Geometria plana
1
NOTAÇÃO
Geometria métrica plana
Os chineses foram os primeiros a utilizarem a
Geometria no cotidiano, por volta do ano 3000 a.C. Os
babilônios e assírios deram grande contribuição ao
estudo dessa ciência quando aplicaram-na a
Astronomia.
Simultaneamente aos babilônios e assírios, os
Egípcios (por volta dos anos 1500 a.C.) aplicaram a
Geometria em larga escala e contribuíram
consideravelmente para o seu estudo. As constantes
cheias do Rio Nilo levaram os egípcios a
desenvolverem estruturas para evitar que houvesse a
perda de suas lavouras. Isso foi feito por meio da
Geometria. As pirâmides que construíram são outra
demonstração do conhecimento que alcançaram.
Os principais contribuintes para o desenvolvimento
da Geometria, tal como conhecemos hoje, foram o
Gregos a partir do ano 600 a.C. Eles a racionalizaram
e a ordenaram a partir de entes matemáticos lógicos.
Pitágoras (569-500 a.C), Aristóteles (384-322 a.C) e
Euclides (330-260 a.C) foram os principais expoentes
no desenvolvimento da Geometria Métrica Plana ou
Geometria Euclidiana (em homenagem à Euclides). A
sistematização da Geometria Euclidiana ocorreu
através do famoso tratado matemático “Os
Elementos” de Euclides, consistindo em 13 livros
escritos por volta do ano 1300 a. C. Pode-se
considerar “Os Elementos” como uma das obras mais
influentes de todos os tempos.
Para nomear um ponto, utilizam-se letras maiúsculas
do alfabeto latino, por exemplo: A, B, C, P etc.
Nomeia-se uma reta de duas formas: utilizando-se
letras minúsculas do alfabeto latino, por exemplo, r, s,
t; ou escolhendo dois pontos da reta e colocando
sobre eles uma seta de duplo sentido, por exemplo,
tomando os pontos P e Q da reta, que se chamará
PQ (lê-se “reta PQ”).
Para nomear um plano, utilizam-se as letras
minúsculas do alfabeto grego, por exemplo, α (alfa), β
(beta), ζ (zeta) etc.
Entes geométricos
Podemos construir praticamente todas as figuras da
Geometria Plana a partir de três entidades
fundamentais, chamadas de entes primitivos, a saber:
ponto, reta e plano.
Partes de uma reta
A partir de uma reta AB , duas de suas partes podem
ser observadas:
Eles são tomados como verdades, ou seja, não
possuem definição exata. Sabemos, intuitivamente, o
significado de ponto, reta e plano.
Geometria I – EPUFABC
1
Capítulo 1 – Geometria Plana
De acordo com a ilustração, uma parte tem início no
ponto A e segue no sentido do ponto B; a outra tem
início no ponto B e segue no sentido do ponto A. Essa
parte da reta, que tem um início e segue para um
sentido infinito, recebe o nome de semirreta.
Geometria I
abaixo, os pontos A e B estão sobre cada lado do
ângulo e O é seu vértice.
O ponto de início recebe o nome de origem.
Denomina-se uma semirreta utilizando a notação do
ponto de origem e a notação do outro ponto por onde
ela passa e inserindo, sobre essas notações, uma seta
de sentido único (para a direita).
Nesse caso, temos:
Pode-se representar esse ângulo de quatro modos:
Semirreta AB
Pode-se tomar a semirreta acima e considerar apenas
a parte delimitada entre os pontos A e B. Essa parte
receberá o nome de segmento de reta. Ou seja, é a
parte definida e, portanto, finita de uma reta.
Representa-se o segmento de reta utilizando a
notação dos pontos extremos e inserindo uma barra
sobre essas notações.
1º Com a notação dos três pontos, colocando a
notação do vértice entre as notações dos demais
pontos e inserindo sobre ela o símbolo ^.
Ângulo AÔB ou ângulo BÔA
2º Com o símbolo  antes da notação dos três
pontos, desde que a notação do vértice esteja entre a
notação dos demais pontos.
 AOB ou  BOA
3º Com o símbolo ^ sobre a notação do ponto que
representa o vértice.
Segmento de reta
Ângulo Ô
ÂNGULOS
Ângulo é a parte do plano delimitada por duas
semirretas de mesma origem. Chamam-se de lado as
duas semirretas que formam o ângulo e de vértice a
origem comum às duas semirretas.
4º Por meio de sua medida, por exemplo, se o ângulo
medir  , denota-se:
Ângulo 
Classificação de Ângulos
o
Classificação quanto às medidas
O ângulo formado por duas semirretas coincidentes
recebe o nome de ângulo nulo, porém podem-se,
com a mesma ilustração, representar um ângulo de
volta completa ou ângulo giro, adicionando apenas
a ideia de que houve um “giro”.
NOTAÇÃO
Além do vértice, é preciso conhecer um ponto sobre
cada lado do ângulo para representá-lo. Na figura
Geometria I – EPUFABC
2
Capítulo 1 – Geometria Plana
o
Geometria I
Classificação quanto à posição
Quando dois ângulos distintos possuem a mesma
medida, diz-se que são ângulos congruentes.
Já o ângulo formado por duas semirretas opostas é o
ângulo raso ou ângulo de meia-volta.
No exemplo, acima o ângulo ABC e o ângulo
DEF são ângulos congruentes. Use-se a seguinte
notação:
Pode-se obter também um ângulo de
1
4
ABC  DEF
de volta, que
recebe o nome de ângulo reto. Esse ângulo tem uma
notação especial pelo fato de as duas semirretas que
o formam serem perpendiculares.
Um par de ângulos é chamado consecutivo quando
apresenta em comum seus vértices e um lado.
Ângulos cujas medidas estão entre 0° e 90° recebem
o nome de ângulos agudos; já os ângulos cujas
medidas estão entre 90° e 180° são chamados de
ângulos obtusos. Os famosos ângulos côncavos (ou
reentrantes) são aqueles cujas medidas estão entre
180° e 360°.
No exemplo acima, temos que os ângulos AÔB e o
AÔC são consecutivos. Os ângulos AÔC e BÔC, além
dos ângulos AÔB e BÔC também são consecutivos.
Já os ângulos adjacentes são um par de ângulos que,
além de apresentarem um lado comum (ou seja, são
consecutivos), não apresentam pontos internos em
comum.
AÔB e BÔC são adjacentes.
Geometria I – EPUFABC
3
Capítulo 1 – Geometria Plana
Geometria I
Relações entre ângulos
Um par de ângulos é complementar se, somando os
ângulos que o constituem, formar um ângulo reto.
No exemplo acima, temos:
- AÔC E BÔD são opostos pelo vértice.
- AÔB E CÔD são opostos pelo vértice.
    90 , portanto  e  são complementares.
Um par de ângulos adjacentes é suplementar se, ao
somá-los, formar um ângulo raso.
A principal propriedade aqui é que ângulos
opostos pelo vértice são congruentes! Assim, temse:
m(AÔC) = m(BÔD)
m(AÔB) = m(CÔD)
Isso é fácil de provar! Veja:
    180 , portanto  e  são suplementares.
Um par de ângulos adjacentes é replementar se, ao
somá-los, formar um ângulo giro (de 360°).
Da figura acima, pode-se visualizar duas equações:
    180
    180
Como as duas equações resultam em 180°, pode-se
igualá-las:
    
    360 , portanto  e  são replementares.
Existem ainda os ângulos explementares, que são
definidos quando a diferença de suas medidas é
igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do
outro. Por exemplo, 270°é o explemento de 90°,
pois 270° - 90° = 180°
Subtraindo  dos dois lados da equação, tem-se:
  ■
Ângulos Opostos pelo Vértice
Quando dois ângulos distintos possuem apenas seus
vértices em comum e seus lados formam semirretas
opostas, diz-se que são ângulos opostos pelo
vértice (O.P.V):
Geometria I – EPUFABC
4
Capítulo 1 – Geometria Plana
EXERCÍCIOS DE TREINO
1) a) Qual o valor de x na figura abaixo, sabendose que OC é bissetriz do ângulo AÔB. (Vale
lembrar que a bissetriz é a semirreta com origem no
vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos
congruentes).
b) Qual a medida do ângulo AÔB?
Geometria I
3)O suplemente do complemento de um ângulo
de 18° mede:
a) 18° b) 72° c) 90° d) 108° e) 162°
Resolução:
180  (90  18)
180  72
108
Alternativa D
4)A medida de um ângulo é igual à metade da
medida do seu suplemento. O complemento desse
ângulo mede:
a) 60° b) 90° c) 120° d) 30° e) 45°
Resolução:
a) Podemos igualar os dois ângulos, pois a bissetriz nos
garante que o corte do ângulo será congruente:
3 x  x  22
2 x  22
Resolução:
Parte 1:
180  x
2
2 x  180  x
x
3 x  180º
22
x
2
x  11
180
3
x  60
x
b) Substituindo x = 11° e somando os ângulos AÔC +
BÔC, temos:
Parte 2:
90  x
 3x  x  22
90  60
 (3*11)  11  22
 33  11  22
30
 66
Alternativa D
2)O complemente de um ângulo de 75° mede:
5)Com base nos dados da figura abaixo, calcule  :
a) 105° b) 90° c) 75° d) 25° e) 15°
Resolução:
x  75  90
x  90  75
x  15
Alternativa E
Geometria I – EPUFABC
5
Capítulo 1 – Geometria Plana
Resolução:
Geometria I
3) (UEL) Na figura a seguir, as medidas x, y e z são
diretamente proporcionais aos números 5, 20 e 25,
respectivamente.
Parte 1:
3  10  2  10
3  2  10  10
  20
Parte 2:
3  10    180
O suplemento do ângulo de medida x tem medida
igual a:
Parte 3:
Substituir   20 no resultado da Parte 2.
a) 144°
b) 128°
c) 116°
d) 82°
e) 54°
(3* 20)  10    180
60  10    180
50    180
  180  50
  130
4) (U.E. Ceará) O ângulo igual a 5 do seu suplemento
4
mede:
 vale 130°.
LISTA DE EXERCÍCIOS
1) O suplemento do complemento de um ângulo
agudo de medida x (em graus) é igual:
5) (PUC-SP) Um ângulo mede a metade do seu
complemento. Então esse ângulo mede:
a) 30°
b) 60°
c) 45°
d) 90°
e) 75°
a) 90°-x
b) 90° + x
c) x – 90°
d) 180° - x
e) 360° - x
2)
(CEAG)
Dois
ângulos
adjacentes
são
suplementares. Então o ângulo formado pelas
bissetrizes desses ângulos, mede:
a) 65°
b) 75°
c) 80°
d) 85°
e) 90°
a) 100°
b) 144°
c) 36°
d) 80°
e) 72°
6) (UF-Uberlândia) Dois ângulos consecutivos são
complementares. Então, o ângulo formado pelas
bissetrizes desses ângulos mede:
a) 20°
b) 30°
c) 35°
d) 40°
e) 45°
Gabarito:
1)B; 2)E; 3)A; 4)A; 5)A; 6)E
Geometria I – EPUFABC
6
Capítulo 1 – Geometria Plana
Geometria I
Paralelismo
Duas retas são paralelas se, e somente se, são
equidistantes em toda a sua extensão e não possuem
nenhum ponto em comum.
No exemplo acima, r//s (lê-se que a reta r é paralela à s).
Se duas retas possuem direções diferentes e possuem
um ponto em comum, então elas serão
concorrentes. Um caso especial de retas
concorrentes é quando o ângulo entre as duas é de
90°. Nesse caso, as retas serão concorrentes
perpendiculares.
Podemos classificar esses oito ângulos a partir de
suas posições. Se eles estiverem entre as retas
paralelas, então eles serão ângulos internos, caso
contrário serão ângulos externos.
As retas q e p são concorrentes e as retas r e s são
concorrentes perpendiculares.
Se duas retas pertencem ao mesmo plano e possuem
o mesmo ponto em comum, então elas serão
coincidentes:
A partir da reta transversal t podemos dizer que se
dois ângulos estão à direita ou ambos estão à
esquerda da reta t, então esses ângulos
são colaterais; mas se estão em lados alternados, um
à direita, e o outro à esquerda, dizemos que esses
ângulos são alternos.
Os ângulos formados pelas retas r e t são iguais aos
formados pelas retas s e t, então dizemos que esses
ângulos são correspondentes:
a e e; b e f; c e g; d e h são correspondentes. Se
desenharmos esses ângulos numa folha sulfite e
Retas
paralelas
transversal.
cortadas
por
uma
Dados, num plano, duas retas r e s e uma transversal
t, obtemos oito ângulos com características de
congruência:
recortamos, veremos que eles possuem a mesma
medida, ou seja, são congruentes!
Ângulos correspondentes são congruentes!
Geometria I – EPUFABC
7
Capítulo 1 – Geometria Plana
Os
ângulos d e f e
também e e c podem
Geometria I
ser
classificados como ângulos alternos internos, pois
estão na região interna e em lados alternados. Os
ângulos
d e e,
bem
como
os c e f, podem
ser
classificados como ângulos colaterais internos,
uma vez que estão na região interna e do mesmo lado
em relação à reta t. Da mesma forma, os
ângulos a e h,
assim
como b e g, são ângulos
colaterais externos, pois estão na região externa e
do mesmo lado em relação à reta t. Assim como os
Os ângulos que formam o Z são alternos internos e,
portanto, congruentes! Essa é a regra do “Zorro”!
Desenhar o “Z do Zorro” entre duas retas paralelas
ajuda na resolução de muitos exercícios desse tópico.
ângulos a e g, bem como b e h, são ângulos alternos
externos, pois estão na região externa e em lados
alternados em relação à reta transversal t.
EXERCÍCIOS DE TREINO
1) Sabendo que as retas r e s são paralelas e
interceptadas por uma reta transversal t,
determine o valor de x:
Resolução:
Os ângulos apresentados são alternos externos e,
portanto, possuem a mesma medida. Sendo assim,
tem-se:
2 x  60 
x
 30
2
x
 30  60
2
4x  x
 90
2
3 x  90 * 2
2x 
Nessa perspectiva, é extremamente importante
notar que ângulos colaterais (internos e externos)
são suplementares (a soma resulta em 180°) e os
ângulos alternos (internos e externos) são
congruentes!
3 x  180
x  60
Portanto, x vale 60°.
Observe a seguinte imagem:
Geometria I – EPUFABC
8
Capítulo 1 – Geometria Plana
2)(FCC) Na figura abaixo tem-se r//s; t e u são
transversais. O valor de x + y é
Geometria I
A soma x + y resulta em 130°, e a alternativa correta é
a letra c.
3) (UFES) Uma transversal intercepta duas paralelas
formando ângulos alternos internos expressos em
graus por (5x + 8) e (7x – 12). A soma das medidas
desses ângulos é:
a) 40°
b) 58°
c) 80°
d) 116°
e) 150°
a) 100°
b) 120°
c) 130°
d) 140°
e) 150°
Resolução:
Se os ângulos (5x + 8) e (7x – 12) são alternos
internos, podemos afirmar que suas medidas são
iguais. Sendo assim:
Resolução:
Para analisar as duas retas paralelas r e s cortadas
pelas duas retas transversais t e u, faz-se as
marcações coloridas de ângulos que podem ser
identificados:
7x – 12 = 5x + 8
7x – 5x = 8 + 12
2x = 20
x = 20/2
x = 10
As medidas dos ângulos são:
5x + 8 = 5*10 + 8 = 50 + 8 = 58
7x – 12 = 7*10 – 12 = 70 – 12 = 58
A soma desses ângulos é 58 + 58 = 116, portanto, a
alternativa correta é a letra d.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Observe que o ângulo de 20° e o ângulo y, destacados
em vermelho, podem ser classificados como alternos
externos, pois estão em lados “alternados” à reta u e
são “externos” às retas r e s, portanto, podemos
afirmar que esses ângulos possuem a mesma medida,
isto é, y = 20°.
1) (FUVEST) Na figura, as retas r e s são paralelas, o
ângulo 1 mede 45° e ângulo 3 mede 55°. A medida,
em graus, do ângulo 2 é:
Podemos ainda afirmar que o ângulo x', destacado em
verde, é correspondente ao ângulo x, sendo então de
mesma medida (x = x'). Temos ainda também que os
ângulos x' e 70° são suplementares, logo:
x' + 70° = 180°
x' = 180° – 70°
x' = 110°
x = 110°
a) 50°
b) 55°
c) 60°
d) 80°
e) 100°
Geometria I – EPUFABC
9
Capítulo 1 – Geometria Plana
2) (Mackenzie) Na figura abaixo, a e b são retas
paralelas.
Geometria I
a) 20°
b) 26°
c) 28°
d) 30°
e) 35°
5) (UNIRIO) As retas r1 e r2 são paralelas. O valor do
ângulo  apresentado na figura a seguir, é:
A afirmação correta a respeito do número que
expressa, em graus, a medida do ângulo α é:
a) um número primo maior que 23.
b) um número ímpar.
c) um múltiplo de 4.
d) um divisor de 60.
e) um múltiplo comum entre 5 e 7.
a) 40°
b) 45°
c) 50°
d) 65°
e) 130°
3) (Escola Técnica Federal – RJ) Duas retas paralelas
cortadas por uma transversal formam ângulos
alternos externos expressos em graus por 13x-8° e
6x+13°. A medida desses ângulos vale:
6) (IFPE) Júlia começou a estudar Geometria na sua
escola. Com dúvida em um exercício passado pelo
professor de matemática, ela pediu ajuda ao seu tio. O
enunciado era: “As retas r e s são paralelas; as retas u
e t, duas transversais. Encontre o valor do ângulo x
na figura abaixo”. Portanto, o valor de x é:
a) 31°
b) 3° ou 177°
c) 30° e 150°
d) 62°
e) 93°
4) (UNAERP) As retas r e s são interceptadas pela
transversal "t", conforme a figura. O valor de x para
que r e s sejam paralelas é:
a) 120°
b) 125°
c) 130°
d) 135°
e) 140°
Gabarito: 1)e; 2)d; 3)b ; 4)b ; 5)a ; 6)e.
Geometria I – EPUFABC
10
Capítulo 1 – Geometria Plana
Geometria I
a<b+c
b < a+ c
c < a+b
Triângulos
Unindo os segmentos formados por três pontos
distintos e não colineares num plano, obtém-se uma
figura geométrica chamada de triângulo.
TEOREMA DA Soma dos Ângulos internos
de um triângulo
Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo. Os
segmentos AB = c, AC = b e BC = a são seus lados e
os ângulos α, β e θ são ângulos internos.
Representa-se um triângulo utilizando o símbolo ∆
seguido da notação de seus três vértices, por
exemplo, ∆ABC (lê-se: triângulo ABC).
PROPRIEDADES GERAIS DOS TRIÂNGULOS
α + β + θ = 180°
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo
sempre formará um ângulo raso, ou seja, a soma de
suas medidas é igual a 180°.
Demonstração:
1ª Em todo triângulo, o lado de maior medida sempre
se opõe ao ângulo de maior medida e o lado de menor
medida sempre se opõe ao ângulo de menor medida.
Sobre o vértice B do triângulo, traçar uma reta
paralela ao segmento AC . Juntos, os ângulos ψ, φ e β
formam um ângulo raso, então:
ψ + φ + β = 180°
BC = a > AC = b > AB = c
α>β>θ
Então BC = a é oposto ao ângulo α e AB = c é oposto
ao ângulo θ.
2ª Desigualdade triangular. A medida de um dos
lados do triângulo é sempre menor que a soma das
medidas dos demais lados.
Observar, no entanto, que ψ e α são ângulos alternos
e internos, assim como φ e θ também o são. Pode-se
afirmar que:
Ψ=α
φ=θ
Substituindo esses resultados na equação inicial,
obtém-se:
a)
b)
ψ + φ + β = 180°
α + θ + β = 180°
Portanto:
α + β + θ = 180°
■
Geometria I – EPUFABC
11
Capítulo 1 – Geometria Plana
A soma das medidas dos ângulos internos de
qualquer triângulo é 180°, ou seja, eles formam um
ângulo raso.
TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO
O ângulo formado pelo prolongamento de um dos
lados do triângulo e seu lado adjacente é chamado
ângulo externo.
êA, êB e êC são ângulos externos do triângulo ABC.
Geometria I
Classificação de triângulos
o
Classificação de triângulos quanto
aos lados
Observando apenas as medidas dos lados de um
triângulo, pode-se classificá-lo em:

Escaleno: as medidas de todos os lados são
diferentes.

Isósceles: possui, pelo menos, dois lados com
a mesma medida.

Equilátero: possui todos os lados com a
mesma medida.
A medida do ângulo externo de qualquer triângulo é
igual à soma das medidas dos ângulos internos e não
adjacentes a ele.
Demonstração:
De acordo com a ilustração, pode-se afirmar: ê = α + β
Sabe-se que α + β + θ = 180° (soma dos ângulos
internos). E também se sabe que θ + ê = 180°, pois
formam um ângulo raso, então:
θ + ê = 180°
θ = 180° - ê
Substituindo o valor de θ na primeira equação:
α + β + θ = 180°
α + β + 180° - ê = 180°
α + β - ê = 0°
ê=α+β
Os riscos sobre os lados do triângulo servem para
informar quais lados têm a mesma medida. Isso
acontece quando tais lados possuem a mesma
quantidade de riscos.
o
Como α + β são ângulos internos e não adjacentes ao
ângulo externo ê, conclui-se que sua medida é igual à
soma dos ângulos interno e não adjacentes.
Classificação de triângulos quanto
aos ângulos
Observando apenas as medidas dos ângulos internos,
pode-se classificá-lo em:
Geometria I – EPUFABC
12
Capítulo 1 – Geometria Plana

Geometria I
Acutângulo: todos os ângulos internos são
agudos, ou seja, suas medidas estão entre 0° e
90°.
Β=θ
Portanto:
0 < α < 90°
0 < β < 90°
0 < θ < 90°

Os ângulos internos formados pela base de um
triângulo isósceles são sempre congruentes.
Obtusângulo: um dos ângulos internos é
obtuso, ou seja, sua medida está
compreendida entre 90° e 180°.
90° < α < 180°

Retângulo: um dos ângulos internos é reto, ou
seja, sua medida é 90°.
Propriedade
equiláteros
dos
triângulos
Como o triângulo equilátero possui todos os lados
valendo a mesma medida, pode-se afirmar que todos
os seus ângulos internos são congruentes, ou seja,
têm a mesma medida. Isso ocorre por serem opostos
a lados de mesma medida.
Portanto:
α=β=θ
Os ângulos internos de um triângulo equilátero são
sempre congruentes.
O ângulo  é reto.
Propriedade dos triângulos isósceles
Chama-se de base do triângulo isósceles o lado que
possui medida diferente da dos outros dois. Na
ilustração abaixo, BC é a base desse triângulo. Como
o triângulo isósceles possui dois lados de mesma
medida, pode-se afirmar que seus ângulos opostos
são congruentes, ou seja, têm a mesma medida.
Geometria I – EPUFABC
13
Capítulo 1 – Geometria Plana
Já que a soma dos ângulos internos de um triângulo é
sempre 180°, então se pode dizer que:
α + β + θ = 180°
3  α = 180°
α = 60°
Geometria I
O baricentro divide a mediana de modo que a medida
do segmento formado por um vértice e o baricentro é
o dobro da medida do segmento formado pelo
baricentro e o ponto médio do seu lado oposto.
Observando a ilustração acima, deduz-se que:
Logo:
AG 1

GM 2
Os ângulos internos de um triângulo equilátero
sempre têm medida 60°.
Bissetriz interna: A semirreta cuja origem é um
vértice do triângulo e que o divide em duas partes de
mesma medida, ou seja, em dois ângulos
congruentes, é chamada bissetriz interna.
Segmentos e pontos notáveis em um
triângulo.
Mediana: O segmento de reta cujas extremidades são
um vértice do triângulo e o ponto médio do seu lado
oposto recebe o nome de mediana.
O encontro de três bissetrizes de um triângulo forma
um ponto chamado incentro.
I é o incentro.
Um triângulo possui três medianas. O ponto de
encontro entre elas é chamado baricentro.
O incentro é o centro da circunferência inscrita no
triângulo. Com a ponta-seca do compasso nesse
ponto e raio como sendo a distância desse ponto a
qualquer um dos lados do triângulo, pode-se traçar
uma circunferência que tangencia os seus três lados.
G é o baricentro.
Geometria I – EPUFABC
14
Capítulo 1 – Geometria Plana
Geometria I
Altura: O segmento de reta no qual uma das
extremidades é o vértice de um triângulo e que forma
um ângulo reto com seu lado oposto, ou ao seu
prolongamento, é chamado altura.
O encontro de três mediatrizes de um triângulo
forma um ponto chamado circuncentro.
O encontro de três alturas, ou de seus
prolongamentos, é o ponto chamado ortocentro.
K é circuncentro.
O circuncentro é o centro da circunferência
circunscrita ao triângulo. Com a ponta-seca do
compasso nesse ponto e raio como sendo a distância
a qualquer um dos vértices do triângulo, pode-se
traçar uma circunferência que passa pelos seus três
vértices.
O ortocentro pode estar situado:



No interior do triângulo, caso o triângulo seja
acutângulo;
em um dos seus vértices, quando o triângulo
é retângulo;
fora do triângulo, quando o triângulo for
obtusângulo.
Mediatriz: A reta perpendicular a um lado do
triângulo e que passa por seu ponto médio é
chamado mediatriz.
Geometria I – EPUFABC
15
Capítulo 1 – Geometria Plana
Polígonos
o
Linha Poligonal
Uma sucessão de segmentos de retas consecutivas e
não colineares é chamada de linha poligonal. É
classificada em:
Geometria I
Na ilustração acima, os segmentos são os lados do
polígono, já que são os segmentos que formam a
linha poligonal. Os pontos A, B, C, D e E, comuns a
dois lados, são chamados vértices. Os lados que
possuem um vértice em comum são chamados lados
consecutivos. Já o ângulo formado por dois lados
consecutivos, cujo interior está contido na região
poligonal, é chamado ângulo interno. O ângulo
formado pelo prolongamento de um lado e seu lado
consecutivo é chamado ângulo externo. O segmento
formado por dois vértices não consecutivos é
chamado diagonal.
Dessa forma, pode-se dizer que:






AB, BC, CD, DE, e AE são lados;
A, B, C, D, e E são vértices;
AB e BC são lados consecutivos;
ai, bi, ci, di e ei são ângulos internos.
ae, be, ce, de, ee são ângulos externos e
AC é uma diagonal.
Polígonos côncavos e convexos
Polígono e região poligonal:
Uma linha poligonal simples e fechada forma um
polígono. Toda região interna a essa polígono,
inclusive a linha poligonal, recebo o nome de região
poligonal ou superfície poligonal. E uma linha não
simples, porém fechada, forma um polígono
complexo.
No polígono azul abaixo, nota-se que os
prolongamentos de seus lados não interceptam sua
região poligonal. Assim, costuma-se dizer que esse
polígono é convexo.
A mesma coisa não ocorre com o polígono laranja,
pois o prolongamento do lado BC passa pela sua
região poligonal. Esse polígono é côncavo ou não
convexo.
Geometria I – EPUFABC
16
Capítulo 1 – Geometria Plana
Nomenclatura
Os nomes dos polígonos são dados de acordo com
seu número de lados:
3 lados
Triângulo
4 lados
5 lados
6 lados
7 lados
8 lados
9 lados
10 lados
11 lados
12 lados
20 lados
Quadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono
Undecágono
Dodecágono
Icoságono
Geometria I
Para calcular a quantidade total de diagonais, deve-se
multiplicar esse valor por n, pois assim fica-se
sabendo a quantidade de diagonais que parte de
todos os seus vértices.
Ao se observar o pentágono acima, nota-se que, por
exemplo, a diagonal AC e a diagonal CA são
representadas pelo mesmo segmento de reta. Daí
pode-se concluir que a quantidade total de diagonais
está dobrada e que por isso deve-se dividir esse total
por dois. Dessa forma, chega-se à seguinte expressão:
Um modo prático de nomear qualquer polígono cuja
quantidade de lados seja maior que 12, exceto o
polígono com 20 lados, é escrever sua quantidade de
lados precedidos de gono (que, em grego, significa
ângulo). Por exemplo, um polígono de 15 lados pode
ser escrito como 15-gono.
d
(n  3)  n
2
em que d é quantidade de diagonais e n é a
quantidade de lados do polígono.
Soma dos ângulos internos de um
polígono convexo
Quantidade de diagonais de um
polígono qualquer
Ao observar o heptágono acima, nota-se que do
vértice A partem quatro diagonais, três a menos que
sua quantidade de lados. A mesma coisa ocorre com o
decágono: de seu vértice H partem sete diagonais,
três a menos que sua quantidade de lados. Dessa
forma, é possível generalizar dizendo que, para um
polígono com n lados, partem (n - 3) diagonais de
cada um de seus vértices.
Para calcular a soma dos ângulos internos do
hexágono abaixo, deve-se escolher um ponto
qualquer na sua região poligonal e, a partir desse
ponto, formar segmentos com todos os seus vértices.
É importante observar que o hexágono acima foi
dividido em seis triângulos. Agora basta multiplicar
180° (soma dos ângulos internos de qualquer
triângulo) pela quantidade de triângulos e subtrair o
ângulo.
C  c1  c2  c3  c4  c5  c6
que é igual a 360°.
Generalizando para um polígono com n lados, temos:
Geometria I – EPUFABC
17
Capítulo 1 – Geometria Plana
Si  (n 180º )  360
Geometria I
Sendo Se a soma dos ângulos externos de um
polígono qualquer.
Si  (n 180º )  2 180
Si  (n  2) 180º
Perímetro de polígonos
Si é a soma dos ângulos internos e n é o número de
lados.
Soma dos ângulos externos de um
polígono convexo
A soma das medidas de todos os lados de um
polígono qualquer é chamada de perímetro. A
ilustração abaixo representa um polígono cujas
medidas de seus lados estão expressas na figura.
Chamando de P o perímetro do polígono, tem-se:
P=a+b+c+d+e
Para qualquer polígono convexo, pode-se afirmar que
um ângulo interno e seu respectivo ângulo externo
são suplementares. Para um polígono com n lados,
pode-se afirmar que:
â1 + ê1 = 180°
â2 + ê2 = 180°
â3 + ê3 = 180°
...
ân + ên = 180°
Onde ân é um ângulo interno e ên é ângulo externo.
Generalizando: P = a soma das medidas de todos os
lados.
Semiperímetro de um polígono
qualquer
A metade da soma das medidas de todos os lados de
um polígono qualquer é chamada de semiperímetro.
A ilustração abaixo mostra um polígono cujas
medidas de seus lados estão expressas na figura.
Chamando de s o semiperímetro do polígono, tem-se:
Ao realizar a soma dessas expressões, temos:
â1 + â2 + â3 + ... + ân + ê1 + ê2 + ê3 + ... + ên = n * 180°
Si
Se
s=
Si  Se  n 180º
(n  2) 180  Se  n 180
Se  n 180  (n  2) 180
Generalizando:
Se  n 180  n 180  2 180
S=
Se  360
Geometria I – EPUFABC
18
Capítulo 1 – Geometria Plana
EXERCÍCIOS DE TREINO
1) Calcular a quantidade de diagonais, a soma dos
ângulos internos e externos, o perímetro e o
semiperímetro do polígono ao lado.
Resolução:
Quantidade de diagonais
d
Geometria I
2) (ENEM – 2011) O polígono que dá forma a essa
calçada é um invariante por rotações, em torno
de seu centro de:
a)45°
b)60°
c)90°
d)120°
e)180°
(5  3)  5
5
2
Soma dos ângulos internos
Si  (5  2) 180
Si  3 180
Si  540
A soma dos ângulos internos de qualquer pentágono é
540°.
Resolução: Uma figura é invariante por rotações n° em
torno de seu centro, quando ao rotacioná-la n°
obtemos a mesma figura. Figuras com um elevado
nível de simetria, como os polígonos regulares, são
bastante suscetíveis de serem invariantes por rotações
em determinado grau, em torno de seu centro.
Soma dos ângulos externos
Se  360
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono é
360°
Perímetro
P  65 43 2
P  20cm.
Semiperímetro
65 43 2
2
s  10cm.
s
Os blocos da figura em questão são formados pela
junção de três hexágonos regulares.
O polígono que dá forma a essa calçada é invariante
por rotações de 120° em torno de seu centro (o ponto
preto central do polígono), porque a figura não varia
ao realizarmos esta rotação.
Alternativa D.
Geometria I – EPUFABC
19
Capítulo 1 – Geometria Plana
Geometria I
3) (ENEM 2013) Para o reflorestamento de uma
área, deve-se cercar totalmente, com tela, os
lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo
rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será
comprado para confecção da cerca contém 48
metros de comprimento. A quantidade mínima de
rolos que deve ser comprada para cercar esse
terreno é:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 11
e) 13
A tabela traz uma relação de alguns polígonos
regulares, com as respectivas medidas de seus
ângulos internos. Se um arquiteto deseja utilizar
uma combinação de dois tipos diferentes de
ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um
deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter
a forma de um:
Resolução:
Como o lado margeado pelo rio não será
cercado, serão necessários 81 + 190 + 81 = 352
metros de tela para cercar. O rolo possui 48 metros
de comprimento, logo serão necessários 352 : 48 =
7,33 rolos. Como só é possível comprar rolos inteiros
de tela, deverão ser comprados 8 rolos para que
possa ser cercado todo o terreno.
Alternativa C.
4. (ENEM 2002) Na construção civil, é muito
comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com
a forma de polígonos para o revestimento de
pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as
combinações de polígonos que se prestam a
pavimentar uma superfície plana, sem que haja
falhas ou superposições de ladrilhos, como
ilustram as figuras.
a) triângulo
b) quadrado
c) pentágono
d) hexágono
e) eneágono
Resolução: O ângulo interno de 135º do octógono
precisa ser adicionado a outro diferente de forma que
a soma dê 360º. Como 360° - 135° = 315º seriam
necessários dois polígonos regulares iguais com ângulo
Geometria I – EPUFABC
20
Capítulo 1 – Geometria Plana
Geometria I
interno medindo a metade de 315°. Como não é
possível, devemos utilizar então 2 octógonos. A soma
totaliza 2*(135º) = 270°. Logo, será utilizado um
polígono regular de ângulo interno medindo 90º: o
quadrado.
Alternativa B.
Polígonos inscritos
Polígonos regulares
Acima, estão representados um pentágono regular e
um quadrilátero, ambos com seus vértices sobre uma
circunferência. Esses polígonos estão inscritos na
circunferência.
Se um polígono regular está inscrito em uma
circunferência, então:


“A arte recorre à Matemática para buscar a perfeição
das formas que descobre e constrói. A matemática,
em contrapartida, recorre à arte para concretizar e
sentir a teoria que desenvolve”. [Autor desconhecido]
Um polígono que possui todos os seus lados
congruentes, ou seja, com a mesma medida, é um
polígono equilátero. Quando possui todos os ângulos
internos
congruentes,
chama-se
polígono
equiângulo.

o centro O da circunferência é chamado
centro do polígono;
o raio r da circunferência é denominado de
raio do polígono regular.
o segmento traçado do centro da
circunferência ao ponto médio de um dos
lados do polígono é chamado apótema ap do
polígono regular. O apótema é o raio da
circunferência inscrita ao polígono , ou seja, a
circunferência que tangencia todos os lados
do polígono regular.
Ângulos internos e externos
Como um polígono regular é equiângulo, diz-se que
os ângulos internos de um polígono regular são
congruentes. Dessa forma, conclui-se que:
ai 
ai 
Um polígono que é, simultaneamente, equilátero e
equiângulo recebe o nome de polígono regular.
Si
n
(n  2) 180
n
ai é a medida de cada ângulo interno do polígono
regular.
Geometria I – EPUFABC
21
Capítulo 1 – Geometria Plana
Consequentemente, os ângulos externos de um
polígono regular são congruentes:
Se
n
360
ae 
n
ae 
Geometria I
Como o ângulo central ac desse polígono, encontra-se
o ângulo formado pelos lados congruentes. Por meio
da lei dos cossenos, pode-se encontrar a medida do
seu lado l em função do raio r do polígono e de seu
ângulo central.
l 2  r 2  r 2  2  r  r  cos 
l 2  2r 2  2  r 2  cos 
ae é a medida de cada ângulo externo do polígono
regular.
Ângulo central de um polígono
regular
l 2  2r 2  (1  cos  )
l  r  2  (1  cos  )
CÁLCULO DO Apótema.
Chama-se ângulo central de um polígono regular o
ângulo que tem como vértice o centro do polígono e
seus lados são formados por dois raios consecutivos.
Para calcular o ângulo central ac de um polígono
regular, divide-se o ângulo de volta completa (360°)
pela quantidade de lados do polígono (n).
Na ilustração abaixo, destacou-se um triângulo do
polígono regular em que seus lados são raios do
polígono, um apótema e a metade de um de seus
lados.
Aplicando o teorema de Pitágoras a esse triângulo:
ac 
360
n , em que n é o número de lados.
r 2  ( 2l ) 2  a p 2
a p 2  r 2  ( 2l ) 2
CÁLCULO DO LADO DE UM POLÍGONO
REGULAR.
a p  r 2  ( 2l ) 2
Na ilustração abaixo, ao traçarmos todos os raios do
polígono regular, ele se divide em triângulos. Ao
tomar apenas um desses triângulos, pode-se ver que
se trata de um triângulo isósceles, uma vez que dois
de seus lados são os raios do polígono.
LISTA DE EXERCÍCIOS
1) (FUVEST)Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono
regular. A medida, em graus, do ângulo α é:
Geometria I – EPUFABC
22
Capítulo 1 – Geometria Plana
a) 32°
b) 34°
c) 36°
d) 38°
e) 40°
2) (UFMG) Na figura, ABCD é um quadrado e BCE é
um triângulo equilátero.
Geometria I
b) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos
isósceles de ângulo da base medindo 30º.
c) 2 são triângulos isósceles de ângulo da base
medindo 50º e 4 são triângulos isósceles de
ângulo da base medindo 30º.
d) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos
retângulos isósceles.
e) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos
retângulos escalenos.
4) (FUVEST) No retângulo a seguir, o valor, em graus,
de α + β é:
A medida do ângulo AEB, em graus, é
a) 50
b) 90
c) 120
d) 130
e) 200
a) 30°
b) 48°
c) 60°
d) 75°
e) 80°
3) (UFSCAR) A figura 1 representa um determinado
encaixe no plano de 7 ladrilhos poligonais regulares
(1 hexágono, 2 triângulos, 4 quadrados), sem
sobreposições e cortes.
5) (UNESP) O número de diagonais de um polígono
convexo de x lados é dado por: N =
. Se o
polígono possui 9 diagonais, seu número de lados é:
a) 10
b) 9
c) 8
d) 7
e) 6
Em relação aos 6 ladrilhos triangulares colocados
perfeitamente nos espaços da figura 1, como indicado
na figura 2, é correto dizer que:
a) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos
isósceles de ângulo da base medindo 15º.
Gabarito:
1-C
2-D
3–D
4-D
Geometria I – EPUFABC
23