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Dois espelhos planos formam entre si um certo ângulo. Calcular esse ângulo, sabendose que se reduzindo esse ângulo de 15º o número de imagens, produzido pelo sistema de um
dado objeto, é aumentado de 4.
Dados do problema
•
•
•
•
θ 1;
θ 2 = θ 1 = 15º;
n 1;
n 2 = n 1 + 4.
ângulo na primeira situação:
ângulo na segunda situação:
número de imagens na primeira situação:
número de imagens na segunda situação:
Solução
Para dois espelhos formando um certo ângulo a expressão que dá o número de
imagens é
n=
360°
−1
θ
Escrevendo a expressão acima para as duas situações do problema e utilizando as
condições dadas temos o seguinte conjunto de equações
n1 =
360°
−1
θ1
(I)
n2 =
360°
−1
θ2
(II)
θ 2 = θ 1 − 15°
(III)
n 2 = n1 + 4
(IV)
Substituindo as expressões (III) e (IV) na expressão (II), obtemos
n1 + 4 =
360°
−1
θ 1 − 15°
Agora substituindo n 1 acima pela expressão (I), temos
360°
360°
− 1+ 4 =
−1
θ1
θ 1 − 15°
360°
360°
+1= 0
− 1+ 4 −
θ 1 − 15°
θ1
360°
360°
−
+4=0
θ1
θ 1 − 15°
(
multiplicando todos os termos pelo produto dos denominadores, θ 1 . θ 1 − 15°
(
) (
(
)
(
)
)
360°
360°
. θ 1 . θ 1 − 15° + 4 . θ 1 − 15° = 0
. θ 1 . θ 1 − 15° −
θ 1 − 15°
θ1
)
simplificando
(
)
(
)
360° . θ 1 − 15° − 360° θ 1 + 4 θ 1 . θ 1 − 15° = 0
1
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360° θ 1 − 5400 ° − 360° θ 1 + 4 . θ 12 − 60° θ 1 = 0
4 θ 12 − 60° θ 1 − 5400 ° = 0
dividindo toda a equação por 4, termos
θ 12 − 15° θ 1 − 1350° = 0
Esta é uma Equação do 2.º Grau em θ 1, resolvendo vem
∆ = b 2 − 4 . a . c = ( 15 ) − 4 .1. ( − 1350 ) = 225 + 5400 = 5625
2
θ1 =
−b±
∆
2a
=
15 ±
5625
2 .1
=
15 ± 75
2
as raízes serão
θ ′1 = 45°
e
θ′1′ = 30°
Usando as expressões (I), (II) e (III) para analisar os resultados vemos que para
θ 1 = θ′1 = 45° temos que o número de imagens na primeira situação é igual a
n1 =
360°
−1= 7
45°
Reduzindo-se o ângulo de 15º, temos na situação 2
θ 2 = 45° − 15° = 30°
n2 =
360°
− 1 = 11
30°
o número de imagens passou de 7 para 11, aumentando de 4.
Para θ 1 = θ′1′ = 30° o número inicial de imagens é n 1 = 11 (análogo ao cálculo de n 2
acima).
Diminuindo o ângulo de 15º, a segunda situação fica
θ 2 = 30° − 15° = 15°
n2 =
360°
− 1 = 23
15°
o número de imagens passou de 11 para 23, um aumento de 12 imagens.
Assim a resposta que nos interessa é
θ 1 = 45°
2