Tópico 11. Aula Teórica/Prática:
O Método dos Mínimos Quadrados e Linearização de
Funções
1. INTRODUÇÃO
Ao se obter uma sucessão de pontos experimentais que representados
em um gráfico apresentam comportamento linear, diferentes
experimentadores poderão traçar diferentes retas, encontrando diferentes
valores para os coeficientes linear e/ou angular. Um método para
determinar a reta correta é dado pelo método dos mínimos quadrados. Este
método consiste em determinar o coeficiente angular a e o coeficiente
linear b da equação da reta: y = a.x + b.
Em geral, a relação entre duas grandezas físicas não é linear, e é
fundamental descobrir de que tipo é e quais são os parâmetros que a
caracterizam. Sabe-se que numa relação linear é muito simples o processo
de se determinar os parâmetros envolvidos (neste caso o coeficiente linear e
angular), portanto, quando se observa que o gráfico obtido não é uma reta,
pode-se linearizá-lo através de uma mudança de variáveis, transformando
em retas mesmo curvas aparentemente complexas. Este processo de
transformar um gráfico curvo em uma reta denomina-se linearização. Para
isso, um certo grau de familiaridade com as representações gráficas das
principais funções matemáticas é recomendável, pois deve-se ter uma
noção sobre que tipo de função matemática poderia gerar uma curva igual a
indicada pela seqüência de pontos experimentais no gráfico. Nesta aula
vamos analisar os dois casos mais freqüentes: a relação tipo potência e do
tipo exponencial.
2. OBJETIVOS
 Determinar os coeficientes angular e linear da equação da reta,
y = a.x + b, através do método dos mínimos quadrados;
 Aplicar métodos de linearização de funções não lineares: tipo
potência: y = a.xn e exponencial: y = a.eb.x.
3. TEORIA
3.1. O Método dos Mínimos Quadrados (ou Regressão Linear)
O ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados é
importante, pois ao contrário do método gráfico, é independente da
avaliação do experimentador. Este método consiste em minimizar o erro
quadrático médio (S) das medidas. Considere então um conjunto de N
medidas (xi, yi), com i assumindo valores inteiros desde 1 até N. S é
definido como:
𝑁
𝑁
𝑆=
∆𝑆𝑖 =
𝑖=1
𝑦 − 𝑦𝑖
2
(1)
𝑖=1
onde y é o valor da curva ajustada (y = a.x+b). O objetivo é somar os ∆𝑆𝑖
das N medidas e traçar uma reta que torne a soma dos ∆𝑆𝑖 mínima.
𝜕𝑆
𝜕𝑆
Matematicamente isso corresponde a
=0 e
= 0. É razoável
𝜕𝑎
𝜕𝑏
acreditar que para que isso aconteça a reta desejada deve passar entre todos
os pontos experimentais. Destas duas expressões extraímos os valores dos
parâmetros a e b. O resultado é:
𝑎=
𝑏=
𝑁
𝑁
𝑁
𝑁
𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑖=1 𝑦𝑖
𝑁
2
2
𝑁 𝑁
𝑖=1 𝑥𝑖 −
𝑖=1 𝑥𝑖
𝑁
2
𝑖=1 𝑥𝑖
𝑁
𝑁
𝑖=1 𝑦𝑖
𝑁
2
𝑖=1 𝑥𝑖
onde usou-se a notação de somatório:
−
−
𝑁
𝑁
𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑖=1 𝑥𝑖
𝑁
2
𝑖=1 𝑥𝑖
𝑁
𝑖=1 𝑥𝑖
(2)
(3)
= 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑁 .
 Exemplo de Determinação dos Coeficientes Angular e Linear
Considere uma medida de movimento retilíneo uniforme (MRU)
efetuado por um carrinho no laboratório. Foram medidos tanto sua posição
x (em metros) quanto o tempo t (em segundos) e os resultados estão
conforme a tabela 1. Construa o gráfico que representa o movimento e
determine a velocidade e a posição inicial do carrinho usando o método dos
mínimos quadrados.
Tabela 1. Valores experimentais da posição de um carrinho em função do
tempo.
X - tempo (s)
Y - posição (m)
0,100
0,51
0,200
0,59
0,300
0,72
0,400
0,80
0,500
0,92
Para usarmos o método dos mínimos quadrados, sugere-se a
construção de uma tabela, conforme indicado abaixo, lembrando que aqui o
eixo x corresponde ao tempo t e o eixo y, à posição x:
Tabela 2. Tabela contendo os valores de x, y, x.y e x 2, e suas respectivas
somatórias.
x(s)
y(m)
x.y
x2
0,100
0,51
0,051
0,0100
0,200
0,59
0,120
0,0400
0,300
0,72
0,220
0,0900
0,400
0,80
0,320
0,1600
0,500
0,92
0,460
0,2500
Σx = 1,50
Σy = 3,54
Σx.y = 1,17
Σx2 = 0,55
Com esses resultados, basta substituir os valores nas fórmulas para a
e b, e lembrar que neste caso temos N = 5 medidas:
𝑎=
𝑏=
5 × 1,17 − 1,50 × 3,54 5,85 − 5,31 0,54
=
=
= 1,08
5 × 0,55 − (1,50)2
2,75 − 2,25 0,50
0,55 × 3,54 − 1,17 × 1,50 1,95 − 1,76 0,19
=
=
= 0,38
5 × 0,55 − (1,50)2
2,75 − 2,25 0,50
Portanto, temos que y = 1,08.x + 0,38 e se substituirmos os valores
de x da tabela 1 na função obtemos os seguintes valores de y:
Tabela 3. Valor da posição de um carrinho estimado através do método dos
mínimos quadrados em função do tempo.
Y - posição (m)
X - tempo (s)
(método dos mínimos
quadrados)
0,100
0,49
0,200
0,60
0,300
0,70
0,400
0,81
0,500
0,92
Fazendo o gráfico dos resultados da tabela 1 com a tabela 3 temos:
1,0
Posição (m)
0,9
dados experimentais
método dos mínimos quadrados
0,8
0,7
y = 0,29 m
0,6
0,5
x = 0,30 s
0,4
0,3
0,0
logo:
v = 0,29/0,30 = 0,97 m/s
x0 = 0,38 m
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Tempo (s)
Figura 1. Evolução da posição do móvel em função do tempo.
Observe que o valor da velocidade calculado pelos dados da tabela 1
é igual a 0,97 m/s enquanto que para a curva determinada pelo método dos
mínimos quadrados é de 1,08 m/s, ou seja, este é o valor mais próximo do
valor real da velocidade do carrinho.
Exercício:
1. Estudando o movimento de um carrinho, efetuado ao longo de um trilho
de ar (movimento retilíneo uniforme) obteve-se os seguintes dados
experimentais, após:
Posição
(mm)
879
895
919
949
964
970
t1 (s)
t2 (s)
t3 (s)
t4 (s)
t5 (s)
0,14
0,20
0,32
0,44
0,52
0,64
0,15
0,22
0,33
0,45
0,52
0,72
0,14
0,24
0,29
0,46
0,51
0,70
0,12
0,25
0,34
0,46
0,53
0,69
0,12
0,20
0,33
0,45
0,59
0,60
𝒕(𝒔)
𝝈𝒕 (𝒔)
Uma posição para o sensor de medida no trilho foi escolhida e então
mediu-se o tempo gasto pelo carrinho para atingi-lo. Esta medida foi feita 5
vezes, correspondendo aos valores t1 , t2, t3, t4 e t5. Em seguida repetiu-se o
procedimento para outras 5 posições do sensor ao longo do trilho.
Determine utilizando o método dos mínimos quadrados a velocidade
do carrinho e sua posição inicial com os erros associados.
3.2 Linearização de Funções
Na maioria das vezes as funções que descrevem os fenômenos físicos
não são lineares, ou seja, não são funções do tipo y = a.x + b. Nestes casos,
quando construímos o gráfico de y = f(x) no papel milimetrado não
obtemos uma reta. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1. Pêndulo simples: Na tabela abaixo (fora do padrão), L é o
comprimento do fio de um pêndulo simples e T é o valor médio do período
de oscilação desse pêndulo, obtido de 10 medidas. Faça um gráfico de T
em função de L (ou seja, T × L). Adote ΔT = 0,05 s e ΔL = 0,05 m.
L (m)
T (s)
1,44 1,32 1,22
2,40 2,31 2,22
1,10
2,12
0,94
1,94
0,71
1,70
0,53
1,53
0,41
1,30
0,29
1,16
0,16
0,79
2,6
2,4
Período, T (s)
2,2
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
Comprimento, L (cm)
Exemplo 2. Velocidade do som no ar: para determinar a velocidade do som
no ar, mediu-se o comprimento de onda λ em função da freqüência f. Os
dados são mostrados na tabela a seguir.
f (Hz)
λ (m)
1000
800
0,3405 0,4340
600
0,5800
400
0,8655
200
1,7155
100
3,4556
Conhecendo as incertezas Δλ = 0,0005 m e Δf = 2 Hz, construir o gráfico
λ = f(f).
Comprimento de onda,  (m)
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0
200
400
600
800
1000
Frequência, f (Hz)
Observe que a função matemática que relaciona T e L no exemplo 1
e λ e f no exemplo 2 não são funções lineares. Neste caso vem a seguinte
pergunta:
O que fazer se as grandezas não têm relação linear?
Na maioria das vezes a relação entre duas grandezas físicas não é
linear e é fundamental descobrir de que tipo é e quais são os parâmetros
que caracterizam a relação entre as grandezas. Uma das maneiras de se
fazer isso é linearizar o gráfico. Isto pode ser feito de dois modos:
a) Fazendo uma mudança adequada de variável;
b) Mudando o tipo de papel (monolog ou di-log) ou escala (no caso do uso
do programa Excel).
A) Mudança de variável
A mudança de variável é muito útil quando já conhecemos a relação
funcional que existe entre as grandezas que estão sendo estudadas.
Exemplo 3. No caso de pêndulo simples sabemos que, sendo T o período,
L o comprimento do fio e g a aceleração da gravidade local, então:
𝐿
4𝜋 2
2
𝑇 = 2𝜋
→ 𝑇 =
𝐿
𝑔
𝑔
(4)
A Equação 4 mostra que a função matemática entre T2 e L é linear, sendo
4π2/g o coeficiente angular da reta. Vamos construir o gráfico de T2 × L e
verificar se isso acontece mesmo.
6
2
Quadrado do Período, T (s)
Determinação da aceleração da gravidade
5
4
3
2
1
0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
Comprimento, L (cm)
1,4
1,6
Escolhendo dois pontos do gráfico e procedendo como especificado
anteriormente, encontraremos que a função matemática entre T2 e L é
T2 = 3,950L. Portanto, temos uma técnica para determinar a aceleração da
gravidade, isto é:
4𝜋 2
= 3,950
𝑔
⟹
4𝜋 2
𝑔=
3,950
⟹
𝑔 = 9,990 𝑚/𝑠 2
Exemplo 4. A velocidade do som v, a freqüência f e o comprimento de
onda λ estão relacionadas por
𝑣 = 𝜆. 𝑓
⟹
𝜆=
𝑣
𝑓
⟹
𝜆 = 𝑣. 𝑓 −1
(5)
A Equação 5 mostra que a função matemática entre λ e 1/f é linear, sendo v
o coeficiente angular da reta. Vamos construir o gráfico de λ × f -1 e
verificar se isso acontece mesmo.
Determinação da velocidade do som no ar
Comprimento de onda,  (m)
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
y = 0,865 m
1,0
x = 0,0025 s
0,5
0,0
0,000
0,002
0,004
logo:
v = 0,865/0,0025 = 346 m/s
0,006
0,008
0,010
Inverso da Frequência, 1/f (s)
Escolhendo dois pontos do gráfico e procedendo como especificado no
exemplo 3, encontraremos que a função matemática entre λ e 1/f é
λ = 346,0(1/f) Comparando com a Equação 5, obtemos a velocidade do
som no ar:
𝑣 = 346,0 𝑚/𝑠
B) Mudando o tipo de papel (ou escala)
Neste caso é feita uma mudança no tipo de papel (ou escala, no caso
do uso do programa Excel) que está sendo empregado(a) na construção do
gráfico. Um tipo muito útil de escala é a logarítmica. Nesta escala, a
distância D entre duas marcas sucessivas não é constante, ela varia
logaritmicamente (Figura 1):
D = log(g) − log(g0) ,
isto é, ela é feita de tal maneira que a distância entre 1 e 2 é proporcional a
(log2 - log1); a distância entre 2 e 3 é proporcional a: (log3 - log2), por isso
as distâncias entre marcas sucessivas não são constantes. Numa escala
logarítmica, então, a escala é linear com o logaritmo da grandeza!
Figura 2. Escala logarítmica.
A Figura 2 mostra uma escala logarítmica maior, em que a graduação
correspondente à origem do eixo é g0 = 1 × 100.
Figura 3. Representação das décadas em uma escala logarítmica.
Note que existem trechos que se repetem: as décadas. Cada década
corresponde a uma potência de 10 da grandeza g a ser representada no eixo.
A escala mostrada acima apresenta 3 décadas. Portanto, quando for
necessário o uso de escalas logarítmicas, o primeiro cuidado é reescrever
todos os valores a serem representados na escala em notação científica,
para definir quantas décadas serão necessárias e em qual das décadas os
valores serão representados.
Exemplo 5. Representar numa escala logarítmica os seguintes valores:
A = 0,2 kg = 2.10-1 kg
C = 30 kg = 3,0.101 kg
B = 5,0 kg = 5,0.100 kg
D = 85 kg = 8,5.101 kg
Vê-se então que serão necessárias 3 décadas para representar estes valores.
Colocando na origem a graduação g0 = 1.10-1 e os valores serão marcados,
como mostrados na figura da página seguinte
Existem no mercado 2 tipos de papeis com escalas logarítmicas:
 Mono-log: um dos eixos é uma escala linear e o outro é uma escala
logarítmica.
 Di-log: neste papel os dois eixos são escalas logarítmicas.
Quando se usa o software Excel basta construir o gráfico a partir de
uma tabela x,y. Em seguida, para mudar a escala de cada eixo clique com o
botão direito do mouse sobre o eixo x, por exemplo, e vá em "Formatar
eixo". Nas opções que aparecem, basta selecionar o quadro "Escala
logarítmica" e definir a base desejada ( a mais convencional é a base 10,
para o caso de uma equação exponencial, y = a.enx , utiliza-se a base 2,718).
A escala logarítmica é muito útil quando estamos tratando com
funções do tipo potência (y = a.xn) e do tipo exponencial (y = a.enx). Estas
funções sempre podem ser linearizadas com o uso de escalas logarítmicas.
i) Função tipo potência
Quando se suspeita que a relação x e y é da forma y = a.xn, procedese do seguinte modo:
 Aplica-se o logaritmo a ambos os lados da equação:
log y = log (a.xn)
log y = log a + n.log x
(6)
 Fazendo log y = Y, log a = A e log x = X, obtém-se:
Y = A + nX,
que é a equação de uma reta, sendo n o coeficiente angular da reta e a
potência da função que relaciona x e y.
Portanto, vê-se que é possível transformar uma relação tipo potência
em uma relação linear aplicando o logaritmo.
ii) Função exponencial
Outro tipo de relação entre duas grandezas física muito comum e
bem simples é a exponencial: y = a.ebx. Ela também pode ser linearizada
através de uma mudança de variáveis ou então fazer um gráfico em um
papel milimetrado, colocando os valores medidos de y no eixo das
ordenadas e colocar ebx no eixo das abscissa e não as medidas x. Outra
possibilidade é utilizar um papel onde um dos eixos tem escala logarítmica
e o outro linear.
Quando se suspeita que a relação x e y é da forma y = a.e bx, procedese do seguinte modo:
 Aplica-se o logaritmo natural a ambos os lados da equação:
ln y = ln (a.ebx)
ln y = ln a + bx ln e
ln y = ln a + bx
(7)
 Fazendo ln y = Y, ln a = A , obtém-se:
Y = A + bx,
que é a equação de uma reta, sendo b o coeficiente angular da reta.
Para obter o coeficiente angular da reta nos dois casos é feito do
seguinte modo:
 Papel di-log: Neste caso teremos (Figura 4):
Relação de potência: y = a.xn , a = ? , n = ?
Papel Di-log
Papel Milimetrado
y2
P2
y
y
y1
P1
A
x1
x
x
x2
y
Figura 4. Determinação das constantes
no papel di-log.
1
a) Escolha dois pontos P1 e P2 de fácil leitura no papel di-log:
P1= (x1,y1) e P2= (x2,y2)
b) Substituindo as coordenadas dos pontos P1 e P2 na Equação 6, teremos:
log y1 = log a + n log x1
log y2 = log a + n log x2
(7a)
(7b)
Subtraindo as equações 7a e 7b e resolvendo para n:
log y1 - log y2 = log a + n log x1 - log a - n log x2
𝑛=
log y1 − log y2
log x1 − log x2
Tendo encontrado n, é só voltar a uma das equações 7a ou 7b e encontrar a.
 Papel mono-log: Neste caso teremos (Figura 5):
Relação exponencial: y = a.eb.x , a = ? , b = ?
Papel Mono-log
Papel Milimetrado
y2
P2
y
y
y1
P1
A
x1
x
y1
x
x2
y
Figura 5. Determinação das constantes
no papel mono-log.
1
a) Escolha dois pontos P1 e P2 de fácil leitura no papel mono-log:
P1= (x1,y1) e P2= (x2,y2)
b) Substituindo as coordenadas dos pontos P1 e P2 na Equação 7, teremos:
log y1 = log a + b. x1
log y2 = log a + b. x2
(8a)
(8b)
Subtraindo as equações 8a e 8b e resolvendo para b:
log y1 - log y2 = log a + b. x1 - log a - b. x2
𝑏=
log y1 − log y2
x1 − x2
Tendo encontrado b, é só voltar a uma das equações 8a ou 8b e encontrar a.
Exercícios:
1. Efetue a linearização das funções abaixo:
a) 𝑦 = 5𝑥 2
b) 𝑦 = 3𝑒 2𝑥
c) 𝑦 = 5𝑒 𝑥
d) 𝑦 =
𝑥2
2
2. Diversos fenômenos físicos como o decaimento radioativo segue uma lei
matemática que é uma função de uma exponencial negativa. Outro
fenômeno mais próximo é o decréscimo de temperatura de uma xícara de
café. Dada uma temperatura inicial de 205ºC (exagerando obviamente),
podemos ver que o seu decréscimo será uma exponencial negativa até
atingir uma temperatura ambiente, 1 grau por exemplo (exagerando
novamente). Utilizando então os dados da tabela abaixo, vemos o
comportamento na figura 6:
Tempo (horas)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Temperatura (ºC)
250
152
92
56
33
20
12
7
4
2
1
Decréscimo de Temperatura
300
Temperatura (°C)
250
200
150
100
50
0
0
3
6
9
12
15
Tempo (horas)
Figura 6. Temperatura em função do tempo de uma hipotética xícara de
café.
Determine:
(a) o coeficiente angular da reta no gráfico monolog.
(b) o coeficiente linear da reta no gráfico monolog.
(c) a equação da reta no gráfico monolog.
(d) a função exponencial que gerou o gráfico da figura 6.