MATEMÁTICA
MARCÃO
POLINÔMIOS
Disciplina | Professor
Propriedades:
• 1) Toda equação algébrica de grau n possui
exatamente n raízes .
• 2) Se a for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é
divisível por x - a .
• 3)Se o número complexo a + bi for raiz de
P(x) = 0 , então o conjugado a - bi também
será raiz .
Disciplina | Professor
Lembre que quando:
a.x³ + bx² + cx + d = 0
• Se d = 0  x1 = 0 (Lembre a quantidade de
raízes nulas é determinada, pelo menor
expoente da incógnita.)
Duas raízes nulas
7
4
• Ex: 2x +3x + 2x² = 0
• Se a + b + c + d = 0  x1 = 1 é raiz.
Disciplina | Professor
Relações de Girard
ax  bx  c  0
ax  bx  cx  d  0
b
x1  x2  
a
c
x1  x2 
a
b
x1  x2  x3  
a
2
3
2
c
x1  x2   x1  x3   x2  x3  
a
Disciplina | Professor
d
x1  x2  x3  
a
Questão 01
Sabe-se que a função polinomial f(x) de grau 3, admite como
raízes, os números x1 = 1, x2 = 2 e x3. Sobre a raiz x3,
podemos afirmar:
a) pode ser um número complexo
b) é necessariamente, um número natural
c) é necessariamente um número inteiro
d) é necessariamente um número irracional
e) é um número real
Resposta:
Ora, o número de raízes complexas de uma equação algébrica é
necessariamente um número par, já que, e a+bi for raiz, então o
conjugado a-bi também será raiz.
Portanto, se a terceira raiz da equação não pode ser um número
complexo, então ela será necessariamente um número real, o
que nos leva à alternativa E.
Disciplina | Professor
Questão 02
Determinar m para que a soma das raízes da equação
4x4 – (m – 1)x3 + 2x2 – 5x + 4 = 0 seja igual a 2.
RESOLUÇÃO:
X1 + X2+X3+X4= -b / a
(soma das raízes)
a1= – (m –1)
X1 + X2+X3+X4= (m-1)/4
(m-1)/4=2
(m – 1)=4.2
m =8+1
RESPOSTA: m = 9
Disciplina | Professor
Questão 04
A equação 2x³ - 5x² + x + 2 = 0 tem três raízes reais.
Uma delas é 1. Encontre as outras duas.
1
2
2
2x3 – 3x – 2 = 0
  (3) 2  4.2.(2) 
–5
–3
1
–2
  b 2  4ac
  9  16
 (3)  25 x´ 3  5
x´
4
2.2
8
2
x´ 2
x´´
x´
4
4
Disciplina | Professor
2
0
x´
b 
2a
   25
1
x´´
2
Questão 05
Uma das raízes do polinômio P(x) = 3x3 + 2x2 – 7x + 2 é
– 2. Então, a soma das outras raízes desse polinômio é:
a) 2/3
b) -1
4
2
ab 
c) 4/3
ab2 
3
3
d) -3/4
e) 1
2
ab  2
3
Disciplina | Professor
Questão 06
Se – 2 é uma das raízes da equação x3 + 4x2 + x + k = 0,
onde k  R, o produto das outras duas raízes
dessa equação é:
a) –3
3 + 4(2)2 + (–2)+ k = 0
P(-2)
=
0

(-2)
b) –2
c) –6
 -8 + 16 – 2 + k = 0
d) 3
e) 6
K=–6
 x3 + 4x2 + x – 6 = 0
 (6)
a.b.(2) 
1
Disciplina | Professor
a.b.(2)  6
a.b  3
Questão 07
Se o resto da divisão do polinômio P(x) = 2xn +
5x – 30 por Q(x) = x – 2 é igual a 44, então n é
igual a :
(01) 2
SOLUÇÃO: Sabemos pelo teorema do
(02) 3
resto, que o resto da divisão do
(03) 4
polinômio P(x) por x – a é igual a P(a).
Logo, com os dados do problema,
(04) 5
podemos escrever:
(05) 6
P(2) = 44 = 2.2n + 5.2 – 30  64 = 2.2n
 2n = 32 e, portanto, n = 5, o que nos
leva à alternativa (04).
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