞, então φ ∼ 1r e E ∼ r12 , ou ainda mais rapidamente se a carga total da distribuição
for nula. Como S ∼ r 2 , o segundo integral tende para zero. Vem, finalmente
Z
1
~ ·E
~ dV .
Uele =
D
(1.210)
2 V
64
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
O resultado anterior é conhecido por expressão de Maxwell para a energia do campo electrostático. O integral é estendido a todo o espaço, embora na prática só interesse a região
onde os campos são diferentes de zero.
Da Eq. (1.210) concluı́mos que a energia do campo electrostático está localizada na região
onde existe o campo eléctrico, com uma densidade
uele =
1~ ~
D·E ,
2
(1.211)
que no sistema SI tem as unidades J/m3 .
Exemplo 1.23 Energia acumulada num condensador plano.
~ = σ/ e no
No interior do condensador, o campo eléctrico é uniforme e dado por | E|
~ = 0. A energia Uele será dada pela Eq. (1.210), onde o integral se estende
exterior E
somente ao volume do condensador, porque dentro das nossas aproximações o campo
eléctrico é nulo no exterior:
Uele
=
1
2
Z
~ 2 dV
|E|
V
=
1 σ2
Ad
2 2
=
1 1d 2
(
)Q
2 A
=
1
1 Q2
= CV 2 ,
2 C
2
(1.212)
de acordo com o resultado geral, Eq. (1.205).
Exemplo 1.24 Energia de uma esfera carregada uniformemente.
Vamos resolver de duas maneiras diferentes este problema. Primeiro, vamos imaginar
a esfera construı́da transportando desde o infinito camadas concêntricas de espessura
dr. Nestas condições, a simetria esférica é conservada durante o processo e podemos
usar as expressões para o potencial duma esfera carregada uniformemente. Assim, se
Q(r) for a carga contida na esfera de raio r, o potencial à distância r do centro será
φ(r) =
Q(r)
,
4π0 r
(1.213)
e a energia necessária para construir a camada esférica situada entre r e r + dr será
65
1.8. ENERGIA DO CAMPO ELECTROSTÁTICO
dr
r
PSfrag replacements
R
Figura 1.41: Camada esférica entre r e r + dr.
dUele =
Q(r)
dQ .
4π0 r
(1.214)
Como
Q(r) =
4
πr3 ρ
3
e
dQ = 4πr 2 drρ ,
(1.215)
vem
dUele =
4 4 ρ2
πr
dr.
3
0
(1.216)
A energia total acumulada na esfera será obtida integrando dU ele entre r = 0 e r = R,
Uele =
Z
R
0
4 πρ2 5
4 1 2 4
π ρ r dr =
R
3 0
15 0
(1.217)
Em termos da carga total Qt = 43 πR3 ρ:
Uele =
3 Q2t
.
5 4π0 R
(1.218)
Calculemos agora a energia, utilizando a expressão de Maxwell. Para isso precisamos
de conhecer o campo electrostático em todo o espaço. Usamos o resultado do Problema
~ é dado por
1.11. O campo E
66
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
~ ext = Q 1 ~er ,
E
4π0 r2
r>R
(1.219)
r
Q
~ int =
~er , r < R .
E
4π0 R3
Devido à simetria do problema vamos usar coordenadas esféricas. Como nada depende
das variáveis angulares:
Uele
1
2
= 4π
=
=
1
2
Z
R
0
Q
4π0
~ int |2 r2 dr + 4π
0 |E
2
4π0
"Z
R
0
1
2
4
Z
∞
R
r
dr +
R6
3 Q2t
,
5 4π0 R
~ ext |2 r2 dr
0 |E
Z
∞
R
1
dr
r2
#
(1.220)
como querı́amos mostrar.
1.8.4
Energia de um dieléctrico colocado num campo exterior
Coloquemos um dieléctrico (1 ), de volume V1 , numa região do espaço onde existe um campo
~ 0 . Antes de colocar o dieléctrico, a energia armazenada no volume V é
E
Z
1
~0 · D
~ 0 dV ,
U0 =
E
(1.221)
2 V
com
~ 0 = 0 E
~0 .
D
(1.222)
A introdução do dieléctrico leva à alteração do campo, devido à polarização do dieléctrico:
~ 0 → E.
~ Na nova situação temos que
E
~ = 1 E
~ ,
em V1 → D
(1.223)
~ = 0 E
~ .
fora de V1 → D
A energia é agora
U1 =
1
2
Z
V
~ ·D
~ dV,
E
(1.224)
67
1.8. ENERGIA DO CAMPO ELECTROSTÁTICO
donde a sua variação
1
U1 − U 0 =
2
1
=
2
Z V
Z
~
~
~
~
E · D − E0 · D0 dV
~ ·D
~0 −D
~ ·E
~ 0 )dV + 1
(E
2
V
Z
~ +E
~ 0 ) · (D
~ −D
~ 0 )dV .
(E
|
{z
}
(1.225)
V
I
~ × (E
~ +E
~0) = 0 e E
~ +E
~ 0 = −∇φ
~ 0 ; logo
Como os campos são electrostáticos, ∇
Z
~ 0 · (D
~ −D
~ 0 ) dV.
∇φ
I =−
(1.226)
V
Integrando por partes,
I=
pois
Z
V
~ · (D
~ −D
~ 0 ) dV = 0 ,
φ0 ∇
(1.227)
~ ·D
~ = ρ0 = ∇
~ ·D
~0 ,
∇
(1.228)
uma vez que as fontes (cargas que criam o campo) não são alteradas pela introdução do
dieléctrico. Então
U1 − U 0
=
=
1
2
Z
1
2
Z
V
~ ·D
~0 −D
~ ·E
~ 0 )dV
(E
V1
~ ·D
~0 −D
~ ·E
~ 0 )dV,
(E
(1.229)
~ = 0 E
~ eD
~ 0 = 0 E
~ 0 , e a função integranda é identicamente
porque, fora do dieléctrico, D
nula.
Finalmente
U1 − U 0
1
2
Z
= −
1
2
=
V1
Z
~ ·E
~ 0 dV
(0 − 1 )E
V1
~ · E~0 dV = −
(1 − 0 )E
1
2
Z
V1
~ 0 dV ,
P~ · E
(1.230)
o que nos dá a variação da energia, devido à presença do dieléctrico. É a chamada energia
de restituição.
68
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
~
E
PSfrag replacements
+
d
F~2
θ
~
N
F~1
~ exterior.
Figura 1.42: Dipolo eléctrico num campo E
1.8.5
Energia dum dipolo num campo exterior
~ conforme
Consideremos um dipolo eléctrico numa região do espaço onde existe um campo E,
~
se indica na Fig. 1.42. Como se pode verificar, o campo E exterior dá origem a um sistema
de forças com resultante nula, mas momento do binário diferente de zero,
~ | = d q|E|
~ sin θ ≡ p|E|
~ sin θ
|N
(1.231)
~ = p~ × E
~ .
N
(1.232)
e
~ Este
Este binário actua no sentido de orientar o momento dipolar p
~ com o campo exterior E.
mesmo resultado pode ser obtido mostrando que a energia é mı́nima para essa situação. A
energia do dipolo no campo exterior calcula-se contabilizando o trabalho efectuado para o
constituir:
Udipolo
=
q(φ2 − φ1 )
= −q(φ1 − φ2 )
Z 2
~ · d~r .
= −q
E
(1.233)
1
~ nos pontos onde se encontram as cargas q1 e q2 .
onde φ1 e φ2 são os potenciais, devidos a E,
~
Admitindo que E é uniforme na região do dipolo
Udipolo
~ cos θ
= −q|E|d
69
1.8. ENERGIA DO CAMPO ELECTROSTÁTICO
~ .
= −~
p·E
(1.234)
~ O
A expressão anterior mostra que a energia mı́nima é obtida para p
~ alinhado com E.
dipolo tende a alinhar-se com o campo exterior, facto de que já fizemos uso no estudo dos
dieléctricos.
1.8.6
Raio clássico do electrão
O modelo clássico do electrão representa-o como uma pequena esfera de raio R, sobre cuja
~ = e/(4π0 r2 ) ~er , e a
superfı́cie se distribui a carga eléctrica e. No exterior da esfera, E
energia electrostática associada ao electrão é dada por
Uelectrão
=
=
1
2
Z
0 E 2 dV
V
e 2 0
4π
32π 2 20
Z
∞
R
e2
r2
dr
=
.
r4
8π0 R
(1.235)
Na teoria clássica, este resultado era interpretado como sendo igual à energia de repouso do
electrão:
e2
= mc2 ,
8π0 R
(1.236)
1
e2
1
≡ r0 ,
2 4π0 mc2
2
(1.237)
e2
' 2.84 × 10−15 m.
4π0 mc2
(1.238)
donde se tira
R=
definindo o raio clássico do electrão:
r0 =
Qual a razão para o factor 1/2 na Eq. (1.237)? De facto, podı́amos ter definido r 0 para
englobar esse factor. No entanto, se tivéssemos admitido outro tipo de distribuição de carga
para o electrão, obterı́amos outro factor (2/3, 3/5, ver Eq. (1.218)), o que nos leva a concluir
que a definição é arbitrária. A escolha da Eq. (1.238) é a convencional.
Se r0 → 0, a energia tenderia para infinito, razão pela qual se foi levado a admitir que o
electrão não seria pontual. Mas se ele não é pontual, como é que as cargas negativas que o
constituem não se repelem entre si, destruindo o electrão? Somos forçados a introduzir na
teoria forças de origem não electromagnética, para explicar a estabilidade do electrão.
70
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
Desde que queiramos considerar o que se passa com as próprias fontes do campo electromagnético, a teoria desenvolvida revela-se-nos como se não bastando a si própria. Este
problema ainda hoje continua por resolver. Para uma discussão mais aprofundada, ver o
Capı́tulo 28 do livro de R. P. Feynman [9].
71
Problemas
Problemas† Capı́tulo 1
Lei de Coulomb
b) Determine o campo eléctrico no ponto P.
c) Determine o potencial para pontos tais que
*1.1 Considere uma barra estreita e com- z R. Qual é o momento dipolar da distriprida de comprimento L e com uma carga Q buição?
uniformemente distribuı́da.
*1.4 Considere um fio de comprimento 2 L
a) Calcule a força exercida pela barra sobre uniformemente carregado com carga total Q.
uma carga igual a Q, situada a uma distância O fio encontra-se sobre o eixo x dum referena de um extremo da barra, na direcção desta. cial cuja origem coincide com o ponto médio
b) Considerando o sistema barra + carga Q do fio.
~ num ponto P situado
em a, a que distância d, do extremo da barra, a) Calcular o campo E
está o ponto P no qual o campo eléctrico é sobre o eixo z à distância z da origem.
~ nos dos casos limites z L e
nulo?
b) Calcular E
c) Qual seria a posição de P, se o compri- z L. Comente os resultados.
mento da barra aumentasse indefinidamente 1.5 Temos uma coroa circular definida por
no sentido oposto ao da posição da carga q, dois cı́rculos concêntricos de raios r1 e r2 e
mantendo-se a densidade de carga constante? preenchida por uma carga uniforme de densid) Qual seria a posição de P, se no processo dade σ. Calcular o campo eléctrico no centro
da alı́nea c) se mantivesse a carga total Q do sistema e num ponto situado sobre o eixo
constante?
do mesmo e à distância d do plano em que se
*1.2 Use coordenadas cilı́ndricas para cal- encontram os cı́rculos.
cular o campo eléctrico devido a um disco *1.6 Uma semiesfera de raio R encontra-se
de raio a, uniformemente carregado com uma uniformemente electrizada em superfı́cie, com
densidade de carga σ, num ponto do eixo do uma densidade de carga σ. Calcular o campo
disco a uma distância z do seu centro. Utilize eléctrico no centro da esfera.
este resultado para deduzir o campo devido *1.7 Sejam r e θ as coordenadas polares de
a um plano infinito uniformemente carregado um ponto no plano. Sejam a e b constancom a mesma densidade (σ).
tes. Considere nesse plano definido o poten*1.3 Considere uma espira circular de raio R cial V = a cos θ/r 2 + b/r. Determine as comcarregada uniformemente com carga total Q. ponentes Er e Eθ do campo.
A espira encontra-se no plano xy, e no seu *1.8 Sejam duas cargas iguais em módulo e
centro, coincidente com a origem das coorde- de sinais opostos separadas de uma distância
nadas, está colocada uma carga pontual −Q. L. Considere o eixo do dipolo orientado sea) Determine o potencial electrostático num gundo o eixo x, sendo a origem O deste eixo
ponto P situado sobre o eixo z à distância z coincidente com o centro do dipolo.
a) Usando a expressão para o potencial de
da origem.
† Indicamos com um asterisco os problemas cujas soluções (pelo menos para alguma das alı́neas) se encontram no fim do livro.
72
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
uma carga pontual, calcule o trabalho ne- b) Calcule o campo eléctrico dentro e fora da
cessário para trazer uma carga +Q do infi- esfera.
nito até um ponto S sobre o eixo x, tal que c) Verifique a continuidade do campo eléctriOS = x.
co sobre a superfı́cie esférica.
b) Escreva uma expressão aproximada para o d) Verifique a equação de Poisson.
potencial em S, que seja válida para x muito 1.13 Dois condutores esféricos, concêntricos,
maior que L.
encontram-se aos potenciais φ1 e φ2 .
c) Determine a orientação da superfı́cie equipotencial no ponto S.
d) Determine uma superfı́cie equipotencial
r3
que seja um plano e indique o valor do por2
tencial nesse plano.
PSfrag replacements
1.9 Temos uma esfera uniformemente carrer1
gada em superfı́cie, com densidade σ, e um
0
ponto P situado no seu interior. Mostrar que
~
o campo eléctrico em P, E(P), é nulo, qualquer que seja a posição de P.
Calcular:
a) a carga q1 e a carga na superfı́cie interna
*1.10 O espaço compreendido entre os dois do condutor exterior, q2int ;
planos infinitos e paralelos, definidos pela co- b) o campo eléctrico e o potencial escalar no
ordenadas z = +a/2 e z = −a/2, está preen- espaço entre os condutores;
chido uniformemente com uma carga de den- c) o campo eléctrico e o potencial no exterior
sidade em volume ρ. Calcular o campo elec- do sistema.
trostático num ponto P qualquer exterior à *1.14 Considere o átomo de hidrogénio no
distribuição. Repetir para um ponto P0 inte- seu estado fundamental. Do ponto de vista
electrostático pode ser considerado como uma
rior à mesma.
*1.11 Uma carga Q está distribuı́da unifor- carga pontual +e colocada na origem, corresmemente com uma densidade ρ numa esfera pondente ao protão, e uma carga −e, corresde raio R. Determine as expressões do poten- pondente ao electrão, distribuı́da de acordo
~ à distância r do centro com a densidade de carga
cial φ e do campo E
da esfera, para pontos interiores e exteriores
ρ− (r) = A r2 e−2r/r0 ,
à esfera.
*1.12 Considere uma carga Q distribuı́da
onde r0 = 0.53 Å é o raio de Bohr.
numa esfera de raio R com a densidade
a) Determine a constante A.
b) Calcule o campo eléctrico e o potenρ = A(R − r) (C/m3 ), 0 ≤ r ≤ R .
cial electrostático desta distribuição de carga.
a) Determine a constante A em função de Q Comente o resultado nos limites r r0 e
r r0 .
e R.
Lei de Gauss
73
Problemas
c) Determine a carga efectiva à distância
r = 4 r0 .
d) Verifique a equação de Poisson.
e) Qual o momento dipolar do átomo de hidrogénio?
*1.15 Uma esfera metálica de raio R está
isolada de outros corpos. Exprima o potencial sobre a esfera, em função da sua carga.
Determine o trabalho necessário para carregar a esfera até ao potencial V .
*1.16 Um condutor esférico de raio a possui uma carga Q. Este condutor está rodeado
por uma superfı́cie esférica condutora de raio
b, ligada à terra através de uma bateria cuja
diferença de potencial é V1 .
a) Determine a carga total sobre as superfı́cies interior e exterior da esfera de raio
b.
b) Determine o campo e o potencial à
distância r do centro das duas esferas, sendo
r ≤ a, b ≤ r, a ≤ r ≤ b.
*1.17 Um cabo coaxial é constituı́do por
dois condutores infinitos cuja secção transversal é uma circunferência de raio R1 rodeada
de uma coroa circular de espessura R3 − R2 .
Suponha que o condutor exterior está ligado
à terra (V = 0) e que o interior está mantido
ao potencial V .
a) Determine o potencial e o campo eléctrico
no espaço entre os condutores.
b) Determine a carga por unidade de comprimento, λ, do condutor interior.
c) Determine a energia eléctrica por unidade
de comprimento.
1.18 Temos dois condutores cilı́ndricos, coaxiais, de comprimento L muito grande e
raios R1 < R2 . O condutor interior está ligado à terra, e o exterior foi colocado a um
potencial V . Calcular a densidade de carga,
λ, no condutor interior.
Condutores e condensadores
1.19 Duas esferas condutoras de raios R1 e
R2 , têm uma distância r entre os respectivos
centros, tal que r R1 , R2 , de forma que podemos desprezar a influência eléctrica entre
as esferas. Uma delas tem uma carga q, e a
outra não tem carga. Liguemos as esferas por
um fio condutor. Calcular a distribuição final
das cargas, q1 e q2 , e os potenciais φ1 e φ2 .
*1.20 Considere dois cilindros coaxiais finitos, de comprimento L, cujas bases concêntricas têm raios R1 e R2 , sendo R2 o raio do
cilindro exterior, que se encontra ao potencial
zero. Suponha o cilindro interior carregado
com uma dada carga. Calcule a capacidade
do condensador assim definido.
*1.21 Considere um condensador plano de
capacidade C, com uma distância d de separação entre as duas placas. Diga qual é a
nova capacidade, quando se coloca uma placa
metálica de espessura a entre as duas armaduras e equidistante destas.
1.22 Dois condensadores de capacidades C1
e C2 , um carregado, outro não, são ligados
em paralelo. Mostre que no equilı́brio se verificam as seguintes relações:
Q1
C1
=
Q
C1 + C 2
Q2
C2
=
,
Q
C1 + C 2
onde Q é a carga inicial do condensador carregado e Q1 e Q2 as cargas finais de cada um
deles.
1.23 Seja um condensador plano ligado a
uma bateria de 12 V. A área das placas é A,
sendo a distância entre elas de d. Descrever
o que acontece à diferença de potencial entre
as placas, ao campo eléctrico, à capacidade e
à carga das placas, quando:
a) se afastam as placas para 2d, mantendo o
condensador ligado à bateria;
74
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
b) se afastam as placas para 2d, com o condensador desligado da bateria.
1.24 Duas placas condutoras paralelas, de
área A cada uma e distância d, estão ligadas a
uma fonte que as mantém a uma diferença de
potencial V . As placas são então lentamente
aproximadas até ficarem a uma distância de
d/3. A fonte é desligada e as placas gradualmente levadas à sua separação inicial d.
a) Qual é a diferença entre as energias electrostática final e inicial do sistema?
b) Chamemos x à distância entre as placas
num determinado instante, sendo V a diferença de potencial entre elas. Calcular a
variação da energia electrostática quando as
placas são afastadas de uma distância ∆x (i)
mantendo a bateria ligada, (ii) com a bateria desligada. Qual a força que é necessário
aplicar nos dois casos?
Dipolos e dieléctricos
*1.25 Considere um dipolo de momento dipolar p~ = q ~a, que faz um ângulo θ com a
~
direcção de um campo eléctrico uniforme E.
a) Calcule o momento da força que actua o
dipolo.
b) Calcule o trabalho necessário para inverter
a posição de equilı́brio do dipolo em presença
~
do campo E.
c) Considerando que o dipolo tem um momento de inércia I em relação ao seu centro,
calcule o perı́odo de oscilação do dipolo, para
pequenas oscilações em torno da posição de
equilı́brio.
1.26 Uma esfera condutora, de raio r = a
e carga +q, está envolvida por uma coroa
dieléctrica concêntrica, de permitividade ,
ocupando a região limitada pelos raios r = b
~ |E|
~ e |P~ |
e r = c. Desenhe o gráfico de |D|,
em função de r.
*1.27 Considere o condensador do Problema 1.21. Suponha agora que a placa
metálica é substituı́da por um dieléctrico de
permitividade com a mesma espessura a da
placa metálica. Calcule a capacidade deste
novo condensador.
1.28 Dois condensadores planos com a
mesma capacidade C = 0 A/d estão ligados
em paralelo a uma bateria com uma tensão
V entre os seus terminais. Considerar a
sequência: (i) desligar os condensadores da
bateria; (ii) introduzir num dos condensadores um dieléctrico de permitividade = r 0 .
a) Qual é o valor final de Q1 e Q2 ?
b) Qual é o valor final da diferença de potencial?
1.29 Um condensador plano é carregado por
uma bateria com uma carga Q. A bateria é
então desligada. Vamos seguidamente introduzir entre as placas um dieléctrico de permitividade . Mostre que uma força aparece
puxando o dieléctrico para dentro do condensador. Qual a sua expressão? A que é devida
esta força?
*1.30 Considere dois condensadores com capacidade C ligados em paralelo a um potencial inicial V1 . Suponha que se introduz
num deles um dieléctrico com permitividade
= r 0 . Calcule o novo potencial a que ficam os condensadores, bem como a carga que
vai fluir no circuito.
1.31 Uma carga +Q foi colocada no centro
de uma camada dieléctrica esférica de raios
R1 e R2 com R2 > R1 . A permitividade é
~ φ, D
~ e P~ como funções de
. Determinar E,
r, distância ao centro, e fazer os respectivos
gráficos.
1.32 Lentes dieléctricas podem ser usadas
para colimar campos eléctricos. Na figura temos uma lente, cuja superfı́cie da esquerda é
75
Problemas
cilı́ndrica, de eixo coincidente com o eixo z, e
cuja superfı́cie da direita é plana.
y
PSfrag replacements
r0
45◦
x
2
1
3
polarização e quais os seus valores? Existem
cargas de polarização sobre as superfı́cies de
separação dos dieléctricos? Porquê?
*1.34 Uma esfera de raio R encontra-se polarizada uniformemente, tendo o vector de polarização P~ a direcção do eixo z. Escreva a
expressão para a carga superficial de polarização de um anel da superfı́cie esférica cujo
raio vector faça um ângulo θ com o eixo z.
Obtenha, por integração, a carga positiva total de polarização. Qual é a carga total de
polarização na superfı́cie da esfera?
Energia
~ 1 , no ponto indicado P(r0 , 45◦ , z), na
Se E
~ 1 = 5 ~er −3 ~eϕ (V/m), *1.35 Na figura temos três cargas pontuais,
região 1, for dado por E
qual o valor que deverá ter a permitividade q1 , q2 e q3 .
~ 3 , na
do dieléctrico 2, para que o campo E
q1
região 3, seja paralelo ao eixo x?
replacements
1.33 Considere o condensador PSfrag
plano indicado na figura, onde a área das placas é dada
r12
r13
por A = A1 + A2 + A3 .
q2
PSfrag replacements
2
r23
q3
Qual o trabalho que temos de realizar para
trocar as posições das cargas q1 e q2 ?
*1.36 Calcule a energia armazenada num
sistema de quatro cargas pontuais idênticas,
Q = 4 nC, situadas nos vértices de um quaA3
A1
A2
drado de 1 m de lado. Qual é a energia arCalcule a distribuição σ1 , σ2 e σ3 das cargas mazenada no sistema quando só duas cargas
sobre as placas do condensador, sabendo que estão colocadas e em vértices opostos?
os dieléctricos são caracterizados pelas per- *1.37 Considere o sistema de dois condenmitividades 1 = , 2 = 0 e 3 = . Qual a sadores descrito no Problema 1.22. Mostre
capacidade do condensador e a energia elec- que a energia final armazenada no sistema é
trostática quando as placas estão a uma di- menor que a energia inicial e deduza uma exferença de potencial V ? Qual a relação en- pressão para a diferença entre as duas enertre os valores dos campos eléctricos nos três gias em termos de Q e de C1 e C2 . Considere
dieléctricos? Onde se distribuem as cargas de que o fio que liga os dois condensadores tem
1
3
76
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
PSfrag replacements
resistência R. Mostre que a diferença de energia é exactamente igual à energia dissipada
por efeito de Joule, isto é,
UJ =
Z
∞
y
d = d0 + d00
RI (t) dt .
0
Que acontece no caso em que R tende para
zero?
1.38 Uma esfera condutora de raio R, isolada e com carga Q, dilata-se lentamente sob
a acção das forças electrostáticas, até atingir
o raio R0 . Calcule a variação da energia electrostática e, partindo desta expressão, calcule
a expressão da força electrostática originando
aquela expansão.
1.39 Considere uma camada esférica dieléctrica muito fina sobre a qual se encontra uniformemente distribuı́da uma carga −Q. Não
existe, pois, qualquer campo interior. Coloquemos uma carga +Q no centro da esfera. O
campo exterior à esfera é agora nulo. Desloquemos a carga pontual +Q de uma distância
a inferior ao raio da esfera. Isto faz-se sem
qualquer dispêndio de energia eléctrica. Contudo, no exterior da esfera dieléctrica, temos agora o aparecimento de um dipolo de
momento a Q, o que origina no exterior um
campo electrostático e a energia correspondente. Donde vem esta energia?
d00
w
2
d0
v0
cátodo
~
E
x
L
Os electrões saem do cátodo com uma velocidade v0 (paralela ao eixo x), sofrendo
depois uma deflexão pela acção do campo
eléctrico Ed (paralelo ao eixo z e apontando
para baixo), campo que actua ao longo do
comprimento w das placas de deflexão. Calcular a deflexão total, d = d0 + d00 , sofrida
pelos electrões ao embaterem no alvo situado
em x = L.
Métodos numéricos
1.42 Considere a situação descrita no Exemplo 1.15, mas em que agora φ(x, d) = V0 com
V0 = 100 V.
a) Determine a solução exacta para o potencial.
b) Faça um programa (na linguagem que preferir) para calcular numericamente o potencial. Experimente com o tamanho da grelha
e com o número de iterações.
c) Faça um programa para determinar as
~
equipotenciais e as linhas de campo de E.
Represente-as
graficamente.
Cargas em movimento
1.43 Faça um programa (na linguagem que
preferir) para calcular as linhas de campo e
*1.40 Determine a velocidade de um electrão as equipotenciais dum sistema de N cargas.
que é acelerado através de uma diferença de O programa deverá:
potencial de 100 V.
a) Tomar como entrada o número de cargas
*1.41 Na figura representa-se esquematica- N , o valor das cargas qi e a sua posição no
plano ~ri = (xi , yi ). Deverá ainda dar a opção
mente um osciloscópio de raios catódicos.
Problemas
de decidir o número de linhas de campo e
equipotenciais a calcular.
b) Calcular as linhas de campo e as equipotenciais.
c) Apresentar o resultado numa forma gráfica.
1.44 Faça um programa (na linguagem que
preferir) para calcular equipotenciais e as linhas de campo a partir da função potencial.
Considere só o problema no plano z = 0. O
programa deverá:
77
a) Tomar como entrada a função φ(x, y) e desenhar as equipotenciais e as linhas de campo.
Experimente com a solução do Exemplo 1.15.
b) Poder ter a possibilidade de o potencial
ser dado por valores numa grelha de N × M
pontos. Esta opção será particularmente
útil para traçar as linhas de campo depois
de resolver numericamente a equação de Laplace. Experimente com as soluções do Problema 1.42.
78
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
Capı́tulo 2
Magnetostática
79
80
2.1
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
Corrente eléctrica estacionária
Neste capı́tulo vamos estudar o campo magnético estático. Como veremos, estes campos são
produzidos por correntes eléctricas estacionárias ou por magnetes. Vamos por isso começar
por descrever brevemente o que se entende por corrente eléctrica estacionária. Como é
intuitivo, o conceito de corrente eléctrica está associado a cargas em movimento. Quando
estes assuntos começaram a ser estudados, não era conhecida a estrutura da matéria e, por
isso, foi feita a convenção de que o sentido positivo da corrente é o do deslocamento das
cargas positivas por acção dum campo eléctrico. Embora hoje em dia se saiba que nos
condutores são as cargas negativas, os electrões, que se movem, a convenção manteve-se por
razões históricas.
2.1.1
Densidade de corrente
Consideramos o elemento de área ∆S perpendicular ao deslocamento das cargas, conforme
se indica na Fig. 2.1. No intervalo de tempo ∆t, a carga que atravessa ∆S é toda a carga
que se encontra dentro do paralelepı́pedo de volume v∆t ∆S
~v
∆S
PSfrag replacements
v∆t
Figura 2.1: Superfı́cie perpendicular à velocidade das cargas.
∆Q = ρv∆t∆S.
(2.1)
A densidade de corrente é então definida como sendo a carga por unidade de tempo e por
unidade de área que atravessa a superfı́cie ∆S, isto é,
~ =
|J|
lim
∆S,∆t→0
∆Q
= ρ|~v |.
∆t∆S
(2.2)
No sistema SI, a unidade da densidade de corrente é o ampere por metro quadrado (A/m 2 ).
A expressão da Eq. (2.2) define o módulo da densidade de corrente. O sentido é o da
velocidade das cargas positivas. Portanto, sob forma vectorial escrevemos
81
2.1. CORRENTE ELÉCTRICA ESTACIONÁRIA
J~ = ρ~v .
(2.3)
Se ~v não for perpendicular a ∆S, temos a situação indicada na Fig. 2.2.
PSfrag replacements
~n
~v
β
α
∆S
v∆t
Figura 2.2: Superfı́cie oblı́qua em relação à velocidade das cargas.
A carga que atravessa a superfı́cie será então uma função do ângulo de J~ com a normal à
superfı́cie, ~n :
∆Q = ρv cos α ∆t∆S
=
J~ · ~n ∆t∆S ,
(2.4)
o que mostra que J~ · ~n tem o significado fı́sico da carga que por unidade de tempo e por
unidade de área atravessa uma superfı́cie cuja normal é ~n.
2.1.2
Intensidade de corrente I
Definiremos a intensidade de corrente eléctrica, I, como a carga total que atravessa a superfı́cie S por unidade de tempo. Assim:
Z
dQ
I=
=
J~ · ~n dS .
(2.5)
dt
S
No sistema de unidades SI a corrente I exprime-se em ampere (A).
2.1.3
Equação da continuidade
Seja uma superfı́cie fechada S limitando o volume V como se indica na Fig. 2.3. A conservação
de carga implica que a carga que atravessa S seja igual à diminuição da carga no volume V ,
interior a S:
82
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
~n
PSfrag replacements
dS
J~
V
S
Figura 2.3: Superfı́cie fechada dentro dum condutor percorrido por uma corrente.
−
dQ
=
dt
Z
Q=
Z
onde
S
J~ · ~n dS ,
(2.6)
ρ dV .
(2.7)
V
Utilizando o teorema da divergência obtemos
Z
~ · J~ + ∂ρ ) dV = 0 .
(∇
∂t
V
(2.8)
Como o volume V é arbitrário podemos concluir que
~ · J~ + ∂ρ = 0 ,
(2.9)
∇
∂t
que é habitualmente designada por equação da continuidade. Como vimos, traduz a conservação da carga eléctrica. Em regime estacionário, ∂ρ
∂t = 0 e portanto
~ · J~ = 0 .
∇
(2.10)
Em regime estacionário podemos mostrar que a intensidade de corrente é a mesma em
qualquer secção dum condutor (corrente uniforme). De facto, seja um condutor, não necessariamente filiforme, percorrido por uma corrente estacionária (ver Fig. 2.4).
Então
Z
Z
~ · J~ dV =
0=
∇
J~ · ~next dS ,
(2.11)
V
S
onde ~next designa a normal apontando para o exterior do volume V , e a segunda igualdade
resulta do teorema da divergência. Como J~ é tangencial à superfı́cie lateral (as cargas não
83
2.1. CORRENTE ELÉCTRICA ESTACIONÁRIA
B
PSfrag replacements
dS
A
~nB
~nA J~
Figura 2.4: Condutor com corrente em volume.
saem para o exterior do condutor), o integral sobre essa superfı́cie anula-se. Restam os
integrais sobre A e B, que dão
−IA + IB = 0 ⇒ IA = IB ,
(2.12)
como querı́amos mostrar.
2.1.4
Lei de Ohm
Experimentalmente, verifica-se que existe uma proporcionalidade entre a densidade de cor~ , isto é,
rente J~ e o campo eléctrico E
~ ,
J~ = σ E
(2.13)
que é a forma vectorial da lei de Ohm. A constante σ é a condutividade eléctrica, e no sistema
SI tem as unidades siemens por metro (S/m) ou (Ohm−1 m−1 ). O inverso da condutividade
designa-se por resistividade eléctrica, ρ :
ρ=
1
,
σ
(2.14)
que se exprime no SI em ohm vezes metro (Ohm · m ≡ Ω · m). Apresentamos na Tabela 2.1
alguns exemplos de valores da condutividade e resistividade eléctrica para diferentes materiais.
Usando a expressão vectorial da lei de Ohm, pode deduzir-se a forma mais usual da lei,
isto é:
V = φA − φB =
Z
B
A
~ · d~` ≡ RI ,
E
(2.15)
84
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
Resistividade (20◦ C)
(Ωm)
2.65 × 10−8
1.67 × 10−8
9.71 × 10−8
20.65 × 10−8
Material
Al
Cu
Fe
Pb
Condutividade (20◦ C)
(Sm−1 )
3.77 × 107
5.98 × 107
1.03 × 107
4.84 × 106
Fonte: Ref [15].
Tabela 2.1: Resistividade e condutividade de alguns materiais.
B
A
J~
PSfrag replacements
Figura 2.5: Resistência entre duas secções dum condutor.
onde R é a resistência do condutor entre as secções A e B (ver a secção seguinte). No SI, a
unidade de resistência é o ohm (Ω).
2.1.5
Resistência dum condutor
Seja o condutor representado na Fig. 2.5. Pretendemos determinar uma expressão para a
resistência R do condutor entre as secções A e B. Para isso, tomemos um tubo de corrente
~ Temos
entre A e B. Por definição de tubo de corrente, as paredes do tubo são paralelas a J.
então a situação descrita na Fig. 2.6, onde dΣ é um elemento de área na base A e dS é um
elemento de área numa secção arbitrária entre A e B.
Como a secção não é uniforme, em geral dΣ 6= dS. Podemos então escrever
~ · d~` =
E
=
1~
d` ~
J · ~n d` =
J · ~n dS
σ
σdS
d`
dI
σdS
(2.16)
85
2.1. CORRENTE ELÉCTRICA ESTACIONÁRIA
dS
J~
PSfrag replacements
J~
B
dΣ
A
Figura 2.6: Tubo de corrente entre duas secções dum condutor.
e portanto
V
= φA − φB =
=
dI
dΣ
Z
B
A
Z
B
A
~ · d~` = dI
E
Z
B
A
d`
σdS
1 dΣ
d` ,
σ dS
(2.17)
onde dI é a corrente elementar no tubo de corrente de base dΣ. Invertendo a Eq. (2.17)
obtemos
dI = V R B
dΣ
1 dΣ
A σ dS
d`
,
(2.18)
onde o integral é ao longo do tubo de corrente. Somando sobre todos os tubos (Σ =
I
= V
≡ V
Z
dΣ
Σ
1
,
R
RB
1 dΣ
A σ dS
R
dΣ):
d`
(2.19)
onde se definiu a resistência R
1
≡
R
Z
dΣ
Σ
RB
1 dΣ
A σ dS
d`
.
(2.20)
Para o caso dum fio cilı́ndrico, de material homogéneo, secção S e comprimento `, temos,
dΣ = 1, e portanto:
dS
86
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
S
1
= 1
R
σ`
(2.21)
ou ainda
R=
2.1.6
`
`
=ρ .
σS
S
(2.22)
Força electromotriz (f.e.m.)
Para que a corrente circule, é necessário que haja outros campos, genericamente designados
~ a , de natureza não electrostática, para os quais ∇
~ ×E
~ a 6= 0. Neste
por campos aplicados E
caso, a lei de Ohm escreve-se
~ ≡ σ(E
~ ele + E
~ a) ,
J~ = σ E
(2.23)
onde Eele são os campos de natureza electrostática, e portanto:
Z
Para um circuito fechado,
B
A
I
~ ele + E
~ a ) · d~` = RAB I .
(E
(2.24)
~ ele + E
~ a ) · d~` = RI ,
(E
(2.25)
sendo R a resistência total do circuito. Define-se f.e.m. E por
I
I
I
~ = (E
~ = E
~ .
~ · d`
~ ele + E
~ a ) · d`
~ a · d`
E≡ E
(2.26)
Então
E = RI ,
(2.27)
a
resultado que é por vezes designado por 2 lei de Kirchhoff.
2.1.7
Lei dos nós
A conservação de corrente nos nós dum circuito eléctrico, usualmente designada por 1a lei
~ · J~ = 0. Se integrarmos um volume que
de Kirchhoff, resulta da equação fundamental ∇
contenha o nó, obtemos
Z
J~ · ~n dS = 0 ,
(2.28)
S
87
2.2. LEI DE BIOT-SAVART
I1
PSfrag replacements
In
S
Iα
I2
I3
Figura 2.7: Correntes convergindo num nó.
o que, usando a definição de intensidade de corrente, se pode escrever
n
X
Iα = 0 ,
(2.29)
α=1
onde correntes que entram e correntes que saem são consideradas com sinais opostos.
2.2
Lei de Biot-Savart
Como dissemos, na magnetostática estudamos os campos magnéticos produzidos por correntes estacionárias. O resultado fundamental é o traduzido pela lei de Biot-Savart.
~ produzido no
Para condutores filiformes, o campo de indução magnética elementar dB
~
ponto P, de coordenadas ~r, por um elemento de corrente I d` situado no ponto P0 , de coordenadas r~0 , é dado por
~ =
dB
µ0
d~` × (~r − r~0 )
I
,
3
4π
|~r − r~0 |
(2.30)
onde µ0 é uma constante designada por permeabilidade magnética do vazio. No sistema de
~ é o tesla (T) e µ0 = 4π × 10−7 H/m, sendo o H o henry, cujo
unidades SI, a unidade de B
significado será dado mais adiante.
Para o fio todo, temos
~ r ) = µ0 I
B(~
4π
Z
d~` × (~r − r~0 )
.
3
fio |~r − r~0 |
(2.31)
88
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
z
PSfrag replacements
I
Id~`
~r − r~0
r~0
O
P
~r
y
x
Figura 2.8: Lei de Biot-Savart.
A lei de Biot-Savart desempenha para a magnetostática o mesmo papel que a lei de
Coulomb para a electrostática. Para uma distribuição de corrente em volume, usamos a
transposição
Z
Z
~
JdV
,
(2.32)
Id~` →
fio
V
e a forma geral da lei de Biot-Savart é
~ r ) = µ0
B(~
4π
Z
V
J~ × (~r − r~0 )
dV .
3
|~r − r~0 |
(2.33)
Exemplo 2.1 Como primeiro exemplo, vamos considerar o caso do fio infinito rectilı́neo, percorrido por uma corrente estacionária I. Como se pode ver da Fig. 2.9,
~ são circunferências com o
utilizando a lei de Biot-Savart, as linhas de campo∗ de B
sentido dado pela regra do saca-rolhas.
Conhecido o sentido do campo, falta determinar o seu módulo. Este será dado por
Z +∞
Z +∞
cos θ
cos θ
µ0
~ = µ0 I
dz
=
I
dz ,
(2.34)
|B|
2
4π
r
2π
r2
−∞
0
onde se usou o facto de que a função integranda é uma função par de z. Usando
as relações trigonométricas z = R tan θ e r = R sec θ, obtemos, depois de efectuar a
∗ Em magnetostática a força que é exercida sobre uma carga teste é perpendicular à direcção do campo B.
~
Tendo isto em atenção, a designação de linhas de força, por vezes usada em electrostática, é aqui abandonada
em favor de linhas de campo.
89
2.2. LEI DE BIOT-SAVART
Id~`
PSfrag replacements
r
z
θ
~
B
I
R
~ produzido por um fio infinito percorrido pela corrente I.
Figura 2.9: Campo B
mudança para a variável θ,
~ =
|B|
µ0
I
2π
Z
π/2
0
µ0 I
R cos θ sec2 θ
dθ =
.
2
2
R sec θ
2π R
(2.35)
~ ao longo duma circunAntes de deixarmos este exemplo calculemos a circulação de B
~
~ é
ferência de raio R. Como B é paralelo ao elemento de linha d~` e o módulo de B
constante ao longo da circunferência, obtemos facilmente
I
~ · d~` = |B|2πR
~
B
= µ0 I .
(2.36)
Este é, como veremos, um resultado geral aqui obtido para um caso particular. Um ou~ B
~ = 0 (ver
tro resultado geral que se pode obter facilmente para este caso particular é ∇·
~ são sempre fechadas
Problema 2.7). É equivalente a dizer que as linhas de campo de B
(não necessariamente circunferências como neste exemplo). Fisicamente, está associado ao facto de não haver cargas magnéticas (recordar que, para as cargas eléctricas,
~ ·E
~ = 1 ρ).
∇
0
Exemplo 2.2 Estudemos o que se passa com uma espira circular percorrida por
~ num ponto arbitrário é muito complicado. O
uma corrente I. O cálculo do campo B
problema simplifica-se se o ponto estiver sobre o eixo da espira. É esse caso que vamos
considerar aqui. Por razões de simetria, a única componente diferente de zero é B z .
90
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
θ
~
dB
z
PSfrag replacements
θ
R
I
~ produzido por espira circular.
Figura 2.10: Cálculo do campo B
A contribuição devida a um elemento de corrente I d` é
dBz =
µ0
cos θ
µ0
R
I 2
d` =
I 2
d` .
2
4π
z +R
4π
(z + R2 )3/2
(2.37)
Integrando sobre toda a espira:
Bz =
R
µ0
I 2
4π
(z + R2 )3/2
I
d` =
µ0
R2
.
I 2
2 (z + R2 )3/2
(2.38)
Notas:
µ I
(i) No centro da espira: Bz = 20 R
.
(ii) O sentido é dado pela regra do saca-rolhas.
(iii) Se considerarmos o contorno Γ constituı́do pelo eixo z e fechado pelo infinito,
obtemos
∞
I
Z ∞
R2
z
~ · d~` = µ0 I
√
= µ0 I.
(2.39)
B
dz
=
µ
I
0
(z 2 + R2 )3/2
z 2 + R2 0
Γ
0
que mais uma vez é um caso particular dum resultado mais geral.
~ ·B
~ = 0. De facto
(iv) O conhecimento de Bz não é suficiente para verificar que ∇
∂By
∂Bx
6= 0. Isto, deve-se a que ∂x 6= 0 e ∂y =
6 0 para pontos sobre o eixo, embora,
nesses pontos, Bx = By = 0.
∂Bz
∂z
91
2.3. FORÇA MAGNÉTICA
2.3
Força magnética
2.3.1
Força sobre cargas eléctricas em movimento
Na ausência do campo eléctrico, a força que se exerce sobre partı́culas carregadas em campos
magnéticos é a chamada força de Laplace-Lorentz, que é um caso particular da expressão
geral de Lorentz que vimos na Eq. (1.1). É dada por
~ .
F~ = q(~v × B)
(2.40)
O movimento das partı́culas carregadas pode ser obtido a partir da lei de Newton
d~
p
d~v
F~ =
=m
,
dt
dt
onde a segunda igualdade é somente válida para o caso não relativista.
(2.41)
~
Exemplo 2.3 Vejamos o que acontece a uma partı́cula carregada num campo B
uniforme e constante que tomaremos, sem perda de generalidade, paralelo ao eixo z.
~ · F~ = 0, o que quer dizer que não há componente da força
Comecemos por notar que B
magnética paralela ao campo aplicado. Assim, o movimento segundo o eixo z será uma
translação uniforme dependendo da componente da velocidade inicial nessa direcção.
Como este caso é trivial, vamos considerar por simplicidade v 0z = 0. Por outro lado
F~ · ~v = 0, o que significa, em termos fı́sicos, que as forças magnéticas não produzem
trabalho sobre as partı́culas carregadas: a energia da partı́cula deve ser uma constante
de movimento, tal como o módulo da velocidade. Isto vê-se facilmente, pois
d~v
· ~v ,
F~ · ~v = 0 = m
dt
(2.42)
donde
dv 2
= 0 → |~v | = constante .
(2.43)
dt
Suponhamos que o movimento da partı́cula se efectua no plano xy. A equação do
movimento escreve-se
m
d~v
dt
~
= q~v × B
= qB(−vx~ey + vy ~ex ) ,
ou ainda
(2.44)
92
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
dvx
dt
=
dvy
dt
= −
qB
vy
m
qB
vx .
m
(2.45)
Diferenciando a primeira equação em ordem a t e usando a segunda vem
d2 vx
+
dt
qB
m
2
vx = 0
(2.46)
e uma equação semelhante para vy . Esta é a equação dum movimento oscilatório de
frequência:
qB
.
(2.47)
m
Para prosseguirmos, temos de especificar as condições iniciais. Tomamos para t = 0,
x0 = 0, y0 = vω0 , v0x = v0 e v0y = 0. Então a solução para a velocidade é (q > 0):
ω=


 vx = v0 cos ωt


(2.48)
vy = −v0 sin ωt ,
o que mostra que, de facto, |~v | = v0 . Quanto às coordenadas serão dadas por


 x=


y=
v0
ω
sin ωt
(2.49)
− vω0
cos ωt ,
mostrando que a partı́cula descreve uma circunferência de raio R =
movimento dos ponteiros do relógio.
2.3.2
v0
ω
no sentido do
Forças sobre correntes
~
No caso duma carga infinitesimal dq, sabemos que dF~ = dq(~v × B).
Para obtermos a
expressão no caso de condutores filiformes (fios) usaremos a transposição
dq ~v → Id~` .
(2.50)
93
2.3. FORÇA MAGNÉTICA
~ será actuado por
Daqui resulta que um fio percorrido por uma corrente I, num campo B,
uma força
Z
~ ,
F~ = I
d~` × B
(2.51)
fio
~ é o campo exterior na posição do elemento d~`.
onde B
Consideremos agora dois circuitos percorridos por correntes I1 e I2 , conforme se indica
~ produzido pela corrente
na Fig. 2.11. Calculemos a força no circuito 1 devida ao campo B
I1
d~`1
~r12
d~`2
PSfrag replacements
I2
Figura 2.11: Forças entre circuitos percorridos por correntes estacionárias.
estacionária I2 que percorre o circuito 2. A força que é exercida no circuito 1 devida à
corrente I2 que percorre o circuito 2 é dada por
I
~ 12 ,
~
d~`1 × B
(2.52)
F12 = I1
1
onde B12 é o campo de indução magnética no circuito 1 devido à corrente I 2 , isto é:
~ 12 = µ0 I2
B
4π
Segue-se que
µ0
F~12 =
I1 I2
4π
I I
1
I
2
2
d`~2 × ~r12
.
3
r12
d`~1 × (d`~2 × ~r12 )
.
3
r12
(2.53)
(2.54)
Para prosseguir recordemos os resultados seguintes:
d`~1 × (d`~2 × ~r12 ) = d`~2 (d`~1 · ~r12 ) − ~r12 (d`~1 · d`~2 )
e
(2.55)
94
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
I I
1
2
(d`~1 · ~r12 )d`~2
=
3
r12
I
d`~2
2
I
~1 − 1
=0,
d`~1 · ∇
r12
1
(2.56)
sendo a última igualdade uma consequência do teorema do integral de linha do gradiente. A
expressão acima para F~12 toma a forma mais simples:
µ0
F~12 = − I1 I2
4π
I I
1
2
(d`~1 · d`~2 )~r12
.
3
r12
(2.57)
Vejamos o exemplo simples de condutores paralelos.
Exemplo 2.4 Tomemos dois condutores rectilı́neos percorridos por correntes estacionárias, paralelas, num caso, e antiparalelas, no outro. Uma análise simples da
expressão da força, Eq. (2.51), mostra que esta é atractiva quando as correntes circulam no mesmo sentido e repulsiva no caso de correntes em sentidos contrários (ver
Fig. 2.12).
PSfrag replacements I
1
I2
F~21
F~12
I2
I1
F~12
F~21
força
força
atractiva
repulsiva
Figura 2.12: Forças entre fios paralelos.
2.4
Lei de Ampère
Embora toda a fı́sica da magnetostática esteja incluı́da na lei de Biot-Savart, é usual introduzir outra lei, chamada lei de Ampère. Veremos que esta lei pode de facto ser deduzida a
partir da lei de Biot-Savart.
95
2.4. LEI DE AMPÈRE
Lei de Ampère: Partimos duma distribuição qualquer de correntes estacionárias
I1 · · · In e imaginamos um contorno Γ rodeando estas correntes como indicado na
Fig. 2.13.
I3
I2
I1
Iα
... ...
In
PSfrag replacements
Γ
Figura 2.13: Lei de Ampère.
Estabeleçamos um sentido de circulação em Γ e consideremos positivas ou negativas
as correntes consoante têm um sentido consistente com o da circulação (regra do saca~ for a indução magnética criada por esta distribuição de
rolhas) ou não. Então, se B
correntes, temos:
I
Γ
~ · d~` = µ0
B
n
X
Iα ,
(2.58)
α=1
Este resultado não é completamente novo. Na realidade já o tı́nhamos obtido em casos
particulares, nos Exemplos 2.1 e 2.2. Esta lei integral tem um papel semelhante à lei de
Gauss em electrostática. Isto quer dizer que, para ser útil no cálculo de campos, temos de
~ No entanto, trata-se duma lei geral,
ter a priori um conhecimento das linhas de campo de B.
no caso de campos criados por correntes estacionárias.
Mais importante para os desenvolvimentos é a sua expressão numa forma diferencial.
Para isso usamos a identificação
Z
X
Iα →
J~ · ~n dS ,
(2.59)
S
α
e o teorema de Stokes
I
Γ
~ · d~` =
B
Z
S
~ ×B
~ · ~n dS ,
∇
(2.60)
96
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
para escrevermos
Z
S
~ ×B
~ · ~n dS = µ0
∇
o que implica necessariamente
Z
S
J~ · ~n dS ,
~ ×B
~ = µ0 J~ ,
∇
(2.61)
(2.62)
que é uma das equações fundamentais da magnetostática. Tem o mesmo carácter que †
~
~ ·E
~ = 1 ρ, mostrando que são as correntes as fontes do campo B.
∇
0
Exemplo 2.5 Voltemos ao problema do fio rectilı́neo muito comprido já resolvido no
~ escolhemos para contorno
Exemplo 2.1. Como conhecemos as linhas de campo de B,
uma circunferência de raio r, conforme indicado na Fig. 2.14.
I
r
Γ
PSfrag replacements
~ dum fio infinito percorrido por uma corrente I.
Figura 2.14: Campo B
Da lei de Ampère resulta
I
Γ
~ · d~` = µ0 I .
B
(2.63)
~ = constante sobre Γ, o
Como o sentido do campo é paralelo ao deslocamento d~` e |B|
integral faz-se facilmente:
~
~ = µ0 I ,
|B|2πr
= µ0 I → |B|
2π r
(2.64)
em acordo com o Exemplo 2.1.
† Para
tornar mais claro o carácter vectorial ou escalar das equações, usaremos sempre que for conveniente
~ .
para os operadores gradiente, divergência e rotacional as suas expressões em termos do operador ∇
2.5. AS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA MAGNETOSTÁTICA.
97
~ no interior dum solenóide com n espiras por unidade de
Exemplo 2.6 Cálculo de B
~ é nulo fora e
comprimento, supondo o solenóide muito longo. Nesta aproximação B
constante no interior, com as linhas de campo paralelas ao eixo do solenóide. Tomaremos estes factos como de origem experimental, muito embora possam ser provados
teoricamente a partir da lei de Biot-Savart, para um solenóide teoricamente infinito.
Assim, é conveniente escolhermos o contorno Γ indicado na Fig. 2.15, onde o solenóide
é apresentado em corte.
I
Γ
~
~ B
B
I
l
PSfrag replacements
~ num solenóide.
Figura 2.15: Campo B
Então,
e
I
Γ
~ · d~` = µ0 n Il
B
~ l = µ0 n I l → |B|
~ = µ0 n I .
|B|
(2.65)
(2.66)
~ uniPoder-se-á perguntar em que condições a aproximação feita no exemplo anterior, B
~
forme segundo z no interior e B nulo no exterior, é uma boa aproximação. A resposta tem
que ver com a razão L/R entre o comprimento L e o raio R do solenóide, como é estudado
nos Problemas 2.32 e 2.33. A resposta pode ser visualizada graficamente na Fig. 2.16. Vemos que para L/R & 6 a aproximação já é bastante boa. Nas figuras, as rectas a tracejado
representam as extremidades do solenóide. Para L/R = 20 a aproximação já é quase exacta.
2.5
2.5.1
As equações fundamentais da magnetostática.
O potencial vector
Dissemos anteriormente que toda a fı́sica da magnetostática está incluı́da na lei de BiotSavart, em particular que a lei de Ampère podia ser dela deduzida. Vamos agora mostrar
98
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
Bz 1.2
Bz1.0
20
20
6
5
0.8
2
0.5
0.4
2
PSfrag replacements
0.0
-1.5
5
20
0.0
2
PSfrag replacements
-1.0
-0.5
0.0
1.0
0.5
0
1.5
1
2
z/L
3
4
x/R
Figura 2.16: Campo Bz do solenóide em unidades de µ0 nI. Na figura da esquerda está
representado o campo Bz sobre o eixo do solenóide em função de z/L, para L/R = 2, 6, 20.
Na figura da direita está representado o campo Bz num plano perpendicular ao eixo do
solenóide passando pelo seu centro (z = 0), em função da distância ao eixo, x/R, para
L/R = 2, 5, 20. As linhas a tracejado representam as extremidades do solenóide.
isso. Para uma distribuição de corrente J~ em volume, Fig. 2.17, a lei de Biot-Savart escrevese:
~ r) =
B(~
µ0
4π
Z
µ0
= −
4π
=
Usando
~ ~r
∇
podemos escrever
~ r~0 )
J(
|~r − r~0 |
!
=
µ0
4π
Z
~ r~0 ) × (~r − r~0 )
J(
dV
|~r − ~r0 |3
V
Z
V
V
~ r~0 ) × ∇
~ ~0
J(
r
~ r~0 ) × ∇
~ ~r
J(
dV
|~r − r~0 |
!
1
dV .
|~r − r~0 |
1
~ ~r × J(
~ r~0 ) +∇
~ ~r
∇
|~r − r~0 | | {z }
~ r) = ∇
~ ×
B(~
=0
µ0
4π
Z
V
!
1
1
|~r − r~0 |
~ r~0 )
J(
dV
|~r − r~0 |
!
.
!
~ r~0 ) ,
× J(
(2.67)
(2.68)
(2.69)
2.5. AS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA MAGNETOSTÁTICA.
99
z
PSfrag replacements
dV
J~
~r − r~0
P
r~0
~r
y
x
~ criado por uma distribuição de correntes J.
~
Figura 2.17: Campo B
~:
À quantidade dentro dos parênteses dá-se o nome de potencial vector A
Z
~ r~0 )
J(
~ r ) = µ0
dV .
A(~
4π V |~r − r~0 |
Logo
2.5.2
~ =∇
~ ×A
~.
B
(2.70)
(2.71)
~
Unicidade de A
~ não é único. De facto, se escrevermos A
~0 = A
~ + ∇X
~
O potencial vector A
sendo X uma
0
~
~
~:
função arbitrária das coordenadas, obtemos o mesmo campo B com A ou com A
~ ×A
~0 = ∇
~ ×A
~ +∇
~ × (∇X)
~
~ ×A
~,
∇
=∇
| {z }
(2.72)
=0
uma vez que o rotacional dum gradiente é identicamente zero. Notar que algo de parecido
já se passava em electrostática, onde o potencial φ não é único: φ e φ 0 = φ + k, onde k é
~ Veremos no capı́tulo seguinte que estes dois
uma constante, produzem o mesmo campo E.
resultados estão relacionados.
~ para o definir da forma mais conveniente.
Podemos aproveitar esta não-unicidade de A
~ é fixo (é o campo B
~ que tem significado fı́sico), temos liberdade
Dado que o rotacional de A
~ ·A
~ (a este processo chama-se escolher um padrão ou uma gauge ). É isso o
em escolher ∇
que implicitamente fizemos ao escrever
~ r ) = µ0
A(~
4π
Z
V
~ r~0 )
J(
dV ,
|~r − r~0 |
(2.73)
100
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
como se pode verificar facilmente no seguinte exemplo.
~ corresponde a impor
Exemplo 2.7 Mostremos que a escolha da Eq. (2.70) para A
~ ·A
~ = 0. Para isso calculamos directamente a divergência da Eq. (2.73). Obtemos
∇
~ ~r · A(~
~ r)
∇
!
~ r~0 )
J(
dV
=
|~r − r~0 |
V
!
Z
µ0
1
~ r~0 ) dV
~ ~r
=
· J(
∇
4π V
|~r − r~0 |
!
Z
µ0
1
~
~ r~0 ) dV .
= −
∇ ~0
· J(
4π V r |~r − r~0 |
Z
µ0
4π
~ ~r ·
∇
(2.74)
Se usarmos agora o resultado (ver também a Eq. (2.10))
~ ~0 ·
∇
r
~ r~0 )
J(
|~r − r~0 |
!
=
1
1
~ ~0
~ ~0 · J(
~ r~0 ) +∇
∇
r
r
|~r − r~0 | | {z }
=0
1
~ ~0
= ∇
r
|~r − r~0 |
!
|~r − r~0 |
~ r~0 ) ,
· J(
!
~ r~0 )
· J(
(2.75)
podemos escrever
~ ·A
~ = − µ0
∇
4π
Z
µ0
4π
Z
= −
= 0,
V
S
~ ~0 ·
∇
r
~ r~0 )
J(
|~r − r~0 |
!
dV
~ r~0 ) · ~n
J(
dS
|~r − r~0 |
(2.76)
onde a última igualdade resulta de a superfı́cie S limitar o volume que contém as
correntes e, sobre S, devermos ter J~ · ~n = 0 (o que quer dizer que as correntes não
saem para fora de S).
2.5. AS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA MAGNETOSTÁTICA.
101
~
Em resumo, em magnetostática é possı́vel definir um campo auxiliar, o potencial vector A,
~
que é determinado a partir da distribuição de correntes, Eq. (2.70), e do qual o campo B fı́sico
pode ser obtido por aplicação dum operador vectorial diferencial, o rotacional Eq. (2.71).
O carácter vectorial da equação Eq. (2.70) torna os problemas em magnetostática mais
complicados do que em electrostática. É contudo verdade que a aplicação das Eqs. (2.70) e
(2.71) é, para a maioria dos problemas, mais simples do que a lei de Biot-Savart, Eq. (2.33).
Na Eq. (2.70) é admitido que a densidade de corrente J~ está distribuı́da em volume.
Contudo para alguns problemas poderá ser útil pensar em distribuições em superfı́cie ou em
~
linha. Para o caso da distribuição em superfı́cie usamos a substituição JdV
→ J~S dS para
escrever
Z
J~S (r~0 )
~ r ) = µ0
A(~
dS .
(2.77)
4π S |~r − r~0 |
~
Para correntes em fios, a substituição a fazer é JdV
→ Id~`, e
~ r ) = µ0 I
A(~
4π
I
fio
d~`
.
|~r − r~0 |
(2.78)
~ para uma corrente filiforme I, rectilı́nea
Exemplo 2.8 Calcular o potencial vector A
~
~
e infinita e obter B = ∇ × A.
Tratando-se de condutores filiformes, usamos a Eq. (2.78).
Fig. 2.9 temos d~` = dz ~ez e
Ax
Az
= Ay = 0
Z +∞
dz
µ0
√
I
=
2 + R2
4π
z
−∞
Z +∞
µ0
dz
√
I
=
2
2π
z + R2
0
=
Az = −
p
Com a geometria da
h
i∞
p
µ0
I ln (z + z 2 + R2 ) ,
2π
0
µ0
I ln (x2 + y 2 ) + constante ,
π
(2.79)
(2.80)
onde se usou R = x2 + y 2 . A constante é de facto infinita (devido ao comprimento
~ pois este é obtido através de
infinito do fio), mas é irrelevante para o cálculo de B,
~ As derivadas de A
~ diferentes de zero são então
derivadas de A.
102
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
∂Az
∂x
= −
µ0
x
I 2
2π
x + y2
∂Az
∂y
= −
µ0
y
I 2
.
2π
x + y2
(2.81)
Usando estes resultados:
∂Az
∂Ay
µ0
y
−
=−
I 2
∂y
∂z
2π
x + y2
Bx
~ × A)
~ x=
= (∇
By
x
~ × A)
~ y = ∂Ax − ∂Az = µ0 I
= (∇
∂z
∂x
2π
x2 + y 2
Bz
~ × A)
~ z=
= (∇
∂Ax
∂Ay
−
=0,
∂x
∂y
(2.82)
o que se pode escrever (ver Exemplo 2.1)
~ = µ0 I ~eϕ .
B
2π R
(2.83)
Antes de acabarmos este exemplo, chamamos a atenção para o facto de podermos ve~ ·A
~ = 0. Como Ax = Ay = 0, basta notar que
rificar directamente que, neste caso, ∇
∂Az
∂z = 0.
Exemplo 2.9 Calculemos agora o potencial vector dum fio infinito de raio a percorrido por uma corrente I uniforme na secção.
~ através da sua definição, Eq. (2.70), é muito complicado (ver ProO cálculo de A
~ obtido através da lei de Ampère (ver
blema 2.17). Vamos usar o conhecimento de B,
~ O campo B
~ = Bϕ ~eϕ é
Problema 2.18), e o teorema de Stokes para determinar A.
dado por
Bϕ
=
Bϕ
=
µ0
r
I 2,
2π
a
1
µ0
I ,
2π
r
r<a
r>a .
(2.84)
Consideremos o contorno Γ indicado na Fig. 2.18. Apliquemos o teorema de Stokes:
I
Z
~ · d~` = B
~ · ~n dS .
A
(2.85)
103
2.5. AS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA MAGNETOSTÁTICA.
z
Γ
PSfrag replacements
J~
h
a
r
Figura 2.18: Fio de raio a percorrido por uma corrente uniforme.
No exterior:
h Az (r) − Az (0)
= −h
Z
a
Bint dr +
0
Z
r
Bext dr
a
r µ0
1
= h
I − − ln
2π
2
a
(2.86)
e no interior (contorno Γ todo no interior do fio)
Az (r) − Az (0) =
1 r2
µ0
I −
.
2π
2 a2
(2.87)
O valor de Az (0) é, no caso dum fio infinito, uma constante arbitrária (de facto,
infinita, ver Problema 2.17). Podemos, pois, escrever
Az
=
Az
=
r 1
µ0
I C − − ln
2π
2
a
µ0
1 r2
I C−
2π
2 a2
r>a
r<a,
(2.88)
onde C é uma constante arbitrária. É agora um exercı́cio simples verificar que se
~ através de B
~ =∇
~ × A.
~
obtém o campo B
104
2.5.3
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
Dedução da lei de Ampère
~ × B.
~ Estamos
Deduzimos atrás que a lei de Ampère na sua forma diferencial envolvia o ∇
agora em posição de mostrar que esta lei pode ser obtida a partir da lei de Biot-Savart.
Usando uma identidade do cálculo vectorial diferencial, podemos escrever
~ ×B
~ =∇
~ × (∇
~ × A)
~ = ∇(
~ ∇
~ · A)
~ − ∇2 A
~ = −∇2 A
~
∇
(2.89)
~ ·A
~ = 0; ∇
~ ×B
~ fica determinado se conhecermos ∇2 A.
~
onde na última igualdade se usou ∇
Este pode ser calculado por analogia com a electrostática. Vimos que
Ax (~r) =
µ0
4π
Z
V
Jx (r~0 )
dV ,
|~r − r~0 |
(2.90)
e equações semelhantes para Ay e Az .
Por outro lado, em electrostática, o potencial escalar φ é dado por
φ=
1
4π0
Z
V
ρ(r~0 )
dV
|~r − r~0 |
(2.91)
e satisfaz a equação de Poisson:
ρ
.
0
(2.92)
ρ
→ µ 0 Jx ,
0
(2.93)
∇2 Ax = −µ0 Jx ,
(2.94)
~ = −µ0 J~ ,
∇2 A
(2.95)
~ ×B
~ = µ0 J~ ,
∇
(2.96)
∇2 φ = −
Na magnetostática
logo, matematicamente,
e igualmente para Ay e Az . Ou seja
e por substituição na Eq. (2.89):
que é a forma diferencial da lei de Ampère, Eq. (2.62), tal como querı́amos mostrar.
105
2.6. FLUXO MAGNÉTICO. COEFICIENTES DE INDUÇÃO
2.5.4
~ As equações da magnetostática
A divergência de B.
~ deverá
Se a lei de Biot-Savart contém toda a informação (em magnetostática) sobre B,
também dizer qual a sua divergência, pois um campo vectorial só fica completamente determinado, conhecidos a sua divergência e o seu rotacional.
Como
imediatamente se conclui que
~ =∇
~ × A,
~
B
(2.97)
~ ·B
~ =0,
∇
(2.98)
~ · (∇
~ × C)
~ ≡ 0 para qualquer campo vectorial C.
~ Esta equação, se a compararmos
pois ∇
~
~
com ∇ · E = ρ/0 , diz-nos que não há cargas magnéticas (monopolos), o que é um resultado
experimental bem conhecido.
Podemos agora resumir as equações da magnetostática na ausência de substâncias magnéticas:

























~ ×B
~ = µ0 J~
∇
~ ·B
~ =0
∇
~ =∇
~ ×A
~
B
Z
~ r~0 )
µ0
J(
~
A=
dV
4π V |~r − r~0 |
(2.99)
~ ·A
~ = 0) ,
(∇
~ · J~ = 0 (corrente estacionária).
e ainda ∇
2.6
2.6.1
Fluxo magnético. Coeficientes de indução
Fluxo magnético Φ
Define-se fluxo magnético através duma superfı́cie aberta S (ver Fig. 2.19), como sendo
Φ =
=
Z
Z
S
~ · ~n dS
B
S
~ ×A
~ · ~n dS
∇
106
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
PSfrag replacements
~n
S
~
B
dS
Γ
~ através da superfı́cie aberta S.
Figura 2.19: Cálculo do fluxo de B
I
=
Γ
~ · d~` ,
A
(2.100)
~ ·B
~ = 0 pode-se mostrar
onde se usaram a Eq. (2.71) e o teorema de Stokes. A partir de ∇
que o fluxo é independente da superfı́cie S, desde que esta se apoie sobre o mesmo contorno
Γ. No SI, o fluxo magnético exprime-se em weber (Wb).
2.6.2
Coeficientes da indução
Suponhamos que temos n circuitos Γα percorridos por correntes Iα . O fluxo que atravessa o
circuito α é
Φα =
I
Γα
~ · d~`α =
A
n I
X
β=1
Γα
~ β (~rα ) · d~`α .
A
(2.101)
Mas da Eq. (2.78), para o caso de circuitos filiformes, temos
~ β (~rα ) = µ0 Iβ
A
4π
I
µ0
4π
I
Γβ
d~`β
,
|~rα − ~rβ |
(2.102)
ou seja:
Φα
=
X
β
≡
X
Iβ
Γβ
I
Γα
Lαβ Iβ ,
β
onde os coeficientes de indução Lαβ são definidos por
d~`α · d~`β
|~rα − ~rβ |
(2.103)
2.6. FLUXO MAGNÉTICO. COEFICIENTES DE INDUÇÃO
Lαβ ≡
µ0
4π
I
Γα
I
Γβ
d~`α · d~`β
.
|~rα − ~rβ |
107
(2.104)
Da própria definição, Eq. (2.104), resulta que os coeficientes de indução são simétricos, isto é,
Lαβ = Lβα . Quando α = β, os coeficientes são designados por coeficientes de auto-indução;
quando α 6= β, por coeficientes de indução mútua.
Exemplo 2.10 Cálculo do coeficiente de auto-indução L = L11 duma bobina de
comprimento l, N espiras e com secção transversal de área A.
I
l
PSfrag replacements
I
Figura 2.20: Bobina de comprimento l.
No caso de a bobina ser suficientemente longa, podemos usar o resultado já obtido para
o solenóide no Exemplo 2.6:
B = µ0 n I ,
(2.105)
donde resulta o fluxo por espira:
~ A = µ0 n I A .
Φespira = |B|
(2.106)
Φtotal = µ0 niAN = (µ0 n2 Al)I,
(2.107)
Com N = n l espiras,
o que, comparando com a Eq. (2.103) para o caso de um circuito, dá
L = µ0 n2 Al.
(2.108)
Exemplo 2.11 Coeficiente de indução mútua M ≡ L12 = L21 para duas bobinas
coaxiais, com espiras com a mesma secção transversal e a disposição da Fig. 2.21. N 1
e N2 representam o número de espiras das bobinas 1 e 2.
108
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
I 1 , N1
PSfrag replacements
l2
l1
I 2 , N2
Figura 2.21: Coeficiente de indução mútua entre dois enrolamentos.
Partindo da definição, Eq. (2.103), M poderá ser obtido calculando o fluxo que atravessa a bobina 2 devido à corrente I1 na bobina 1. Obtemos
Φ2 = (µ0 n1 I1 )AN2 = (µ0 n1 AN2 )I1 .
(2.109)
Logo,
M = µ0 A
2.7
2.7.1
N1 N2
.
l1
(2.110)
Dipolo magnético
O potencial e campo do dipolo magnético
~ ·B
~ = 0) resulta que, se tivermos uma distribuição
Da não existência de cargas magnéticas (∇
~ (ou,
de correntes localizada numa região do espaço e estivermos a observar o campo B
~ a grande distância, o primeiro termo no desenvolvimento
equivalentemente, o potencial A)
P
multipolar deverá ser o do dipolo (tal como no caso da electrostática quando i Qi = 0).
Vamos ver que assim é, para um caso particular, para não dificultar os cálculos. Os resultados
são contudo gerais.
~ no ponto
Consideremos um anel circular de corrente I, de raio a. Calculemos o campo B
~
~r, tal que r a, Fig. 2.22. Para isso, comecemos por determinar A:
~ r ) = µ0 I
A(~
4π
Se |~r| |r~0 | = a, então
I
d~`
.
|~r − r~0 |
(2.111)
109
2.7. DIPOLO MAGNÉTICO
PSfrag replacements
z
θ ~r
a
I
y
ϕ0
x
ϕ
d~`
Figura 2.22: Dipolo magnético.
1
'
|~r − r~0 |
1
1
+ 2 ~er · r~0 .
r
r
~
Substituindo na expressão para A:
I
I
µ0 I
µ0 I
~
~
(r~0 · ~er )d~` ,
d` +
A'
4π r
4π r2
(2.112)
(2.113)
onde
d~` = (− sin ϕ0~ex + cos ϕ0~ey ) a dϕ0
(2.114)
d~` (~er .r~0 ) = a2 dϕ0 sin θ cos(ϕ − ϕ0 )(− sin ϕ0~ex + cos ϕ0~ey ) .
(2.115)
e
Usando os resultados
Z
2π
0
sin ϕ dϕ =
0
Z
Z
deduz-se que
0
2π
0
2π
0
Z
2π
cosϕ0 dϕ0 = 0 ,
0
cos(ϕ − ϕ0 ) sin ϕ0 dϕ0 = π cos ϕ ,
cos(ϕ − ϕ0 ) cos ϕ0 dϕ0 = π sin ϕ ,
(2.116)
110
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
I
I
d~` = 0
e
(~er .r~0 )d~` = πa2 sin θ (− sin ϕ~ex + cos ϕ~ey )
(2.117)
= πa2 sin θ ~eϕ ,
ou seja
2
~ = µ0 I πa sin θ ~eϕ .
A
4π
r2
(2.118)
Definindo o momento magnético m
~ por
m
~ = I(πa2 )~ez ,
(2.119)
podemos escrever para o potencial vector do dipolo magnético
~ × ~er
~ = µ0 m
A
.
4π
r2
(2.120)
A Eq. (2.120) foi obtida para o caso dum anel circular, mas pode-se mostrar que continua
válida com a definição para o momento magnético
m
~ = I A ~n ,
(2.121)
onde A é a área do anel de corrente e os sentidos de I e de ~n estão relacionados pela regra
do saca-rolhas.
Notas:
~ varia com 1/r 2 , o que é caracterı́stico do dipolo. É
(i) Da Eq. (2.120) resulta que A
instrutivo comparar com a expressão do potencial escalar do dipolo eléctrico, Eq. (1.29).
(ii) O termo em r1 anulou-se, consequência da não existência de cargas magnéticas.
No caso de uma distribuição de cargas eléctricas, o primeiro termo do desenvolvimento
multipolar é dado por
P
1
i Qi
φ=
.
(2.122)
4π0
r
111
2.7. DIPOLO MAGNÉTICO
~ =∇
~ ×A
~ é dado por
(iii) Pode-se mostrar que o campo B
~ · ~er )~er − m
~
~ = µ0 3 (m
,
B
4π
r3
(2.123)
~ do dipolo eléctrico, Eq. (1.31), se fizermos as
que é análoga à expressão do campo E
substituições
p
~→m
~ ,
(2.124)
e
2.7.2
µ0
1
→
.
4π0
4π
(2.125)
Acção dum campo magnético uniforme sobre um dipolo magnético.
~ exterior tende a alinhar-se
Em electrostática um dipolo eléctrico colocado num campo E
com a direcção do campo. Algo de semelhante ocorre em magnetostática. Vejamos o que se
passa com uma espira rectangular percorrida por uma corrente I sob a acção de um campo
~ = B~ez , uniforme na região ocupada pela espira (Fig. 2.23). As forças de Laplace-Lorentz
B
exercidas sobre os lados da espira são, em módulo, dadas por
~
|F~1 | = |F~2 | = Ib|B|
~ cos θ ,
|F~3 | = |F~4 | = Ia|B|
(2.126)
sendo a e b os lados da espira, paralelos, respectivamente, aos planos xz e yz, conforme se
indica na Fig. 2.23.
O momento do binário é, em módulo,
~ | = Iab sin θ|B|
~
|N
~ ,
= |m|
~ sin θ|B|
(2.127)
o que, tendo em conta o sentido, se pode escrever
~ =m
~ ,
N
~ ×B
(2.128)
fórmula que é geral e se aplica a uma espira qualquer de momento m.
~
A espira de corrente tende a orientar-se de forma a que a normal fique paralela ao campo
~ exterior. Como o sentido da normal é o sentido de m,
B
~ o momento magnético vai alinhar-se
~ como querı́amos mostrar.
com B,
112
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
PSfrag replacements
z
F~1
~
B
I
a
θ
~
N
~n
x
F~2
I
Figura 2.23: Momento das forças actuando sobre um dipolo magnético.
2.8
2.8.1
Substâncias magnéticas. Vector campo magnético
~
Vector magnetização M
O magnetismo da matéria é devido aos momentos magnéticos associados com as correntes
microscópicas postuladas por Ampère, mesmo antes de se ter um conhecimento da estrutura
da matéria. Hoje sabe-se que essas correntes são devidas aos electrões dos átomos. Ao nı́vel
microscópico há grandes variações, mas ao nı́vel macroscópico, em que estamos interessados,
podemos, com grande aproximação, descrever os materiais magnéticos através do vector
~ , que é o momento dipolar por unidade de volume
magnetização M
~
~ = dm
,
(2.129)
M
dV
onde dm
~ é o momento magnético elementar existente no volume dV . No sistema SI, a
~ é o ampere por metro (A/m). Vamos fazer no que se segue um
unidade da magnetização M
tratamento paralelo ao feito para os dieléctricos.
2.8.2
Correntes de magnetização
~ É a relação entre
Quando um corpo está magnetizado, irá dar origem a um certo campo B.
~ e B
~ que estamos aqui interessados em encontrar. É mais fácil, no entanto, encontrar
M
~ originado por uma magnetização M
~.
primeiro o potencial vector A
~ é dado por (ver
Sabemos que, para um dipolo magnético elementar dm,
~ o vector dA
Eq. (2.120))
~ × e~r
~ = µ0 dm
,
(2.130)
dA
4π
r2
2.8. SUBSTÂNCIAS MAGNÉTICAS. VECTOR CAMPO MAGNÉTICO
113
~ Tomemos
onde r é a distância entre a posição do dipolo e o ponto onde estamos a calcular A.
0
0
o elemento de volume dV centrado no ponto P de coordenadas ~r . O momento magnético
~ r~0 )dV . Então, o potencial vector elementar dA
~ no ponto P será (ver
elementar será dm
~ = M(
Fig. 2.24)
~ ~0
~ r ) = µ0 M(r ) × ~er dV .
(2.131)
dA(~
4π |~r − r~0 |2
z
PSfrag replacements
dV
~
M
r~0
~r − r~0
P
~r
y
x
~ criado por uma magnetização em volume M
~.
Figura 2.24: Potencial vector A
O potencial vector no ponto P, devido a um certo volume de substância magnetizada com
~ , virá
magnetização M
Z
~ r~0 ) × ~er
M(
~ r ) = µ0
A(~
dV .
(2.132)
4π V |~r − r~0 |2
~ sabendo M
~ . Para o desenvolvimento da teoria é, contudo,
A Eq. (2.132) permite calcular A,
conveniente descrever os efeitos da magnetização em termos de novas correntes, ditas correntes de magnetização, a somar às correntes de condução estudadas até aqui. Esta filosofia é em
tudo semelhante ao que se fez no estudo dos dieléctricos, onde, em vez do vector polarização
P~ , se introduziram as cargas de polarização (ver Eq. (1.151)). Neste contexto, o potencial
~ devido a um volume de material com magnetização M
~ pode ser escrito na forma
vector A
~ r ) = µ0
A(~
4π
Z
V
Z
~ ~0 × M
~ (r~0 )
~ (r~0 ) × ~n
∇
M
µ0
r
dV +
dS ,
4π S |~r − r~0 |
|~r − r~0 |
(2.133)
onde, como habitualmente, S é a superfı́cie que limita o volume V , e ~n é a normal apontando
para fora de V .
114
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
De facto, partindo da Eq. (2.132) obtemos
µ0
4π
~ r) =
A(~
Z
µ0
= −
4π
µ0
4π
=
Z
~ (r~0 ) × e~r
M
dV
|~r − r~0 |2
V
Z
V
V
~ (r~0 ) × ∇
~ ~r
M
~ (r~0 ) × ∇
~ ~0
M
r
1
!
dV
|~r − r~0 |
!
1
dV .
|~r − r~0 |
(2.134)
Da expressão
~ ~0
∇
r
~ (r~0 )
M
|~r − r~0 |
!
~ ~0 × M
~ (r~0 )
∇
~ ~0
+∇
= r
r
|~r − r~0 |
1
|~r − r~0 |
!
~ (r~0 ) ,
×M
(2.135)
a Eq. (2.134) pode ser reescrita na forma
~ r) =
A(~
=
µ0
4π
Z
µ0
4π
Z
onde se aplicou a relação
V
V
Z
~ ~0 × M
~ (r~0 )
∇
µ0
r
~ ~0 ×
dV −
∇
4π V r
|~r − r~0 |
~ (r~0 )
M
|~r − r~0 |
!
Z
~ ~0 × M
~ (r~0 )
~ (r~0 ) × ~n
∇
µ0
M
r
dV +
dS ,
4π S |~r − r~0 |
|~r − r~0 |
Z
V
~ × MdV
~
∇
=
Z
S
~ dS .
~n × M
dV
(2.136)
(2.137)
Comparando com as Eqs. (2.70) e (2.77), deduz-se que o efeito da magnetização pode ser
traduzido pelo aparecimento de correntes de magnetização em volume, J~0 , e em superfı́cie,
J~0 S , definidas por
(
~ ×M
~
J~0 = ∇
(2.138)
~ × ~n .
J~S0 = M
Para compreendermos a origem fı́sica destas correntes, vamos começar por considerar o
~ . Então da Eq. (2.138) concluı́mos que existem só correntes
caso de magnetização constante M
0
~ ×M
~ = J~ = 0. Seja uma barra cilı́ndrica com magnetização constante
superficiais, pois ∇
~ paralela ao eixo do cilindro. Se a barra tem magnetização constante, quer dizer que os
M
dipolos magnéticos equivalentes às correntes eléctricas atómicas apontam todos na mesma
~ (ver Fig. 2.25). É fácil
direcção, isto é, as correntes existem em planos perpendiculares a M
2.8. SUBSTÂNCIAS MAGNÉTICAS. VECTOR CAMPO MAGNÉTICO
115
de ver que, no interior do volume, os efeitos das correntes cancelam-se, enquanto que na
superfı́cie o efeito é aditivo. Aı́ todas as correntes têm o mesmo sentido (relacionado com
~ pela regra do saca-rolhas) e obtemos uma corrente superficial diferente de
o sentido de M
zero.
~ O momento magnético total duma barra cilı́ndrica de
Relacionemos agora J~0 S com M.
2
~
raio R e altura L é |M |πR L. Por outro lado, em termos da intensidade de corrente I,
definida por
Z b
J~S0 · ~eϕ d` = |J~S0 | L ,
(2.139)
I=
a
L
PSfrag replacements
2R
~ constante.
Figura 2.25: Correntes de magnetização numa barra com M
o momento magnético total deverá ser iπR 2 . Portanto:
2
~
IπR2 = |M|πR
L
(2.140)
~|= I ,
|M
L
(2.141)
ou
o que, comparando com a Eq. (2.139), dá
~ | = |J~S0 | .
|M
Tendo em conta a Fig. 2.25, é fácil ver que o sentido correcto é dado por
(2.142)
116
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
~ × ~n ,
J~S0 = M
(2.143)
onde ~n é a normal exterior. A última expressão é exactamente a Eq. (2.138) para a densidade
de corrente superficial.
Notas
(i) Da explicação anterior resulta claramente a equivalência, em termos práticos,
entre um ı́man e um solenóide.
(ii) Estes resultados devem ser comparados com os obtidos para os dieléctricos

~ · P~
 ρ0 = − ∇

(2.144)
σ 0 = P~ · ~n .
Para terminar esta secção, expliquemos em termos simples o que se passa quando a
~ através dum
magnetização não é uniforme, isto é, porque é que J~0 está relacionada com M
rotacional.
~ e as correntes de magnetização
Relação entre M
Demonstrámos anteriormente a relação entre a magnetização e as chamadas correntes de
magnetização. Na Secção 2.8.2 foi dada uma explicação simples das correntes superficiais, que
são as únicas que aparecem para o caso de magnetização constante. Vamos aqui apresentar
um argumento simples para explicar porque se tem
~ ×M
~ ,
J~0 = ∇
(2.145)
no caso duma magnetização não uniforme. Para simplificar o raciocı́nio, vamos dividir o
volume em paralelepı́pedos elementares, com magnetização uniforme em cada volume elementar. Comecemos por considerar o caso em que a magnetização é paralela ao eixo z:
~ = Mz ~ez
M
(2.146)
e tomemos dois paralelepı́pedos centrados em y e y + ∆y, como se indica na Fig. 2.26.
Calculemos a componente Jx0 .
Na superfı́cie de separação entre os dois paralelepı́pedos a corrente é paralela ao eixo x e
é dada por
Ix
= I2 − I1 = JS0 2 − JS0 1
x
∆z
2.8. SUBSTÂNCIAS MAGNÉTICAS. VECTOR CAMPO MAGNÉTICO
117
PSfrag replacements
z
I1
∆z
y
I1
∆x
x
I2
I2
∆y
Figura 2.26: Corrente de magnetização Jx0 devida a Mz .
= [Mz (y + ∆y) − Mz (y)] ∆z
(2.147)
(em cada paralelepı́pedo só há correntes superficiais nos lados paralelos aos eixo z), que
podemos reescrever na forma
∂Mz
Ix =
∆y ∆z ;
(2.148)
∂y
a densidade de corrente segundo x vem:
Jx0 =
Se tivéssemos tomado
∂Mz
Ix
=
.
∆y ∆z
∂y
~ = My ~ey ,
M
(2.149)
(2.150)
terı́amos a situação da Fig. 2.27, e
Ix
= Jx0 ∆y ∆z
= I1 − I2
= [My (z) − My (z + ∆z)] ∆y
= −
∂My
∆y ∆z ,
∂z
(2.151)
∂My
.
∂z
(2.152)
donde resulta
Jx0 = −
118
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
z
I2
I2
I1
PSfrag replacements
I1
y
x
Figura 2.27: Corrente de magnetização Jx0 devida a My .
~ = Mx ~ex , não há componente segundo o eixo x, como se indica na Fig. 2.28. No
Se for M
~ = Mx ~ex + My ~ey + Mz ~ez e a contribuição para Jx0 é
caso geral, M
∂Mz
∂My
~ ×M
~
Jx0 =
−
= ∇
,
(2.153)
∂y
∂z
x
~ × M.
~ De igual modo
mostrando que Jx0 está relacionada com a componente segundo x do ∇
0
0
se analisariam as componentes Jy e Jz , com o resultado final
~ ×M
~ ,
J~0 = ∇
(2.154)
de acordo com a Eq. (2.138).
2.8.3
~
Vector campo magnético H
Sabemos que as correntes são as fontes do campo magnético, o que se exprime por meio da
equação
~ ×B
~ = µ0 J~ .
∇
(2.155)
No caso de termos substâncias magnéticas, além das correntes atrás consideradas (de con~ tem por fontes todas as
dução), também temos correntes de magnetização J~0 . O campo B
correntes, pelo que a equação anterior deve ser modificada:
2.8. SUBSTÂNCIAS MAGNÉTICAS. VECTOR CAMPO MAGNÉTICO
119
z
I
PSfrag replacements
y
I
x
Figura 2.28: Não há corrente de magnetização Jx0 devida a Mx .
ou ainda
~ ×M
~ ,
~ ×B
~ = µ0 J~ + J~0 = µ0 J~ + ∇
∇
~
B
~
−M
µ0
~ ×
∇
!
= J~ .
(2.156)
(2.157)
~
Introduzindo o vector campo magnético H:
~
~ ≡ B −M
~ ,
H
µ0
(2.158)
podemos escrever a lei de Ampère na forma
~ ×H
~ = J~ ,
∇
a que corresponde a sua representação integral
I
X
~ ~` =
H.d
Iα .
Γ
(2.159)
(2.160)
α
~ inclui já a informação sobre os meios magnéticos. Normalmente, a Eq. (2.158)
O vector H
~
escreve-se em termos de B:
~ = µ 0 (H
~ + M).
~
B
(2.161)
~ eM
~ são as mesmas e, portanto, a unidade no SI é ampere
Note-se que as dimensões de H
por metro (A/m).
120
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
Mais uma vez é instrutivo comparar com o caso dos dieléctricos, onde
~ ·E
~ = 1 (ρ + ρ0 ),
∇
0
(2.162)
e
~ = 0 E
~ + P~
D
2.8.4
~ ·D
~ =ρ.
; ∇
(2.163)
Substâncias magnéticas
Tal como para os dieléctricos, há substâncias que não são isotrópicas do ponto de vista
magnético. Aqui vamos considerar principalmente as substâncias isotrópicas. Para estas é
possı́vel escrever
~ =M
~ 0 + χm H
~ ,
M
(2.164)
onde χm é a susceptibilidade magnética (sem dimensões).
• Substâncias diamagnéticas:
São caracterizadas por
~ 0 = 0 , χm < 0,
M
|χm | ∼ 10−6
(exemplos : Bi , Cu).
(2.165)
Nestas substâncias os átomos não possuem momentos magnéticos permanentes (isto
~ 0 = 0). Os momentos são induzidos quando da aplicação dum campo exterior.
é, M
Tendem a contrariar o campo exterior, e por isso χm < 0 (no capı́tulo seguinte compreenderemos melhor este fenómeno de indução). Existe em todas as substâncias e é
independente da temperatura.
• Substâncias paramagnéticas:
Neste caso,
~ 0 = 0 , χm > 0 ,
M
χm ∼ 10−6
(exemplo : Al) .
(2.166)
Nestas substâncias, os átomos têm dipolos magnéticos permanentes, mas orientados ao
~ 0 = 0. Quando se aplica um campo exterior, estes dipolos tendem
acaso, por isso, M
~ alinha-se com H;
~ daı́ que χm >
a alinhar-se segundo esse campo e, portanto, M
0. Depende da temperatura, pois a agitação térmica tende a contrariar o efeito de
alinhamento.
121
2.8. SUBSTÂNCIAS MAGNÉTICAS. VECTOR CAMPO MAGNÉTICO
• Substâncias ferromagnéticas:
Nestas substâncias (exemplos: Fe, Co), os átomos possuem momentos magnéticos permanentes que têm tendência a alinhar-se devido a forças de natureza quântica (designadas por forças de troca). Este alinhamento estende-se por muitas distâncias atómicas,
~ é diferente de zero, Fig. 2.29.
formando-se assim os domı́nios de Weiss, nos quais M
Figura 2.29: Domı́nios de Weiss.
~ total = Σ M
~ dominios = 0. A aplicação dum campo
Na ausência de campo exterior, M
exterior leva os momentos magnéticos dos diversos domı́nios a alinharem-se, até que
se atinja a saturação (todos alinhados). Quando se reduz o campo aplicado até zero,
~ 6= 0 (magnetismo residual). Isto pode ser pensado como o resultado
verifica-se que M
~ temos de aplicar um
duma espécie de atrito entre domı́nios de Weiss. Para anular M
campo de sentido contrário, campo coercivo. Para T > Tc (temperatura de Curie), as
caracterı́sticas ferromagnéticas desaparecem, e o meio torna-se paramagnético. Tudo
isto pode ser descrito por meio da curva de histerese representada na Fig. 2.30. Se H 1
B
Br
Ci = Curva de magnetização inicial
Hc = Campo coercivo
PSfrag replacements
Br = Indução residual
Hc
−H1
Ci
H1 H
Figura 2.30: Curva de magnetização.
na figura é suficientemente elevado, atinge-se a saturação e temos o ciclo limite. Por
122
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
exemplo, para o ferro pouco recozido: Br ' 1 T , Hc ' 60 A/m. Portanto, para os
~ eH
~ é não-linear e complicada. Na prática utilizamferromagnéticos, a relação entre B
se métodos gráficos.
2.8.5
Permeabilidade magnética
~ e
Para materiais isotrópicos e não-ferromagnéticos é possı́vel escrever uma relação entre M
~
H
Então,
~ = χm H
~ .
M
(2.167)
~ = µ 0 (H
~ + M)
~ = µ0 (1 + χm )H
~ ,
B
(2.168)
~ = µH
~ ,
B
(2.169)
µ = µ0 (1 + χm )
(2.170)
que escrevemos na forma
onde
é a permeabilidade magnética. Temos que
µ > µ0 nos materiais paramagnéticos
µ < µ0 nos materiais diamagnéticos .
(2.171)
A µr = µ/µ0 chamamos permeabilidade magnética relativa.
Para certos materiais ferromagnéticos é possı́vel ter ciclos de histerese muito fechados e
~ = µH.
~ Nestes casos podem ter-se µr = µ muito elevados
ter como boa aproximação B
µ0
(valores de 5000 são normais).
2.8.6
Condições fronteira
As condições na fronteira de separação entre dois meios com permeabilidades magnéticas
diferentes obtêm-se, de modo muito semelhante ao que fizemos em electrostática, a partir
~ ·B
~ =0e∇
~ ×H
~ = J.
~
das equações ∇
• Componentes normais
~ ·B
~ = 0, por aplicação do teorema de Gauss, obtemos
Da equação ∇
B n1 = B n2 ,
(2.172)
2.8. SUBSTÂNCIAS MAGNÉTICAS. VECTOR CAMPO MAGNÉTICO
123
~
à semelhança do que se passava na electrostática com as componentes normais de D
(no caso em que ρ = 0).
• Componentes tangenciais
~ ×H
~ = J,
~ vem por aplicação do teorema de Stokes
Da equação ∇
Ht1 − H t2 = J S .
(2.173)
No caso de não haver correntes na superfı́cie de separação teremos
Ht1 = H t2 ,
(2.174)
igualmente à semelhança do que se passava na electrostática com as componentes tan~
genciais de E.
~ no interior dum solenóide de comprimento (teoricamente)
Exemplo 2.12 Calcular H
infinito, com n espiras por unidade de comprimento, e percorrido pela corrente I.
Vamos usar as condições fronteira, sabendo que nesta aproximação o campo no exterior
é nulo.
1
I
~
H
2
I
PSfrag replacements
Figura 2.31: Campo no interior dum solenóide.
e, portanto,
B n2 = B n1 → B n1 = 0
(2.175)
Hn 1 = 0 .
(2.176)
Logo, o campo é paralelo ao eixo. Da Eq. (2.173) vem
Ht1 − H t2 = n I
(2.177)
Ht1 = n I .
(2.178)
ou
124
2.9
2.9.1
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
Energia do campo magnetostático
Expressão da energia em termos das correntes
A questão da energia em magnetostática é mais complicada do que em electrostática, devido
ao facto de não ser possı́vel trazer um circuito, no qual existe uma corrente estacionária,
~ sem ter de fornecer energia ao
desde o infinito até a uma região onde exista um campo B,
circuito para conservar a corrente estacionária. Isto deve-se a que uma variação do fluxo de
~ origina uma corrente induzida que vai alterar a corrente que existia anteriormente (ver a
B
lei de indução de Faraday no Capı́tulo 3). Assim, quando queremos estabelecer um sistema
de correntes, temos de contabilizar não só o trabalho realizado contra as forças de LaplaceLorentz, mas também a energia fornecida para manter as correntes estacionárias. O problema
da energia dum sistema de correntes é análogo ao problema da energia em electrostática a
potenciais constantes.
Comecemos por apresentar o resultado fundamental, sem demonstração. Esta é algo
complicada e será deixada para a secção seguinte. Mostra-se que a energia associada a um
sistema de correntes é
Umag =
I
n
X
1 X
1 X
~ · d~`α =
Lαβ Iα Iβ ,
Iα Φa =
Iα
A
2 α=1
2 α
Γα
(2.179)
αβ
onde se usou a relação (ver Eq. (2.100)):
Φα =
I
Γα
~ · d~`α .
A
~ , pelo que
Para correntes em volume, Id~` → JdV
Z
1
~ dV .
Umag =
J~ · A
2 V
Note-se que esta expressão é análoga à obtida em electrostática, Eq. (1.202)
Z
1
Uele =
ρφ dV ,
2 V
(2.180)
(2.181)
(2.182)
com as substituições

 ρ → J~

~.
φ→A
(2.183)
Esta analogia é bastante profunda, mas explorá-la está fora do âmbito deste livro (ver no
entanto o Capı́tulo 7).
125
2.9. ENERGIA DO CAMPO MAGNETOSTÁTICO
2.9.2
Energia de um sistema de correntes
Vamos nesta secção deduzir a Eq. (2.179), considerando sucessivamente todas as contribuições
para a energia magnética.
(i) Trabalho das forças de Laplace-Lorentz
Seja um sistema de n circuitos percorridos por correntes estacionárias iα . O elemento
d~`α fica sujeito à força
~ ,
dF~ = Iα (d~`α × B)
(2.184)
~ Calculemos o trabalho destas forças,
por se encontrar numa região onde existe um campo B.
quando deslocamos o circuito α duma distância d~r, mantendo as correntes constantes. Como
se explicou anteriormente, temos de fornecer energia ao sistema, para que isto aconteça. No
cálculo da energia magnética, esta energia também deverá figurar. Comecemos por calcular
somente o trabalho das forças do campo a correntes constantes:
I
~ · d~r.
dWα = Iα
(d~`α × B)
(2.185)
Γα
~ ·B
~ = 0 implica que o fluxo através de uma superfı́cie construı́da tendo como
A equação ∇
bases S e S 0 (ver Fig. 2.32)
PSfrag replacements
S
d~r
S0
d~lα
n~0
~n
~
Figura 2.32: Superfı́cie para o cálculo do fluxo de B.
é dado por
−
donde
Z
|
S
Z
Z
~ · ~nL dSL = 0 ,
~ · ~n0 dS +
~ · ~n dS +
B
B
B
SL
S0
{z
} |
{z
}
Φα
dΦα ≡
Usando
Z
Φ0α
Φ0α
~nL dSL =
SL
(2.186)
− Φα = −
I
d~`α
Γα
Z
SL
~ · ~nL dSL .
B
× d~r =
I
Γα
d~`α × d~r ,
(2.187)
(2.188)
126
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
escrevemos
dΦα ≡ Φ0α − Φα = −
I
Γα
~ · d~`α × d~r ;
B
(2.189)
comparando com a Eq. (2.185) podemos exprimir então o trabalho das forças de LaplaceLorentz dWα em termos do fluxo dΦα
dWα = Iα dΦα .
(2.190)
Calculemos agora o trabalho das forças de Laplace-Lorentz quando trazemos os n circuitos
de ∞ até à sua posição final, conservando Iα = constante. Por agora suporemos os circuitos
indeformáveis. Comecemos por considerar 2 circuitos. Quando trazemos o primeiro circuito,
~ Assim
o trabalho é nulo, porque não há campo B.
W1 = 0 .
(2.191)
Quando trazemos o segundo circuito, o primeiro já se encontra na sua posição final. O
trabalho realizado obtém-se por integração da Eq. (2.190) e é
W2 = I2 Φ02 ,
(2.192)
onde Φ02 representa o fluxo em 2 devido a 1, mas não devido a ele próprio.
Se tivéssemos trazido primeiro o circuito 2, terı́amos
W2 = 0
(2.193)
W1 = I1 Φ01 .
(2.194)
e
Portanto uma outra maneira de escrever o trabalho total será
1
(I1 Φ01 + I2 Φ02 ).
(2.195)
2
No caso de n circuitos, é fácil de ver que devı́amos ter para o trabalho total das forças
de Laplace-Lorentz a correntes constantes e não incluindo deformações
W = I1 Φ01 = I2 Φ02 =
W =
n
1X
Iα Φ0α .
2 α=1
(2.196)
(ii) Deformações.
Pode mostrar-se que o trabalho despendido pelas forças de Laplace-Lorentz na deformação
é
127
2.9. ENERGIA DO CAMPO MAGNETOSTÁTICO
Figura 2.33: Energia de deformação dum circuito.
1
Iα Φαα ,
(2.197)
2
onde Φαα é o fluxo através do circuito α devido a ele próprio.
Definindo o fluxo total que atravessa o circuito α como Φα = Φ0α +Φαα , podemos escrever
para o trabalho total das forças de Laplace-Lorentz, incluindo deformações
α
Wdef
=
W =
n
1X
Iα Φα .
2 α=1
(2.198)
(iii) Energia necessária para manter Iα = constante.
Designemos por W 0 a energia necessária para estabilizar as correntes Iα no processo de
trazer as correntes do infinito até às suas posições finais. Vamos mostrar que W 0 = 2W , onde
W é dado pela Eq. (2.198). Para isso começamos por mostrar que, quando se transporta
~ o trabalho das forças de
um circuito numa região do espaço onde existe um campo B,
Laplace-Lorentz é igual ao trabalho das f.e.m. necessárias para manter a corrente constante
no circuito.
A força elementar que se exerce sobre uma carga dq é dada por
~ ,
dF~ = dq (~v × B)
(2.199)
onde ~v é a velocidade das cargas. Se o fio se encontra em movimento a velocidade será
~v = ~vfio + ~vtransporte ,
(2.200)
onde ~vfio é a velocidade das cargas dentro do fio, e ~vtransporte é a velocidade de transporte do
circuito no seu deslocamento.
128
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
Mas a força magnética não produz trabalho sobre as cargas eléctricas, isto é, d F~ · ~v = 0.
Portanto:
dF~ · ~vfio + dF~ · ~vtransporte = 0 .
(2.201)
O trabalho fornecido para estabilizar as correntes é dado por
dW 0 = −dF~ · ~vfio
(2.202)
e, portanto, usando a Eq. (2.201), também se pode escrever
dW 0 = dF~ · ~vtransporte .
(2.203)
Mas o trabalho por unidade de tempo na direcção do transporte é exactamente o trabalho
das forças de Laplace-Lorentz:
dW 0 = dF~ · ~vtransporte = dW .
(2.204)
Para um circuito, obtemos então o resultado
W0 = W ,
(2.205)
como querı́amos mostrar.
O resultado anterior é válido para o caso dum circuito. Consideremos agora dois circuitos.
Se trouxermos primeiro o circuito 1 e depois o circuito 2, obtemos da Eq. (2.205)
−W + W20 = 0 ,
(2.206)
enquanto que na ordem inversa teremos
−W + W10 = 0 ,
(2.207)
−2W + W10 + W20 = 0
(2.208)
W 0 = 2W ,
(2.209)
onde Wi0 é a energia necessária para estabilizar a corrente no circuito i. O valor de W é o
mesmo nos dois casos, porque as forças são iguais e opostas, e o deslocamento também é
oposto.
Somando as duas equações anteriores:
ou
0
onde se definiu W =
todas as correntes.
W10 + W20 ;
0
W é, pela sua definição, a energia necessária para estabilizar
2.9. ENERGIA DO CAMPO MAGNETOSTÁTICO
129
O resultado anterior, Eq. (2.209), foi deduzido para o caso de dois circuitos, mas pode
mostrar-se que continua válido no caso geral de n circuitos.
(iv) Energia magnética total
Estamos agora em condições de contabilizar a energia total dum sistema de n correntes
estacionárias.
A energia total será dada pelo trabalho efectuado contra as forças de Laplace-Lorentz
mais o trabalho necessário para manter constantes as correntes. Assim:
= −W + W 0
Umag
= −W + 2W
= W ,
(2.210)
e a energia total dum sistema de correntes será dada pela expressão
Umag =
n
1X
Iα Φα ,
2 α=1
(2.211)
que foi usada anteriormente, Eq. (2.179).
2.9.3
Expressão da energia em termos dos campos
Tal como em electrostática, é possı́vel escrever uma expressão para a energia em termos dos
~ e B,
~ sem referência a J~ e A.
~ Usando
campos H
~ ×H
~
J~ = ∇
(2.212)
~ · J:
~
e substituindo em A
~ · J~ = A
~·∇
~ ×H
~ =∇
~ · (H
~ × A)
~ +H
~ ·∇
~ ×A
~
A
~ ·B
~ +∇
~ · (H
~ × A)
~ ,
= H
resulta
Umag
=
1
2
Z
V
~ · J~ dV =
A
(2.213)
130
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
=
1
2
Z
V
~ ·H
~ dV + 1
B
2
Z
S
~ × A)
~ · ~n dS .
(H
(2.214)
O integral de superfı́cie tende para zero, quando o raio da superfı́cie S que limita o volume
~ |A|
~ decresce a grandes distâncias mais rapidamente
V tende para infinito, pois o produto |H|
do que aumenta a área da superfı́cie S. Obtemos então
Z
1
~ ·H
~ dV ,
B
(2.215)
Umag =
2 V
~ ·H
~ como uma densidade de energia magnética.
o que permite identificar 12 B
Mais rigorosamente, pode mostrar-se que esta expressão só é válida para meios lineares, o
que exclui as substâncias ferromagnéticas. No capı́tulo seguinte perceberemos melhor porquê.
Exemplo 2.13 Energia dum solenóide de comprimento l, secção recta de área A, n
espiras por unidade de comprimento e preenchido com um meio de permeabilidade µ,
onde circula uma corrente I.
Partindo da Eq. (2.215) para a energia magnética, e na aproximação de que o campo
só é diferente de zero dentro do solenóide, obtemos para a energia total
Umag =
~ = n I,
como |H|
Umag =
1
~ 2l A
µ|H|
2
;
1
1
µ n2 l AI 2 = LI 2 ,
2
2
(2.216)
(2.217)
onde L = µn2 l A é o coeficiente de auto-indução do solenóide (ver Exemplo 2.10).
131
Problemas
Problemas Capı́tulo 2
Ligam-se as armaduras a fontes, de modo a
que φ1 = 10 V e φ2 = 0 V. Determinar:
*2.1 Seja um fio de cobre de 1 mm2 de a) As cargas ρ, ρ0 , σ e σ 0 .
secção, percorrido por uma corrente de inten- b) O valor da intensidade de corrente.
sidade 1 A. Sabendo que a massa volúmica do c) A resistência do meio.
cobre é ρ = 8.96 g.cm−3 , a sua massa molar *2.4 Uma bateria, de força electromotriz E
é m = 63.54 g mol−1 , a constante de Avo- e resistência interna r, fornece uma potência
gadro é N = 6.02 × 1023 mol−1 e que cada P a uma resistência R.
átomo contribui com um electrão para o gás a) Estabelecer a lei de variação da potência
electrónico, determinar a velocidade média em função de R e obter as condições em que a
desse fluido. Comente o resultado.
potência fornecida é máxima. b) Como usar
*2.2 O dieléctrico dum condensador plano, o resultado da alı́nea anterior para medir a
cujas armaduras, de área S, estão à distância resistência interna duma bateria?
d, é composto por duas camadas homogéneas
de espessura d1 e d2 , de permitividades 1
Lei de Biot-Savart
e 2 , e condutividades σc1 e σc2 , tal que
d = d1 + d2 . A diferença de potencial entre *2.5 Temos um fio rectangular no qual
as armaduras é V . Determinar a densidade circula uma corrente I2 . No mesmo plano
de carga eléctrica livre e a densidade de cor- encontra-se outro fio percorrido por uma corrente sobre a superfı́cie de separação das duas rente I1 e de comprimento L l1 , l2 (ver
camadas.
figura).
*2.3 Seja um condensador esférico definido pelos raios R1 = 2 cm, R2 = 5 cm,
R20 = 5.1 cm (ver figura).
I1
I2
Corrente estacionária
l1
PSfrag replacements
R2
R20
PSfrag replacements
r
R1
O espaço entre as armaduras está completamente preenchido por uma substância com
r = 4 e condutividade σc = 10−2 Ω−1 m−1 .
d
l2
a) Qual a força no fio rectangular? Qual a
força no outro fio?
b) Calcule o momento das forças no fio rectangular em relação ao centro do rectângulo.
132
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
*2.6 Considere uma espira quadrada de lado 2.13 Em muitas aplicações, é necessário
L, assente no plano xy, percorrida por uma utilizar campos magnéticos uniformes numa
~ no centro da espira.
corrente I. Calcule H
dada região do espaço. As bobinas de Hel~
~ = 0 para o caso moltz são uma solução para este problema.
2.7 Mostre que ∇ · B
do campo do fio rectilı́neo infinito (Exem- São constituı́das por dois anéis de corrente
plo 2.1). Faça o problema em coordenadas iguais, e com o mesmo eixo, e percorridos por
cartesianas e em coordenadas cilı́ndricas.
correntes estacionárias I no mesmo sentido,
*2.8 Um disco circular não condutor de raio conforme se indica na figura.
a possui uma densidade superficial de carga
σ uniforme. O disco roda em torno do eixo
z
que lhe é perpendicular e que passa no seu
centro com velocidade angular ω. Determine
r
I
o valor do campo de indução magnética
no replacements
PSfrag
centro do disco.
P
R
z
*2.9 Considere ainda o disco referido no Prod
O
blema 2.8. Calcule agora o campo de indução
magnética, num ponto do eixo de rotação do
r
I
disco situado a uma distância b do seu centro,
no caso de b ser muito maior que o raio a do
disco.
*2.10 Dois condutores muito longos e parale- a) Mostre que a indução magnética no ponto
~ = B(z) ~ez ,
los estão ligados por uma semicircunferência P se pode escrever na forma B
de raio R.
onde z é a distância da origem O (ponto
médio da distância dos anéis) ao ponto P.
I
b) Desenvolva B(z) numa série de potências
PSfrag replacements
na variável α = z/d. Mostre que só os termos
P
pares são não nulos.
R
I
c) Encontre a condição para que o termo de
~ no ponto
Calcular a indução magnética |B|
P, situado no plano deste conjunto.
*2.11 Dois fios paralelos, à distância d, são
percorridos pela mesma intensidade de corrente I, mas em sentidos opostos. Determi~ a) Num ponto do plano que
nar o campo B:
contém os fios. b) Num ponto do plano mediano.
*2.12 Determine o coeficiente de indução
mútua entre o fio e o circuito rectangular do
Problema 2.5.
ordem α2 se anule.
deste resultado.
Comente a aplicação
*2.14 Temos um cilindro cuja superfı́cie está
carregada uniformemente com uma carga de
σ. O cilindro gira em torno do eixo, com uma
~
velocidade angular ω. Calcular o valor de |B|
assim criado.
*2.15 Na figura, temos representadas duas
espiras paralelas, com o mesmo eixo, separadas de uma distância a. Os respectivos raios
satisfazem r1 r2 , a.
133
Problemas
r1
a
PSfrag replacements
~ = Az ~ez . Devido a o fio ser indevemos ter A
finito, o potencial Az também o será. No entanto, o potencial vector é uma grandeza auxiliar, e qualquer constante arbitrária, mesmo
~
infinita, não modificará o valor de B.
a) Mostre que
Az (r, ϕ, z) − Az (0, 0, 0)
r2
Calcule o coeficiente de indução mútua do sistema, fazendo as aproximações que considerar razoáveis.
2.16 Considere um fio rectilı́neo de comprimento ` percorrido por uma corrente estacionária I (ver figura).
é uma quantidade finita. Para isso, regularize
os integrais, fazendo uma integração em z 0 no
intervalo −L < z 0 < L.
b) Depois de fazer a integração, faça L → ∞.
Mostre que a dependência em z desapareceu
e o resultado é finito.
c) Faça agora as integrações em ϕ0 e r0 e mostre que obtém os resultados das Eqs. (2.86) e
(2.87).
P
PSfrag replacements
Lei de Ampère
r
θ1
θ2
I
l
~ no ponto P é tal
a) Mostre que o campo B
que
~ = µ0 I (sin θ1 + sin θ2 )
|B|
4π r
b) No limite apropriado, obtenha o campo do
fio infinito.
c) Use a alı́nea a) para verificar o resultado
do Problema 2.6.
2.17 Considere a situação referida no Exemplo 2.9. Pretende-se agora usar a definição da
~ Como J~ = I 2 ~ez ,
Eq. (2.70) para calcular A.
πa
~ criado no in*2.18 Determinar o campo B
terior e no exterior dum cabo rectilı́neo de
comprimento infinito e raio R percorrido pela
intensidade de corrente I distribuı́da uniformemente na secção. Desenhar as linhas de
campo.
*2.19 Num cabo coaxial muito longo, uma
corrente I circula num sentido no condutor
interior e regressa pelo condutor exterior. O
raio do condutor interior é igual a R1 , e o
condutor exterior é definido pelos raios R2 e
~ em
R3 , com R3 > R2 > R1 . Calcular |B|
todas as regiões e fazer o respectivo gráfico.
*2.20 Numa fábrica de plásticos, devido
à fricção do plástico nos rolos cilı́ndricos
ao longo dos quais é arrastado, gerou-se no
plástico uma carga superficial de +σ.
134
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
Força magnética
v
2.23 Um circuito rectangular é percorrido
~ criado pela
por uma corrente I. O campo B,
própria corrente, exerce forças de Laplace.
Verifique que o sentido dessas forças é para
PSfrag replacements
fora e tende a aumentar o valor algébrico do
fluxo. Por isso, um circuito de comprimento
~ próximo fixo e forma flexı́vel, percorrido por uma corCalcular o valor aproximado de |B|,
rente, tende a assumir a forma de uma cirda superfı́cie do plástico.
cunferência.
2.21 Uma folha muito comprida (podemos 2.24 Considere o circuito indicado em baixo.
tomá-la como infinita), de largura l, está
uniformemente carregada com σ. A folha
A
I
O
2a
desloca-se com velocidade v na direcção lonPSfrag
replacements
gitudinal, originando assim uma
corrente
superficial. Calcular a indução magnética num
I
ponto P, à distância d da folha e equidistante
d
dos lados desta. Verifique se recupera o resultado do problema anterior, para distâncias
d muito pequenas.
2.22 A figura representa um corte transverI
O0
B
sal dum condutor cilı́ndrico de raio R com
A
barra
metálica
AB
desliza
sem atrito souma cavidade também cilı́ndrica de raio r e
bre
os
carris
condutores
e
tem
uma massa
centro (R/2, 0, z), conforme se indica na fim
=
3
g.
A
corrente
I
é
mantida
a um vagura. O condutor é percorrido por uma corlor
constante
I
=
20
A.
Os
outros
dados
são
rente estacionária de densidade constante e
d
=
3.5
mm
e
2a
=
1
mm.
dada por J~ = J0~ez .
~ ao longo de
a) Calcule o valor médio de |B|
AB.
Suponha
para
isso
que
a barra está a
y
uma distância muito grande das extremidades O e O0 .
b) Utilize este valor médio para achar a força
que se exerce sobre a barra AB e calcule a
r
PSfrag replacements
respectiva aceleração.
R
x
c) Calcule a velocidade atingida ao fim de
2 min. Este sistema constitui o que se designa por canhão magnético.
2.25 A figura representa um electroı́man,
~ em todo o espaço. Su- cujo enrolamento possui 500 espiras e é perCalcule o campo B
corrido por uma corrente I = 10 A.
gestão: utilize o princı́pio de sobreposição.
135
Problemas
I
N
PSfrag replacements l1
S
figura. O raio interior do toróide é b, e os lados da secção quadrada têm o comprimento
a. Uma corrente estacionária I percorre o
enrolamento.
I
l0
F
PSfrag replacements
Seja S a secção recta do núcleo. O fluxo
magnético φ é suposto ser uniforme e não
ter perdas. Calcular a força de levantamento
|F~mag |. Dados: S = 10−2 m2 , µnúcleo =
3000 µ0 , l0 = 2 mm e l1 = 200 cm (consultar
a Ref. [10] sobre este assunto).
Substâncias magnéticas
2.26 Considere o ı́man permanente representado na figura:
Mostre que dentro do ı́man as linhas de força
~ e de H
~ podem ter sentidos opostos.
de B
Energia
2.27 Uma bobina consiste num enrolamento
de N voltas num núcleo toroidal com permeabilidade magnética µ, conforme se indica na
~ à distância r do eixo
a) Calcule o campo B
do toróide.
b) Calcule o fluxo no núcleo do toróide.
c) Mostre que o coeficiente de auto-indução
do toróide é dado por
µ N2 a
a+b
L=
.
ln
2π
b
d) Calcule a energia magnética armazenada
no toróide. Mostre que é igual a 21 L I 2 .
2.28 Considere um cabo coaxial. O condutor interior tem raio r1 , e o condutor exterior
tem raio r2 e espessura desprezável. O condutor interior é percorrido por uma corrente
I que retorna em sentido contrário pelo condutor exterior.
~ em todo o espaço.
a) Calcule o campo B
b) Calcule a energia magnética por unidade
de comprimento do cabo coaxial.
c) Use o resultado da alı́nea b) para mostrar
que a auto-indução por unidade de comprimento do cabo coaxial é dada por
µ0
r2
1
L=
ln
.
+
2π
r1
4
d) Para muito altas frequências, a corrente
não entra dentro do condutor (efeito pelicular). Mostre que neste caso se tem
µ0
r2
L=
ln
2π
r1
136
PSfrag replacementsCAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA
e) Se quisesse calcular o coeficiente de autoindução, nas condições da alı́nea d), através
do fluxo, qual a superfı́cie que teria de considerar?
2.29 Temos um condutor rectilı́neo de raio
r percorrido por uma corrente estacionária I.
a) Mostre que usando a definição do coeficiente de auto-indução a partir do fluxo ou da
energia se obtém que o coeficiente de autoindução dum fio infinito é infinito. Comente.
b) No entanto, os fios rectilı́neos são partes de
circuitos e é importante calcular o seu coeficiente de auto-indução. A definição normalmente aceite deve-se a Rose e é a seguinte:
considere um fio de comprimento l percorrido por uma corrente uniforme I e situado no
~ pode
eixo z entre z = 0 e z = l. O campo B
calcular-se em qualquer ponto compreendido
entre os planos z = 0 e z = l, usando os resultados do Problema 2.16. A definição de L
é então obtida através do cálculo da energia
magnética armazenada entre esses dois planos. Use esta definição para mostrar que
µ0
3
2l
L=
−
.
l ln
2π
r
4
c) Mostre que no caso das altas frequências
em que a corrente não penetra no condutor,
ficando somente à superfı́cie, se tem
2l
µ0
l ln
L=
−1 .
2π
r
a
r2
I
ϕ
r1
I
b
d
a) Calcule a energia magnética por unidade
de comprimento da linha bifilar. Para isso,
use a expressão da energia em termos do potencial vector, Eq. (2.181), e as expressões
~ na Eq. (2.88). Considere a geometria
para A
da figura.
b) Use o resultado anterior para mostrar que
o coeficiente de auto-indução por unidade de
comprimento da linha bifilar é dado por
L=
µ0
4π
1 + 2 ln
d2
ab
.
Sugestão: Use o integral
Z
2π
0
ln(A − B cos ϕ) dϕ =
√
A + A2 − B 2
= 2π ln
2
para A > |B| > 0.
2.31 Considere o cabo coaxial descrito no
Problema 2.28. Use o método do Problema 2.30, isto é, calcule a energia magnética
~ para tornar a
através do potencial vector A,
calcular o coeficiente de auto-indução do cabo
coaxial.
d) Qual a superfı́cie que permite obter o resultado da alı́nea c) através do cálculo do fluxo
Métodos numéricos
magnético?
2.30 Uma linha bifilar é constituı́da por dois
condutores paralelos de raios a e b, percorri- 2.32 Considere o solenóide representado na
dos por correntes estacionárias I conforme se figura junta, percorrido por uma corrente esindica na figura.
tacionária I.
137
Problemas
x
PSfrag replacements
·p
θ1
−L/2
θ2
O
R
L/2
z
~ do solenóide num
a) Mostre que o campo B
~ = Bz ~ez com
ponto do eixo se escreve B
µ0 n I
(cos θ1 + cos θ2 ) .
Bz =
2
b) Mostre que, no limite apropriado, este resultado reproduz o campo do solenóide infinito.
c) Faça um gráfico de Bz (z)/µ0 nI em função
de z/L no intervalo −4 < z/L < 4, para
L/R = 2, 6, 20. Verifique que reproduz a
Fig. 2.16.
2.33 Considere o solenóide descrito no Problema 2.32.
a) Mostre que, para um ponto no eixo x,
isto é, um ponto de coordenadas P (x, 0, 0),
~ se escreve B
~ = Bz ~ez com
o campo B
Z 2π
LR(R − x cos ϕ)
µ0 n I
dϕ 2
Bz =
4π 0
R + x2 − 2xR cos ϕ
1
L2 /4 +
R2
+ x2 − 2Rx cos ϕ
.
b) Calcule numericamente o integral anterior, para fazer um gráfico de Bz (z)/µ0 nI em
função de x/L no intervalo −4 < x/L < 4
para L/R = 2, 5, 20. Verifique que reproduz
a Fig. 2.16.
2.34 Nos Problemas 2.32 e 2.33 foi feito
~ em situações em que
o cálculo do campo B
~
B = Bz ~ez . Considere agora um ponto genérico P(x, 0, z) no plano xz da figura do Problema 2.32.
a) Escreva expressões na forma de integrais
~ no ponto genérico
para as componentes de B
P.
b) Mostre que By = 0, isto é, as linhas de
~ existem no plano xz.
força de B
c) Faça um programa para calcular numericamente as componentes Bx e Bz . Desenhe
~ no plano xz
as linhas de força do campo B
para os casos L/R = 2, 10.
2.35 Faça um programa para desenhar as li~ para a linha bifilar
nhas de força do campo B
do Problema 2.30.
138
CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA