Curso de História da Matemática
Origens e Desenvolvimento do cálculo
Autora: Margaret E. Baron
Vol. 1, 2, 3, 4, 5
Contextualizando
Século XV e início do século XVI: aplicação
prática na matemática.
Arquimedes foi amplamente estudado , uma vez
que, ele foi o matemático que mais se
destacou, até então, na aplicação da
matemática a problemas físicos.
*Utilização do método de exaustão.
Contextualizando
Johannes Kepler e Galileu Galilei foram os primeiros
a abandonar a estrutura de demonstração de
Aristóteles em troca do uso do indivisível.
Galileu esperava achar leis fundamentais que
formassem o fundamento para a ciência.
Kepler aplicou suas idéias no cálculo de áreas e
volumes utilizando a noção de que eles eram
compostos de uma quantidade infinita de retas
ou planos.
Johannes Kepler
Galileu Galilei
O cálculo
O cálculo foi desenvolvido através do estudo de curvas.
Na metade o século XVII Descartes introduziu métodos
algébricos à geometria mostrando que as curvas
podem ser representadas por equações. Tornou-se
possível usar tais equações para exprimir as relações
entre a abcissa (x) e a ordenada (y).
A abcissa, a ordenada e outras quantidades tais como a
subtangente , a norma, a área são chamadas de
quantidades variáveis vinculadas à curva
Issac Newton (1642-1727)
• Newton nasceu em um
período em que idéias
como a de que os corpos
celestes pudessem estar
sujeitos as mesmas leis
dos corpos terrestes e
que estas leis pudessem
ser melhor
compreendidas
mediantes a matemática
ganhavam crescente
apoio.
Issac Newton
• Além de se interessar
pela matemática, Newton
faz também
investigações importantes
sobre a teoria da luz;
procurou por anos uma
forma de transformar
metais em ouro e até
construiu um telescópio
de espelho altamente
eficaz e de reduzido
tamanho.
Issac Newton
Os ensaios pelos quais o cálculo
de Newton tornou-se
conhecido foram:
• De analysi per equationes
numero terminorum infinitas
(1669)
• Methodus fluxionum et
serierum infinitarum (1671) –
não publicado em vida
• Tractatus de quadratura
curvarum (1693)
• Principia (1687)
Issac Newton
Fluentes e Fluxões
Idéia de curvas por movimento
Se x, y, z são os fluentes, ou seja, são variáveis que aumentam
ou diminuem com o tempo, então
x , y , z representam as fluxões ou velocidades.
Séries infinitas
Utilização de séries infinitas como ferramenta no
desenvolvimento de métodos sistemáticos de integração.
• Quadratura das curvas
• Retificação de arcos
Issac Newton
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•
Notação
A notação x,y na descrição de uma curva, foi
naturalmente introduzida por Descartes; Newton
a utilizava consistentemente para a abcissa e a
ordenada
Os eixos eram traçados de modo usual e em
posição retangular
Não utilizava um símbolo especial para denotar o
processo de integração
Utilizava um ponto para as fluxões
Issac Newton
Resolução de problemas
Newton reconheceu a necessidade de um tratamento
sistemático para todos os problemas referentes às
propriedades das linhas curvas.
Desde o início dos seus estudos, estabeleceu tabelas de
resultados que lhe possibilitassem a integração e
diferenciação diretas.
Fica claro que seu objetivo era estabelecer regras
compreensivas através das quais todas as propriedades
identificáveis das curvas que conhecia pudessem ser
deduzidas com o mínimo de esforço.
Gottfried Leibniz (1646-1716)
Formado em direito pela
Univerdade de Altdorf.
Interessado pela
matemática além do
cálculo investigou o
sistema de números
binários e explorou a
teoria dos
determinantes.
Gottfried Leibniz
Characteristica generalis
Idéia: uma linguagem simbólica geral com a qual poderiam ser
traduzidos todos os processos de raciocínio e de
argumento. Ela teria certas regras lógicas, que garantissem,
se fossem obedecidas, que o argumento seria correto.
Uma vez traduzido um problema para a linguagem simbólica,
a aplicação das regras conduziria quase mecanicamente a
sua solução.
Leibniz não encontrou essa tal linguagem simbólica !!
Os conceitos do cálculo de Leibniz
• Diferenciais: A diferencial de uma variável y é
a diferença infinitamente pequena entre dois
valores consecutivos de y.
• Integrais ou somas: é a soma de retângulos
infinitamente pequenos. Portanto, é a área da
curva. (Leibniz não indica o intervalo de
integração. Assim, as fórmulas não explicitam
as constantes de integração)
Diferenças entre o cálculo de Newton
e Leibniz
1. A concepção das quantidades variáveis
2. Os conceitos fundamentais da fluxão e da
diferenciação
3. A concepção da integral, o teorema
fundamental
4. Quantidades infinitamente pequenas
5. Notação
6. Os papéis das figuras e das fórmulas
Difusão do cálculo Leibniziano
Início da difusão devido as atividades dos irmãos
Jakob e Johann Bernoulli
Divulgação de artigos escritos pelos Bernoulli e pelo
próprio Leibniz através da Acta eruditorum
Faltava entretanto um livro apropriado. Essa falha
foi suprida pela obra Analyse des infiniments
petits, escrita pelo marques Guillaume François
de l’Hôpital
Críticas de Berkeley os conceitos
fundamentais do cálculo
• Quantidades extremamente (ou
infinitamente) pequenas, chamadas de
infinitesimais, diferenciais não podem ser
concebidas claramente.
• A prática de trabalhar com tais quantidades
no cálculo envolve um contradição:
primeiramente supõe-se que elas sejam
diferentes de zero , e depois igual a zero.
No século XIX...
Fundamentos do cálculo foram firmemente
fixados:
• Considerou-se as variáveis como funções de
uma variável independente
• Introduziu a derivada como conceito
fundamental do cálculo
• Utilizou-se o conceito de limite bem explicito
na definição da função derivada
Do cálculo à análise
Por volta de 1800, todas as disciplinas de matemática que tratavam
dos processos infinitos (limites,séries, diferenciação, integração)
foram reunidas sob o nome de análise.
O cálculo, por volta de 1700, era ainda essencialmente orientado para
a geometria. Tratava de problemas sobre curvas, empregava
símbolos algébricos, mas as quantidades de que se utilizava eram
principalmente interpretadas como ordenadas e abcissas de curvas,
ou como outros elementos de figuras geométricas.
Durante a primeira metade do século diminuiu o interesse pela origem
geométrica dos problemas e os matemáticos passam a se interessar
mais pelos símbolos e fórmulas do que pelas figuras.
A análise tornou-se o estudo e a manipulação de fórmulas.
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Foi o responsável por essa
mudança de atitude na
análise.
Livros: Cours d’analyse de l’Ecole
Polytechnique
Résumé des leçons
donnés a l’École Polytechnique
sur le calcul infinitesimal
Cauchy apresentou um outro
enfoque para a integração
definindo-a como um
somatório que tende a um
limite.