3.
Capítulo 30
Trigonometria no triângulo retângulo
(Enem) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como
herança um terreno retangular de 3 km × 2 km que contém
uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de
círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da
propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro,
os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo
que cada um ficasse com a terça parte da área de extração,
conforme mostra a figura.
m
L
2
1.
(UFPB) Em parques infantis, é comum encontrar um
brinquedo, chamado escorrego, constituído de uma
superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças
deslizam, e de uma escada que dá acesso à rampa. No parque
de certa praça, há um escorrego, apoiado em um piso plano
e horizontal, cuja escada tem 2 m de comprimento e forma
um ângulo de 45º com o piso; e a rampa forma um ângulo
de 30º com o piso, conforme ilustrado na figura a seguir.
Reprodução/UFPB
Matemática II
45º
30º
3km
De acordo com essas informações, é correto afirmar que o
comprimento (L) da rampa é de:
a) 2 m
d) 4 2 m
b) 2 2 m
e) 5 2 m
c) 3 2 m
João
Pedro
2km
1km
José
4.
1km
Em relação a partilha proposta, constata-se que a porcentagem
da área do terreno que coube a João corresponde,
aproximadamente, a:
(considere
3
= 0,58)
3
a) 50%
b) 43%
c) 37%
2.
d) 33%
e) 19%
(Enem) Um balão atmosférico, lançado em Bauru
(343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último
domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na
região de Presidente Prudente, assustando agricultores da
região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus,
desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália,
para a medição do comportamento da camada de ozônio, e
sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto
de medição.
http://www.correiodobrasil.com.br.
Acesso em: 02 maio 2010.
Balão
(Enem) Para determinar a distância de um barco até a praia,
um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de
um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um
ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido,
ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o
mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α.
A figura ilustra essa situação:
60°
1,8 Km
A
30°
3,7 Km
B
P
α
A
2α
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão.
Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou
sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição
vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo
sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo
de 30°. Qual a altura aproximada em que se encontrava o
balão?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km
Trajetória do barco
B
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30º e, ao
chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a
distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo
a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto
fixo P será:
a) 1000 m
d) 2000 m
b) 1000 3 m
e) 2000 3 m
c) 2000
ensino médio
3
m
3
1
1º ano
Capítulo 31
A triginometria da meia volta
1.
2.
A
(PUC-RJ) Os ângulos (em graus) θ entre 0° e 360° para os
quais senθ = cosθ são:
a) 45° e 90°
d) 45°, 90° e 180°
b) 45° e 225°
e) 90°, 180° e 270°
c) 180° e 360°
B
a) 2
b) – a
c) 0
4.
d) a
e) – 2
(PUC-R) O valor de
d)
b) 2
c)
tg 160o + tg 340o
é:
tg 200o
2 +1
2
BOMBA
e) 0
2
4
Se pretende bombear água do mesmo ponto de captação até
a casa, quantos metros de encanamento são necessários?
a) 65 m
b) 70 m
c) 72 m
d) 88 m
e) 92 m
Capítulo 32
Relações métricas num triângulo
qualquer
1.
(Unicamp-Modificada) A água utilizada na casa de um sítio é
captada e bombeada do rio para uma caixa-d’água a 50 m
de distância. A casa está a 80 m de distância da caixa-d’água
e o ângulo formado pelas direções caixa-d ’água – bomba e
caixa-d ’água – casa é de 60º. Ver figura abaixo.
cos 45o + sen 30o
é:
cos 60o
2 +1
a)
3.
Reprodução/Unicamp Modificada
(Udesc-SC) Se tg 20° = a, o valor de
C
Então, o comprimento da rampa deve ser:
a) 12 m
b) 12,5 m
c) 13 m
d) 13,5 m
e) 14 m
(Unifor) Sejam os arcos trigonométricos α, β e γ tais que:
– α e β pertencem ao 1º quadrante e γ pertence ao
2º quadrante;
– α e β são complementares;
– α e γ são suplementares.
Nessas condições, é correto afirmar que:
a) cosγ = cosα
d) senβ = – cosγ
b) tgα = tgγ
e) senα = – cosγ
c) tgγ = tgβ
3.
(Uepa) A figura a seguir mostra o corte lateral de um terreno
no qual será construída uma rampa reta, AC, que servirá para
o acesso de veículos à casa, que se encontra na parte mais
alta do terreno. A distância de A e B é de 6 m, de B a C é de
10 m e o menor ângulo formado entre AB e BC é de 120º.
Reprodução/Uepa
2.
Qual é o valor de x na figura abaixo?
B
4.
X
10cm
(Unifor/MOD) Em um triângulo, dois lados, cujas medidas são
4 m e 3 2 m, formam um ângulo de 45°. Qual é a medida,
em metros, do 3º lado?
a) 5 2 m
b)
A
1,25 cm
c) 10 m
C
H
10 m
d)
20cm
14 m
e) 2 14 m
a) 10 2 cm
d) 15 2 cm
b) 12 2 cm
e) 18 2 cm
c) 14 2 cm
ensino médio
2
1º ano
Quando a medida do segmento PM, percorrido por Maria,
5
for igual a 7, 5 = 5 + metros, o comprimento do arco de
2
circunferência PJ, percorrido por João, será igual a:
2
10
m
m
a)
d)
3
3
Medida de uma circunferência
1.
b) 2πm
(Uepa) Em Belém, George costuma levar Thales, seu filho, à
praça Batista Campos. Certo dia, observando Thales brincar
no balanço da praça, George, que é professor de Matemática,
^
resolveu calcular a medida do comprimento do arco AB
formado pela trajetória do balanço no momento em que
descrevia um movimento pendular, como mostra a figura a
seguir.
c)
3.
O
30°
e)
5
m
3
3
m
Você lembra do relógio da casa do
vovó,era um relógio de parede que
funciona à base de um pêndulo, figura (1).
Na maioria dos relógios de parede que
usam um pêndulo, ele balança uma
vez por segundo, descrevendo uma
trajetória correspondente a um arco
de uma circunferência de raio L igual
ao comprimento da haste do pêndulo.
Monthon Wachirasettakul/123RF/Easypix
Capítulo 33
3m
FIGURA 1
Considere uma esfera metálica presa
em uma das extremidades de uma haste de comprimento
L = 36 cm, a outra extremidade da haste está presa em O,
≠
cujo ângulo central mede
rad, figura 2.
12
O
A
B
Considerando que o ângulo (AÔB), observado por George,
tenha sido de 30º, que a medida da corrente que sustenta o
balanço era de 3 m e que o valor atribuído à π foi de 3,14,
^
então, o comprimento de AB calculado foi:
a) 1,35 m
b) 1,57 m
c) 1,89 m
d) 2,15 m
e) 2,31 m
2.
L = 36 cm
A
L = 36 cm
B
FIGURA 2
(PUC-SP) João e Maria costumavam namorar atravessando
um caminho reto que passava pelo centro de um canteiro
circular, cujo raio mede 5m (veja a figura 1).
Certo dia, após uma desavença que tiveram no ponto de
partida P, partiram emburrados, e ao mesmo tempo, para
o ponto de chegada C. Maria caminhou pelo diâmetro do
canteiro e João andou ao longo do caminho que margeava o
canteiro (sobre a circunferência), cuidando para estar, sempre,
à “mesma altura” de Maria, isto é, de modo que a reta MJ,
formada por Maria e João, ficasse sempre perpendicular ao
diâmetro do canteiro. Veja a figura 2.
Figura 1
π
rad
12
Ela executa o movimento de um pêndulo de relógio, saindo
da posição A para posição B. Portanto, podemos afirmar que
a esfera percorre aproximadamente:
a) 9,02 cm
d) 9,90 cm
b) 9,12 cm
e) 8,68 cm
c) 9,42 cm
4.
Figura 2
J
(UFMS) Em uma circunferência de raio igual a 324 cm,
considere um arco de 198 cm. Dentre os valores a seguir,
o que melhor se aproxima da medida do ângulo central
correspondente a esse arco é:
Dado: π ≅ 3,14
canteiro
P
ensino médio
caminho do
passeio
canteiro
C
P
M
a)
b)
c)
d)
e)
C
3
30º
35º
45º
48º
52º
1º ano
c) R$ 7 000,00
Capítulo 34
3.
Área de uma superfície poligonal
1.
30
(UFRJ) A origem do papel data do ano 105 A. C., na China.
Os árabes, ao capturarem artesãos chineses, levaram o
conhecimento da fabricação de papel para Bagdá. Em Xavita,
1085 D.C., foi instalado o primeiro moinho papeleiro da
Europa, na região dominada pelos mouros. Só depois é que a
produção de papel se disseminou por toda a Europa, deixou
de ser artesanal e, hoje em dia, no mundo todo, o papel é
largamente utilizado.
Na Figura 1, temos uma folha retangular de papel (a) medindo
21 cm x 30 cm. Um pentágono irregular é construído, em
dois tempos, por dobraduras, nessa folha. Primeiro, uma
das pontas é dobrada (b) de modo a definir um triângulo
(c). No segundo passo, a ponta oposta à primeira é dobrada,
definindo um novo triângulo (d). A folha assim dobrada
define o pentágono mostrado na Figura 2.
(a)
(b)
(c)
(UFMG/MOD) Observe as figuras:
90
40
40
110
12
Nessas figuras, estão representadas as vistas frontal e lateral
de uma casa de madeira para um cachorrinho, com todas as
medidas indicadas em centímetros. Observe que o telhado
avança 12 cm na parte da frente da casa. Considerando-se
os dados dessas figuras, a área total do telhado dessa casa
é de:
a) 0,96 m2
b) 1,22 m2
c) 1,44 m2
d) 0,72 m2
e) 1,34 m2
(d)
dobra
Folha A4
dobra
Figura 1
4.
Figura 2
(UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de quadrado
de lado igual a 21 cm e nomeie os seus vértices A, B, C, D,
conforme a figura 1. A seguir, dobre-a, de maneira que o
vértice D fique sobre o “lado” AB (figura 2). Seja D’ esta nova
posição do vértice D e x a distância de A a D’.
D
C
A
B
A área deste pentágono é igual a:
a) 579 cm2
d) 380 cm2
b) 475 cm2
e) 369 cm2
c) 400 cm2
2.
(Unipa-MG) Um casal adquiriu um terreno pela planta
retangular, de 10 m × 20 m, pagando R$ 50.000,00.
Quando o topógrafo foi medir, observou que as medidas
do terreno eram diferentes. No desenho abaixo, a área
destacada é a real.
b
a
Figura 1
a
a) A =
b) A =
a=1m
b=9m
c = 19 m
c
c) A =
a
d) A =
b
Pode-se concluir que o prejuízo do casal foi de:
a) R$ 2 000,00
d) R$ 9 000,00
b) R$ 5 000,00
e) R$ 11 000,00
ensino médio
D’
x
B
Figura 2
A função que expressa a área do triângulo retângulo
sombreado em função de x é:
c
a
A
e) A =
4
− x 3 + 441x
42
3
x − 441x
84
− x 3 + 441x
84
441− x 2
84
41 − x 2
44
42
1º ano
4.
Capítulo 35
(Profmat-Modificada) Na figura abaixo, cada lado do
quadrado ABCD foi dividido em quatro partes de mesma
medida. Qual é a área da região destacada em cinza em
função da medida do lado quadrado ABCD?
D
Áreas de figuras semelhantes
1.
área H
, em que H é um hexágono regular
área K
ABCDEF (com vértices nomeados no sentido horário) e K é
(UFC) A razão
P
C
Q
o hexágono obtido pela intersecção dos triângulos ACE e

BDF, é igual a:
a) 2
b) 2,5
c) 3
d) 3,5
e) 4
2.
R
S
A
(OBM/MOD) No triângulo ABC tem-se que M é o ponto
médio do lado AB (isto é, os segmentos AM e MB têm o
mesmo comprimento). N é o ponto médio de MC e R é o
ponto médio de NA. O triângulo ABC tem área 1200 cm2.
a)
b)
c)
d)
e)
C
B
52/8
2/4
32/8
52/4
32/4
N
Capítulo 36
R
A
M
B
Áreas de um círculo e de suas partes
Qual é a área do triângulo AMR?
a) 150 cm2
b) 180 cm2
c) 185 cm2
d) 200 cm2
e) 600 cm2
3.
1.
(Fafeod-MG/mod) A figura a seguir ilustra um triângulo ABC,
inscrito numa circunferência de centro O e raio 2,5 cm, sendo
CB igual a 3 cm.
C
(OBM/MOD) Um fazendeiro resolveu repartir sua fazenda para
seus cinco filhos. O desenho a seguir (fora de escala) representa
a fazenda e as partes dos herdeiros, que são da forma triangular,
BC
AC
DC
de modo que
=
BD =
, AE =
, DF =
e EG GC .
4
3
2
A
E
A
O
B
G
B
D
F
C
O filho mais novo recebeu o terreno representado pelo
triângulo escuro, de 40 alqueires. Quantos alqueires tinha a
propriedade original?
a) 300 alqueires
b) 320 alqueires
c) 350 alqueires
d) 360 alqueires
e) 400 alqueires
ensino médio
Assumindo π = 3,14, é correto afirmar que a área, em cm2,
da região hachurada na figura é:
a) 12,625
b) 13,625
c) 14,625
d) 15,625
e) 19,625
5
1º ano
2.
(Cefet-PR) Uma indústria necessita produzir lâminas de
máquinas moedoras de carne, conforme a especificação a
seguir.
cm
6
4
2
2
4
6
8
cm
A área da lâmina está diretamente relacionada com a potência
do motor da máquina. Considerando que o contorno da
lâmina somente é constituído de semicírculos, a área da
mesma, em cm2, é igual a:
a) 16
b) 16π
c) π
d) (4 + 16π)
e) (4 + 12π)
(Uespi) Um trabalhador gasta 3 horas para limpar um terreno
circular de 6 metros de raio. Se o terreno tivesse 12 metros
de raio, quanto tempo o trabalhador gastaria para limpar tal
terreno?
a) 6 h
b) 9 h
c) 12 h
d) 18 h
e) 20 h
4.
(Enem) Um engenheiro, para calcular a área de uma cidade,
copiou sua planta numa folha de papel de boa qualidade,
recortou e pesou numa balança de precisão, obtendo 40 g.
Em seguida, recortou, do mesmo desenho, uma praça de
dimensões reais 100 m × 100 m, pesou o recorte na mesma
balança e obteve 0,08 g.
Praça de área
conhecida
Reprodução/Enem
3.
Planta
Com esses dados foi possível dizer que a área da cidade, em
metros quadrados, é de, aproximadamente:
a) 800
b) 10 000
c) 320 000
d) 400 000
e) 5 000 000
ensino médio
6
1º ano