Matemática
Polinômios
CAPÍTULO 04 – RELAÇÕES DE GIRARD
1 – INTRODUÇÃO
Dessa forma, sejam
as
raízes de um polinômio, definimos as somas de
Girard:
Aprendemos, até agora, a resolver equações
do primeiro e do segundo grau. Nossa meta, agora,
é encontrar maneiras de resolver equações de graus
maiores, ou seja, equações do tipo:
{
Estudaremos agora algumas relações
inerentes a cada polinômio que auxiliam na busca de
novas raízes. Cabe ressaltar que essas relações por
si só não permitirão que encontremos as raízes do
polinômio. Elas apenas auxiliarão a nossa busca.
Estudamos em equação do 2º grau as
relações de Girard para equações desse tipo. Vimos
que, em um polinômio do segundo grau da forma:
3 – RELAÇÕES DE GIRARD
As Relações de Girard são enunciadas da
seguinte forma:
Dado um polinômio:
( )
,
as suas raízes
satisfazem:
( )
(
Sendo
e
as raízes da equação,
sabemos que elas satifazem as seguintes relações:
)
Apesar de, a princípio, parecer algo
complicado, sua aplicação na verdade é bem
simples. Vejamos alguns exemplos:
O que veremos aqui é a expansão dessa
idéia para polinômios de grau .
EXEMPLOS:
2 – SOMAS DE GIRARD
Antes de enunciarmos as famosas Relações
de Girard, vamos primeiro definir um termo que será
mencionado no próprio teorema.
Para exemplificar o conceito considere três
números: ,
e .
a soma 1 de Girard (
dada por:
) desses três números é
a soma 2 de Girard (
dada por:
) desses três números é
a soma 3 de Girard (
dada por:
) desses três números é
( )
, suas raízes satisfazem
as seguintes relações:

( )
, suas raízes satisfazem as seguintes relações:

( )
, suas raízes
satisfazem as seguintes relações:
Vejamos a seguir alguns exemplos de
exercícios em que utilizar relações de Girard nos
ajudará.
Vimos como estão definidas as Somas de
Girard para três números, observe que o índice
numérico associado a cada soma indica o número de
termos agrupados em cada parcela da soma.
De modo geral, a soma
de Girard de
números é a soma de todas as combinações
possíveis de se fazer escolhendo números dos
números de que dispomos.
16

Exercício Resolvido 1
Sabendo que o polinômio ( )
admite raiz tripla, determine e
Algebra
CASD Vestibulares
Resolução
Sejam ,
e
suas raízes, como
admite raiz tripla, temos:
{
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
De onde segue que as 3 raízes são:
2, 5, 8
Das relações de Girard, temos:
Exercício Resolvido 4
Sabendo que
( )
Fatore a expressão
Da terceira equação:
.
Encontramos então a raiz do polinômio.
Resolução:
Como o polinômio é de grau 3, ele tem 3
raízes, dentre as quais 3 é uma delas. Podemos
encontrar as outras duas utilizando relações de
Girard:
Soma das raízes:
Substituindo nas duas primeiras equações,
temos:
(
(
)
)
Exercício Resolvido 2
Sabendo que o polinômio
raiz dupla, determine todas as suas raízes
admite
Produto das raízes:
Resolução:
Se o polinômio admite raiz dupla, então
. Chamemos a sua terceira raiz
de .
Das relações de Girard, temos:
(
é uma raiz do polinômio abaixo:
Resolvendo o sistema, encontramos
e
, ou seja, as raízes do polinômio são
e
, e como
(coeficiente líder do polinômio), a
forma fatorada de ( ) é:
( )
(
)(
)(
)
)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Da primeira equação:
Substituindo isso na segunda equação:
(
Nível I
1. (UFPE-2004) Sejam
,
e
as raízes da
equação
.
Determine
o
polinômio
que tem raízes
,
e
e indique o valor do produto
)
As soluções são
Se
Se
e
.
Para decidir qual valor de usar, temos que
verificarn a terceira relação de Girard:
2. (UFSCAR-2002) Considerando que
é raiz do
polinômio ( )
, a soma das
raízes reais desse polinômio vale:
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
A equação só é satisfeita para o caso em
que
e
, sendo assim, as raízes do
polinômio são
(raiz dupla) e
.
3. (UFC-2002) O polinômio ( )
, em que e são números reais, possui o número
complexo
como uma de suas raízes. Então o
produto
é igual a:
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
Exercício Resolvido 3
Determine as raízes do polinômio
( )
Sabendo que as mesmas se
Progressão Aritmética.
4. (UFRJ-2002) Considere o polinômio
( )
encontram
em
Mostre que
√
as demais raízes.
Resolução:
Como as raízes estão em progressão
aritmética, podemos dizer que são do tipo:
,
Das relações de Girard para o polinômio,
obtemos:
5. (PUC-RJ-2006) A diferença entre as raízes do
(
) é 1. Os possíveis valores
polinômio
de são:
a) 0 e 2
20
é uma de suas raízes e calcule
Algebra
b) 1 e 2
c) 0 e 3
d) 1 e 0
e) 1 e 3
CASD Vestibulares
6. (Fuvest-2002) As raízes do polinômio
( )
, onde
é um número real,
estão em progressão aritmética. Determine:
a) O valor de
b) As raízes desse polinômio
b)
c)
d)
GABARITO
Nível II
1.
2. E
3. E
4.
e
5. E
6. a)
b)
√
7. 14
8. B
9. (
√ )
10. E
11. a)
,
b)
12. ( ) ( )
7. (UERJ-2002-Adaptada) As dimensões de um
paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do
polinômio a seguir:
. Determine a
razão entre sua área total e seu volume.
8. (ITA-2001) O valor da soma
para que as
raízes do polinômio
estejam em progressão aritmética de razão
é:
a) 36 b) 41 c) 26 d) -27 e) -20
9. (ITA-2004) Considere a equação
√
e
Em que é uma constante real. Para qual valor de
a equação admite uma raiz dupla no intervalo
?
10. (PUC-SP-2001) Sabe-se que o polinômio
admite três raízes reais tais
que uma delas é a soma das outras duas. Nessas
condições, se é a parte real do número complexo
, então
a) É um imaginário puro
b) Tem módulo igual a 2
c) É o conjugado de
d) É tal que
e) Tem argumento principal igual a
11. (Unicamp-2003) Seja
( )
|
um número real e seja:
√
|
a) Para
, encontre todas as raízes da equação
( )
b) Encontre os valores de para os quais a equação
( )
tenha uma única raiz real.
12. (UFF-2002) A equação
–
tem duas de suas
raízes iguais a 2.
Dadas as funções e definidas, respectivamente,
por ( )
e
( )
(
),
determine o domínio de
√
04. (UEG-2010) João gosta de brincar com números
e fazer operações com eles. Em determinado
momento, ele pensou em três números naturais e,
em relação a esses números, observou o seguinte:
A soma desses números é 7.
O produto deles é 8.
A soma das três parcelas resultantes dos produtos
desses números tomados dois a dois é 14.
Assim, os três números pensados por João são
raízes da equação:
a)
20
Algebra
CASD Vestibulares
20
Algebra
CASD Vestibulares