CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 04 (01 e 02):
23-39, 2006
O CONCEITO DE CAMPO, AS EQUAÇÕES DE MAXWELL E O
MENSAGEIRO DO OUTONO
A. V. Andrade-Neto
Departamento de Fı́sica, UEFS
Neste artigo procura-se discutir de forma elementar o conceito de campo como o mediador da
interação eletromagnética bem como o conjunto de equações (as equações de Maxwell) que
descrevem o seu comportamento. Em particular é discutido os significados e os conteúdos
expressivos dessas equações. Como ilustração pictórica desses conceitos é feito um paralelo
entre essa teoria e uma obra de Paul Klee intitulada o mensageiro do outono.
I.
INTRODUÇÃO
Segundo o conhecimento atual (inı́cio do século XXI) todos os fenômenos naturais são descritos em termos de quatro interações fundamentais que, por ordem decrescente de intensidade,
são: nuclear forte, eletromagnética, nuclear fraca e gravitacional.
As forças nuclear forte e nuclear fraca só se manifestam em escala microscópica, ou seja, seus
efeitos não se revelam no mundo macroscópico. A interação nuclear forte é responsável pela
aglutinação dos prótons e dos neutrons nos núcleos atômicos, bem como pela ligação dos quarks
(partı́culas que formam os prótons e os neutrons) no interior dos hádrons [1]. Já a interação
nuclear fraca é a responsável pelos processos radioativos dos elementos instáveis, cujos núcleos
emitem partı́culas subatômicas.
Os efeitos da força gravitacional se manifestam principalmente em fenômenos astronômicos.
Ela é a responsável pelos movimentos dos corpos celestes e pela organização do Universo em
grande escala.
Finalmente, a força eletromagnética (a que nos interessa neste trabalho) é a responsável
pela formação dos átomos e moléculas, ou seja, pela nossa própria formação.
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Para uma discussão bastante didática das interações fundamentais, ver a referência [2].
Neste trabalho pretendemos discutir, em nı́vel elementar, a interação eletromagnética
clássica, tal como foi sintetizada por Maxwell através das famosas equações que levam seu
nome. Pretendemos discutir o significado dessas equações e seu conteúdo expressivo e porque
se afirma que as mesmas representam uma teoria de campo.
As equações de Maxwell são apresentadas na notação moderna da análise vetorial. Entretanto, realizamos um esforço para que, mesmo aqueles que não estejam familiarizados com essa
linguagem, apreciem a profunda beleza dessas equações. Com esse objetivo concluiremos esse
artigo fazendo uma ilustração pictórica das equações de Maxwell utilizando um quadro de Paul
Klee.
II.
A CARGA ELÉTRICA
Como já salientado, pretendemos aqui descrever a interação eletromagnética. A entidade
fundamental que origina essa interação é a carga elétrica. Consideraremos a carga elétrica
como um conceito primitivo. O que podemos afirmar é que a carga elétrica é uma propriedade
fundamental e caracterı́stica das partı́culas que constituem a matéria; e que há dois tipos de
cargas elétricas, denominadas de positiva e negativa. Na visão atômica atual, toda matéria
é composta de prótons, neutrons e elétrons. Os prótons e os neutrons constituem o núcleo
atômico, uma região cujo diâmetro é da ordem de 10−15 m. Ao redor do núcleo existe uma
camada de elétrons (a eletrosfera) que se estende a uma distância de aproximadamente 10−10 m a
partir do núcleo. Observe que o núcleo atômico é uma região extremamente pequena comparada
com a eletrosfera. Por convenção — aliás, inteiramente arbitrária — a carga do elétron é
negativa, enquanto a do próton é positiva. Por sua vez, o neutron não possui carga elétrica e,
portanto, não pode interagir eletromagneticamente.
Quando dois corpos são friccionadaos há transferência de elétrons de um corpo a outro e
os corpos ficam carregados com cargas de mesmo valor absoluto e sinal contrário. A generalização dessa experiência constitui um princı́pio fundamental da Fı́sica: a lei da conservação da
carga elétrica, que afirma que a soma algébrica das cargas em um sistema isolado permanece
constante. Nunca foi observado nenhuma violação dessa regra.
Outra propriedade notável da carga elétrica é sua natureza quantizada. Isso significa que
existe um valor mı́nimo de carga e, chamada de carga elementar, e que qualquer valor de carga é
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O Conceito de Campo ...
um múltiplo dessa unidade básica. Essa carga elementar é o módulo da carga elétrica negativa
do elétron que é igual à carga elétrica positiva do próton (com erro relativo inferior a uma
parte em 1021 ). No Sistema Internacional, a unidade de carga é o Coulomb (sı́mbolo C). Nesta
unidade a carga elementar vale e = 1, 602177 × 10−19 C que é uma das constantes fundamentais
da natureza. Porqual razão a carga elétrica é quantizada é ainda um problema em aberto.
III.
A INTERAÇÃO ELÉTRICA
Iniciaremos a discussão do conceito de campo eletromagnético analisando cargas elétricas
em repouso. Nesta situação temos apenas o campo elétrico. Acreditamos que o conceito de
campo pode ser melhor compreendido em conexão com o conceito de força. Vamos, portanto,
considerar a interação entre duas partı́culas carregadas em repouso num sistema de referência
inercial. Experimentalmente observa-se os seguintes fatos: (a) as cargas exercem forças entre
si que atuam ao longo da linha que as une e que são inversamente proporcionais ao quadrado
da distância entre elas; (b) as forças são proporcionais ao produto das cargas e são repulsivas
para cargas de mesmo sinal e atrativas para cargas de sinais opostos.
As afirmações acima constituem a lei de Coulomb, a qual matematicamente é expressa como
~1 =
F
1 q1 q2
~
2 r̂12 = −F2 ,
4πo r12
(1)
~1 é a força sobre a carga q1 devido à carga q2 , r12 é a distância entre as duas partı́culas,
onde F
r̂12 é o vetor unitário na direção de 1 para 2 e 1/4πo é a constante de proporcionalidade,
escrita dessa forma por razões históricas onde o é a permissividade do espaço livre (vácuo)
e vale 8, 854 × 10−12 C 2 /N m2 e F~2 á a força sobre a carga q2 devido a carga q1 . O fato de
~2 significa que as forças coulombianas obedecem a terceira lei de Newton (ação e
que F~1 = −F
reação). Ressalte-se a grande semelhança entre a lei de Coulomb e a lei da gravitação universal
de Newton, onde o produto envolvido é o das massas. Uma diferença fundamental entre essas
leis é que, enquanto as forças elétricas podem ser repulsivas ou atrativas, a forca gravitacional
é sempre atrativa.
Se temos mais de duas cargas elétricas no vácuo, verifica-se experimentalmente que a força
coulombiana que atua sobre cada carga é a soma vetorial de sua interação com todas as outras
cargas, obtidas aplicando-se a cada par a lei de força. Assim, a força sobre a i-èsima carga será
dada por
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F~i = qi
X
i6=j
qj
2 r̂ij ,
4πo rij
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(2)
onde a soma se estende às demais cargas, exceto à de ı́ndice i (uma carga puntiforme não
interage com ela mesmo). A equação (2) é a expressão matemática do princı́pio de superposição.
Da equação (2) podemos ver que a força elétrica que atua sobre a partı́cula i é proporcional
a sua carga qi . Isso nos permite analisar o problema da interação entre cargas de um outro
ponto de vista. Podemos reescrever a equação (2) como
~i = qi E
~i ,
F
(3)
~ i é uma quantidade vetorial, que denominaremos campo elétrico, dado pela expressão
onde E
~i =
E
1 X qj
2 r̂ij ,
4πo
rij
j
(4)
que representa a lei de Coulomb para o campo elétrico.
~ no espaço em
Desse modo, podemos pensar que as outras cargas criam um campo elétrico E
torno delas e é esse campo que age sobre a partı́cula de carga qi , na posição onde a mesma se
encontra. Como a carga qi , denominada carga de prova ou carga teste, cria seu próprio campo,
ela deve ser tão pequena quanto possı́vel, a fim de não perturbar a distribuição de cargas que
produzem o campo que se deseja medir.
Vemos da equação (4) que uma distribuição de cargas modifica todos os pontos do espaço,
independentemente de existir ou não outras cargas nesses pontos. Desse modo, podemos afirmar
que o campo elétrico é uma propriedade do espaço vazio. A carga de prova pode revelar a
existência desta propriedade (o campo elétrico) através da força que atua sobre ela, e esta força
apontará no sentido do campo elétrico se a carga de prova for positiva, ou no sentido oposto
se a carga de prova for negativa. Isso significa que o campo elétrico introduz uma direção
preferencial no espaço ou, em outras palavras, o campo elétrico altera a homogeneidade do
espaço livre.
Assim, desse novo ponto de vista, descrevemos a interação entre cargas elétricas em repouso
a partir do seguinte esquema: uma dada configuração de cargas cria um campo elétrico em
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O Conceito de Campo ...
todos os pontos do espaço, e este campo, por sua vez, atua sobre outra carga situada em algum
ponto para produzir a interação mútua.
O primeiro ponto de vista, no qual há uma interação direta entre as cargas sem a mediação
do campo, é conhecido como ação à distância. De acordo com essa visão, excetuando-se os
pontos onde se localizam as cargas, o espaço não contém nada e, portanto, não possui nenhuma
propriedade.
O segundo ponto de vista, no qual a interação é mediada pelo campo que permeia todo o
espaço, é conhecido como ação local ou teoria de campo.
Há uma crença bastante difundida entre os fı́sicos de que a explicação para os fatos naturais
deve ser a mais simples possı́vel [3]. Aparentemente o ponto de vista da teoria de campo é
mais complicado. O que justifica introduzir o conceito de campo como mediador da interação
entre cargas? Na verdade, em situação na qual as cargas estão em repouso, os dois pontos de
vista são inteiramente equivalentes. Diferenças aparecem quando as posições das cargas variam
com o tempo; quando há movimento de uma carga em relação à outra. Relaxemos, então, a
hipótese de que as cargas q1 e q2 estão em repouso. A equação (1) continua valendo1 , i.e.,
~2 (terceira lei de Newton, ação e reação). Mas, em um intervalo de tempo infinitesimal
F~1 = −F
dt, as cargas adquirem uma quantidade de movimento d~
p1 e d~
p2 , respectivamente, e temos pela
segunda e terceira leis de Newton
p1
d~
p2
~1 = d~
~2 ,
F
=−
= −F
dt
dt
(5)
ou seja, as variações vetoriais intantâneas da quantidade de movimento das partı́culas 1 e 2,
em qualquer instante t, possuem mesmo módulo e sentidos opostos. Talvez o leitor tenha
ficado incomodado com a frase acima “variação instantânea da quantidade de movimento”. Se
isso aconteceu estamos no caminho certo para justificar a introdução do conceito de campo.
Investiguemos mais a fundo essa situação. A força entre duas partı́culas carregadas, segundo a
lei de Coulomb, depende somente da distância entre elas. Essa distância pode ter qualquer valor;
uma partı́cula pode estar na Terra e a outra no Sol, por exemplo. Se a distância entre as cargas
varia, a equação (5) implica que a mudança na quantidade de movimento de uma partı́cula é
1
Esta afirmação só é rigorosamente verdadeira se as velocidades das partı́culas forem muito menores que a
velocidade da luz no vácuo. Neste artigo sempre consideraremos esta situação, i.e., desprezaremos efeitos
relativı́sticos.
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sentida instantaneamente pela outra partı́cula qualquer que seja a distância que as separe (daı́
o nome de ação à distância). Em outras palavras, a interação coulombiana se propagaria com
uma velocidade infinita. Quase nenhum fı́sico acharia a idéia de ação a distância razoável. É
famosa a observação de Newton a esse respeito [Citado por M. Nussenzveig, referência [4]]
que um corpo possa atuar sobre outro à distância através do vácuo, sem qualquer
agente intermediário que possa transmitir esta ação de um ao outro, parece-me um
absurdo tão grande, que não acredito que qualquer pessoa competente para raciocinar
em termos de filosofia natural possa acreditar nisso.
O curioso em relação a essa observação é que se adotarmos o ponto de vista da teoria de
campo, segundo o qual a transmissão da interação ocorre com velocidade finita, a lei de ação
e reação não pode ser válida. Até mesmo a lei de Coulomb, que implica em ação à distância,
não pode ser universal. Ela precisa ser modificada para cargas em movimento. De fato, a lei
de Gauss, que é uma das equações de Maxwell, expressa a relação entre carga elétrica e campo
elétrico de outra forma e tem validade completamente geral, ou seja, é compatı́vel com a teoria
da relatividade restrita. Antes, porém, vejamos o que acontece quando as cargas elétricas se
movimentam.
IV.
A INTERAÇÃO MAGNÉTICA
Uma outra interação observada na Natureza é a magnética. Verifica-se experimentalmente
que alguns materiais (a magnetita, por exemplo) possuem a propriedade de atrair pequenos
fragmentos de ferro. Estes materiais são denominados imãs e a região do imã onde parece
estar localizada a fonte dessa interação é chamada de polo magnético. Também verifica-se
experimentalmente a existência de duas espécies de polos magnéticos, normalmente designados
de polos norte e sul. Os polos tem um comportamento qualitativo idêntico as cargas elétricas:
polos de mesmo nome se repelem, enquanto polos de nomes contrários se atraem.
Poderia-se, então, definir uma carga magnética e investigar a lei de força entre essas cargas,
de modo semelhante ao que foi feito para a interação gravitacional e interação elétrica. De
fato, isso foi tentado mas as tentativas de identificar uma partı́cula fundamental que possua
uma espécie de carga magnética fracassaram.
Estudos posteriores mostraram que o magnetismo é também uma manifestação de cargas
elétricas, quando estas estão em movimento.
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O Conceito de Campo ...
Consideremos, então, partı́culas eletricamente carregadas se movimentando em relação a um
referencial inercial e investiguemos os efeitos novos que aparecem. Se as velocidades das cargas
são pequenas em comparação com a velocidade da luz, o campo elétrico é essencialmente dado
pela lei de Coulomb. Então o que surge de novo?
Se as cargas se encontram em movimento uniforme, com velocidades ~v1 e ~v2 , respectivamente,
haverá entre elas, além da interação elétrica, uma interação magnética. A força magnética F~m
que q1 exerce sobre q2 é dada pela expressão
µo q 1 q 2
F~m =
v2 × (~v1 × r̂12 ) ,
2 ~
4π r12
(6)
onde a constante µo /4π desempenha aqui o mesmo papel que 1/4πo na interação elétrica e µo ,
denominada permeabilidade magnética do vácuo, vale exatamente 4π × 107 N s2 /C 2 .
Vemos da equação (6) que a força magnética entre duas cargas é muito mais complicada que
a força elétrica. Apesar do fato de o módulo das forças, nos dois casos, depender do produto das
cargas e variar com o inverso do quadrado da distância entre as partı́culas, adicionalmente a
força magnética depende das velocidades bem como aparece na equação (6) produtos vetoriais,
o que significa que a direção da força magnética não está ao longo da linha que une as cargas, i.e.,
ela não é uma força central. Devemos notar também que, na equação (6), F~m não depende da
velocidade relativa das cargas q1 e q2 , mas será diferente em outro referencial em movimento e,
muito importante, a força magnética será nula num referencial que se desloque com velocidade
~v1 , por exemplo, o que contradiz frontalmente o princı́pio de relatividade de Galileu — que
afirma que todos os referenciais inerciais são equivalentes.
De forma análoga ao caso da força elétrica, podemos também agora introduzir o conceito
de campo magnético, ou seja, podemos reescrever a equação (6) como
~1 ,
~m = q2~v2 × B
F
(7)
~ 1 é o campo magnético criado por uma partı́cula de carga q1 que se move com velocidade
onde B
uniforme ~v1
~ 1 = µo q1 ~v1 × r̂12 .
B
2
4π r12
(8)
~ 1 é o resultado de um produto vetorial de dois vetores polares, vemos que B
~ 1 é um
Como B
vetor axial (pseudo-vetor) ou seja, o seu sentido está associado a uma convenção. Se temos
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mais de uma carga em movimento, os campos magnéticos também serão aditivos, i.e., vale o
princı́pio de superposição.
Para o sistema de duas partı́culas que estamos considerando, de cargas q1 e q2 que se movem
com velocidades ~v1 e ~v2 em relação a um observador inercial, a força total que q1 exerce sobre
q2 será
~ 1 + ~v2 × B
~ 1) ,
~2 = q2 (E
F
(9)
~ 1 é dado por (4) (para i = 1 e j = 2) e B
~ 1 é dado por (8). O mesmo observador inercial
onde E
também medirá uma força
~1 = q1 (E
~ 2 + ~v1 × B
~ 2) ,
F
(10)
~2 e B
~ 2 são os campos elétrico e magnético medidos pelo obserque q2 exerce sobre q1 , onde E
~1
vador, criados por q2 na posição onde se encontra q1 . Comparando as partes magnéticas de F
~2 vemos que ~v2 × B
~ 1 é perpendicular ao plano formado por ~v2 e B
~ 1 , ao tempo que ~v1 × B
~ 2 é
eF
~ 2 ; ou seja, esses dois termos têm, em geral, direções
perpendicular ao plano formado por ~v1 e B
e módulos diferentes, logo, vemos que as forças entre duas partı́culas carregadas não têm a
mesma direção e não são iguais em módulo, o que contradiz a terceira lei de Newton.
Do exposto até agora concluı́mos que cargas elétricas em movimento (correntes) produzem,
além do campo elétrico, um campo magnético ou, em outras palavras, uma carga em repouso
produz apenas um campo elétrico; mas uma carga em movimento produz um campo elétrico e
um campo magnético. Desse modo, esses dois campos podem ser encarados como dois aspectos de uma propriedade fundamental da Natureza, daı́ porque ser preferı́vel falar em campo
eletromagnético. Aqui devemos enfatizar que o conceito de campo representa uma ruptura epistemológica profunda com a descrição newtoniana do mundo. Na visão newtoniana as partı́culas
interagem entre si diretamente. Mas, na ação local é a descrição do campo produzido pelas cargas que torna-se fundamental na descrição da Natureza. Uma discussão bastante interessante
e muito didática dessa ruptura epistemológica é encontrada na referência [5].
A descrição quantitativa do comportamento do campo eletromagnético é dada pelas equações
de Maxwell. Essas equações serão apresentadas a seguir, onde discutiremos seus conteúdos
expressivos e porque elas representam um novo paradigma para as leis da Fı́sica.
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CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 04, (01 e 02):
V.
O Conceito de Campo ...
23-39, 2006
AS EQUAÇÕES DE MAXWELL
O campo eletromagnético é descrito pelas chamadas equações de Maxwell, em homenagem
ao fı́sico James Clerk Maxwell, que ao escrever essas equações sintetizou de forma elegante
e concisa todos os fenômenos elétricos e magnéticos conhecidos em sua época e ainda previu
outros que foram observados tempos depois.
Em linguagem moderna, as equações de Maxwell no vácuo podem ser escritas como:
ρ
,
o
~ = 0,
div B
~
~ = − ∂B ,
rotE
∂t
~ =
div E
~ = µ0
rotB
~
∂E
J~ + 0
∂t
(11)
(12)
(13)
!
,
(14)
~ e B
~ são, respectivamente, os campos elétrico e magnético, ρ representa a densidade
onde E
de cargas elétricas, J~ a densidade de corrente elétrica e div e rot são operadores de derivação
espacial.
Quais os significados dessas equações? Qual é o seu conteúdo expressivo? O que representa
a sua estrutura formal? E, por fim, por que com tanta freqüência se diz que essas equações são
tão belas?
Pretendemos, a seguir, indicar algumas respostas a essas questões.
Para começar, podemos explorá-las lançando mão de dois critérios utilizados em arte: as
semelhanças e os contrastes. Podemos subdividir as quatro equações de Maxwell em dois grupos
de duas equações. O primeiro grupo é aquele no qual aparece o operador div:
ρ
,
o
~ = 0.
div B
~ =
div E
(15)
(16)
E no segundo aparece o operador rot:
~ = −
rotE
~
∂B
,
∂t
~ = µ0
rotB
~
∂E
J~ + 0
∂t
31
(17)
!
.
(18)
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CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 04, (01 e 02):
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É interessante observar que o tempo aparece explicitamente apenas no segundo grupo.
As equações (15) e (16) são conhecidas como lei de Gauss para o campo elétrico e magnético.
O que nos dizem essas equações? A equação (15) define uma relação local (em cada ponto do
~ (sua divergência) e a densidade volumétrica
espaço) entre uma propriedade do campo elétrico E
de carga ρ no mesmo ponto do espaço. Isso significa que os campos elétricos criados por cargas
elétricas são divergentes ou convergentes (a depender do sinal da carga). Dessa forma, podemos
afirmar que as cargas elétricas são as fontes do campo elétrico, cujo comportamento em cada
ponto do espaço é determinada pela distribuição das cargas elétricas.
A equação (16) diz-nos que não existem monopolos magnéticos (o equivalente a cargas
elétricas). Do ponto de vista matemático dizemos que os campos magnéticos são rotacionais.
Então o que produz o campo magnético? Este é produzido por cargas elétricas em movimento
(corrente elétrica) conforme vemos do primeiro termo do segundo membro da equação (14).
As equações (15) e (16) evidenciam assim, uma assimetria entre fenômenos elétricos e
magnéticos. Na Natureza existem cargas elétricas mas não existem cargas magnéticas (monopolos magnéticos). Podemos especular sobre a existência de monopolos magnéticos, já que se
estes existissem as equações de Maxwell seriam mais simétricas e, aparentemente, mais belas.
Podemos fazer os seguintes comentários. Em princı́pio pode haver monopolos magnéticos na
natureza, pois isso não violaria qualquer princı́pio fı́sico conhecido. Por outro lado, se a suposta
existência de monopolos magnéticos torna as equações de Maxwell mais simétricas, sua inexistência torna a natureza mais simples já que apenas uma entidade elementar (a carga elétrica)
é a responsável pela existência do campo eletromagnético. O preço a ser pago por essa opção
mais simples é a assimetria entre os campos elétrico e magnético.
O papel da motivação estética (em particular da simetria) na busca das leis fundamentais
da natureza não pode ser negligenciado. Basta lembrar que uma das grandes contruibuições de
Maxwell no estabelecimento da teoria eletromagnética foi a observação de que o campo elétrico
variável no tempo produz um campo magnético (fato representado matematicamente pelo segundo termo do lado direito da equação (18), conhecido como corrente de deslocamento). Pois
bem, esse efeito foi predito bem antes de sua observação experimental, ou seja, sua motivação
foi essencialmente estética.
Isso parece demonstrar que, mesmo não existindo nenhuma prova experimental da existência
de monopolos magnéticos, vale a pena conjecturar sua existência, simplesmente porque eles
tornariam as equações de Maxwell mais simétricas.
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CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 04, (01 e 02):
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O Conceito de Campo ...
Vou me atrever a levantar algumas objeções a esse argumento. É atribuı́da a Einstein a
afirmação de que um problema deve ser tornado o mais simples possı́vel, porém não mais
que isso. Usando o mesmo critério de Einstein, diria que as equações de Maxwell devem ser
as mais simétricas possı́veis, mas não mais que isso. Em primeiro lugar, os campos elétricos e
magnéticos são essencialmente diferentes porque a ação desses campos sobre uma carga elétrica
é diferente (lembremos que uma carga elétrica sente o efeito de um campo magnético apenas
quando está em movimento). Lançaria mão, então, de argumentos estéticos os quais afirmam
que nas obras de arte inexiste a simetria ou, nas palavras de F. Ostrower (retirado da referência
[6], p.17)
Na arte, todas as formas são assimétricas (mesmo as formas geométricas regulares),
a partir das diversas, e distintas, qualificações espaciais de cada uma das áreas das
quais se compõe a forma global. Por exemplo: sua área inferior (de elevado peso
visual) nunca é igual à área correspondente ao alto (mais leve), e também o lado
esquerdo se distingue do lado direito. Note-se que, na composição das imagens de
arte, o equilı́brio sempre tem caráter dinâmico, baseando-se no balanço de partes desiguais porém equivalentes (grifo da autora), em vez de partes iguais. Esta é a grande
diferença entre arte e geometria, cujos espaços são em si indiferentes e indiferenciados,
i.e., não expressivos.
Se não fosse assim, se perderia o caráter dinâmico do equilı́brio, as tensões espaciais, a
expressividade, enfim, tudo que torna uma obra de arte uma obra de arte. E mais ainda, a
forma global é composta a partir da integração das diversas áreas particulares assimétricas que
formam a imagem artı́stica.
De modo semelhante podemos afirmar que é graças a assimetria entre os campos elétrico
e magnético que eles formam uma totalidade indissolúvel (o campo eletromagnético); que nao
podem ser isolados de forma absoluta. O campo eletromagnético seria então uma sı́ntese dos
campos elétricos e magnéticos (irredutivelmente assimétricos) que só pódem ser individualizados
em situações estáticas.
Dessa maneira, afirmaria que o conjunto de leis descrito pelas equações de Maxwell, tal
como a conhecemos, com suas assimetrias, representa a solução mais bela para o campo eletromagnético.
E se algum dia o monopolo magnético for descoberto? certamente serão reveladas outras
assimetrias mais profundas e fundamentais da natureza e igualmente belas.
Vejamos agora o segundo grupo de equações:
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~ = −
rotE
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~
∂B
,
∂t
~
~ = µo (J~ + 0 ∂ E ) .
rotB
∂t
(19)
(20)
~ e B,
~ evidenciadas
Inicialmente podemos destacar mais uma assimetria entre os campos E
nas equações (19) e (20).
A equação (20) nos diz, entre outras coisas, que o campo magnético é produzido por cargas
elétricas em movimento (corrente elétrica) representada pelo sı́mbolo J~.
Não há um termo análogo no segundo membro na equação (19) que representaria cargas
magnéticas em movimento (densidade de corrente magnética). Essa assimetria também é conseqüência da inexistência de monopolos magnéticos cujas implicações discutimos acima.
A equação (19) mostra-nos que um campo magnético variável com o tempo produz um
campo elétrico. Por sua vez, vemos da equação (20) que o contrário também é verdadeiro, ou
seja, campos elétricos variáveis no tempo geram campos magnéticos.
Então, de forma bastante sucinta, podemos dizer que as equações de Maxwell expressam
a maneira como as cargas elétricas e correntes produzem os campos elétricos e magnéticos e
também como esses se geram mutuamente quando variam com o tempo em um ponto qualquer
do espaço num instante arbitrário. Há, assim, uma simplicidade espantosa subordinada a uma
estrutura teórica de grande consistência lógica: um ente fundamental (a carga elétrica) produz
um campo (o campo eletromagnético) o qual age sobre outros entes fundamentais (cargas
elétricas).
Contudo, devemos enfatizar um aspecto fundamental das equações de Maxwell. As alterações dos campos que aparecem nessas equações estão relacionadas com alterações apenas
em pontos próximos ao local observado e em instantes de tempo imediatamente anteriores ou,
em outras palavras, para descrever o comportamento do campo em um ponto arbitrário do
espaço em um instante arbitrário, precisamos conhecê-lo em instantes imediatamente anteriores e em sua vizinhança próxima. Isso não significa que as equações de Maxwell não nos
permitem relacionar eventos distantes. Elas permitem sim, desde que levemos em conta o
tempo de propagação da informação entre pontos distantes. É por essa propriedade fundamental que dizemos que as equações de Maxwell constituem uma teoria de campo. E qual é
a velocidade de propagação dessa informação? a resposta a essa questão é dada por uma das
mais impressionantes conseqüências das equações de Maxwell.
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CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 04, (01 e 02):
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O Conceito de Campo ...
Como vimos acima, cargas elétricas criam campos elétricos e, adicionalmente, se estiverem
em movimento, criam também campos magnéticos. Além disso, um campo magnético variável
com o tempo produz campo elétrico bem como um campo elétrico variável com o tempo igualmente produz um campo magnético. Consideremos, por exemplo, o campo magnético produzido dessa forma. Ora, esse campo será variável no tempo; logo, dará origem a um campo
elétrico variável . . . que por sua vez gerará um campo magnético variável . . . que por sua vez
. . . e todo esse processo dinâmico resultará num campo eletromagnético se espalhando pelo
espaço com uma velocidade bem definida, em outras palavras, acabamos de gerar uma onda
eletromagnética. Se o leitor, não muito familiarizado com as equações de Maxwell, achou a
descrição acima, apesar de poética, pouco convincente saiba que tudo isso pode ser deduzido
de forma rigorosa das equações de Maxwell e que encontra-se para a velocidade de propagação
o valor:
1
c= √
o µ o
(21)
e substituindo os valores numéricos das constantes eletromagnéticas o e µo encontra-se que
c = 2, 99792 × 108 m/s que é o valor da velocidade da luz no vácuo. Podemos, então, inferir
desse resultado que a luz é uma onda eletromagnética.
Que coisa fantástica!
As equações de Maxwell não só unificam os campos elétrico e
magnético, mostrando que estes formam um todo indissociável, bem como mostram que a
ótica, até então uma disciplina independente, nada mais é que um ramo do eletromagnetismo.
VI.
O MENSAGEIRO DO OUTONO
É costume, em trabalhos cientı́ficos, ao se apresentar uma teoria fazer em seguida uma
aplicação desta. Como ilustração das idéias discutidas acima vamos fazer um paralelo entre
uma obra pictórica e as equações de Maxwell.
Para isso vamos escolher uma obra do pintor Paul Klee intitulada o mensageiro do outono
(figura 1). Antes, vejamos alguns dados biográficos do artista.
Paul Klee nasceu em Münchenbuchsee, próximo de Berna, Suı́ça, em 18 de dezembro de
1879 que, por coincidência, foi o ano da morte de James C. Maxwell.
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Fig. 1: Paul Klee. O mensageiro do outono, pintura 1922, Yale University, New Haven. Extraido da
referência [7].
Seu pai, alemão, era professor de música e sua mãe, suı́ça, era pianista. Assim, a música
sempre foi uma presença forte em sua vida. Contudo, Klee sempre demonstrou um talento
precoce para a pintura. Em 1898 Klee muda-se para Munique para estudar pintura.
Em 1901 Klee viaja para a Itália, onde a cor mediterrânea lhe causa forte impressão. Em
1906 casa-se com Lily Stumpf, que era pianista.
Em 1911 Klee entra em contato com o grupo Der Blaue Reiter (O Cavaleiro Azul). Fazia
parte desse grupo Wassily Kandinsky, Franz Marc, Alfred Kubin, Alexei von Jawleusky, entre
outros. Dentre as preocupações do grupo destacava-se a utilização expressiva da cor. Em 1914
Klee viaja à Tunı́sia, onde a luz e a cor desse paı́s lhe marcaram profundamente e lhe serviram
como inspiração.
Em 1920 Klee é convidado a ingressar na Bauhaus. Localizada em Weimar, a Bahaus era
uma escola experimental de artes que notabilizou-se pela liberdade, pela inovação do seu ensino
e pela qualidade artı́stica dos professores. Obviamente a Bahaus não ficaria imune à ascensão
do nazismo. Como resultado da perseguição, a escola se transferiu, em 1927, de Weimar para
Dessau mas, em 1933, foi definitivamente fechada pelos nazistas.
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O Conceito de Campo ...
Fig. 2: Sensibilidade relativa do olho humano em função do comprimento de onda da luz. Extraido da
referência [8]
Com o agravamento da situação polı́tica, Klee retorna à Suiça. Mas, sem atividades docentes, pode-se dedicar mais à pintura. Em 1937 os nazistas montaram a famosa Exposição de
Arte Degenerada como ilustração das tendências da arte que deveriam ser eliminadas. Dezessete
obras de Klee foram incluı́das nessa exposição.
Em 1936 é diagnosticada uma enfermidade degenerativa que acabaria por levá-lo à morte
em 1940.
Um dos mais importantes artistas modernos, Klee explorou uma grande variedade de estilos
e tendências pictóricas. Observa-se em sua obra um mundo ordenado com elementos abstratos
e realistas, coerentemente ligados que remetem a uma realidade mais profunda. Essa caracterı́stica justifica plenamente a analogia com as equações de Maxwell. Analisemos o quadro.
No centro e deslocado para a direita vemos um retângulo de tons muito claros em cujo
interior se tem uma área oval de cor amarelo-alaranjado. É interessante observar que a sensibilidade relativa do olho humano é máxima em torno de 555 nm que corresponde a uma cor
amarelo-alaranjado (figura 2). Em torno desse retângulo mais claro há retângulos menores formando retângulos maiores. Os retângulos menores estão em vários tons (azul, verde, violeta,
amarelo, vermelho) muitos claros ou escuros. Quando percorremos o quadro observamos uma
espécie de movimento visual, como alguma coisa oscilante que atinge um máximo (uma cor
clara, por exemplo) e algum tempo depois atinge um mı́nimo (a cor clara se transforma numa
cor escura) e uma dá origem à outra de uma forma dinâmica ocupando todo o espaço. De que
outro modo um artista descreveria a natureza eletromagnética da luz? de que maneira pode-se
visualizar a interdependência dinâmica do campo eletromagnético?
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É claro que muitas outras analogias podem ser feitas a partir do quadro de Klee. Em
particular, é muito explorada a relação com a música, devido ao fato de, por um lado, Klee vir
de uma famı́lia de músicos e, por outro, os movimentos visuais em seus quadros remeterem a
movimentos musicais.
De qualquer modo, o próprio tı́tulo do trabalho (o mensageiro do outono) nos remete a um
fenômeno natural periódico; a passagem das estações, que podemos tomar como uma metáfora
dos ritmos da natureza. Há, ao mesmo tempo, uma unidade e inter-conexão entre todos os componentes, em incessante e múltipla transformação em seus elementos individuais assimétricos,
mas extremamente harmonioso e belo.
Tudo o que foi dito acima sobre a obra de Paul Klee pode ser dito para as equações de
Maxwell.
Contudo, se o leitor ainda achar forçado o paralelo entre a obra de Paul Klee e as equações
de Maxwell eu recorreria a Alberto Caeiro (um dos heterônimos de Fernando Pessoa) quando
afirma
A beleza é o nome de qualquer coisa que não existe, Que dou as cousas em troca do agrado
que me dão
E como sabem todos que já experimentaram, o estudo das equações de Maxwell dá tanto
agrado que é impossı́vel não ver a beleza que lá existe.
VII.
AGRADECIMENTOS
Agradeço ao Dr. Milton Souza Ribeiro pela leitura e valiosas sugestões para o presente
texto. Agradeço também à Mestre em Artes Risonete Andrade pelas valiosas lições sobre artes
plásticas. Finalmente, gostaria de agradecer aos estudantes das disciplinas Fı́sica III e Fı́sica
IV do curso de Fı́sica da UEFS que compartilharam do meu entusiasmo pelas equações de
Maxwell
[1] M. C. B. Abdalla, Fı́sica na Escola 6, 38 (2005).
[2] F. Ostermann, Fı́sica na Escola 2(1), 13 (2001).
[3] A. V. Andrade-Neto, Caderno de Fı́sica da UEFS 03, 09 (2005).
[4] H. M. Nussenzveig, Curso de Fı́sica Básica 3 Editora Edgar Blucher, São Paulo (1998).
[5] A. Einstein e L. Infeld, A Evolução da Fı́sica Editora Guanabara, Rio de Janeiro (1988).
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[6] F. Ostrower, A Sensibilidade do Intelecto Editora Campus, Rio de Janeiro (1998).
[7] F. Ostrower, Universos da Arte Editora Campus, Rio de Janeiro (2004).
[8] S. Rezende, A Fı́sica de Materiais e Dispositivos Eletrônicos Editora Universitária da UFPE, Recife
(1996).
SOBRE O AUTOR Antônio Vieira de Andrade-Neto - Doutor em Fı́sica pela UNICAMP, é Professor Adjunto do
Departamento de Fı́sica da UEFS.
e-mail: [email protected]
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