RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
2o ANO DO ENSINO MÉDIO
DATA: 17/03/12
PROFESSOR: MALTEZ
Seja a sequência definida por an =
an =
9
n2
com n ∈ N*. O termo da sequência cujo valor é
é:
n+2
5
9
n2
9
, log o
=
5
n+2 5
5n2 = 9n + 18
5n2 – 9n – 18 = 0
Re solvendo a equação, n = 3 e n = −
6
(não convém)
5
Logo n = 3 (terceiro termo).
Sabendo que a sequência (x + 1, x + 5, 3x + 1) é uma progressão aritmética, a razão desta PA é igual a:
x + 5 – (x + 1) = 3x + 1 – (x + 5)
x + 5 – x – 1 = 3x + 1 – x – 5
4 = 2x – 4
8 = 2x
x=4
Então a PA é (5, 9, 13) logo r = 4
Sabe-se que três números inteiros estão em PA. Se esses números têm por soma 24 e por produto 120,
o maior dos números é:
x – r + x + x + r = 24 ⇒ 3x = 24 ⇒ x = 8
(8 – r) . 8 . (8 + r) = 120
64 – r2 = 15
R2 = 49 ⇒ r = ± 7
O s três números são 1, 8, 15 logo o maior é 15.
A ANATEL determina que as emissoras de rádio FM utilizem as frequências de 87,9 a 107,9 MHz e que
haja uma diferença de 0,2 MHz entre emissoras de rádio vizinhas. A cada emissora, identificada por sua
frequência, é associado um canal, que é um número natural que começa em 200. Desta forma, a emissora
cuja frequência é de 87,9 MHz corresponde ao canal 200; à seguinte, cuja frequência é 88,1 MHz
corresponde o canal 201, e assim por diante.
Quantas emissoras FM podem funcionar (na mesma região), respeitando-se o intervalo de frequências
permitido pela ANATEL?
A sequência (87,9; 88,1; 88,3; ...; 107,9) é uma PA de razão 0,2 e
a1 = 87,9 e an = 107,9
an = a1 + (n – 1) r
107,9 = 87,9 + (n – 1) . 0,2
N = 101
Um teatro possui 12 poltronas na primeira fileira, 14 na segunda e 16 na terceira; as demais fileiras se
compõem na mesma sequência. Então o número de fileiras necessárias para que o teatro possa ter um
total de 620 poltronas é:
(12, 14, 16, ...) forma uma PA onde 620 corresponde a soma dos seus termos. Assim sn = 620
(a1 + an ). n
= 620
2
Onde a1 = 12 e an = 12 + (n – 1) . 2 ou an = 10 + 2n
(12 + 10 + 2n). n
= 620
2
2n2 + 22n – 1240 = 0
Ou n2 + 11n – 620 = 0
Resolvendo a equação n = 20 e n = –31 (não convém)
logo 20 fileiras.
Três números inteiros formam uma PG crescente. Sabendo que a soma deles é igual a 31 e o produto
deles é 125, possui razão igual a:
x
. x . xq = 125
q
x3 = 125 ⇒ x = 5
5
+ 5 + 5q = 31
q
5 + 5q + 5q2 = 31q
5q2 – 26q + 5 = 0
q=5
q=
1
5
Uma pessoa aposta na loteria durante dez semanas, de tal forma que, em cada semana o valor da
aposta é o dobro do valor da aposta da semana anterior. Se o valor da aposta na 1a semana é
R$ 60,00, então o total apostado após as dez semanas é igual a:
Sn =
a1( qn − 1)
q −1
Sn =
60( 210 − 1)
= 60 . 1023 =
2 −1
R$ 61.380,00
Em uma PG crescente, o quarto e o sétimo termos valem, respectivamente, 54 e 1458.
Então a razão da PG é:
a4 = 54
a7 = a4 . q 3
a7 = 1458
1458 = 54 . q3
q3 = 27
q=3
Do alto de um prédio de 40 metros, Pedro solta uma bola que desce verticalmente e, a cada choque
com o solo, volta a subir metade da altura anterior. Considerando esse movimento indefinido, a
distância vertical percorrida, em metros, no total é, aproximadamente:
40 +
a1
=
1− q
= 40 +
40
= 40 + 80 =
1
1−
2
= 120 metros
1 1 1

A soma dos infinitos termos da PG  , , ,... é:
 3 6 12 


1 1 1
+ +
+ ... =
3 6 12
1
3
1
2
=
= 3 =
1 1 3
1−
2 2
QUESTÕES DISCURSIVAS
A sequência (10, y, 2x) é uma PA e a sequência (25, x – 6, y – 15) é uma PG. Determine os valores de
x e y.
(10, y,2x ) ⇒ PA ⇒ y =
10 + 2x
2
(25, x – 6, y – 15) → PG ⇒ (x – 6)2 = 25 (y – 15)
 10 + 2 x 
x 2 − 12 x + 36 = 25
 − 375
 2 
2x2 – 24x + 72 = 250 + 50x – 750
2x2 – 74x + 572 = 0 (:2)
x2 – 37x + 286 = 0
x = 26 ou x = 11
⇓
⇓
y = 31
y = 16
Determine o valor da soma dos 16 primeiros termos da PA (5, 10, 15, 20, 25, ...).
a16 = a1 + 15r = 5 + 15 . 5 = 80
S16 =
(a1 + a16 ) . 16
= (5 + 800 − 8 =
2
= 85 . 8 = 680
Um estacionamento cobra R$ 10,00 se o veículo foi deixado por uma hora, R$ 12,00 se foi deixado por
duas horas e, a partir daí, o valor cresce em PA á razão de R$ 2,00 por hora adicional. Qual o valor
cobrado pelo estacionamento para um cliente que vai deixar seu veículo estacionado por quatorze
horas?
10 + 2 + 4 + 6 + 8 + ...
PA
a13 = 2 + 12 . 2 = 2 + 24 = 26
10 + 26 = 36
Resp.: R$ 36,00
Quantos termos devemos considerar na PG (3, 6, ...) para obter uma soma igual a 765?
Sn =
a1( qn − 1)
q −1
765 =
2n = 256
n=8
3( 2n − 1)
2 −1
255 = 2n – 1
Resolva a equação x +
x x
+ + ... = 12 .
3 9
O 1o membro é a soma dos termos de uma PG infinita:
x
1−
1
3
x=8
= 12 ⇒
3x
= 12
2