Prof. GUIBA
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


Uma PA é uma sequência de números em que
cada termo, a partir do segundo, é a soma do
anterior com uma determinada constante
(razão).
Ex.: (4, 7, 10, 13,16, ...) é uma PA de primeiro
termo igual a 4 e razão 3.
Ex.: (21, 16, 11, 6, 1, –4, –9, ...) é uma PA de
primeiro termo igual a 21 e razão –5.

a) Termo geral da PA
an  a1   n  1 r
an  ak   n  k  r

b) Se tivermos 3 termos (a,b,c) em PA, afirma-se que
ac
2b  a  c ou b 
2

c) A soma do primeiro termo mais o último é igual ao segundo
mais o penúltimo e assim por diante.

Dica extra: A propriedade b) pode ser colocada desta forma
também: representação genérica de PA de 3 termos de razão r.
 x  r, x, x  r 
(UDESC – 2009.1) Sejam x, y, z números reais
tais que a seqüência abaixo, nesta ordem,
uma progressão aritmética, então o valor da
soma x+y+z é:
a) -3/8
b) 21/8
c) 15/8
d) 2
e) -19/8
1 

 x,1, y, , z 
4 


Se a soma do primeiro termo mais o último é igual
ao segundo mais o penúltimo, então
1 4 1 5
x  z  1 

4
4
4
Além disso, como os termos 1, y e ¼ estão em PA,
então
1 5

4 4
5
y
8
2 y  1
Assim,
5 5 10  5 15
xz y   

4 8
8
8
(UDESC – 2009.1) Sejam x, y, z números reais
tais que a seqüência abaixo formam, nesta
ordem, uma progressão aritmética, então o
valor da soma x+y+z é:
a) -3/8
b) 21/8
c) 15/8
d) 2
e) -19/8
1 

 x,1, y, , z 
4 

A soma do três primeiros termos de uma PA é 27 e o
quinto termo também é 27. Determine o sexto termo
dessa PA.
Resolução:


Se os três primeiros termos têm soma 27, então, colocando a forma
(x – r, x, x + r), temos que:  x  r   x   x  r   27
3x  27
a5  a2   5  2  r
27
x
9
27  9  3r
3
O segundo termo da PA vale 9. Se o quinto é 27, temos: 18  3r

Se o quinto termo é 27 e a razão 6, o sexto termo é 33.

Resposta: O sexto termo é 33.
r 6

A soma dos termos de uma PA é dada por:
n
S n   a1  an 
2

Ex.: Calcular a soma dos termos de uma PA
de 40 termos, sendo o primeiro igual a –3 e o
último, 77.
40
S n   3  77 
2
40
Sn  74
 74.20  1480
2
No projeto de uma sala de cinema, um arquiteto
desenhou a planta projetando 16 fileiras de
poltronas. A primeira terá 20 poltronas,
enquanto da segunda em diante, serão duas
poltronas a mais que na fileira anterior. Quantas
poltronas terá na sala?
a)
b)
c)
d)
e)
348
380
420
720
560

Pelo enunciado, a fileira 1 tem 20 cadeiras, a 2, 22 cadeiras, a
3, 24 cadeiras, e assim por diante, até a fileira 16, que terá an
poltronas. Logo, temos a seguinte PA, de razão 2 e de 20
termos.
 20, 22, 24, 26,..., a16 
Para podermos calcular
descobrir o termo a16.
a16  a1  16 1 r
a16  20  15r
S16   a1  a16 
n
2
ainda
resta-nos
a16  20  15.2  20  30  50
Assim, o podemos calcular a soma dos termos da PA, que
será o total de poltronas na sala.
S16   a1  a16 
n
2
S16   20  50 
16
2
S16  70
16
 70.8  560
2
No projeto de uma sala de cinema, um arquiteto
desenhou a planta projetando 16 fileiras de
poltronas. A primeira terá 20 poltronas,
enquanto da segunda em diante, serão duas
poltronas a mais que na fileira anterior. Quantas
poltronas terá na sala?
a)
b)
c)
d)
e)
348
380
420
720
560




Uma PG é uma sequência de números em que
cada termo, a partir do segundo, é o produto do
anterior com uma determinada constante (razão).
Ex.: (2, 4, 8, 16, 32,...) é uma PG de primeiro
termo igual a 2 e razão 2.
Ex.: (27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9, ...) é uma PG de
primeiro termo igual a 27 e razão 1/3.
Ex.: (4, –12, 36, –108, 324, –972, ...) é uma PG de
primeiro termo igual a 4 e razão igual a –3.

a) Termo geral da PG:
an  a1 .q n 1
an  ak .q n  k
Cuidado: aqui q  0

b) Se tivermos 3 termos (a,b,c) em PG, afirma-se que
b2  a.c

c) O produto do primeiro termo vezes o último é igual ao
segundo termo vezes o penúltimo e assim por diante.

Dica extra: A propriedade b) pode ser colocada da seguinte
forma também: representação genérica de PG de 3 termos de
razão q.
x

 , x, xq 
q

q0
(UDESC – 2008.1) O primeiro termo de uma
progressão geométrica é 10, o quarto termo
é 80; logo, a razão dessa progressão é:
a)
b)
c)
d)
e)
2
10
5
4
6

Pelas informações, a1 = 10 e a4 = 80.
Podemos calcular a razão da PG partindo de
an  a1.q
n1
a4  a1.q41
a)
b)
c)
d)
e)
2
10
5
4
6
80  10.q
41
80  10.q3
80
 q3
10
8q
3
q 382
O produto entre o segundo, o quarto e o
sexto termos de uma PG (de razão ½) é 125.
Qual é o primeiro termo?
a)
b)
c)
d)
e)
62,5
25
5
20
40

O segundo, o quarto e o sexto termos (a2, a4, a6)
formam uma PG.

Assim,

a)
b)
c)
d)
e)
a42  a2 .a6
a43  125
125  a2 .a6 .a4  a42 .a4  a43
a4  3 125  5
Se a razão é ½ , ocorre:
62,5
25
5
20
40
a1  a4 .q14
3
1
a1  5.    5.23  5.8  40
2

A soma dos n primeiros termos de uma PG é
dada por
Sn

q

a
1
n

1
q 1
Ex.: Calcula a soma dos nove primeiros
termos de uma PG de razão 3 e primeiro
termo igual a 1.
3  1

a
9
S9
1
3 1
Sn
19683  1 19682

 1.

 9841
2
2

Se colocarmos 3 grãos de arroz na primeira
cada de um tabuleiro de xadrez, 6 na
segunda, 12 na terceira, 36 na quarta e assim
por diante, quantos grãos de arroz serão
necessários para encher as oito primeiras
casas do tabuleiro?

Nesse caso, teremos que considerar a PG (3,
6, 12, 24, ..., a8), de primeiro termo igual a 3
e razão 2. A quantidade de grãos será a soma
dos termos da PG.
Sn

q

a
1
n

1
q 1
2  1

3
 3  256  1  3.255  765
2 1
8
Sn
Resposta: Precisaremos de 765 grãos para
encher as oito primeiras casas do tabuleiro.

Quando tivermos uma PG com infinitos termos,
mas seus termos estiverem se aproximando de
zero (que implica –1 < q < 1), podemos dizer que
a soma limite será dada por, fazendo qn = 0:
Sn

a
1

qn 1
q 1
Slim n  a1
Slim n
 0  1 
q 1
a1

1 q
a1
a1

q 1 1  q
Guiba dirige seu simpático Chevrolet Celta
quando avista uma vaca no meio da pista. Ele
aciona os freios, a 60 metros de distância do
animal. Então, o carro percorre 30 metros no
primeiro segundo, e em cada segundo seguinte,
2/3 da distância percorrida no segundo anterior.
Calcule o susto da vaca! (brincadeirinha... hehe)
Qual seria a soma limite das distâncias
percorridas em cada segundo?
Dependendo do tempo até o carro parar, poderá
haver a colisão entre o carro e o mamífero?

Considerando as distâncias percorridas em
cada
segundo,
considerando
“infinitos
segundos”, teremos uma PG de primeiro
termo 30 e razão 2/3. A soma desses
“infinitos termos” será
Slim n
a1

1 q
Slim n 
30
30
3

 30.  90
2 1
1
1
3 3
Resposta: A soma limite é 90 m (maior que a
distância entre os corpos), e Guiba está em
maus lençóis!
“I know what I want
I say what I want
And no one can take it away”.
“Eu sei o que quero
Eu digo o que quero
E ninguém pode tirar isso de mim”
Refrão da canção “Journeyman”, da banda inglesa Iron Maiden.