AS MOTIVAÇÕES DE NEWTON E LEIBNIZ PARA A CONCRETIZAÇÃO DO
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Resumo: O artigo tem como objetivo mostrar o Cálculo Diferencial e Integral em termos de
desenvolvimento e solidificação. Desde as ideias que foram a base dos conceitos de limite, derivada e
integral, desenvolvidos por Arquimedes, Zeno e Eudoxo. O que será mais focado no trabalho são as
contribuições de Newton e Leibniz que desenvolveram o estudo dessa área da matemática de forma
independente e mesmo assim chegaram a resultados semelhantes. Tinham uma forma distinta de tratar o
conhecimento, Newton tinha o Empirismo como base filosófica e Leibniz o Racionalismo, tendo assim,
motivações diferentes e objetivos distintos com a criação do Cálculo. Esse fato só veio a contribuir, pois
Newton queria uma ferramenta para estudar fenômenos físicos e Leibniz criar uma linguagem matemática
universal. O fato é que hoje possuímos uma nova área da Matemática muito importante para nosso
cotidiano. O que nos falta refletir é sobre como ela está sendo tratada e qual sua importância.
Palavras-chave: Cálculo Diferencial e Integral, Newton e Leibniz.
1. Apresentação
O presente artigo tem o intuito de apresentar ao leitor algumas informações
sobre o desenvolvimento e solidificação do Cálculo Diferencial e Integral. Dessa forma
está dividido em cinco partes, que trazem desde os primórdios até sua concretização
com Newton e Leibniz.
As ideias primitivas sobre conceitos de limite e integração, encontradas em
trabalhos de Arquimedes, Zeno e Eudoxo, como o método de Exaustão (concebido por
Eudoxo e aprimorado por Arquimedes), os paradoxos (elaborado por Zeno) e a
quadratura da parábola e trabalhos sobre espirais (desenvolvidos por Arquimedes), que
serviram de base para matemáticos no decurso de muitos anos até que no século XVIII
fossem utilizados para a concretização do Cálculo.
O artigo será mais focado em Newton e Leibniz. Como se sabe, é creditado tanto
a um quanto ao outro o título de inventores do Cálculo, pois, mesmo morando em
lugares distintos, seguiram de forma paralela com tal feito. Entre outros aspectos serão
discutidas as disputas pela prioridade na solidificação do Cálculo.
Também serão investigadas as motivações que levaram tais matemáticos a
desenvolverem esse conhecimento e as correntes filosóficas que basearam esse
desenvolvimento: o Empirismo adotado por Newton e o Racionalismo adotado por
Leibniz.
No decorrer do trabalho procuramos responder algumas questões que julgamos
importante para uma melhor formação enquanto profissional na área de Matemática, tais
como: Porque surgiu o Cálculo? Qual a importância do ensino de Cálculo? Como o
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Cálculo Diferencial e Integral é estudado hoje nas universidades? É justificada a escolha
do tema por um interesse em estudar as raízes dessa área da Matemática.
O artigo está sendo baseado nos trabalhos de Bard (2008), Meneghetti (2010),
Eves (2004), Boyer (1996) e Correa (2002).
2. Zeno, Eudoxo, Arquimedes e suas ideais essenciais.
Cerca de 2000 anos antes de Newton e Leibniz solidificarem o cálculo
Diferencial e Integral, alguns matemáticos como Arquimedes (287 – 212 a.C.), Zeno
(495 - 435 a.C.) e Eudoxo (408-355 a.C) desenvolveram ideias primitivas sobre tais
assuntos, algumas das quais serão apresentadas a seguir.
2.1. Paradoxos de Zeno
Zeno, em sua vida desenvolveu o estudo sobre assuntos que intrigaram filósofos
de sua época. Seguindo a tese da impossibilidade de movimento e pluralidade, lançou
alguns paradoxos dentre eles o da dicotomia, e o de Aquiles.
No paradoxo da dicotomia; Zeno defende que um segmento de uma reta pode ser
subdividido indefinidamente. Então o movimento é impossível, pois, para alcançar seu
percurso total, é preciso alcançar o ponto médio, que, por sua vez, é necessário alcançar
um quarto do segmento, e assim por diante. Elabora o paradoxo de Aquiles da seguinte
forma: um ponto B percorre em direção a um ponto A que está diante dele, esse ponto B
jamais alcançará o ponto A, pois deve partir do ponto inicial de A; mas quando o ponto
B chega ao ponto inicial, o ponto A já estará mais adiante e sempre permanecerá assim.
2.2. Método de Exaustão
Eudoxo começou seus estudos a partir de uma dificuldade de matemáticos de
seu tempo. O método de exaustão defende que uma grandeza pode ser subdividida
indefinidamente.
Se de uma grandeza qualquer subtraísse uma parte não menor que sua
metade, do restante subtrai-se também uma parte não menor que sua
metade, e assim por diante, se chegará por fim a uma grandeza menor
que qualquer outra grandeza predeterminada da mesma espécie.
(EVES, 2004, p. 419).
2.3. Contribuições de Arquimedes
Arquimedes desenvolveu e aprimorou o trabalho de Eudoxo e também realizou
outros estudos tais como; sobre a quadratura da parábola e espirais, entre outros.
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De acordo com Eves (2004) e Boyer (1996), a quadratura da parábola pode ser
descrita da seguinte maneira: dada uma parábola, qualquer segmento dessa parábola é
igual a quatro terços de um triângulo que tem a mesma base e a mesma altura da
parábola. A espiral de Arquimedes pode ser definida como sendo gerada por um ponto
com movimento uniforme ao longo de uma reta enquanto esta reta mantém um
movimento circular uniforme em torno de um ponto fixo.
O estudo desses matemáticos mostra idéias primitivas sobre o infinito e em
decorrência, o limite e também sobre cálculos de áreas a partir da decomposição de
figuras curvas, o que hoje chamamos de integração. Esses trabalhos foram a base das
ideias que viriam mais tarde a serem desenvolvidas no que se refere a Cálculo.
3. Um pouco de História
Isaac Newton (1642 - 1727)
Nascido na Inglaterra, mais precisamente na aldeia de Woolsthorpe, desde
criança criava aparelhos mecânicos. Aos dezoito anos de idade foi estudar no Trinith
College, em Cambridge.
A partir de então começou a desenvolver seus estudos sobre Física, Química,
Matemática, Astronomia, entre outros. O estudo da Química, a princípio, parecia ser seu
maior interesse. Depois começou a estudar obras de matemáticos e desenvolveu gosto
pelo Cálculo, entre essas obras estavam Os Elementos de Euclides, Lá Geometrie de
Descartes e também trabalhos de Viéte e Kepler.
Suas principais contribuições para a Física e a Matemática foram o Teorema
Binomial, a Lei da gravitação, o Cálculo Infinitesimal, e o trabalho sobre a Natureza das
cores.
Segundo Boyer (1996) e Eves (2004), essas descobertas aconteceram entre 1665
e 1666, em sua terra natal, onde ficara recluso devido a um surto de peste bubônica que
fechou as portas da Universidade de Cambridge.
Newton não tinha muito interesse em publicar suas obras, visto que a publicação
de Optiks em 1704 causou-lhe grande desconforto, isso devido a alguns cientistas se
oporem a suas ideias. No momento ele jurou não mais publicar coisa alguma em
ciências, é tanto que a maioria de seus trabalhos só veio a serem publicados muitos anos
depois de descobertos. Devido a isso, iniciaram-se as disputas de Newton e Leibniz
sobre a autoria do Cálculo Diferencial e Integral. Foi Newton que primeiro desenvolveu
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tais estudos, mas Leibniz mesmo tendo desenvolvido um pouco mais tarde, foi quem
primeiro publicou. (BOYER (1996) e EVES (2004)).
Newton lecionou dezoito anos na Universidade Cambridge, isso deu- lhe muito
tempo para prosseguir com suas pesquisas. Ganhou muito prestígio entre intelectuais de
sua época. Depois de uma doença em 1692, mas que durou dois anos e lhe causou
distúrbios mentais, concentrou seus estudos em Química, Teologia e Alquimia. Mesmo
assim continuava a responder problemas de matemáticas que lhe eram enviados.
Foi indicado inspetor da Casa da Moeda em 1696, sendo promovido a diretor em
1699. Em 1703 foi eleito presidente da Real Society e em 1705 recebeu o título de Sir,
título conferido somente a um cidadão britânico que tivesse grande destaque na
sociedade. (BOYER (1996) e EVES (2004)).
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
Leibniz nasceu em Leipzig na Alemanha, com um talento precoce. Ainda
criança já dominava vários idiomas e conhecimentos filosóficos e matemáticos de sua
época. Foi também em sua juventude que começou a desenvolver idéias sobre uma
matemática universal que posteriormente aparece em trabalhos publicados de outros
matemáticos.
Estudava na Universidade de Leipzig, mas esta lhe negou o grau de doutor em
Leis, por causa de sua pouca idade. Decidiu se mudar para Nuremberg, escreveu um
ensaio que lhe proporcionou uma vaga para uma comissão encarregada de recodificar
estatutos. Daí em diante Leibniz sempre esteve envolvido com assuntos diplomáticos.
Foi em uma viagem a Paris em 1672 que seu interesse de estudar matemática foi
mais aprofundado, pois conheceu Huygens (1629 - 1695), convenceu este a ministrar
aulas de Matemática. Posteriormente em outra viagem dessa vez a Londres, Leibniz
conheceu e começou uma amizade com Oldenburg (1615 - 1677) e outros cientistas,
apresentando à Royal Society uma máquina de calcular desenvolvida e aprimorada por
ele. A partir de seus estudos em matemática, desenvolveu muitas notações e fórmulas
matemáticas no campo de Cálculo. Quando assumiu o posto de bibliotecário em
Hanover teve mais tempo de dedicar-se à criação de artigos dos mais variados assuntos.
Fundou junto a Otto Mencke (1644? - 1707) em 1682 a revista Acta Eruditorum onde
publicara muitos de seus artigos. Em 1700 criou a Academia de Ciências de Berlim, e
depois se empenhou em criar academias semelhantes em Viena, Desdren e São
Petersburgo.
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Leibniz desenvolveu o Cálculo Diferencial e Integral entre 1673 e 1676. Para
representar as integrais, usou como símbolo um S alongado, esse derivado da palavra
summa, e usou dx, dy, dz para derivadas. Também desenvolveu muitas regras de
diferenciação. Por causa disso em seus trabalhos, muitas notações são utilizadas até hoje
e a fórmula da derivada do produto leva seu nome.
4. As bases filosóficas: o Empirismo e o Racionalismo
Os trabalhos de Newton se baseavam em pensamentos empíricos. Para ele o
conhecimento para ser válido precisa passar por experiências.
Seu interesse se mantinha em raciocínios matemáticos que pudessem ser
descritos como problemas físicos, sujeitos à experimentação. Por desprezar tudo que era
perceptível a priori, Newton desprezava as hipóteses, “mas se ainda houver alguma
dúvida [sobre minhas conclusões] é melhor colocar o caso em circunstâncias mais
aprofundadas do experimento do que aquiescer à possibilidade de qualquer explicação
hipotética”. (BURTT, 1991 apud MENEGHETTI, 2010, pág. 68).
Para Newton a experiência é o fator inicial e final para se deduzir leis
matemáticas. Segundo Meneghetti (2010), seu método experimental-matemático pode
ser dividido em três etapas. Primeiro, um procedimento de simplificação do fenômeno
observado e uma experiência; segundo, traduzir-se em conceito matemático o resultado
da experiência, e, terceiro, uma experiência mais aprofundada de tal conceito, para
então verificar a aplicabilidade de tais conceitos de maneira geral e em qualquer campo
de estudo.
Diferente dos trabalhos de Newton que eram baseados na experimentação como
doutrina para se chegar de fato ao conhecimento, os trabalhos de Leibniz eram
caracterizados por pensamentos racionalistas. Para ele o conhecimento se evidencia por
meio de consequências, não necessitando de experiência.
Diferente dos trabalhos de Newton que eram baseados na experimentação como
doutrina para se chegar de fato ao conhecimento, os trabalhos de Leibniz eram
caracterizados por pensamentos racionalistas. Para ele o conhecimento se evidencia por
meio de consequências, não necessitando de experiência.
Leibniz acreditava que o conhecimento matemático desenvolvido por nós é algo
que está desde sempre presente em nossas almas e, então, o que deve ser feito é acordar
a matemática que está adormecida.
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Mas será que Newton era rigidamente empírico? Sem ter uma hipótese ou uma
verdade a priori como ele podia chegar a uma experiência e comprovar seus resultados?
E Leibniz, será racionalista a todo tempo? Então, como pode obter seus
resultados sem recorrer à experimentação com um fator para comprovar suas
conclusões?
Essas e outras questões deixam algumas dúvidas para essas correntes filosóficas
tão enraizadas em seus trabalhos.
5. As motivações e a concretização
Os métodos que anteciparam o conceito de Cálculo Diferencial e Integral eram,
em sua essência, geométricos. Somente entre os séculos XVI e XVII essa atitude
começou a se modificar, considerando-se ideias da Álgebra nesse processo.
Para
Descartes (1596 - 1650) e Fermat (1601 - 1665) as incógnitas de uma
equação podiam ser associadas a segmentos e linhas. A noção de números infinitesimais
surgiu primeiramente em alguns trabalhos que Fermat se envolvera o que o levou a
desenvolver seu método de determinar máximos e mínimos. Esse método desencadeou
outros trabalhos de grande importância para o desenvolvimento do Cálculo.
(MENEGHETTI, 2010).
Do mesmo modo, Descartes usou em seus trabalhos a noção de primeiro instante
do movimento ou primeira velocidade que se possa imaginar. O fato é que tanto os
trabalhos de Descartes e Fermat, quanto as ideias primitivas de Arquimedes, Zeno e
Eudoxo foram as bases desse desenvolvimento e Newton e Leibniz nos conceitos de
Cálculo.
Newton foi aluno de Isaac Barrow (1630-1677), desde sempre impulsionado por
suas ideias, também foi influenciado pelos trabalhos de Hobbes (1588 - 1651), visto que
ambos eram empiristas natos. Isso talvez tenha motivado Newton a adotar a
experimentação como doutrina do conhecimento.
Newton desenvolveu seu Cálculo numa tentativa de solucionar problemas físicos
relacionados a movimento e tempo, mas sempre tratando cada problema como
particular. Ele acreditava que com o desenvolvimento do Cálculo, teria uma ferramenta
a mais para se aplicar na Física.
Utilizou a ideia de infinitamente pequeno nos campos da Geometria e da
Análise. Desenvolveu o Teorema Binomial a partir de estudos sobre trabalhos de
Barrow e Cavalieri (1598-1647). Embora Newton baseasse seus trabalhos nas ideias
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matemáticas que o precedera, ele buscou utilizar uma teoria nova que lhe proporcionou
outra visão do Cálculo1.
Seu método, como assim chamou de Fluxos e fluentes, sendo fluxos a razão da
geração de movimentos contínuos e agregados e fluentes as quantidades geradas em
instantes infinitamente pequenos. (MENEGHETTI, 2010).
Segundo Meneghetti (2010), pág. o modo de interpretar a nova análise, foi
dividido por Newton em três etapas:
i)em termos infinitesimais do primeiro livro De Analysi
ii)em termos de razões primeiras e últimas, modo apresentado em
particular, no De quadratura.
iii)em termos de fluxões, método demonstrado em seu Methodus
fluxionum.
Os trabalhos de Newton tinham um caráter intuitivo e é perceptível uma visão
mais geométrica no que se trata de seu Cálculo.
Leibniz, por sua vez, desenvolveu o Cálculo numa tentativa de obter uma
linguagem simbólica universal, aplicável a todos os trabalhos relacionados a essa área
da matemática. Procurou colocar todos os seus trabalhos em formas algorítmicas,
simplificando assim elementos do raciocínio lógico, utilizando assim a aritmética e o
formalismo como peças fundamentais no desenvolvimento de suas ideias. “Seu projeto
de vida foi procurar uma linguagem universal para padronizar e mecanizar todo
processo do pensamento racional humano”. (EDWARDS, 1979 apud MENEGUETTI,
2010, pág.103).
Chamou seu método de Cálculo diferencial e somatório. Chegou a esse nome ao
ler um trabalho de Pascal (1623-1662), no qual observou que a determinação da reta
tangente depende da razão de diferenças entre a abscissa e a ordenada num intervalo
infinitamente pequeno. Também observou que uma quadratura depende da soma das
ordenadas para intervalos infinitesimais da abscissa.
Leibniz buscou inspiração no seu mentor e amigo Huygens, que sempre
procurava colocar diante de Leibniz problemas desafiadores. Um desses problemas foi
calcular a soma de uma série infinita. Nele, Huygens pôde observar o quão ágil era seu
aluno e nessa ocasião pediu que ele continuasse seus estudos em Matemática.
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Na determinação da quadratura de uma curva, Newton usou o termo de razão momentânea e calculou a
área por antiderivação e considera a derivada como fator primitivo e a integral como definida em função
dessas. (MENEGHETTI, 2010)
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Leibniz não tinha tanto treinamento formal em Matemática. Isso ajudou a tornar
seu trabalho original. Esse fato também pode o ter prejudicado e o levado a cometer
deslizes no futuro.
6. Alguns questionamentos importantes
Depois de se investigar um pouco das ideias de Newton e Leibniz, deve-se
analisar e procurar responder alguns questionamentos, tais como: Qual a importância do
Cálculo? Como o estudo do Cálculo vem sendo tratado nas universidades?
Mas antes devemos ter em mente as bases da ideia de Cálculo em termos de seus
primórdios, então podemos dizer que surgiu como consequência de trabalhos que o
precederam, trabalhos esses que só vieram a ajudar na concretização desse novo campo
da Matemática.
O Cálculo é uma ferramenta muito importante para o estudo de fenômenos que
nos cercam. Devemos voltar um pouco as atenções ao Teorema Fundamental do
Cálculo2 (TFC), pois seu resultado e uma base muito importante para o estudo da
Derivação e Integração. O TFC foi melhorado e tomou um caráter geral a partir de
Newton e Leibniz. Newton via no Cálculo uma ferramenta para estudar fenômenos
físicos. Mas podemos observar que ao passo que o Cálculo estava se desenvolvendo,
várias técnicas algorítmicas foram sendo criada, Leibniz contribuiu para isso, o que
ajudou para o avanço da Matemática enquanto ciência.
As disciplinas que tratam do Cálculo nas universidades, em sua maioria,
exploram mais o caráter algorítmico, sendo usados procedimentos algébricos o que
dificultam o entendimento de sua aplicabilidade no dia-a-dia. De outra forma, o estudo
do Cálculo deveria ser direcionado ao significado do que é a Derivação e a Integração,
pois, na maioria das vezes os estudos são voltados aos métodos de resolução, o
significado na maioria das vezes é deixado de lado.
7. Considerações finais
Podemos observar que o Cálculo para ser concretizado por Newton e Leibniz passou
por várias fases importantíssimas. Newton e Leibniz, mesmo em contextos diferentes,
conseguiram desenvolver as ideias dessa área da Matemática e criaram uma linguagem
matemática universal. Sempre se é questionado quanto à prioridade na concretização do
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O Teorema Fundamental do Cálculo é à base das operações centrais do Cálculo, diferenciação e
integração que são considerados como processos inversos um do outro.
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Cálculo, mas de acordo com Eves (2004) e Boyer (1996), se chegou a um consenso e
tanto Newton quanto Leibniz são considerados inventores do Cálculo, e esse título é
mais que merecido a eles. Mas embora eles tenham contribuído para essa concretização,
seus trabalhos ainda deixaram algumas pendências, e essas vêm sendo estudadas ao
longo dos anos e sempre melhoradas. Newton com sua incrível habilidade em ciências
quase que em geral, soube de maneira eficaz criar uma nova análise e aprimorar
métodos já existentes. E Leibniz, com sua imaginação fértil, conseguiu desenvolver
uma linguagem matemática universal.
Mas hoje, como o cálculo é tratado? Será que ele tem a importância que merece? Ou é
apenas visto como uma disciplina complicada na qual quase sempre os alunos
encontram dificuldades?
Esses e outros questionamentos para nós, enquanto alunos e professores devem ser
levantados e, mais, devemos pensar em um modo de mudar essa realidade, procurando
meios para que o ensino do Cálculo Diferencial e Integral seja tratado com a
importância que merece.
Referências
BARDI, J. S. A guerra do Cálculo. Tradução: Aluízio Pestana da Costa. Record. Rio de
Janeiro, 2008, 303 p.
BOYER, C. B. Introdução à história da matemática. Editora Edgard Blucher. São
Paulo, 1996, 496 p.
CORREA, W. As ideias envolvidas na gênese do Teorema Fundamental do Cálculo.
São Paulo: PUC, 2002. Disponível em:< www.puc.sp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/
walquiria_correa.pdf>, acessado em 23/08/2012. (Dissertação de mestrado)
EVES, H. Introdução à história da matemática; tradução: Hygino H. Domingues.
Campinas, SP. Editora da Unicamp, 2004, 843p.
MENEGHETTI, R.C.G. Constituição do saber matemático: reflexões filosóficas e
históricas. Eduel. Londrina, 2010, 172 p.
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