UMA EXPERIÊNCIA NO ENSINO MÉDIO COM INVESTIGAÇÃO
MATEMÁTICA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Elizane Mainardes Appel1
[email protected]
Elisete Adriana José Luiz2
[email protected]
RESUMO
Este artigo visa relatar uma experiência durante o estágio supervisionado, aplicando duas tendências da
Educação Matemática, a Investigação Matemática e a Resolução de Problemas, como metodologias de
ensino em sala de aula. O estágio foi aplicado em uma escola da rede estadual, de Ensino Médio Técnico, no
município de Canoinhas, SC, e o público alvo eram alunos do 2° ano do Curso Técnico em Agropecuária, a
maioria deles provenientes do interior da própria cidade, bem como de cidades vizinhas. O tema escolhido
para trabalhar foi o conteúdo de matrizes, desde suas primeiras definições até suas operações. Com esta
experiência pode-se comprovar a eficácia do uso de novas metodologias de ensino em sala de aula.
Palavras-Chave: Experiência; Educação Matemática; Tendências de Ensino.
1. INTRODUÇÃO
Dentre as tendências da Educação Matemática, a Investigação Matemática e a
Resolução de Problemas foram aplicadas no estágio supervisionado, visto que elas
promovem uma maior motivação aos alunos em estudar matemática.
Ao utilizarmos Investigação Matemática e Resolução de Problemas juntas como
alternativa de ensino em sala de aula, elas proporcionam aulas mais produtivas, visando
melhorar o processo de ensino e aprendizagem dos alunos.
Será relatada, neste trabalho, uma atividade desenvolvida durante o estágio, que
trata-se de iniciar o conteúdo das operações com matrizes (adição, subtração, multiplicação
de um número real por uma matriz e multiplicação de matrizes).
1
Acadêmica do 4° ano de Licenciatura Plena em Matemática – FAFIUV (Faculdade Estadual de
Filosofia, Ciências e Letras de União da Vitória - PR).
2
Professora orientadora – FAFIUV (Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e Letras de União da
Vitória - PR), graduada em Matemática Licenciatura Plena - UNOCHAPECÓ (Universidade Comunitária
Regional de Chapecó), Especialização em Metodologia do Ensino e da Pesquisa em Interdisciplinaridade –
AMPARO (Faculdades Integrada de Amparo), mestrado em Ensino de Ciências e Matemática – ULBRA
(Universidade Luterana do Brasil).
787
2. INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA
O uso da Investigação Matemática em sala de aula favorece o desenvolvimento de
aptidões cognitivas no aluno, afinal, ele precisa fazer conjecturas para conseguir chegar ao
desfecho de uma determinada situação.
Para usar a Investigação Matemática para a construção de um novo conhecimento,
de um novo conceito matemático, pode-se partir da própria matemática. E, para se obter
sucesso na tarefa de investigação, deve-se investigar todos os caminhos que surgem de
uma situação dada. Vemos então que:
[...] uma investigação é uma viagem até o desconhecido [...], o objectivo é
explorar todos os caminhos que surgem como interessantes a partir de uma dada
situação. É um processo divergente. [...] sabe-se qual é o ponto de partida mas
não se sabe qual será ponto de chegada (FONSECA, BRUNHEIRA e PONTE,
2008, p.4).
Esse tipo de atividade proporciona ao aluno criar certa independência em relação
ao professor. Fonseca, Brunheira e Ponte (2008) estruturam uma aula de Investigação
Matemática segundo as seguintes fases: introdução da tarefa, desenvolvimento do trabalho
e reflexão/discussão final.
A fase de introdução da tarefa é bastante importante pois tem uma
dinâmica própria que poderá influenciar decisivamente o sucesso do trabalho,
principalmente se os alunos não estiverem familiarizados com esse tipo de
actividade [...].
Na fase de desenvolvimento do trabalho pretende-se que os alunos
adquiram uma atitude investigativa, devendo por isso haver a preocupação em
centrar a aula na actividade dos alunos, nas suas idéias e na sua pesquisa [...].
A discussão final sobre a actividade dos alunos é também uma boa
ocasião para promover a reflexão sobre o trabalho, sabendo que esta é um
elemento indispensável numa aula de investigação. [...] Por um lado esta reflexão
permite, por exemplo, valorizar os processos de resolução em relação aos
produtos [...] por outro, permite estabelecer conexões com outras ideias
matemáticas, [...] e pode construir um ponto de partida para outras investigações
(FONSECA, BRUNHEIRA e PONTE, 2008, pp. 6 – 9).
Essas fases podem ser concretizadas de várias maneiras, mas a mais usual é iniciar
com uma pequena introdução, seguida da realização da investigação, normalmente em
pequenos grupos, e, por último, a discussão dos resultados encontrados com toda a turma.
Encontramos, relatado em Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), que a realização de
atividades de investigação proporciona o estabelecimento de conexões com outros
conceitos matemáticos e até mesmo com conceitos extramatemáticos. Segundo eles, para
que se obtenha sucesso nessas ocasiões “[...] o professor precisa estar atento a tais
oportunidades e, mesmo que não seja possível explorar cabalmente essas conexões, deve
estimular os alunos a refletir sobre elas [...]” (PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2006,
788
p.51). Durante uma atividade de investigação, o papel do professor é incentivar os alunos a
fazer conjecturas, devendo também apoiar os alunos, promovendo sua reflexão sobre o
trabalho que realizaram.
Para obter sucesso no trabalho de investigação “[...] o professor deve, sem dúvida,
privilegiar uma postura interrogativa [...]” (PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2006,
p.52). Essas questões têm como objetivo, muitas vezes, apenas clarificar as ideias.
Investigação Matemática é descobrir relações existentes entre conteúdos
matemáticos e também descobrir suas propriedades. Para que isso aconteça é necessário
que o aluno esteja envolvido na construção de seu conhecimento, o que torna a
Investigação Matemática uma alternativa que busca incentivar o aluno a essa busca pelo
conhecimento.
3. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
A Resolução de Problemas, como alternativa de ensino em sala de aula,
proporciona aos alunos aplicarem os conhecimentos que eles já possuem a situações novas,
com o objetivo de que aprendam esse novo conteúdo.
[...] para aprender um conteúdo qualquer, os estudantes devem envolver-se na
exploração, conjecturação e no processo de simplificação mais do que na
aprendizagem memorística de dados, regras, procedimentos [...]3 (VILLELLA,
2006, p.11).
A Resolução de Problemas proporciona aos alunos explorarem caminhos diferentes
para a resolução de um mesmo problema, permitindo a possibilidade de criar estruturas de
pensamento, de modo que estas possam ser aplicadas a uma grande quantidade de
situações, parecidas e até mesmo diferentes daquelas que ele resolveu em sala de aula.
Os PCNs ressaltam a importância do uso da Resolução de Problemas, enfatizando
que “a resolução de problemas é peça central para o ensino de Matemática, pois o pensar e
o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o indivíduo está engajado ativamente no
enfrentamento de desafios [...]” (BRASIL, 2002, p.112).
Segundo Polya (1997, pp. 1-2):
resolver um problema
nitidamente imaginado
conhecido de antemão,
encontrar um caminho
desejado [...].
é encontrar os meios desconhecidos para um fim
[...] é encontrar um caminho onde nenhum outro é
encontrar um caminho a partir de uma dificuldade,
que contorne um obstáculo, para alcançar um fim
3
“[...] para aprender un contenido cualquiera, los estudiantes deben involucrarse en la exploración,
conjeturación y en el processo de razonamiento más que en el aprendizage memorístico de datos, reglas,
procedimientos [...]”
789
Mas afinal, o que é um problema?
Um problema pode ser entendido como uma situação que tenha um objetivo a
atingir, que requeira do aluno uma série de ações ou operações para chegar a sua solução.
E, conforme encontramos no dicionário Michaelis, um problema é:
[...] toda questão em que se procura calcular uma ou várias quantidades
desconhecidas, denominadas incógnitas, ligadas mediante relações a outras
conhecidas e chamadas dados [...] tema cuja solução ou decisão requer
considerável meditação ou habilidade [...] (WEISZFLOG, 1998, p. 1699).
Um problema é algo que requer concentração, meditação e/ou habilidade para
resolver. E muitos alunos só se sentem motivados a resolver alguma tarefa ou a aprender
algum conteúdo quando este chama a sua atenção, quando ele se sente desafiado a
encontrar a solução. É isso que muitos problemas proporcionam: eles desafiam o aluno a
querer chegar a sua solução.
Dentro da matemática existem muitos tipos de problemas. Butts (1997) os
classificou da seguinte maneira:
- Exercícios de reconhecimento: são aqueles que exigem apenas que o aluno
reconheça uma definição, um enunciado de um teorema.
- Exercícios algorítmicos: podem ser resolvidos com a aplicação de um algoritmo
passo-a-passo.
- Problemas de aplicação: nesse tipo de problema, deve-se aplicar um algoritmo
para sua resolução e, normalmente, seu enunciado já contém a (ou uma) estratégia para
resolvê-los. Conforme Butts (1997), o único obstáculo que o aluno deve vencer é traduzir a
palavra escrita para uma forma matemática apropriada, para que os algoritmos adequados
possam ser aplicados.
- Problemas de pesquisa aberta: seu enunciado não contém uma estratégia de
resolução, deve-se, portanto, analisá-lo e encontrar um meio de resolvê-lo.
- Situações problema: como nos afirma Butts (1997), o grande desafio das
situações-problema é identificar o(s) problema(s) inerente(s) à situação, cuja solução irá
melhorá-la.
E são os problemas dos dois últimos tipos que mais chamam a atenção dos alunos,
são eles que mais cativam o interesse dos alunos em resolvê-los, afinal, são os mais
desafiantes. E “os alunos, normalmente, atacarão com mais entusiasmo os problemas que
acham interessantes e atrativos [...]” (BARNETT, SOWDER e VOS, 1997, p.132), e é
nestes que eles obtêm mais sucesso.
790
Quando os alunos se deparam com um problema, eles devem criar estratégias para
resolvê-lo. E, para isso, Polya (1995, pp. 3-4) sugeriu quatro etapas para a resolução de um
problema:
[...] Primeiro, temos de compreender o problema, temos de perceber claramente
o que é necessário. Segundo, temos de ver como os diversos itens estão interrelacionados, como a incógnita está ligada aos dados, para termos a idéia da
resolução, para estabelecermos um plano. Terceiro, executamos o nosso plano.
Quarto, fazemos um retrospecto da resolução completa, revendo-a e discutindoa.
Cada uma dessas etapas tem sua importância específica no processo da resolução
do problema, não se pode dizer qual delas é a mais importante. Afinal, não se pode
resolver um problema se ele não for compreendido, também não é possível resolvê-lo se
não possuir um plano de ação.
E, após chegar a um resultado, de nada adiantará se não entender o que fez
durante o processo, afinal, a fase do retrospecto “[...] supõe a reflexão sobre o processo
seguido e sua possível generalização a outras situações”4 (VILLELLA, 2006, p.41).
O objetivo da Resolução de Problemas é desafiar o aluno a resolver um problema
e, através do processo de sua resolução, generalizá-lo a outras situações – é esta habilidade
que se busca obter dos alunos. Fazê-los capazes de compreender uma situação e poder usar
esse conhecimento em outras ocasiões.
4. UNINDO INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
NO CONTEXTO ESCOLAR
Quando usamos Investigação Matemática e Resolução de Problemas juntas como
metodologia de ensino em sala de aula, as aulas tornam-se mais produtivas, visto que os
alunos se sentem motivados a aprender o que está sendo estudado. A aula torna-se bem
mais dinâmica.
Apesar de serem tendências distintas, existem muitas relações entre Investigação
Matemática e Resolução de Problemas. Ponte, Brocardo e Oliveira (2006, p.16) afirmam
que:
uma investigação matemática desenvolve-se usualmente em torno de um ou mais
problemas. Pode mesmo dizer-se que o primeiro grande passo de qualquer
investigação é identificar claramente o problema a resolver. Por isso, não é de
admirar que, em Matemática, exista uma relação estreita entre problemas e
investigações [...].
4
“[...] supone la reflexión sobre el processo seguido y su possible generalización a otras situaciones”
791
O grande desafio da educação é, portanto, articular esses diferentes tipos de
tarefas, de modo que se torne possível promover o desenvolvimento matemático em alunos
de todos os graus de escolaridade e em diferentes níveis de desempenho.
5. RELATO DA EXPERIÊNCIA
A atividade desenvolvida no estágio supervisionado, utilizando Investigação
Matemática e Resolução de Problemas foi para iniciar o conteúdo das operações com
matrizes, com o objetivo que os alunos, antes de conhecerem a teoria sobre as operações
com matrizes, pudessem investigar a maneira como elas são realizadas.
A atividade constava de um problema que visava trabalhar com o estoque de uma
livraria. Nela, os alunos encontravam questionamentos que não informavam o tipo de
operação que deveria ser usado para resolvê-los. Portanto, durante o encaminhamento da
atividade, os alunos puderam discutir a melhor maneira para solucioná-la e chegar,
portanto, às suas próprias conclusões. Para a realização da atividade, solicitou-se que os
alunos formassem duplas.
ATIVIDADE DE INVESTIGAÇÃO
CALCULANDO O ESTOQUE DE UMA REDE DE LIVRARIAS:
Nas lojas A, B, C e D de uma rede de livrarias o estoque de seus livros didáticos de
Matemática M1, M2 e M3 é o seguinte:
M1
M2
M3
A
10
120
80
B
20
15
48
C
5
40
30
D
15
10
54
a) Escreva a matriz E que representa o estoque dessa rede de livrarias.
Esse item foi de fácil resolução, visto que eles já haviam trabalhado com as
definições de matrizes e sabiam como passar de tabela para matriz.
b) O que cada linha da matriz representa? E as colunas?
Neste item obtive respostas como: “linha – loja, coluna – produto”; “linha –
representa cada livraria (A, B, C, D), coluna – representa cada livro (M1, M2, M3)”, “cada
linha representa uma loja e seu estoque e cada coluna representa um tipo de livro didático
de matemática”, dentre outras.
792
c) Qual é o elemento que representa o número de exemplares que a livraria A possui
do livro de Matemática M2?
Muitos alunos responderam apenas 120 exemplares (que é o número de
exemplares que pode ser encontrado na tabela) e não o elemento, que era o que o
enunciado estava solicitando. Mas alguns responderam como o aluno 1, conforme
verificamos na figura 01.
Figura 01: Resolução do item c) realizada pelo aluno 1.
Suponha agora que foi feita uma entrega a essas livrarias com as seguintes
quantidades de cada um dos livros de Matemática:
M1
M2
M3
A
30
0
10
B
10
35
12
C
15
40
20
D
20
70
16
d) Como essa entrega poderia ser representada na forma matricial? Chame de F essa
matriz.
Da mesma maneira que o item a), este também foi de fácil resolução.
e) Após essa entrega, como ficou o estoque dessa rede de livrarias? Represente o
estoque atualizado pela matriz A.
Este foi o primeiro item que requereu dos alunos a aplicação de uma operação
(estratégia) para encontrar a resposta. Todos desenvolveram o cálculo apropriado, mas
apenas alguns o anotaram. A maioria preferiu fazer diretamente, sem mostrar o passo-apasso da realização.
Podemos perceber, no detalhe em destaque da figura abaixo, que o aluno 1 anotou
a operação utilizada, o que mostra que ele entendeu o que estava sendo solicitado, mesmo
que tenha esquecido que a referida operação foi realizada com as matrizes dos itens a) e d),
e não com as matrizes dos itens a) e e).
793
Figura 02: Resolução do item e) realizada pelo aluno 1.
Se a tabela de preços desses livros informar que M1 custa R$40,00, M2 custa R$50,00
e M3 custa R$60,00, então esses preços também podem ser representados por uma
⎡40⎤
⎢ ⎥
matriz, P: P = ⎢50 ⎥ .
⎢⎣60 ⎥⎦
f) Qual é o valor total do estoque desses livros nas quatro lojas? Represente esse valor
pela matriz V.
Para resolver este item, era necessário que os alunos efetuassem a multiplicação
da matriz obtida no item e) com a matriz dada P dos valores.
A maioria dos alunos resolveu da mesma maneira que os alunos 1 e 2, conforme
as figuras 03 e 04.
Figura 03: Resolução do item f) realizada pelo aluno 1.
794
Figura 04: Resolução do item f) realizada pelo aluno 2.
Como podemos perceber nas imagens acima, tanto o aluno 1 como o aluno 2
efetuaram primeiro as multiplicações separadamente (em cada loja, cada livro pelo seu
respectivo valor), para só depois efetuar a soma dos resultados e encontrar o valor total do
estoque, que era o que o enunciado pedia.
Vamos supor, agora, que após dois meses o estoque dessas livrarias era representado
⎡25
⎢16
pela matriz D: D = ⎢⎢
13
⎢
⎣14
80
37
54
63
74 ⎤
24⎥⎥
.
23⎥
⎥
48⎦
g) Qual foi o número de exemplares de cada livro que cada livraria vendeu?
Represente o resultado pela matriz N.
A partir desse item, alguns alunos já começaram a utilizar uma anotação referente
à operação que estavam utilizando, como podemos perceber no detalhe em destaque na
figura 05.
Figura 05: Resolução do item g) realizada pelo aluno 1.
h) Qual foi o valor arrecadado por cada livraria nessa venda? Represente o resultado
pela matriz G.
Nesse item, por ser semelhante ao item f), o aluno 1 já não fez as multiplicações
separadamente para depois efetuar a soma, mas apresentou o resultado diretamente e, como
podemos perceber no detalhe em destaque na figura 06, apresentou apenas uma anotação
sobre qual operação ele usou para chegar a tal resultado.
Figura 06: Resolução do item h) realizada pelo aluno 1.
795
Suponha agora que nos três meses seguintes a rede de livrarias conseguiu triplicar o
número de vendas dos primeiros dois meses.
i) Qual foi a quantidade de cada livro que cada livraria vendeu nesses três meses?
Represente o resultado pela matriz T.
Como podemos perceber no detalhe em destaque na figura 07, o aluno 2, bem
como os demais alunos da classe, multiplicou, para resolver este item, a matriz N, obtida
no item g), por 3, visto que o enunciado dizia que o número de vendas havia sido
triplicado.
Figura 07: Resolução do item i) realizada pelo aluno 2.
j) Qual foi a quantidade de livros vendidos por essas livraria nos cinco meses?
Represente o resultado pela matriz Q.
No detalhe em destaque da figura 08, podemos perceber que o aluno 2, para
calcular a quantidade total de livros vendidos nos cinco meses, somou a quantidade de
livros vendida nos primeiros dois meses, representada pela matriz N, com a matriz T, que
representa a venda nos três meses seguintes, obtendo, então, a matriz Q.
Figura 08: Resolução do item j) realizada pelo aluno 2.
k) Qual a quantidade mínima de cada livro que cada livraria deve ter encomendado
para suprir o estoque e conseguir realizar essa quantidade de vendas? Teve alguma
livraria que não precisou encomendar algum dos livros? Quais livrarias? E quais
livros?
Para este item, além de calcular a diferença entre as matrizes Q (que representa a
quantidade de livros vendidos nos cinco meses) e A (que representa a quantidade de livros
que as livrarias tinham em estoque), os alunos tinham que analisar o resultado obtido para
ver se foi necessário a alguma das livrarias encomendar mais livros.
796
Na figura 09 verificamos, nos detalhes em destaque, o que o aluno 1 fez e a que
conclusão ele chegou. Analisou o resultado corretamente, visto que se a diferença entre o
total de exemplares vendidos e o número de exemplares disponíveis em estoque apresenta
sinal negativo, é porque não foram vendidos todos os livros que a livraria possuía em
estoque e, portanto, não precisou fazer encomenda desse livro.
Figura 09: Resolução do item k) realizada pelo aluno 1.
No momento da discussão da atividade, os alunos foram questionados a respeito
de quais operações eles haviam utilizado para resolver os itens que compunham a
atividade, visando que analisassem as operações que efetuaram entre as matrizes que
compunham a atividade. Para a operação dos itens e) e j), os alunos responderam
prontamente “adição”, para a operação dos itens g) e k), responderam “menos”, para a
operação dos itens f) e h), responderam “de vezes”, e, quando questionados sobre a
maneira como haviam chegado à resposta do item i), responderam “multiplicando a matriz
por 3 – era pra triplicar né?”.
De forma geral, a atividade se desenvolveu da maneira como se esperava, pois os
alunos conseguiram compreender mais facilmente as operações envolvendo matrizes a
partir desse exercício. Pode-se então dizer que os objetivos para esta atividade foram
alcançados.
CONCLUSÃO
Com a aplicação desta atividade, conseguimos acompanhar o desenvolvimento
dos alunos, perceber o quanto eles estavam interessados – ou não – pela atividade, pelo
conteúdo em questão. O resultado obtido com essa experiência foi o esperado, os alunos
conseguiram, num momento posterior, entender mais facilmente a teoria envolvida nessas
operações. O que nos impressionou, já de início, foi a rapidez com a qual eles entenderam
o que estava sendo solicitado em cada item da atividade.
Durante a execução do trabalho, foram ouvidas exclamações do tipo: “nossa! É só
isso”, “será que é assim mesmo, ‘tá’ muito fácil”, dentre outras. Como a atividade foi
797
realizada em duplas, percebeu-se que eles estavam realmente motivados a resolvê-la, pois a
maioria estava discutindo-a. Durante a discussão, quase todos os alunos participaram.
Após essa experiência, pode-se confirmar na prática que é altamente
recomendável a utilização de novas alternativas de ensino em sala de aula, especialmente a
Investigação Matemática e a Resolução de Problemas juntas, pois, desta maneira,
estaremos instigando nossos alunos a pensar matematicamente.
REFERÊNCIAS
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Ensino Médio: Orientações educacionais complementares aos Parâmetros
Curriculares Nacionais – Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias.
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798