Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 8.ED., LTC, RIO DE
JANEIRO, 2008.
FÍSICA 1
CAPÍTULO 3 – VETORES
16. Na soma A + B = C, o vetor A tem um módulo de 12,0 m e um ângulo de 40,0o no sentido antihorário em relação ao semi-eixo x positivo, e o vetor C tem um módulo de 15,0 m e um ângulo
de 20,0o no sentido anti-horário em relação ao semi-eixo x negativo. Determine (a) o módulo de
B e (b) o ângulo de B em relação ao semi-eixo x positivo.
(Pág. 59)
Solução.
Considere o esquema abaixo, que mostra os vetores A e C:
y
Ay
A
Cx
A
Ax
C
x
Cy
C
(a) O módulo de B é calculado por meio da seguinte relação:
B
Bx2
By2
(1)
Portanto, precisamos agora calcular Bx e By para, em seguida, substituí-los em (1). Esse cálculo
pode ser feito por meio das duas equações escalares contidas na equação vetorial A + B = C. A
primeira delas é:
Ax Bx Cx
A cos
A
Bx
A cos
Bx
Bx
A
C cos
C
C cos
C
12,0 m cos 40,0
15,0 m cos 20,0
23, 2879
m
15,0 m sen 20,0
12,8437
m
A segunda equação escalar é:
Ay By C y
A sen
A
By
By
A sen
By
12,0 m sen 40,0
A
C sen
C
C sen
C
Substituindo-se os valores de Bx e By em (1), teremos:
B
23, 2879
m
2
12,8437
m
2
26,5949
m
B 26,6 m
(b) O ângulo que B faz em relação ao semi-eixo x positivo é dado por:
________________________________________________________________________________________________________
a
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Cap. 03 – Vetores
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B
tan
1
By
Bx
tan
12,8437
23, 2879
1
m
m
28,8776
Embora a calculadora forneça como resultado para B o valor 28,9o, podemos ver na figura abaixo
que devemos acrescentar 180o a esse resultado para obter a resposta correta.
B
y
28,9o
A
B
x
C
Logo:
B
180
B
209
28,8776
208,8776
25. Se B é somado a C = 3,0 i + 4,0 j, o resultado é um vetor no sentido do semi-eixo y positivo,
com um módulo igual ao de C. Qual é o módulo de B?
(Pág. 59)
Solução.
Em primeiro lugar vamos determinar o módulo de C:
C
Cx2 C y2
3, 02
4, 02
25
5, 0
Vamos chamar de D o vetor soma de B e C. Como D aponta no sentido +y e possui módulo 5,0,
teremos:
D 5,0j
Agora precisamos efetuar a operação mencionada no enunciado para obter B:
B A D
B D C
B
5, 0 j
3, 0i 4, 0 j
B
3,0i 1,0j
Portanto, o módulo de B vale:
B
B
Bx2
By2
3,0
2
1,0
2
10
3,1622
3, 2
Os vetores B, C e D podem ser vistos no esquema abaixo:
________________________________________________________________________________________________________
a
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y
5 D
C
4
3
2
1
3
2
B
1 0
1
1
2
3
4
5
x
b
32. Na Fig. 3-33, um vetor a com um módulo de 17,0 m faz um ângulo = 56,0o no sentido antihorário com o semi-eixo x positivo. Quais são as componentes (a) ax e (b) ay do vetor? Um
segundo sistema de coordenadas está inclinado de um ângulo ’ = 18o em relação ao primeiro.
Quais são as componentes (c) a’x e (b) a’y neste novo sistema de coordenadas?
Fig. 3-33 Problema 32
(Pág. 60)
Solução.
As componentes de a no sistema de coordenadas xy são:
(a) ax
ax
a cos
ax
9,51 m
ay
a sen
ax
14,1 m
17,0 m cos 56,0
9,5062
17,0 m sen 56,0
14,0936
m
(b) ay
m
As componentes a x' e a 'y no sistema rotacionado são dadas pelas seguintes relações (tente deduzir
essas relações):
ax'
ax cos
'
a y sen
'
a 'y
a y cos
'
ax sen
'
Logo:
________________________________________________________________________________________________________
a
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(c)
ax'
ax cos
ax'
13m
a'y
ay cos
ax'
10 m
'
ay sen
'
9,5062
'
ax sen
'
14,0936
m cos 18
14,0936
m sen 18
13,3961 m
9,5062
m sen 18
10, 4662
(d)
m cos 18
m
43. Os três vetores na Fig. 3-35 têm módulos a = 3,00 m, b = 4,00 m e c = 10,0 m; = 30,0o.
Determine (a) a componente x e (b) a componente y de a; (c) a componente x e (d) a
componente y de b; (e) a componente x e (f) a componente y de c. Se c = p a + q b, quais são os
valores de (g) p e (h) q?
Fig. 3-35 Problema 43
(Pág. 60)
Solução.
(a) Como A está sobre o eixo x, teremos:
(b)
ax
3,00 m
ay
0, 00 m
Vetor B:
(c)
(d)
(e)
bx
b cos
bx
3,46 m
by
b sen
by
2, 00 m
cx
c cos
cx
(f)
4,00 m cos 30,0
3, 4641 m
4,00 m sen 30,0
90
10,0 m cos 120,0
90
10,0 m sen 120,0
5,00 m
cy
c sen
cy
8,66 m
8,6602
m
(g) e (h) Para calcular p e q devemos resolver o sistema de duas equações escalares embutidas na
equação vetorial c = p a + q b, que são cx = p ax + q bx e cy = p ay + q by. Da primeira equação,
teremos:
cx pax qbx
________________________________________________________________________________________________________
a
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cx
q
pa x
(1)
bx
Da segunda, teremos:
c y pa y
q
by
(2)
Igualando-se (1) e (2):
cx pax c y pa y
bx
by
Resolvendo a equação acima para p, teremos:
c y bx cxby
8, 6602 m 3, 4641 m
p
a y bx axby
0, 00 m 3, 4641 m
p
5, 00 m 2, 00 m
3, 00 m 2, 00 m
6, 6666
6,67
Agora podemos obter q a partir de (1):
cx
q
pax
5, 00 m
bx
6, 6666
3, 4641
3, 00 m
m
4,3301
q 4,33
51. Um barco a vela parte do lado americano do lago Erie para um ponto no lado canadense, 90,0
km ao norte. O navegante, contudo, termina 50,0 km a leste do ponto de partida. (a) Que
distância e (b) em que sentido deve navegar para chegar ao ponto desejado?
(Pág. 61)
Solução.
Considere o seguinte esquema vetorial da situação, em que r0 é a posição almejada pelo velejador,
r1 é a posição alcançada pelo barco e r é o deslocamento que o barco deve sofrer para alcançar seu
objetivo inicial.
Lago Erie
y
r
90 km
x
r0
r1
’
50 km
(a) De acordo com o esquema acima, temos a seguinte relação vetorial:
r0 r1
r
r
r0 r1
90, 0 km j
50, 0 km i
50, 0 km i
90, 0 km j
O módulo de r é:
________________________________________________________________________________________________________
a
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rx2
r
ry2
50,0 km
2
90,0 km
r 103 km
(b) A direção de r é dada pelo ângulo 2:
ry
90, 0 km
'
tan 1
tan 1
2
rx
50, 0 km
2
102,9563
km
60,9453
Logo:
'
2
2
2
180
60,9453
119,0546
119
54. São dados três deslocamentos em metros: d1 = 4,0 i + 5,0 j 6,0 k, d2 = 1,0 i + 2,0 j + 3,0 k e
d3 = 4,0 i + 3,0 j + 2,0 k. (a) Determine r = d1 d2 + d3. (b) Determine o ângulo entre r e o
semi-eixo z positivo. (c) Determine a componente de d1 em relação a d2. (d) Qual é a
componente de d1 que é perpendicular a d2 e está no plano de d1 e d2? (Sugestão: Para resolver
o item (c), considere a Eq. 3-20 e a Fig. 3-20; para resolver o item (d), considere a Eq. 3-27.)
(3-20)
a b ab cos
Fig. 3-20
(3-27)
c ab sen
(Pág. 61)
Solução.
(a)
r
d1 d2 d3
r
4, 0i 5, 0 j 6, 0k
1, 0i 2, 0 j 3, 0k
r
4,0
5,0 2,0 3,0 j
1,0
4,0 i
4, 0i 3, 0 j 2, 0k
6,0 3,0 2,0 k
r 9,0i 6,0j 7,0k
________________________________________________________________________________________________________
a
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(b) O ângulo entre r e o eixo z pode ser obtido por meio do produto escalar entre r e o vetor unitário
k:
r k
r k cos
r 1 cos
rz
rz
r k
r
Agora precisamos calcular r.k e r. Cálculo de r.k:
cos
(1)
rz
r k
9, 0i 6, 0 j 7, 0k
r k
7,0
k
0 0 7, 0
Cálculo de r:
rx2 ry2 rz2
r
9,0
2
6,0
2
7,0
2
r 12,8840
Substituindo-se esses valores em (1), teremos:
cos
7, 0
rz
12,8840
cos
1
rz
rz
123
0,5433
0,5433
122,9089
(c) A componente de d1 em relação a d2, que chamaremos d12, é d1 cos
produto escalar dos dois vetores:
d1 d2 d1d2 cos 12
d1 cos
12.
Esse termo aparece no
d1 d2
d2
12
Ou seja:
d12
d1 d 2
d2
(2)
Agora precisamos calcular d1 d2 e o módulo de d2. O produto escalar vale:
d1 d 2
4, 0i 5, 0 j 6, 0k
1, 0i 2, 0 j 3, 0k
4, 0 10 18
12 m 2
O módulo de d2 vale:
d2
d22x d22y
d22z
1,0
2
2,0
2
3,0
2
3,7416
m
Substituindo-se os valores de d1 d2 e d2 em (2), teremos:
d12
12 m2
3, 7416
d12
3, 2071
m
m
3, 2 m
(d) A componente de d1 que é perpendicular a d2 e está no plano de d1 e d2, que chamaremos d12 , é
d1 sen 12. Esse termo aparece no módulo do produto vetorial dos dois vetores:
d1 d 2
d1d 2 sen
12
d12 d 2
________________________________________________________________________________________________________
a
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d1 d 2
d12
(3)
d2
Agora só precisamos calcular |d1×d2|. O produto vetorial vale:
d1 d 2
4, 0i 5, 0 j 6, 0k
1, 0i 2, 0 j 3, 0k
27i 6, 0 j 13k
O módulo de d1×d2 é:
d1 d2
27
2
6,0
2
13
2
30,5614
m2
Substituindo-se os valores de |d1×d2| e d2 em (3), teremos:
d12
d12
d1 d 2
30,5614
m2
d2
3, 7416
m
8,1678
m
8, 2 m
58. Um jogador de golfe precisa de três tacadas para colocar a bola no buraco. A primeira tacada
lança a bola a 3,66 m para o norte, a segunda 1,83 m para o sudeste e a terceira 0,91 m para o
sudoeste. Determine (a) o módulo e (b) a direção do deslocamento necessário para colocar a
bola no buraco na primeira tacada.
(Pág. 61)
Solução.
As direções associadas aos termos nordeste (NE), sudeste (SE), sudoeste (SW) e noroeste (NW),
podem ser conferidas na figura abaixo, que costuma ser chamada de “rosa dos ventos”:
Considere o seguinte gráfico que mostra os três deslocamentos sucessivos sofridos pela bola:
y
315
o
b
225
o
a
c
x
De acordo com o enunciado, os vetores a, b e c são definidos por:
________________________________________________________________________________________________________
a
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Problemas Resolvidos de Física
a
3, 66 m j
b
1,83 m cos 315 i
1,83 m sen 315 j
c
0,91 m cos 225 i
0,91 m sen 225 j
A tacada única d capaz de lançar a bola diretamente no buraco corresponde à soma vetorial a + b
+c:
d a b c
d
3, 66 m j
1,83 m cos 315 i
0,91 m cos 225 i
d
0, 6505
m i
1,83 m sen 315 j
0,91 m sen 225 j
1, 7225
m j
(a) O módulo de d vale:
d
d x2 d y2
0,6505
m
2
1,7225
m
2
1,8412
m
d 1,84 m
(b) O ângulo que d faz em relação ao semi-eixo x positivo é dado por:
d
tan
d
69
dy
1
dx
tan
1
1, 7225 m
0, 6505 m
69,3102
O vetor d pode ser visto no esquema abaixo:
y
b
a
c
d
69o
x
69. Um manifestante, com sua placa de protesto, parte da origem de um sistema de coordenadas xyz,
com o plano xy na horizontal. Ele se desloca 40 m no sentido negativo do eixo x, faz uma curva
de 90o à esquerda, caminha mais 20 m e sobe até o alto de uma torre de 25 m de altura. (a) Em
termos de vetores unitários, qual é o deslocamento da placa do início ao fim? (b) O manifestante
deixa cair a placa, que vai parar na base da torre. Qual á o módulo do deslocamento total, do
início até este novo fim?
(Pág. 62)
Solução.
Considere o seguinte gráfico que mostra os deslocamentos sofridos pela placa:
________________________________________________________________________________________________________
a
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Problemas Resolvidos de Física
z
c
d
b
a
x
y
(a) O deslocamento total d é dado por:
d a b c
d
40 m i
20 m j
25 m k
O vetor d pode ser visto na figura abaixo.
z
c
d
b
a
x
y
(b) Quando a placa cai no chão, sofre um deslocamento igual a c. Logo, seu novo deslocamento
total e vale:
e a b c c a b
e
40 m i
20 m j
O módulo de e vale:
e
40 m
2
20 m
2
44,7213
m
e 45 m
O esquema vetorial para essa situação será:
z
c
c
b
e
a
x
y
71. Se B é somado a A, o resultado é 6,0 i + 1,0 j. Se B é subtraído de A, o resultado é 4,0 i + 7,0
j. Qual é o módulo de A?
(Pág. 62)
Solução.
Vamos somar as duas equações mencionadas no enunciado para eliminar B e obter A.
________________________________________________________________________________________________________
a
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Cap. 03 – Vetores
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Problemas Resolvidos de Física
B A 6,0i 1,0j
A B
4,0i 7,0j
O resultado da soma é:
2A 2,0i 8,0j
Ou:
A 1,0i 4,0j
O módulo de A vale:
A
Ax2
Ay2
1, 02
4, 02
17
4,1231
A 4,1
________________________________________________________________________________________________________
a
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Cap. 03 – Vetores
11
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 1
CAPÍTULO 3 – VETORES
16. Uma roda com raio de 45 cm rola sem deslizar ao longo de uma superfície horizontal, como
mostra a Fig. 25. P é um ponto pintado no aro da roda. No instante t1, P é o ponto de contato
entre a roda e o chão. No instante t2 posterior, a roda girou de meia revolução. Qual é o
deslocamento de P nesse intervalo de tempo?
(Pág. 46)
Solução.
Considere o esquema a seguir:
P
r
y
y
x
P
x
O deslocamento do ponto P corresponde ao vetor r, que é dado por:
r
xi yj
Analisando-se o esquema acima, podemos concluir que x é corresponde a meia volta da
circunferência da roda ( R) e y é igual a 2R. Logo, o vetor deslocamento vale:
r
r
Ri 2 Rj
1, 4 m i
1, 4137
m i
0,90 m j
0,90 m j
O módulo do deslocamento vale:
r
r
x2
y2
2, 2237
m
2, 2 m
24. Uma estação de radar detecta um míssil que se aproxima do leste. Ao primeiro contacto, a
distância do míssil é 3.200 m, a 40,0o acima do horizonte. O míssil é seguido por 123o no plano
leste-oeste, e a distância no contacto final era de 7.800 m; veja a Fig. 27. Ache o deslocamento
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 3 – Vetores
12
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Problemas Resolvidos de Física
do míssil durante o período de contacto com o radar.
(Pág. 46)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
r
r0
r
y
x
A posição inicial do míssil é dada por:
r0 r0 x i r0 y j
r0
r0 cos i r0 sen j
A posição final do míssil é dada por:
r rx i ry j
r
r cos
i r sen
j
O vetor deslocamento do míssil é dado por:
r
xi yj
r
r cos
r0 cos
r
10.216,9370
r
10 km i
m i
i
r sen
33,5360
r0 sen
j
m j
33 m j
O módulo do deslocamento é:
r
rx 2
ry 2
10.216,9921
m
r 10 km
________________________________________________________________________________________________________
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
Cap. 3 – Vetores
13