Electromagnetismo e Óptica LERC Tagus 1ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
Electromagnetismo e Óptica
(EO)
http://eo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
Tópicos importantes a trabalhar
-Calcular E usando o Teorema de Gauss.
Electrostática
Distribuições contínuas de cargas; determinação do
Campo Eléctrico e do Potencial Eléctrico
Teorema de GAUSS
-Calcular V usando o Integral de linha.
-Integrais de funções simples.
-Área e Volume de sólidos.
Formulário
Permite calcular o campo E conhecida a carga
r r
Qinterior
Ñ∫ Área E ⋅ n dS = ε 0
EXEMPLOS
Geometria esférica:
Q interior
Qinterior
⇔ E ⋅ Área =
⇒ E=
ε0
ε 0 ⋅ Área
Conhecido E calculamos o potencial V
usando o Integral de Linha do Campo
Fio ou cilindro(exterior):
Q
λ
E
=
2
K
;V = − 2 Kλ log r + C te
E= k 2; V= k
r
r
r
Q
λ é a densidade linear de carga
r r
∆ V = VB − VA = − ∫ E ⋅ d l
B
A
Plano:
σ
σ
E=
;V =
x + Cte
ε0
ε0
σ é a densidade
1
superficial
de carga
Electromagnetismo e Óptica LERC Tagus 1ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
Uma carga pontual q está à distância x do centro de uma esfera
condutora de raio R mantida ao potencial V0.
Calcular: A carga na esfera e a força entre elas ?
http://eo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
Q= ?
R
q
x
Solução:
q R
qRV0

q2 R
Q =  V0 − K 
F=
− K 3
x K

x2
x
2
V0
Electromagnetismo e Óptica LERC Tagus 1ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
2 esferas de raios R1 e R2 têm os centros à distância x.
Inicialmente a 1 estava ao potencial V0 e a 2 é
colocada à massa.
http://eo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
Q1
Q2 = ?
R1
R2
Calcule: A carga na esfera 2 e o novo potencial de 1 ?
x
De seguida cortamos a ligação à massa e ligamos as duas esferas por um fio condutor.
Calcule: A nova carga e o potencial em cada esfera?
Q2 = −
R1 R2
V0
Kx
RR 

V1 =  1 − 1 2 2  V0
x 

3
Electromagnetismo e Óptica LERC Tagus 1ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
cont..
De seguida cortamos a ligação à massa e ligamos as
duas esferas por um fio condutor. Despreze a influência
http://eo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
Q = ?
'
1
R1
R2
eléctrica.
Calcule: A nova carga e o potencial em cada esfera?
 '
R1

 Q1 = R + R Q1  1 −


1
2

 Q ' = R2 Q  1 −
 2 R1 + R2 1 
R2 

x 
R2 

x 
V1' = V2' =
R1 
R2 
1
−

 V0
R1 + R2 
x 
Q2' = ?
4
Electromagnetismo e Óptica LERC Tagus 1ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
http://eo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
III
As 3 esferas metálicas apresentadas na figura são concêntricas e, inicialmente, estão descarregadas.
II
Após uma carga –Q0 ser colocada na esfera interior e uma carga +Q0 ser colocada na exterior, determine:
a)
O sentido do campo eléctrico entre as esferas I e II.
b,c)
A carga nas superfícies interior e exterior da esfera II.
d,e)
A carga nas superfícies interior e exterior da esfera III.
f)
g)
I
O gráfico de E em função de r.
Qual o potencial de cada esfera?
Solução:
a) Para o centro
b) +Q0
c) -Q0
d) +Q0 e) Qext= 0
5
 1
 1
1
1
1 
1 
 Q0 V2 = V3 = K  −
 Q0 V4 = V5 = 0
V1 = K  −
+
−
+
+
 R1 R2 R3 R4 
 R3 R4 
Electromagnetismo e Óptica LERC Tagus 1ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
+q
Uma carga pontual fixa +q encontra-se a uma distância a = 27R
do centro de uma esfera condutora fixa, de raio R, ligada à Terra.
Determine a distância x onde deve ser colocada uma carga
pontual –q, que se pode deslocar livremente ao longo da linha
que une a carga +q com o centro da esfera, de modo que ela
fique em repouso.
x=
a
4
http://eo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
-q
R
x
a
6
Electromagnetismo e Óptica LERC Tagus 1ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
Considere 3 placas paralelas, condutoras, planas e grandes.
As duas exteriores estão ligadas por um fio.
A placa interior está isolada, na face superior tem uma densidade
superficial de carga σs e na inferior σi.
http://eo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
d1
Sabe-se que σs + σi = 12 mC/m2.
A distância d1 é igual a 1mm e d2 = 3mm.
Determine σs e
σs
σi
d2
σ i.
Solução:
σ S = 9 µ Cm − 2 ; σ i = 3 µ Cm − 2
7
Electromagnetismo e Óptica LERC Tagus 1ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
Uma carga pontual +q coloca-se no centro de uma superfície esférica
metálica isolada, com carga -2q e raio R.
a) Determine as expressões do campo eléctrico E(r) e do potencial V(r)
r≥ R
fora da esfera.
b) Determine as expressões do campo eléctrico E(r) e do potencial V(r)
0< r ≤ R
dentro da esfera.
q
q
− 2q

 E (r ) = K r 2 ; V (r ) = K r + K R ⇐ 0 ≤ r ≤ R

−q
−q

E (r ) = K 2 ; V (r ) = K
⇐ r≥ R

r
r
http://eo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
-2q
R
+q
8
Electromagnetismo e Óptica LERC Tagus 1ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
http://eo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
PROBLEMA: Um modelo do átomo de hidrogénio considera
uma carga pontual positiva no centro e uma carga negativa
–e distribuida uniformemente por uma esfera de raio R
+q
Calcular: O campo E e o potencial V num ponto P do interior do
átomo à distância r do centro.
r 
 1
E = Kq  2 − 3 
R 
r
1
r2
3 
V = Kq  +
−

3
2R 
 r 2R
R
9
−q