Matemática
2
SUMÁRIO
DO
VOLUME
MATEMÁTICA
NÚMEROS E OPERAÇÕES
5
1. Representando quantidades
1.1 Introdução histórica
1.2 Números decimais, fracionários e naturais
2. Calculando com números naturais
2.1 Operações com números naturais
3. Múltiplos e divisores
3.1 Critérios de divisibilidade
4. Números primos
4.1 Decomposição dos números em fatores primos
4.2 Máximo Divisor Comum
4.3 Mínimo Múltiplo Comum
5
5
13
16
16
51
53
57
59
61
62
ESPAÇO E FORMA
66
5. Localização em mapas
66
GRANDEZAS E MEDIDAS
80
6. Perímetro
7. Área
80
83
Matemática
SUMÁRIO COMPLETO
VOLUME 1
UNIDADE: NÚMEROS E OPERAÇÕES
1. Representando quantidades
2. Calculando com números naturais
3. Múltipos e divisores
4. Números prim os
UNIDADE: ESPAÇO E FORMA
5. Localização em mapas
UNIDADE: GRANDEZAS E MEDIDAS
6. Perímetro
7. Área
VOLUME 2
UNIDADE: NÚMEROS E OPERAÇÕES
8. Calculando com números decimais e fracionários
UNIDADE: TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO
9. Média aritmética simples
VOLUME 3
UNIDADE: GRANDEZAS E MEDIDAS
10. Sistema métrico decimal
11. Medidas de comprimento
12. Medidas de superfície
13. Medidas de volume
14. Medidas de capacidade
15. Medidas de massa
16. Medidas de tempo
UNIDADE: ESPAÇO E FORMA
17. Figuras planas e especiais
18. Ângulo
19. Reconhecimento de polígonos e seus elementos
3
4
Matemática
Matemática
5
Representando quantidades
NÚMEROS E OPERAÇÕES
1. REPRESENTANDO
QUANTIDADES
1.1 Introdução histórica
Acerv
O
o
CNE
C.
ser humano é, por excelência, um ser comunicativo. Mesmo antes de
seu nascimento, ele já interage com a mãe, dando-lhe os famosos e tão
esperados “chutes” na barriga. Para que possa se comunicar de forma ampla,
é, então, dotado de cinco sentidos. E é por meio de olhares, gestos, sons,
cheiros, gostos que a comunicação se dá, mesmo que para alguns isso
não ocorra na totalidade. E para que a comunicação se estabeleça, é
necessário que haja uma linguagem a ser
decodificada, interpretada, compreendida.
Conhecemos diversas linguagens para as diversas necessidades
do ser humano. Por exemplo, a linguagem Braille foi desenvolvida para que
os cegos pudessem se expressar através de símbolos.
Acervo CNEC.
Para os que não podem usufruir de seu sentido de audição, foi desenvolvida a linguagem de Libras.
Para a compreensão das diversas origens dos povos, foram criadas as línguas maternas, como a Língua
Portuguesa, a Língua Inglesa, a Língua Chinesa, a Língua Francesa e outras, com seus diversos dialetos.
Para a compreensão do pensamento lógico, dedutivo, numérico, quantitativo, métrico e geométrico
do ser humano, foi desenvolvida a linguagem da Matemática. E, portanto, para que todos esses campos
do pensamento humano se desenvolvam, é necessário não apenas que se decodifiquem os símbolos
matemáticos, mas também saibam compreender seus significados e aplicações.
Na história da humanidade, a invenção do zero e dos algarismos, juntamente com a invenção da
escrita, foi tão importante e revolucionária quanto o domínio do fogo. E essa descoberta fundamental
não se deu de uma única vez. A humanidade teve que experimentar diversas soluções para o problema da
representação e manipulação dos números, até que tiveram a ideia de representar os números por sinais
gráficos: estavam inventando os algarismos. E prevaleceu, entre as diversas formas de algarismos, aquela
que se mostrou mais eficiente: os algarismos indo-arábicos.
A 1a máquina de calcular do homem foi sua própria mão, utilizando-se de seus dedos.
A contagem feita por meio das mãos foi utilizada até o final da Idade Média, quando, com os árabes,
Matemática
6
Representando quantidades
houve o desenvolvimento e a disseminação dos algarismos indo-arábicos. Dessa
contagem com as mãos também derivou o modo de calcular dos surdos-mudos.
No entanto, com o aumento das comunicações entre as diferentes sociedades
e o desenvolvimento do artesanato e do comércio, a máquina de calcular “mão”
começou a não atender a todas as necessidades, na medida em que era preciso que
as informações ficassem memorizadas, registradas.
Na civilização inca, região hoje ocupada pelos territórios da Bolívia, Peru
e Equador, o homem desenvolveu uma forma de registro através de cordões e
nós, denominado quipu (que na linguagem inca significa nó). Hoje, pode-se
ver um quipu em museus de arte.
Os quipus tinham funções variadas: para representar números, para anotar
informações de recenseamento
da população, para anotar dados
quipu
das colheitas, para auxiliar na
contabilidade, para usar como
calendário, etc.
Além dos quipus, para memorizar
seus registros, o homem utilizou a técnica do “entalhe”
em madeira e osso.
Também foi muito utilizado o método
concreto de agrupar montes de pedras, pauzinhos,
conchas, etc, utilizando a ideia da correspondência
Os entalhes do Paleolítico Superior 35000 a 20000 a.C.
um a um. Daí a origem da palavra cálculo, pois,
em latim, calculus significa pequena pedra.
As pedras deram origem aos ábacos, que o homem inventou quando precisou fazer cálculos
cada vez mais sofisticados, enquanto ainda não tinha a forma escrita dos algarismos indoarábicos.
Um ábaco muito utilizado até os dias de hoje é o soroban, pois, além de ser presença na cultura
japonesa, serve de instrumento para as pessoas deficientes visuais realizarem cálculos.
Acervo CNEC.
Minhas ideias, nossas ideias
1
Para abordarmos o eixo temático “As várias linguagens” foram apresentadas, no texto, algumas dessas
linguagens. Você sabe como é feita a escrita e a leitura na linguagem Braille?
Matemática
7
Representando quantidades
2
Você sabe expressar algum significado na linguagem de Libras?
3
Você sabe quais são os símbolos do Braille para os algarismos que usamos na matemática?
4
Você conhece como se escreve e se fala a palavra Matemática em outras línguas?
Trabalhando com Pesquisa
Pesquisar sobre a história dos sistemas Braille e Libras.
• http://pt.wikipedia.org/wiki/Linguagem_brasileira_de_sinais
• www.libras.org.br
• http://pt.wikipedia.org/wiki/Braille
Com relação à simbologia utilizada, tivemos vários povos desenvolvendo sua própria linguagem.
Os egípcios utilizavam um sistema de numeração baseado na soma de seus elementos. Eles
denominavam símbolos para os números 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 e assim por diante, além de
somarem esses símbolos.
Veja a tabela a seguir:
Símbolo Egípcio
Descrição do símbolo
O número na nossa notação
bastão
1
calcanhar
10
rolo de corda
100
flor de lótus
1 000
dedo a apontar
10 000
peixe
100 000
homem
1 000 000
Matemática
8
Representando quantidades
Cada símbolo podia ser repetido até nove vezes. Para escrever o número 1 260, eles faziam:
Já os romanos utilizavam letras para representarem os números. As letras utilizadas eram I,
V, X, L, C, D, M para representar respectivamente os valores 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000.
Na numeração romana, os símbolos podem ser repetidos até três vezes, apesar
de que há indícios históricos de que no princípio eles utilizavam até quatro
repetições.
A diferença entre esse sistema e o egípcio é que ele utiliza além da adição
de seus elementos, também a subtração. Se o símbolo I, X ou C estiver escrito
à direita de outro de maior valor, somam-se os seus valores. Se estiver escrito à
esquerda de outro de maior valor, subtrai-se o seu valor.
Disponível em: <www.museuhistoriconacional.com.br>.
Por exemplo:
Acesso em: 15 mar. 2010.
XXI = 10 + 10 + 1 = 21.
CXL = 100 + 50 – 10 = 140.
A partir do número quatro mil, os romanos colocavam um traço sobre o número indicando mil vezes mais.
A partir de um milhão, colocavam dois traços, indicando um milhão de vezes mais.
IVD = 4 000 + 500 = 4 500.
II CCCLIDCCIX = 2 351 709.
A numeração maia, na América, utilizava um sistema vigesimal, ou seja, a base do sistema era vinte.
Sua origem foi muito provavelmente devido à soma dos dedos dos pés e das mãos.
Eles utilizavam um ponto para representar o número um, e um traço para representar o número
cinco. O ponto podia ser repetido até quatro vezes, e o traço, até três. É interessante notar que esses povos
já possuíam um símbolo para representar o vazio, semelhante à ideia do zero.
0
11
•
1
2
•
••
12
••
3
•••
4
5
•
14
15
16
••••
13
•••
••••
6
•
7
8
9
••
•••
••••
17
•••
18
••••
••
10
19
Disponível em: <www.wikipedia.org>. Acesso em: 20 mar. 2010.
Do número 20 até 399, a representação do número é dividida em duas partes: uma superior, que
deve ser multiplicada por vinte, e a inferior, que representa a quantidade que deve ser somada à parte
superior.
20 =
75 =
•
•••
21 =
100 =
•
•
45 =
120 =
••
•
60 =
•••
•••
350 =
Matemática
9
Representando quantidades
Para números de 400 até 7 999, a representação do número é dividida em três partes: a superior, que deve
ser multiplicada por 400, a do meio, que deve ser multiplicada por 20, e a inferior, que deve apenas ser somada
às demais partes.
O sistema de numeração utilizado por nós atualmente é o indo-arábico, que foi criado pelos povos hindus
e divulgado pelos árabes. Tem como características a representação dos algarismos por 10 símbolos (de 0 a 9) e a
introdução do valor posicional ou relativo, que significa que, dependendo da posição do algarismo no número,
ele tem um valor diferente. E a grande vantagem desse sistema de numeração é que, com apenas 10 símbolos,
representa-se toda a infinidade de números existentes, quer sejam eles inteiros, decimais ou fracionários.
um
dois
três
quatro
cinco
seis
sete
oito
nove
zero
séc. VI (indiano)
séc. IX (indiano)
séc. X (árabe
oriental)
séc. X (europeu)
séc. XI (árabe
oriental)
séc. XII (europeu)
séc. XIII (árabe
oriental)
séc. XIII
(europeu)
séc. XIV (árabe
ocidental)
séc. XV (árabe
oriental)
séc. XV (europeu)
Evolução da escrita dos algarismos de 0 a 9.
Veja um exemplo com o número 12 426.
O algarismo 2 aparece duas vezes nesse número. Um deles ocupa a posição da dezena. Como uma
dezena corresponde a 10 unidades, isso significa que se tem 2 x 10 unidades, ou seja, 20 unidades. Dizemos
que o valor relativo desse algarismo 2 é 20. Já o outro algarismo 2 ocupa a ordem das unidades de milhar,
ou seja , ele vale 2 x 1 000 unidades. Seu valor relativo é 2 000. O valor absoluto de um algarismo dentro
de um número é apenas o seu valor, independente de sua posição.
Nesse caso, o valor absoluto do 2 é apenas o 2.
Minhas ideias, nossas ideias
5
Nesses textos, notamos a exploração do eixo temático “Mudanças e permanências ao longo do tempo”,
na medida em que observamos a evolução da escrita dos algarismos dos diversos povos. Por que você
acha que o sistema de escrita numérica que permanece até os dias de hoje é o indo-arábico?
Matemática
10
Representando quantidades
6
Onde você nota o uso dos algarismos romanos?
Práxis
Jogo de cartas: Sistemas de numeração.
Destaque as cartas das páginas 91 e 93 de seu Material Didático.
Número de jogadores: 4
Procedimentos: Coloque 6 cartas abertas sobre a mesa e distribua as cartas restantes para cada aluno, uma
a uma, fechadas. Cada jogador, na sua vez, tentará formar um par com uma carta da mão e uma da mesa,
ambas de mesmo valor. Se isso for possível, o jogador pega a carta da mão, a da mesa, forma o par e o
coloca em um monte na sua frente. Se houver mais de uma carta na mesa com o mesmo valor, o par poderá
ser feito pegando uma carta da mão e mais de uma carta da mesa. Se for possível, na sua jogada, faça o par
entre a carta de sua mão e a carta do monte de algum jogador, que pode ser roubado. Se não for possível
formar o par com nenhuma das cartas da mesa ou do monte de algum jogador, o jogador deve descartar uma
carta de sua mão para a mesa.
O jogo termina quando todas as cartas tiverem sido jogadas. O vencedor é aquele que tiver mais cartas
em seu monte.
Saiba mais
O ZERO
“O sábio mais sábio do mundo foi o que descobriu o nada. Nada mesmo. Ele teve a ideia genial de que
onde não há nada, nadinha mesmo, há o nada. E fez do nada um algarismo, o zero.
A Ciência seria impossível sem a Matemática, e a Matemática mais impossível ainda sem o zero.
É difícil imaginar como a humanidade pôde atravessar tantos milênios, produzindo muitos homens sábios,
que não sabiam a verdadeira Matemática, ou não tinham instrumentos para criar uma. É certo que os
egípcios sabiam fazer, com seus astrólogos, muitos cálculos astronômicos. Os gregos eram filósofos, que
ainda nos espantam por sua inteligência. Os romanos nos legaram leis que funcionam até hoje, coordenando
relações entre as pessoas.
Mas a nenhum deles ocorreu essa ideia fundamental, de que onde não há nada, algo existe: o nada. Com o
zero, que não é nada, pode-se coordenar os números, assim: o número um é um só, com um zero adiante, ele decuplica,
passa a ser dez; dois zeros, ele centuplica; três, ele milifica. Posto o zero na frente do número, ele se divide.
O um, com um zero na frente, é um décimo; com dois zeros na frente, é um centésimo, etc. e tal.
Vou dar a você, de presente, hoje, uns números grandotes, para você se divertir. O primeiro é
60.000.000.000.000.000.000.000.000.000, com um 6 e 28 zeros, é a idade da Terra, em milhões de anos.
O segundo número é 0,000.000.000.000.000.000.000.000.166, formado por um zero, uma vírgula e
mais 24 zeros seguidos do número 166, corresponde à massa do átomo de hidrogênio, em gramas.
Isso não é nada. Podemos fazer números muitíssimo maiores. Se você fizer um número que vá daqui
até a Lua, ele ainda não será o maior número do mundo. Pondo mais um zero, ele se multiplica por dez, e
vai por aí afora. Parece brincadeira, não é?”
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
RIBEIRO, Darcy. Noções das Coisas.
Matemática
Representando quantidades
7
Utilizando os algarismos 4 e 5, escreva todos
os números possíveis de dois algarismos.
8
Utilizando os algarismos 1, 4 e 8, escreva
todos os números possíveis de três algarismos
distintos.
13 Numa farmácia, um medicamento é assim
armazenado:
• Cada cartela possui 10 comprimidos.
• Cada caixa desse medicamento comporta dez
cartelas.
• Cada dez caixas desse medicamento preenchem
uma gaveta.
• Há um armário na farmácia que possui dez
gavetas de igual capacidade à da anterior.
De acordo com as informações, responda:
a) O gerente da farmácia consultou seu
estoque e constavam 450 comprimidos. Achou
estranho o fato e quis saber o que aconteceu.
Na sua opinião, o que ocorreu?
9
Utilizando os algarismos 0, 1 e 2, escreva todos
os números possíveis de três algarismos.
b) Quantos comprimidos são armazenados em
uma gaveta cheia?
Exercícios de sala
10 Determine o consecutivo do menor número
formado por quatro algarismos distintos.
11 Quantos números de três algarismos, maiores
que 200, podem ser escritos usando-se apenas
os algarismos 1, 5 e 7?
12 Observe a sequência das figuras a seguir e o
valor que cada uma representa:
6
3
4
64
9
2
7
7
5
c) Qual é a capacidade máxima de armazenamento
desse medicamento no armário dessa farmácia?
14 Na numeração das páginas de um livro de 1 a
100, quantas vezes o número 1 aparece?
15 O número da casa de Júlia tem exatamente três
algarismos, cuja soma é 24. Encontre todos os
possíveis números da casa de Júlia, em cada
uma das seguintes situações:
a) Os três algarismos são iguais.
1
237
De acordo com a lógica apresentada, qual é
o valor que a terceira figura representa?
b) Apenas dois algarismos são iguais.
11
Matemática
12
Representando quantidades
c) Os algarismos são todos diferentes.
16 Dizemos que um número é ascendente se cada um de seus algarismos for maior do que o algarismo
que está à sua esquerda. Por exemplo, 2 568 é ascendente e 175 não é. Quantos números ascendentes
existem entre 400 e 600?
17 Ligue os pares de números correspondentes a seguir.
44
XXXII
••••
••
MCDVI
XLIV
••
•
XLVI
LXXXVII
121
•
••
18 Escreva os números a seguir nos três sistemas de numeração indicados:
Romano
67
195
642
1 038
4 851
Egípcio
Maia
Matemática
Representando quantidades
19 Observe o anúncio a seguir de um jornal israelense.
Nesse país, há duas línguas oficiais: o árabe e o hebraico. O anúncio apresentado está escrito em
hebraico. A linguagem verbal expressa não é clara para a maioria de nós, ocidentais. No entanto, a
linguagem matemática é universal e pode ser compreendida nesse anúncio. Escreva, com suas palavras,
como você interpreta esse anúncio e sugira uma fala para a pessoa que aparece nele.
1.2 Números decimais, fracionários e naturais
Práxis
20 De que forma você representaria numericamente as quantidades indicadas a seguir?
13
Matemática
14
Representando quantidades
21 Quando contamos quantidades inteiras, as
representamos através de que tipo de número?
27 Escreva com suas palavras o que significa
fração.
22 Como é a representação do conjunto de todos
esses números?
28 Na fração, como são chamados os termos
separados pelo seu traço?
23 O que você sabe em termos de características
deste conjunto de números?
24 Quando contamos quantidades que não
possuem apenas partes inteiras, que tipo de
número usamos para representá-las?
25 Nos números decimais, qual é a função da
vírgula?
29 Você sabe por que esses termos recebem
esses nomes?
30 Você sabe o que o traço da fração representa?
31
Como se leem as frações a seguir?
a) 1
2
b) 2
3
26 Como se leem os números a seguir:
a) 5,3:
c) 4
7
b) 12, 72:
c) 0,458:
d) 1,02:
d)
5
9
e)
7
12
f)
11
17
g)
7
10
h)
23
100
Você se lembra...
___
___
Centésimos de milésimos
Milésimos de milésimos
Décimos de milésimos
___ ___ ___
Milésimos
Décimos
Unidade
Dezena
Centena
___ ___ ___ , ___
Centésimos
As ordens decimais seguem uma sequência:
32 A leitura das frações está relacionada com qual
dos termos da fração? Por quê?
Matemática
15
Representando quantidades
33 Quando é acrescentada a palavra “avos” na
leitura das frações? Você sabe a origem e o
significado dessa palavra?
Todos esses tipos de números que utilizamos
para contar, os naturais, os decimais e os
fracionários, podem ser chamados de números
racionais absolutos e são representados pelo
símbolo Q+.
Q+ = 0; ... 0,5; ... 3 ; ... 1; ...2; ... 3,6; ... 16 ; ...
4
3
36 Indique um número entre o número que você
indicou no exercício anterior e o meio:
37 Repita o processo da questão anterior mais
quatro vezes e escreva os números que você
escolheu.
38 Quantas vezes você poderia repetir esse
processo e continuaria encontrando números
decimais?
34 Os números racionais absolutos são finitos ou
infinitos?
35 Indique um número entre o zero e o meio:
39 Qual é a conclusão a que se chega a respeito
da quantidade de números entre dois números
racionais?
Saiba mais
Disponível em: <www.geocities.com>.
Acesso em: 27 jun. 2008.
As frações foram, durante muitos séculos, o único modo de se representar o
todo e também partes de um inteiro.
No século XVI, o matemático francês François Viete, estabeleceu, em uma de
suas primeiras obras, o Canon-matematicus, de 1579, uma forma especial para
escrever frações cujos denominadores são potências de 10.
Essa forma só se tornou popular vinte anos mais tarde, quando outro ilustre
matemático, chamado Napier, utilizou-a em seus trabalhos. Depois disso,
praticamente não sofreu alterações, sendo usada até hoje e conhecida como
representação decimal dos números racionais.
Os números racionais escritos na forma decimal são chamados números
decimais e têm grande aplicação em nosso cotidiano.
Observe:
Geografia do estômago
Iogurte Líquido
sabores - 1 litro
3,29
O consumo de carne bovina,
em cinco países.
cada
Carne bovina
43,2 37,6
(em quilos, per capitas,
por ano)
26,3 22,5
Pilha Alcalina Duracell
pequena - c/ 4 unids.
8,99
9,7
cada
palito - c/ 2 unids.
EUA BRASIL ITÁLIA GRÉCIA JAPÃO
Veja - 30 abr. 2008. (Adaptado)
9, 99
cada
Mundo estranho, abr. 2006
folheto de propaganda.
Prezado leitor,
Agradecemos o interesse em nosso
material. Entretanto, essa é somente
uma amostra gratuita.
Caso haja interesse, todos os materiais
do Sistema de Ensino CNEC estão
disponíveis para aquisição através
de nossa loja virtual.
loja.cneceduca.com.br