ASSOCIAÇÃO PORTU6UESA
PAR A
O
PROGRESSO
DAS
CltNCIAS
PROPRIEDADES DE PERMANÊNCIA
DOS ESPAÇOS (LN*) E DOS SEUS DUAIS
J. SEBASTIÃO
E SILVA
(Comunicação apresentada à ta Secção do XXIII Congresso luso-Espanhol
-Coimbra, 1956)
C
I
OIMBRA
9
5
7
PROPRIEDADES DE PERMAN�NCIA
DOS ESPAÇOS (LN*) E DOS SEUS DUAIS
SEPARATA
DO
XXIII
DO TOMO II DAS PUBLICAÇOES
CONGRESSO
LUSO-ESPANHOL
(COIMBRA, •-s DE JUNHO DE
1956)
PORTUGUESA
ASSOCIACÃO
,
P A R A
O
PROGRESSO
GltNGIAS
DAS
PROPRIEDADES DE PERMANÊNCIA
DOS ESPAÇOS (LN*) E DOS SEUS DUAIS
J. SEBASTIÃO E
(Comunicação apresentada
C
(
SILVA
Secção do XXIII Cong ress o Luso-Espanhol
-Coimbra, 1956)
à ta
OIMBRA
9
5
7
composição
o
e impressão das oficinas
da "C imbra Editora, Limitada "
PROPRIEDADES
DOS
DE PERMANENCIA
ESPAÇOS (LN*)
J.
E DOS
SEBASTIÃO
E
SEUS
DUAIS
SILVA
Na comunicação que apresentámos no Congresso Inter­
nacional de Matemáticos de 1954, introduzimos duas categorias
de espaços localmente convexos, relacionados entre si por
dualidade- os espaços
(LN*) e os espaços (M*)- que se
têm revelado particularmente úteis nas teorias das distribui­
ções e dos funcionais analíticos, bem como nas aplicações
destas teorias às transformações de FouRIER e de LAPLACE.
Os resultados resumidos nessa comunicação foram publica­
in extenso, nos Rendiconti di Matematica e delle sue
Applicazioni de Roma, série V, vol. 14 (1955), p. 388-410, sob
dos,
o título «Su certe classi di spazi localmente convessi impor­
tanti per le applicazioni».
Ora, verificámos, depois disso, que tais espaços apresen­
tam uma notável estabilidade, a respeito de operações usuais
da análise vectorial topológica, o que vem aumentar o seu
interesse nas aplicações.
I- Todo
Assim:
o sub-espaço
vectorial fechado
dum
espaço
(LN*) [resp. (M*)] é ainda um espaço (LN*) [resp. (M*)].
II- Se E é um e s p a ç o
(LN*) e V um s u b-e s p a ç o
vectorial fechado de E, também o espaço quociente E I V é
um espaço
(LN*).
Mais precisamente, se
E
for o limite
indutivo duma sucessão regular de espaços normados En,
também a sucessão de espaços
Enf (V n
En) é regular e tem
por limite indutivo EfV.
III- Todo o espaço quociente dum espaço (M*J por um
seu sub-espaço vectorial fechado é ainda um
(M*), Mais pre­
cisamente, se E é o limite projectivo duma sucessão de espaços
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normados En em relação a um sistema de aplicações lineares
compactas Ym, n (m :$ n) e se V é um sub-espaço l in ear fechado
de E, também as a pl icaç õ es definidas pelas p r imei ras entre os
es p aços En/Yn(V) são compactas e o limite projec tivo destes
espaços a r espeito de t ais a pl i caçõ es é isomorfo a E {V.
IV- O produto tensoria l projec tivo de dois ou mais
espaços (LN*) [resp. (M*)], em número finito, ainda é um
espaço (LN*) [resp. (M*)], h a vendo permutabilidade ent r e a
o per ação de produto tensorial projectivo e a de p assa g em
ao limite indutivo ou proj ec t i vo .
V- A soma directa duma família nu m er á vel j Ek! de
espaços (LN*) ainda é um espaço (LN*). Mais precisame n t e,
se cada espaço Ek (k
1, 2, ... ), for li m ite indutivo duma
sucessão r e gula r de espaços normados Ek, 1, Ek, 11, • • • , também
a sucessão de espaços normados.
=
E1, 1, E1, �
X
E2, 2 ,
•
•
•
, E 1, n X E 2, n X
•
•
•
X En, n,
•
•
•
cada um dos quais se pode considerar cont i do no segui nt e,
é regular e tem como limite i n d u ti v o a soma directa dos Ek.
VI- O p ro du to v e c to rial topo lóg i co duma família
de espaços (M*) ainda é um espaço (M*).
nume­
r áv el
Uma das aplicações destes resultados será a to polo giz a­
ção das teorias algébricas de KõNIG sobre a multiplicação de
d istri b u içõ es. Com efeito, cada «teoria mui tiplica ti v a » de
KõNIG a prese nt a-s e como um espaço quociente da álgebra
tenso r ial do espaço D' das distribu içõ es . Ora, esta ál g e b r a
é, com o se s ab e , a soma directa das potê n cias te n sor iai s
p
,
E assim de preve r que cada «teoria mu ltiplicativa» se apresente naturalmente c omo limite pr ojecti vo
de espaços (LN*), tal como o próprio espaço das di s t r i buições.
Ta mb ém pu de m os estabelecer recentemente que a classe
dos e s paços ( M*) coincide com a classe dos e s p aços de
ScHWARTZ metrizáveis c o m ple tos, se g u ndo a terminologia
de GROTHENDIECK.
<8l D', p
=
1, 2, .
.. .