Mecânica
Forças Conservativas e a Energia Mecânica
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1
Forças Conservativas
O trabalho realizado por uma força, quando do deslocamento de uma partícula entre dois
pontos, envolve uma integral de caminho. Seja um dos caminhos possíveis. Assim, para indicar tal
dependência, escrevemos:
a
b
Figura 1a: Dois pontos podem ser interligados
por diferentes curvas.
Figura 1b: O trabalho realizado por uma
força conservativa num caminho fechado
se anula.
 
WA→ B = ∫ F ⋅ dr .
Γ
( 1 )
O fato é que, de acordo com a figura 1, dois pontos podem ser interligados por meio de infinitos
caminhos. A propósito da dependência do trabalho realizado por uma força com o caminho interligando dois pontos e, em particular, do ponto de vista da grandeza física denominada energia potencial, as forças podem ser divididas em duas grandes categorias: conservativas e não conservativas.
Para entendermos a diferença, consideremos o deslocamento de uma partícula de um ponto
A para um ponto B do espaço. Existem infinitas maneiras de irmos de um ponto A até o ponto B
e utilizar infinitos caminhos (ou seja, curvas). Por exemplo, podemos ir de A até B seguindo pelos
caminhos 1, 2 ou 3 da figura 1.
Dizemos que uma força é conservativa se o trabalho realizado por
ela, quando do deslocamento entre dois pontos A e B, não depende
do caminho que interliga esses dois pontos, ficando subentendido
que tais pontos são, a rigor, arbitrários. A essas forças associamos o
conceito de energia potencial.
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2
Outra definição equivalente a essa é a que leva em conta a integral de caminho da força ao longo
de uma caminho fechado.
Dizemos que uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela ao longo de um caminho
fechado qualquer (isto é, indo de um ponto A e voltando ao mesmo ponto) resulta ser nulo.
Ou seja, por essa definição, uma força é conservativa se, para qualquer caminho,
WA→ A = 0.
( 2 )
Já vimos que uma força é conservativa se o trabalho realizado no percurso de A até B só depende


dos pontos A e B. Como os pontos A e B têm posição A rA e B rB, podemos escrever essa dependência
da seguinte forma:
B
 


WA→ B = U (rA ) − U (rB ) = ∫ F ⋅ dr
( 3 )
A

onde U (r ) é uma função do vetor posição (isto é, depende de ). Essa função é conhecida como a
função energia potencial.

A função U (r ) é de fundamental importância na física e ela recebe
o nome de energia potencial.


A energia potencial em um ponto A, cujas coordenadas são especificadas pelo vetor rA é U (rA ), dá o
valor da energia potencial nesse ponto. A mesma função calculada no ponto B, cujo vetor de posição é


rB, U (rB ) é a energia potencial da partícula no ponto B.
Note que a definição (000) implica, naturalmente, que WA→A = 0. Ou seja, o fato de que, num
caminho fechado, o trabalho realizado pela força se anula é uma consequência do sinal “menos” na
expressão (000).
O que faz uma partícula possuir energia - a energia potencial, pelo simples fato de ela ocupar
uma determinada posição no espaço? A resposta é bastante simples. Esta forma de energia surge
como resultado da interação entre os objetos. E essa interação tem sua intensidade dependente da
posição dos objetos. Potencial se refere à posição do objeto. A energia potencial resulta sempre de
alguma força (ou interação) que lhe deu origem.
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No entanto, nem todas as forças dão origem a essa forma de energia (energia potencial). Algumas
(como as forças de atrito) acabam dissipando, isto é, consumindo energia. A essas forças damos o
nome de forças não conservativas. Assim, classificamos as forças em duas grandes categorias:
• Forças conservativas ⇒ Dão origem a alguma forma de energia potencial
• Forças não conservativas ⇒ não podemos associar a elas uma forma de energia potencial.
Uma questão relevante, do ponto de vista prático, consiste em encontrar um critério simples
para que possamos determinar se uma força é ou não conservativa sem que tenhamos de efetuar
integrais ao longo de caminhos. De fato, a partir da definição da energia potencial ( ), podemos
introduzir um critério para determinarmos se uma força é conservativa ou não. Lembramos,
primeiramente, que todo campo vetorial pode ser modificado através de uma operação que envolve
um campo vetorial, denominada rotacional do campo. Mediante tal operação, criamos um novo
campo a partir do campo original.
 
Para um campo vetorial qualquer, como o campo elétrico ( E (r )), o rotacional do campo é definido
como um novo campo cujas componentes são dadas pelo determinante de uma matriz, de acordo
com a expressão:



 i

  
∂
∇ × E ( r ) ≡ det 
 ∂x

E
 x
j
∂
∂y
Ey
k 

∂ 
.
∂z 

Ez 
( 4 )
 
Ou seja, o rotacional de E (r ) é um vetor cujas componentes são dadas por:
   ∂E ∂E
∇ × E (r ) ≡  z − y
∂z
 ∂y
   ∂Ex ∂Ez
−
i + 
∂x
  ∂z
   ∂E y ∂Ex
−
 j +
∂y

 ∂x

k

( 5 )
A seguir, será mostrado que se pode decidir se uma força é conservativa a partir da análise
do seu rotacional. Mais precisamente, se a força for tal que o seu rotacional se anula, então,
a força é conservativa.
∇ × F ( r ) = 0.
(
)
( 6 )
Assim, para verificarmos se uma força é conservativa ou não, basta tomarmos o rotacional
da força. Se o rotacional da força resultar nulo, a força é conservativa. Caso contrário, ela não
é conservativa.
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Força a partir da Energia Potencial
Podem-se definir forças conservativas a partir de outro critério, a saber, dizemos que uma força
é conservativa se ela deriva de uma função escalar, ou seja, uma força é conservativa se existir uma

função U (r ) tal que a força seja dada pela expressão:
F ( r ) = −∇U ( r )
( 7 )

Veremos que a função escalar U (r ) é a energia potencial. Por esse critério, no caso de uma força
geral, a relação, quando existir, é tal que as componentes da força são determinadas a partir de
derivadas parciais da energia potencial. Ou seja:
Fx ( x, y, z ) = −
∂U ( x, y, z )
∂U ( x, y, z )
∂U ( x, y, z )
Fy ( x, y, z ) = −
Fz ( x, y, z ) = −
∂x
∂y
∂z
( 8 )
onde as derivadas parciais ( ∂U , ∂U , ∂U ) apenas indicam que devemos derivar a função U como
∂x
∂y
∂z
se ela fora dependente apenas de x, y ou z em cada um dos casos.
A bem da verdade, deve-se frisar que nem todas as forças podem ser escritas como derivadas
sob a forma (000). Definem-se forças conservativas como aquelas que podem ser escritas sob a
forma (000). Só para tais forças podemos falar em energia potencial associada à interação.
A definição de força conservativa nos leva ao critério simples já enunciado pela expressão (000).
Para verificar isso consideremos a força dada pela expressão (000). O rotacional da força é dado por:
   ∂F ∂F
∇ × F (r ) ≡  z − y
∂z
 ∂y
   ∂Fx ∂Fz
−
i + 
∂x
  ∂z
   ∂Fy ∂Fx
−
 j +
∂y

 ∂x

k

( 9 )
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Para uma força dada pela expressão (000), obtemos:
 ∂Fz ∂Fy   ∂ 2U ∂ 2U 
−
+

 = −
=0
∂z   ∂y∂z ∂z∂y 
 ∂y
2
2
 ∂Fx ∂Fz   ∂ U ∂ U 
=
−
+
−
=0

 
∂x   ∂z∂x ∂x∂z 
 ∂z
( 10 )
 ∂Fy ∂Fx   ∂ 2U ∂ 2U 
−
+

 = −
=0
∂y   ∂x∂y ∂y∂x 
 ∂x
ou seja, um força conservativa é tal que seu rotacional é nulo.
O Gradiente de uma Função Escalar
Uma vez introduzido o conceito de forças conservativas, podemos nos perguntar sobre a melhor
maneira de determinar a energia potencial. Isto será feito logo em seguida. No entanto, antes de fazê-lo,
devemos introduzir alguns conceitos do cálculo vetorial bem como propriedades de campos vetoriais.
Dada uma função escalar, ou campo escalar, podemos construir um campo vetorial a partir
desse campo escalar, tomando derivadas parciais e multiplicando por versores. A essa operação
denominamos aplicar o operador gradiente à função escalar. Assim, definimos o operador gradiente

(símbolo ∇) como aquele que, aplicado sobre uma função escalar, leva a um campo vetorial definido
através da identidade:

∂V ( x, y, z )  ∂V ( x, y, z )  ∂V ( x, y, z ) 
∇V ( x , y , z ) ≡
i+
j+
k.
∂x
∂y
∂z
( 11 )
Uma propriedade importante do operador gradiente é a de que uma variação infinitesimal da
grandeza física representada pelo campo escalar (dV) pode ser expressa por meio do uso desse
operador. A variação infinitesimal de uma função V(x, y, z)é definida como a diferença da função para
pontos do espaço muito próximos. Para escrevermos uma expressão para a variação infinitesimal,
consideremos a variação:



∆V ≡ V ( r + ∆r ) − V ( r ) .
( 12 )
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Vamos agora expandir a grandeza escalar


V ( r + ∆r ) ≡ V ( x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z )
( 13 )
em potências das variações ∆x, ∆y e ∆z, utilizando, para isso, a expansão de Taylor para funções de
muitas variáveis:
∂V
∂V
∂V
1 ∂ 2V 2 ∂ 2V
V ( x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z ) = V ( x, y, z ) +
∆x +
∆y +
∆z +
∆x +
∆x∆y + ...........
2 ∂2 x
∂x
∂y
∂z
∂x∂y
( 14 )
Assim, até termos de primeira ordem, podemos escrever:
∆V ( x, y, z ) ≅
∂V
∂V
∂V
∆x +
∆y +
∆z ,
∂x
∂y
∂z
( 15 )
donde concluímos, pela definição do gradiente, que, para valores infinitesimais dos deslocamentos,
podemos escrever:

dV = ( ∇V ) ⋅ dr .
( 16 )
Outra propriedade importante em relação à variação infinitesimal é a integral da variável entre
dois pontos ser dada pela diferença:
B
  
dV
=
∫
∫ ∇V ( r ) ⋅ dr
B
A
( 17 )
A
e, consequentemente, de (000) resulta que a integral de linha do gradiente de uma função é escalar
e dada pela diferença entre a função calculada em dois pontos do espaço:
B


∫ dV = V ( r ) − V ( r )
B
A
( 18 )
A


resultado esse que não depende do caminho utilizado quando integramos o vetor ∇V (r ) ao longo
de um caminho que interliga os pontos A e B.
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Trabalho e Variação da Energia Potencial
Assim, se uma força for conservativa, de acordo com a definição, o trabalho é realizado por uma
força quando uma partícula se desloca entre dois pontos A e B quaisquer. Para verificamos isso,
lembramos que a partir de (000) temos:
B
   B
WA→ B = ∫ F ( r ) dr = ∫ dU
A
( 19 )
A
Tendo em vista que:
B



∫ dU ( r ) = U ( r ) − U ( r )
B
A
( 20 )
A
o trabalho realizado pela força entre os pontos A e B não depende do caminho, apenas desses
pontos e é dado por:
B
  


WA→ B = ∫ F ( r ) dr = U ( rA ) − U ( rB ) .
( 21 )
A
Assim, fazendo uso do formalismo matemático, podemos associar por meio da definição (000),
envolvendo o operador gradiente, a energia potencial à força. Essa associação, por outro lado, faz
com que a força seja derivada da função energia potencial.
A definição de energia potencial como uma função ou campo, a partir da qual podemos determinar a força, leva-nos ao problema inverso, ou seja, o de determinar a energia potencial uma vez
conhecida uma expressão analítica da força.
Caso Unidimensional
O caso unidimensional é um caso muito especial e isso porque, se a força depender apenas da
posição, ela é conservativa, uma vez que podemos escrever
Fx ( x ) = −
dU ( x )
.
dx
( 22 )
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8
O rotacional dessa força é nulo, uma vez que:

  ∂F ( x )    ∂Fx ( x )  
∇ × ( Fx ( x ) i ) ≡  x
 j +
k = 0
∂
z
∂
y




( 23 )
O trabalho realizado por essa força, quando o móvel se desloca de um ponto de coordenadas x0
até outro ponto de coordenada x, só depende dessas coordenadas. Ou seja:
x
Wx → x0 = − ∫ Fx ( x ' ) dx ' .
( 24 )
x0
Assim, não importa se a partícula foi e voltou várias vezes. O que importa são as coordenadas
do ponto. Portanto, dada a dependência da força em relação à posição, a energia potencial será
determinada pela integral:
x
U ( x ) − U ( x0 ) = − ∫ Fx ( x ' ) dx ' .
( 25 )
x0
Assim, por exemplo, no caso da força elástica, a diferença de energia potencial é dada por:
x
U ( x ) − U ( x0 ) = k ∫ x ' dx ' =
x0
k 2
( x − x02 ) .
2
( 26 )
Donde resulta que, para o caso da força elástica, a energia potencial é dada pela expressão:
U ( x) =
kx 2
2
( 27 )
O fato é que forças unidimensionais são, em geral, forças conservativas. A determinação do
potencial envolve uma integral de função de uma variável apenas.
Energia Potencial: Forças Constantes
Para entendermos a estreita relação entre força e energia potencial, consideremos o caso de
uma força constante. Escrevamos essa força sob a forma:




F0 = F0 x i + F0 y j + F0 z k
( 28 )
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onde F0x, F0y e F0z são constantes associadas às componentes da força.
É muito fácil constatar, por meio de uma derivação muito simples, que a função definida por:
U(x, y, z) = − F0xx − F0yy − F0zz
( 29 )
é a energia potencial associada à força constante
Energia Potencial a partir da Força
Podemos determinar, em muitos casos, a energia potencial mediante o uso da sua relação com a
força dada como o gradiente dela. Consideraremos o potencial gravitacional de um corpo de massa m.
Para tanto, recorremos à lei da gravitação universal.
Figura 2: A energia potencial gravitacional depende da altura.
Uma das grandes contribuições de Newton foi a lei da gravitação universal. A partir dessa lei
pode-se mostrar que um objeto esférico de massa M, como a Terra, exerce uma força sobre outro
objeto de massa m de tal forma que, adotando-se a origem do sistema de coordenadas no centro
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do objeto esférico, o centro da Terra, por exemplo, a força gravitacional pode ser escrita, em função
do vetor de posição da partícula de massa m, da seguinte forma:


r
F = −mMG 3 ,
r

( 30 )
onde r é o vetor de posição da partícula de massa m.
Em coordenadas cartesianas, a expressão para a força dada acima é:

F = −mMG
  
xi + yj + zk
(x
+ y2 + z2 )
2
3/ 2
.
( 31 )
De acordo com a definição de energia potencial, ela pode ser determinada a partir das
seguintes relações:
Fx = −mMG
Fy = −mMG
Fz = −mMG
x
(x
2
(x
(x
+ y2 + z
y
2
+ y2 + z
z
2
+ y2 + z
)
2 3/ 2
)
2 3/ 2
)
2 3/ 2
=−
∂U ( x, y, z )
∂x
=−
∂U ( x, y, z )
∂y
=−
∂U ( x, y, z )
.
∂z
( 32 )
A função U (x, y, z) que satisfaz as condições acima é:
U ( x, y , z ) = −
GmM
( x2 + y 2 + z 2 )
1/ 2
.
( 33 )
Utilizando coordenadas esféricas, a energia potencial gravitacional se escreve como:
U (r ) = −
GmM
.
r
( 34 )
Outro exemplo simples é o de uma força constante. Nesse caso, escrevemos:
 
F = F0 .
( 35 )
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11
Adotando-se o eixo z na direção da força orientando-o no mesmo sentido, a definição de energia
potencial nos leva à seguinte expressão para a energia potencial:
U ( z ) = − F0 z.
( 36 )
A partir da expressão acima, temos outra forma de deduzir a expressão (000) para a energia
potencial. Verificamos assim que ela é válida, no entanto, para pontos próximos à superfície
terrestre. Para tais pontos, podemos escrever, de uma forma aproximada:
r ≅ R.
( 37 )
E, portanto, o módulo da força dada em (000) é aproximadamente constante:
 mMG
F ≅
≡ mg .
R2
( 38 )
Energia Potencial Eletrostática
A lei de Coulomb determina o comportamento da força entre duas cargas elétricas puntiformes,
cujos valores são Q1 e Q2.
Quando a origem do sistema de coordenadas for colocada exatamente onde se encontra uma
delas, no caso adotamos a partícula 1. De acordo com a lei de Coulomb, a força elétrica entre elas
pode ser escrita, em função do vetor de posição da partícula de carga Q2, da seguinte forma:
  
 Q1Q2 xi + yj + zk
F=
,
4πε0 ( x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2
( 39 )
adotando, na expressão acima, o sistema MKS.
Tendo em vista a semelhança com a força gravitacional, basta seguirmos os mesmos passos
acima para concluir que a energia potencial eletrostática de duas cargas elétricas é dada, em função
da distância entre elas, pela expressão:
U ( x, y , z ) =
Q1Q2
1
2
2
4πε0 ( x + y + z 2 )1/ 2
( 40 )
Figura 3: Energia potencial elétrica.
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Energia Mecânica e sua Conservação
Vemos pela equação (000) que o trabalho é uma medida da variação da energia cinética. Ou seja,



B
 mv 2  mvB 2 mv A 2
WA → B = ∫ d 
,
=
−

2
2
2


A
( 41 )
Portanto, se considerarmos as duas expressões, (000) e (000), sobre o trabalho realizado entre
A e B, podemos escrever para forças conservativas as identidades:
WA → B =
mvB 2 mv A 2


−
= U ( rA ) − U ( rB )
2
2
( 42 )
ou, equivalentemente,
mvB2
mv 2


+ U ( rB ) = U ( rA ) + A .
2
2
( 43 )
À soma da energia potencial e da energia cinética damos o nome de energia mecânica. Como
na expressão acima os pontos A e B são arbitrários, concluímos que ela vale para qualquer ponto:
E=
mv 2

+ U ( r ).
2
( 44 )
Naturalmente, o resultado acima só faz sentido para forças conservativas.
Agora entendemos melhor o que significa uma força ser conservativa. Para essas forças, quando
nos deslocamos de um ponto para outro, a energia mecânica se conserva, isto é, assume o mesmo
valor em qualquer ponto do espaço.
Para efeito de ilustração, consideremos o caso de um ponto material, ou partícula. Nesse caso,
podemos considerar apenas duas formas de energia: a energia potencial e a energia cinética.
A soma dessas duas formas de energia define a energia mecânica, a qual é dada por:

mv 2

E = Ec + E p =
+U (r )
2
( 45 )
Mecânica » Forças Conservativas e a Energia Mecânica
13
Existe uma classe de fenômenos, a serem estudados a seguir, para os quais a soma das duas
energias se conserva. Escrevemos assim que a energia mecânica é constante:

mv 2

+ U ( r ) = E0
2
( 46 )
É importante apontar para o fato de que nenhuma das duas formas de energia é constante. Tendo
em vista que a energia mecânica é conservada, é de se esperar que, ao longo do movimento, no
qual ocorrem mudanças de posição, uma forma de energia converte-se, continuamente, em outra
forma de energia. Quando atiramos uma pedra para o alto, imprimimos uma energia cinética a ela,
a qual irá se reduzindo paulatinamente até que ela atinja o ponto mais alto. Nesse ponto de altura
máxima, a energia cinética será mínima. Consequentemente, a energia cinética impressa ao corpo
foi convertida, parcialmente, em energia potencial. A partir do momento em que a pedra inicia o
movimento descendente, iniciamos a fase do movimento na qual existe conversão de energia potencial
em energia cinética. Isso pode ser inferido a partir da expressão da energia de uma partícula sujeita a
um campo gravitacional constante. Nesse caso, a energia mecânica é dada pela expressão:
E0 =
1 2
mv + mgz
2
( 47 )
O exemplo acima não é um caso particular. Em geral, vale a premissa de que, nos pontos para os
quais a energia potencial é mínima, a energia cinética será máxima. E vice-versa. Esse é o princípio
de funcionamento das montanhas russas num parque de diversões.
A altitude máxima atingida por uma pedra, a partir do conhecimento da sua velocidade inicial,
pode ser determinada sem o conhecimento da solução da equação de movimento. Para pequenas
altitudes, aquelas para as quais a altura é muito menor do que o raio da Terra (ou seja, z  R ,
podemos utilizar a expressão (000). No entanto, no caso de grandes altitudes, devemos fazer uso
da expressão da energia em função da distância até o centro da Terra:
E=
1 2
MG
mv − m
2
r
onde M é a massa da Terra e G é a constante da gravitação universal.
( 48 )
Mecânica » Forças Conservativas e a Energia Mecânica
14
Basta utilizar a conservação da energia mecânica. Outras aplicações, como a velocidade de
escape de um projétil na superfície da Terra, deverão ser analisadas ao longo do texto.
Figura 4: Ao longo do movimento, e independentemente
de onde o objeto esteja.
Quando analisamos o movimento dos projéteis que se movem a pequenas distâncias sobre a
superfície da Terra podemos fazer uso da expressão aproximada (000).
exercícios resolvidos 
Energia no Movimento dos Projéteis
Tendo em vista que a energia mecânica é conservada, é de se esperar que, ao longo do movimento
dos projéteis, no qual ocorrem mudanças de posição, uma forma de energia se converta, continuamente,
em outra forma. Quando atiramos uma pedra para o alto, imprimimos uma energia cinética a ela, a
qual irá se reduzindo paulatinamente até atingir o ponto mais alto. Nesse ponto, a energia cinética
será mínima. Consequentemente, a energia cinética impressa ao corpo foi parcialmente convertida
em energia potencial. A partir do momento em que a pedra inicia o movimento descendente, começa
a fase do movimento na qual existe conversão de energia potencial em energia cinética. Isso pode ser
inferido a partir da expressão da energia de uma partícula sujeita a um campo gravitacional constante.
Nesse caso, a energia mecânica é dada pela expressão:
E=
1 2
mv + mgz.
2
( 49 )
Mecânica » Forças Conservativas e a Energia Mecânica
15
Figura 3: Conservação da energia é o princípio de funcionamento de
alguns brinquedos nos parques de diversão.
O exemplo da figura 3 não é um caso particular. Em geral, vale a premissa de que, nos pontos
para os quais a energia potencial é mínima, a energia cinética será máxima. E vice-versa. Esse é o
princípio de funcionamento das montanhas russas num parque de diversões.
A altitude máxima atingida por uma pedra, a partir do conhecimento da sua velocidade inicial,
pode ser determinada sem o conhecimento da solução da equação de movimento. Para pequenas
altitudes, aquelas para as quais a altura é muito menor do que o raio da Terra (ou seja, z  R),
podemos utilizar a expressão (000). No entanto, no caso de grandes altitudes, devemos fazer uso
da expressão da energia em função da distância até o centro da Terra:
E=
1 2
MG
mv − m
,
2
r
( 50 )
onde M é a massa da Terra e G é a constante da gravitação universal.
Assim, além da aplicação envolvendo os movimentos próximos da superfície terrestre, a
expressão (000) nos permite fazer outras aplicações, como a velocidade de escape de um projétil
na superfície da Terra, que podem ser analisadas ao longo do texto.
Figura 4: À medida que um
projétil sobe, sua energia
potencial cresce, aproximadamente, de forma linear
com a altura.
Mecânica » Forças Conservativas e a Energia Mecânica
16
Energia na presença de Campos Elétricos
Quando uma partícula se movimenta numa região onde existem campos elétricos estáticos
permeando o seu espaço de deslocamento, ela adquire energia mecânica dada por:
E=
1 2

mv + U ( r ) ,
2
( 51 )
onde agora U é a energia potencial eletrostática. Essa energia é aquela associada à interação entre
o corpo de carga q com as demais cargas elétricas que produzem o campo ao qual ele está sujeito.
A título de ilustração, consideremos o caso em que uma partícula de carga q interage com outra

partícula dotada de carga Q. Nesse caso, considerando-se uma partícula de velocidade v , e a uma
distância r entre elas, a energia mecânica é dada por:
E=
1 2 qQ 1
mv +
.
2
4πε 0 r
( 52 )
Um exemplo bastante simples é o do átomo. Nesse caso, um elétron de carga (onde e é a unidade
elementar de carga elétrica) interage com o núcleo dotado de carga Q = Ze (onde Z é o número
atômico). Assim, a energia de um elétron em movimento no átomo é dada por:
E=
1
Ze 2 1
me v 2 −
,
2
4πε 0 r
onde me é a massa do elétron.
Figura 5: A energia potencial elétrica tem o mesmo comportamento, com
respeito à distância, que a energia potencial gravitacional.
( 53 )
Mecânica » Forças Conservativas e a Energia Mecânica
17
Energia do Movimento Harmônico Simples
Já vimos no capitulo 26 que a energia potencial associada a uma força elástica é dada por:
Ep =
kx 2
.
2
( 54 )
Utilizando a expressão (000), vemos que a energia potencial varia com o tempo de acordo com
a expressão:
Ep =
kA2
cos 2 ( ωt + ϕ0 ) .
2
( 55 )
mv 2
2
( 56 )
A energia cinética, dada por:
Ec =
também varia com o tempo. Utilizando a equação (000), vemos que a dependência da energia
cinética em relação ao tempo é dada por:
Ec =
mA2 ω2
kA2
sen 2 ( ωt + ϕ0 ) =
sen 2 ( ωt + ϕ0 ) ,
2
2
( 57 )
sendo que, na expressão acima, utilizamos a relação (000).
A soma da energia cinética com a energia potencial nos dá a energia mecânica (E). Nesse caso,
escrevemos
E = Ec + E p =
mv 2
+ kx 2 .
2
( 58 )
Sabemos que a energia mecânica se conserva no movimento. Podemos verificar isso explicitamente somando as expressões (000) e (000). Obtemos
E = Ec + E p =
kA2
 sen 2 ( ωt + ϕ0 ) + cos 2 ( ωt + ϕ0 )  .
2
( 59 )
Mecânica » Forças Conservativas e a Energia Mecânica
18
Sabemos que sen2φ + cos2φ. Portanto, de (000) segue-se que a expressão da energia mecânica é:
E = Ec + E p =
kA2
.
2
( 60 )
A figura 6 ilustra o que acontece com as várias formas de energia à medida que o tempo passa.
Note-se que a energia cinética e a energia potencial variam de tal forma que a soma permanece
constante.
Figura 6: Gráfico das energias em movimento MHS com o passar do tempo.
Consideremos agora a lei de Coulomb, a qual determina o comportamento da força entre duas
cargas elétricas puntiformes cujos valores são Q1 e Q2.
Quando a origem do sistema de coordenadas for localizada exatamente onde se encontra uma
delas, a expressão se simplifica. Adotamos, a seguir, o referencial com origem na partícula 1. De
acordo com a lei de Coulomb, a força elétrica entre elas pode ser escrita, em função do vetor de
posição da partícula de carga Q2, da seguinte forma:
 Q1Q2 r
F=
4πε0 r 3
adotando, na expressão acima, o sistema MKS.
( 61 )
Mecânica » Forças Conservativas e a Energia Mecânica
19
Potência de uma Força

Consideremos uma força F que, durante um intervalo de tempo ∆t, realiza um trabalho ∆W.
Definimos a potência média (Pm) dessa força, nesse intervalo de tempo, por:
Pm =
∆W
∆t
( 62 )
A potência instantânea, ou apenas potência representada por P, é definida por:
P = lim
∆t → 0
∆W
.
∆t
( 63 )
A potência de uma força é a derivada do trabalho desta em relação ao tempo.

Lembrando a equação (000), observamos que, para deslocamentos infinitesimais dr causados

pela aplicação da força F , o trabalho infinitesimal realizado pela força é:
 
dW = F ⋅ dr ,
( 64 )
portanto, de (000) resulta que a potência é dada pelo produto escalar:

dW  dr  
P=
=F⋅
= F ⋅ v,
dt
dt

( 65 )
onde v é a velocidade instantânea.
Forças Dissipativas

Consideremos o caso de uma partícula sob a ação de uma força dissipativa ( Fd ) e um conjunto

de forças conservativas que representamos como F .
De acordo com o resultado que estabelece uma relação entre trabalho e variação de energia
cinética, temos:
B
∫(
A


 
 mv 2 mv 2
F + Fd ⋅ dr = B − A
2
2
)
( 66 )
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20
Tendo em vista que a força ou as forças representadas por
B
  mv 2 mv 2


U ( rA ) − U ( rB ) + ∫ Fd ⋅ dr = B − A
2
2
A
( 67 )
E esta equação pode ser escrita como uma diferença de energias:
B

∫F
d

⋅ dr = EB − E A
( 68 )
A
Introduzindo o tempo como variável de integração, a equação acima pode ser escrita como:
 dr
F
∫t d ⋅ dt dt = EB − EA
A
tB
( 69 )
O primeiro termo é a potência da força dissipativa integrada ao longo de um intervalo de tempo.
Ou seja:
tB
tB
 dr
dE
F
⋅
dt
=
P
t
dt
=
(
)
∫t d dt t∫ d
∫t dt dt = EB − EA
A
A
A
tB
( 70 )
Donde concluímos que
 dr
Pd ( t ) = Fd ⋅
dt
( 71 )
Dá a taxa com que a energia mecânica varia. Em geral, como no caso das forças viscosas e de
atrito, ao longo do movimento, uma força dissipativa tem o sentido contrário ao do movimento;
portanto:
 dr
Fd ⋅
<0
dt
Consequentemente, para forças dissipativas, temos:
( 72 )
Mecânica » Forças Conservativas e a Energia Mecânica
21
dE
< 0 ⇒ EB < E A
dt
( 73 )
Ou seja, as forças dissipativas, quando atuam, levam à redução da energia do sistema. Portanto,
dissipam energia. Daí a razão para o nome.
Unidades de Energia e Potência
No SI, a unidade de energia é o Joule (símbolo J ).
A unidade de potência é o watt, cujo símbolo é W. A unidade de potência watt é a potência de um
trabalho unitário joule (J) dividido pelo intervalo de tempo unitário de um segundo (s):
1W = 1J/1s
( 74 )
No entanto, por razões históricas, às vezes são usadas outras unidades:
1HP = 1horse − power = 746W
1cv = 1cavalo − vapor = 735W
( 75 )
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22
Exercícios Resolvidos: Energia Mecânica e sua Conservação
EXEMPLO
A Figura 000 ilustra um bate-estaca em operação: o martelo de massa 1 tonelada é inicialmente
erguida a 4 metros acima do topo da estaca.
Uma vez solto, o martelo cai e atinge o topo da estaca. Descreva as transformações de energia
até o martelo colidir com a estaca. Considerar g = 10 N/kg.
RESOLUÇÃO
O martelo, em relação ao topo da estaca, tem energia potencial
Ep = mgz = (1.000 kg)(10 N/kg)(4 m) = 40 kJ.
( 76 )
Conforme o martelo entra em queda livre (desprezando a resistência do ar), a sua energia
potencial gravitacional diminui e a sua energia cinética aumenta igualmente. Durante a queda,
Ec + Ep = E = 40 kJ.
Ao colidir com o topo da estaca, a energia potencial da estaca é nula e a cinética é Ec = 40 kJ.
Parte dessa energia transforma-se em trabalho (energia mecânica) responsável pela penetração da
estaca no solo. Outra parte é transformada em outras formas de energia (energia térmica, sonora,
por exemplo).
Figura 7: Um bate-estaca converte energia
potencial em energia cinética e essa pode
ser facilmente utilizada. / Fonte: Adaptado de
Thinkstock.
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Créditos
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.
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