PARTE DO CURSO DE NIVELAMENTO 2009 - PEQ/COPPE/UFRJ
PROF. EVARISTO
ÁLGEBRA VETORIAL E MATRICIAL
MATRIZES E VETORES
1) CONCEITOS BÁSICOS
Os cálculos/operações assim como conceitos envolvendo matrizes e vetores
constituem a base dos métodos numéricos que tratam da solução de sistemas lineares e não
lineares de equações algébricas ou diferenciais. A representação destes sistemas em termos
matriciais/vetoriais é extremamente mais compacta e é corrente na literatura técnica. Como
visa-se neste curso apresentar os conceitos básicos deste assunto especialmente
relacionados com aplicações em Engenharia Química, os elementos de matrizes e vetores
serão em princípio números ou variáveis reais a não ser quando explicitamente
especificados como complexos.
Uma matriz é um arranjo retangular de números em m linhas e n colunas, m x n,
sendo representada como A (letras maiúsculas em negrito) pertencente a m x n, isto é:
A  mxn . O elemento da linha i e coluna j de A é representado por aij (correspondente
letra minúscula com o sub-índice ij ) ou (A)ij . A matriz completa é geralmente escrita na
 a11 a12  a1n 


a21 a22  a2 n 

forma: A 
ou,
 
   


 am1 am 2  amn 
em forma mais compacta,por: A   aij  com i= 1, ..., m e j=1, ...n. Se duas matrizes A e B
apresentam o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas são ditas do mesmo
tipo.
Se A   aij  é tal que aij = 0 para todo i e j então a matriz A é dita nula e é
representada por 0.
Se n=m a matriz A é dita quadrada.
Se n=m e a ij  a ji para i,j = 1, ... n a matriz quadrada A é dita simétrica.
Se n=1 tem-se um vetor coluna ou simplesmente vetor designado por v (letra minúscula em
 v1 
 
v
negrito) e representado por: v   2  m
  
 
 vm 
Se m=1 tem-se um vetor linha designado por vT (letra minúscula em negrito com o sobreíndice T de transposto) e representada por: vT   v1 v2  vn   1xn
Se m=n=1 tem-se um escalar (real)  (letra minúscula grega), ou seja:   .
A matriz A mxn pode ser particionada por:
a) Colunas na forma:
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A   a1
a 2  an 
 a1 j 
 
a2 j
onde a j    m para j = 1, ... , n são os n vetores
  
 
 amj 
colunas da matriz A;
b) Linhas na forma:
 a1T 
 T
a
A   2  onde aTi   ai1
  
 T 
 am 
linhas da matriz A.
ai 2  ain  1xn para i = 1, ... , m são os m vetores
2) OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES
As operações de adição ou subtração são definidas apenas para matrizes do mesmo
tipo, assim se A e B são matrizes (m x n ) então a matriz C , também (m x n ), soma ou
subtração de A com B, representada por C = A  B, tem como termo geral :
cij = aij  bij para i = 1, ... , m e j = 1, ... , n .
Se  é um escalar qualquer, a matriz A é uma matriz cujo termo geral é aij.
A operação de multiplicação de matrizes está intimamente relacionada a
transformações de coordenadas. Assim sejam as seguintes transformações lineares:
n
p
j 1
k 1
zi   aij y j para i = 1, ..., m e y j   b jk xk para j = 1, ..., m.,
expressando zi em temos de xk , por substituição tem-se:
n

 p
 p  n
zi   aij   b jk xk      aij  b jk   xk
j 1
 k 1
 k 1  j 1

n
m
j 1
k 1
definindo: cik   aij  b jk tem-se: zi   cik  xk , o que induz à definição da matriz:
C  A  B onde A é (m,n) , B é (n,p) e C é (m,p) que apresenta como termo geral:
n
cik   aij  b jk para i = 1, ..., m e k = 1, ..., p. Verificando-se assim que a operação A  B só
j 1
é definida se o número de colunas de A (primeira parcela do produto) for igual ao número
de linhas de B (segunda parcela do produto). É importante ressaltar que a lei de
comutatividade não é satisfeita pelo produto entre matrizes, mesmo que B  A seja definida,
isto é m=p e mesmo que B  A seja do mesmo tipo que A  B , o que só ocorrerá se m=p=n
(isto é ambas as matrizes são quadradas e de mesma dimensão), assim de uma forma geral
tem-se: A  B  B  A .
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Se a primeira parcela do produto é um vetor linha uT (1,n) e a segunda parcela é um
vetor coluna v
(n,1) então o produto u T  v é um
n
escalar: u T  v   u j  v j que é
j 1
comutável, isto é u  v  v  u . Este produto é chamado de produto escalar de dois
vetores.
Se A é uma matriz (m,n) e v um vetor (n,1) então o produto A  v é um vetor u
T
T
n
(m,1) cujo termo geral é: ui   aij v j para i = 1, ..., m. Este produto pode ser efetuado de
j 1
duas formas distintas:
 a1T 
 T
a
(a) por linhas (método ij) considerando a partição por linhas da matriz A, isto é: A   2  ,
  
 T 
 am 
T
 a1  v 
 T 
a v
então: A  v   2  , isto é o elemento i de u é dado por ui  aTi  v para i = 1, ..., m, que é
  
 T 
 am  v 
o produto escalar do vetor composto pelos elementos da linha i da matriz A com o vetor u.
(b) por colunas (método ji): considerando a partição por colunas de A, isto é:
A   a1 a 2  an  , então:
 v1 
 
n
v
u  A  v   a1 a 2  an    2   v1  a1  v2  a 2    vn  a n   vi  ai , isto é o vetor u é

i 1
 v 
 n
uma combinação linear dos vetores coluna de A sendo os coeficientes desta combinação os
elementos do vetor v.
1 2
7


Exemplo Ilustrativo A   3 4  , v   
8
5 6


7
7
(a)método ij: u1  1 2      1  7  2  8  23 ; u2   3 4      3  7  4  8  53 e
8
8
 23 
7
 
u3   5 6      5  7  6  8  83 , logo: u   53 
8
 83 
 
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1
 2   23 
 
   
(b) método ji: u  7   3   8   4    53  .
5
 6   83 
 
   
A designação dos métodos como ij e como ji deve-se à forma como os loops de
programação são efetuados, assim no primeiro método tem-se o seguinte fluxograma:
Especificação de m e n
a
e v
ij
j
u = 0
i
para i= 1,...., m e j=1,.....,n
i=1
u = u +a v
i
i
ij j
j=j+1
loop
interno
loop
externo
j <_ n
j:n
j>n
i = i +1
i:m
PARE
i>m
i <_ m
j=1
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Note que neste caso o loop externo é em i (linha)e o loop interno é em j (coluna).
O segundo método é descrito pelo fluxograma:
Especificação de m e n
a
e v
ij
j
u = 0
i
para i= 1,...., m e j=1,.....,n
j=1
u=u+v a
i
loop
interno
i
j
ij
i=i+1
loop
externo
i <_ m
i:m
i>m
j=j+1
j>n
PARE
j:n
j <_ n
i=1
Note que neste caso o loop externo é em j (coluna) e o loop interno é em i (linha).
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Estes métodos podem também ser ilustrados acompanhando passo a passo o
Exemplo Ilustrativo anterior segundo cada um dos algoritmos.
i
j
u1
u2
u3
1
1
7
0
0
1
2
23
0
0
Método ij
2 2 3 3
1 2 1 2
23 23 23 23
21 53 53 53
0 0 35 83
j
i
u1
u2
u3
1
1
7
0
0
1
2
7
21
0
Método ji
1 2 2 2
3 1 2 3
7 23 23 23
21 21 53 53
35 35 35 83
A operação de transposição de uma matriz A (m,n) consiste em trocar as linhas
pelas colunas de A, esta nova matriz é chamada de matriz transposta de A , representada
por AT, e é uma matriz (n,m) cujo termo da linha j e coluna i é aTji  aij para j = 1, ... , n e i
= 1, ... , m. Se a matriz A é simétrica então: A = AT.
As propriedades que serão descritas a seguir aplicam-se exclusivamente a matriz
quadradas (n,n) e a vetores coluna (n,1) e a vetores linha (1,n).
Define-se como matriz identidade a matriz I cujo elemento geral é:
 1 apenas se i=j
, onde ij é chamado de delta de Kronecker, deste modo a
 I ij  ij  
0 sempre que i  j
matriz identidade é uma matriz diagonal cujos termos da diagonal são todos unitários,
1 0  0


0 1  0

assim: I 
, entendendo-se como matriz diagonal uma matriz quadrada em
     
 0 0  1 


que apenas os elementos da diagonal (também chamada de diagonal principal) são não
 d1 0  0 


0 d2  0 
nulos, geralmente uma matriz diagonal D  
é representada na forma
     


 0 0  dn 
mais compacta: D  diag  d1
d2  dn  .
Note que toda matriz diagonal é simétrica.
Uma propriedade muito importante da matriz identidade é: I  A  A  I  A , isto é, a
matriz identidade pré-multiplicada ou pós-multiplicada por qualquer matriz quadrada de
mesma dimensão não altera o valor de elemento algum desta matriz.
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Uma matriz diagonal é um caso particular de matrizes dita esparsas, que são
matrizes que apresentam um grande número de elementos nulos, sendo os elementos não
nulos mais a exceção do que a regra. Algumas destas matrizes são apresentadas abaixo:
1) matrizes tridiagonais são matrizes que apresentam apenas os elementos da diagonal, os
elementos sobre a diagonal e os elementos sob a diagonal não nulos, sendo os demais nulos,
assim se A é uma matriz tridiagonal então:
 0 se i = j - diagonal
 0 se i = j+1 (para i= 2,...,n)-sob a diagonal

aij  
 0 se i = j - 1 (para i=1,...,n-1)- sobre a diagonal
=0 em qualquer outro caso
2) matrizes bidiagonais são matrizes que apresentam apenas os elementos da diagonal e os
elementos sobre a diagonal ou sob a diagonal não nulos, no primeiro caso diz-se que a
matriz é bidiagonal superior e no segundo caso bidiagonal inferior.
3) matrizes triangulares são matrizes que apresentam todos os elementos sob (ou sobre) a
diagonal nulos, sendo neste caso chamada de matriz triangular superior ou matriz U (ou
triangular inferior ou matriz L), assim:
 U ij  0 se i > j e  L ij  0 se j > i .
Algumas vezes para evitar ambigüidades representa-se a matriz identidade de
dimensão n por In.
O traço de uma matriz quadrada A é a soma dos elementos de sua diagonal, isto é:
n
tr  A    aii .
i 1
Uma matriz quadrada A é dita positiva definida se xT  A  x  0 para todo vetor
x  0 (isto é não nulo), caso xT  A  x  0 a matriz A é dita positiva semi-definida e se
xT  A  x  0 para alguns vetores x  0 e se xT  A  x  0 para algum vetor x  0 a matriz A
é dita não-definida. Além disto, A é dita negativa definida se xT  A  x  0 para todo vetor
x  0 e é dita negativa semi-definida caso xT  A  x  0 .
O determinante de uma matriz A é um escalar obtido através da soma de todos os
produtos possíveis envolvendo um elemento de cada linha e cada coluna da matriz, com o
sinal positivo ou negativo conforme o número de permutações dos índices seja par ou
ímpar. Sua obtenção e sua representação, apesar de ser um dos conceitos mais preliminares
envolvendo matrizes, não são tarefas triviais e o conceito de determinante será utilizado
nestas notas apenas como base de outras propriedades de matrizes quadradas. Assim, o
determinante de A designado por det(A) pode ser representado por:
det  A     a1,i1  a2,i2   an ,in , ou então através do conceito de cofator do elemento ij da
matriz A (representado por Aij)que é o determinante da matriz obtida cancelando a linha i e
a coluna j da matriz A com o sinal mais ou menos conforme i+j seja par ou ímpar, assim:
Aij  (1)i  j  det   ij  onde  ij é matriz quadrada (n-1,n-1) obtida pela eliminação da linha
i e a coluna j de A.. Tem-se então:
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n
det  A    aij  Aij
j 1
(expansão do determinante pela linha i),
n
det  A    aij  Aij
i 1
(expansão do determinante pela coluna j).
n
Além disto:
a
j 1
ij
 Akj  0 se k  i (pois equivaleria a dizer que a matriz A apresenta duas
n
linhas iguais, no caso as linhas i e k); e
a
i 1
ij
 Aik  0 se k  j (pois equivaleria a dizer que a
matriz A apresenta duas colunas iguais, no caso as colunas j e k).
Na prática, entretanto, é praticamente impossível calcular o determinante de
matrizes através destas regras gerais por envolver um número muito grande de termos [na
realidade n!, assim mesmo com matrizes relativamente pequenas como com n=10 tem-se 3
milhões de termos]. Felizmente, para os nossos propósitos, apenas as regras a seguir serão
suficientes:
 O determinante de uma matriz A mantém-se inalterado se somarem-se a todos os
elementos de qualquer linha (ou coluna) os correspondentes elementos de uma outra linha
(ou coluna) multiplicados pela mesma constante ;
se aij é o único elemento não nulo da linha i ou da coluna j então: det  A   aij  Aij ;
a b
a b 
se A  
 ad bc .
 então : det( A) 
c d
c d 
Da regra  verifica-se que se det(A) = 0 então A apresenta duas linhas (ou colunas)
proporcionais entre si, ou ainda, de uma forma mais geral, pode-se afirmar que uma linha
(ou coluna) de A pode ser escrita como combinação linear de alguma ou algumas linhas (ou
colunas) da mesma matriz. Da regra  demonstra-se que se A for uma matriz triangular
então det(A) é simplesmente o produto dos elementos de sua diagonal (note que o mesmo
vale para matrizes bidiagonais que são também matrizes triangulares).
Se det(A) = 0 diz-se que a matriz A é singular, e caso det(A)  0 então A é dita
regular.
Se C  A  B então det(C) = det(A) . det (B).
Se B = AT então det(B) = det(A), isto é det(AT) = det(A)
A matriz adjunta de uma matriz A é a matriz transposta da matriz obtida
substituindo cada elemento da matriz A pelo seu correspondente cofator, isto é se à é a
matriz adjunta de A então o elemento da linha i e coluna j de à é Aji. A propriedade mais
importante da matriz adjunta diz respeito aos produtos: P=A Ã e Q=Ã A o primeiro
n
n
k 1
k 1
produto tem com termo geral: pij   aik  akj  aik  Ajk  det( )ij
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n
n
k 1
k 1
e o segundo produto: qij   aik  akj  Aki  akj  det( )ij , assim:
 A
  A  det( A)I . Deste modo se det(A)  0 (A é regular) define-se:
AA
1
 a chamada inversa de A que tem como propriedade:
A 1 
A
det( A )
A  A 1  A 1  A  I que existe apenas se det(A)  0. Note que det  A 1  
1
det  A 
Exemplo Ilustrativo: Considere a seguinte matriz (2x2):
 A11  d ; A12  c
a b 
, permitindo determinar a
A
 , assim, seus cofatores são: 
c d 
 A21  b ; A 22  a
   d b  , note que:
matriz adjunta: A


 c a 
 d b 
1
 A
  A  (a  d  b  c)  1 0   det( A)  I  A 1 

AA


 , isto é, para
( a  d  b  c )  c a 
0 1
determinar a inversa de uma matriz (2x2) basta trocar os elementos da diagonal principal,
trocar o sinal dos elementos da diagonal secundária e dividir a matriz resultante pelo
determinante da matriz original.
Se A 1  AT , isto é a inversa da matriz é igual a sua transposta, então a matriz A é
chamada de matriz ortogonal., e neste caso o det(A) = +1 ou -1 .
Exemplo Ilustrativo - Considere a mudança de coordenadas em 2 resultante da simples
rotação
dos
eixos,
conforme
mostrado
abaixo:
x2
y
y
2
1
u
1
v
P
2

r

O

v1
x1
u2
vê-se da figura acima que no sistema original (x1 , x2 ) : v1 = r cos() e : v2 = r sen(), o
vetor OP faz um ângulo igual a  -  com o eixo y1 e projeta-se na porção negativa do eixo
u1  r  cos       r  cos   cos   r  sen  sen
y2, assim: 
ou seja:
u2  r  sen       r  sen  cos   r  cos   sen
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u1  cos   v1  sen  v2
ou,

u2   sen  v1  cos   v2
 u1   cos  sen   v1 
 
  ,
 u2    sen cos    v2 
 cos  sen 
 cos   sen 
T
identificando a matriz da transformação : T  
T 
,
  sen cos  
 sen cos  
tem-se:

cos 2   sen 2 
 cos sen  sen cos    1 0 
e
T  TT  


sen 2   cos 2 
  sen cos   cos sen
 0 1
em
termos
matriciais:

cos 2   sen 2 
cos sen  sen cos    1 0 
TT  T  

.
2
2
0
1








cos
cos
cos
sen
sen
sen




Verificando-se assim que a matriz T é uma matriz ortogonal.
É interessante verificar que os vetores coluna da matriz T são exatamente os
1
0
componentes dos vetores e1    e e 2    no novo sistema de coordenadas, em acordo
0
1
com a figura abaixo:
x2
x2
y
y
y
2
1
e
cos( )
r
cos( )

O
y1
2
e
1
2

sen( )
x
1
O
x1
-sen()
3) ALGUMAS PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DE OPERAÇÕES ENTRE
MATRIZES
As leis de associação e de comutação são válidas para as operações de
adição/subtração, assim: (A+B)+C = A+(B+C) e A+B = B+A.
São válidas também as leis de associação e de distribuição para a multiplicação,
assim: (AB)C = A(BC) ; A(B+C) = AB + AC e (A+B)C = AC + BC
Para a matriz transposta tem-se as seguintes propriedades:(A+B)T = AT + BT e
(AB) = BT AT
e para a matriz inversa: (AB)-1 = B-1 A-1 e (A-1)T= (AT)-1 Um menor de ordem p
de uma matriz A (n,n) é o valor do determinante da matriz obtida eliminando-se n-p linhas
e n-p colunas da matriz A. Se uma matriz A apresenta a propriedade de todos os menores de
ordem (r + 1 ) serem nulos e de pelo menos um menor de ordem r ser não nulo então diz-se
T
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que a matriz A é de posto (rank) r . Note que todo matriz quadrade (n,n) regular ( ou não
singular) apresenta o posto igual a n.
Um conjunto de n vetores u1, u2, ..., un com n elementos é dito linearmente
independente se os únicos valores de c1 , c2 , ....cn tais que: c1 u1+c2 u2+ ....+cn un= 0 são:c1
=c2 = ...=cn = 0. Neste caso os vetores u1, u2, ..., un formam uma base de n e todo vetor
deste espaço de dimensão n (que é o numero máximo de vetores linearmente independentes
que pode existir neste espaço, que também é igual ao número de elementos destes vetores)
pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores da base, os coeficientes desta
combinação linear são os componentes do vetor nesta base. Os componentes de um vetor
qualquer do n apenas confundem-se com seus elementos quando adota-se a base canônica
do n, que é a base composta pelos vetores unitários ei cujo único elemento não nulo é o
i’ésimo, isto é : eij = ij, desta forma os vetores coluna ou os vetores linha da matriz
identidade I são os vetores da base canônica do n.
Em uma matriz de posto r todos seus vetores linha (ou coluna) podem ser escritos
como uma combinação linear de r vetores linha (ou coluna), desta forma o posto de uma
matriz é também o número máximo de vetores linha (ou coluna) linearmente independentes.
Uma forma de determinar o posto de uma matriz é através do processo de
ortogonalização de Gram-Schmidt aplicado aos vetores linha ou aos vetores coluna da
matriz, este processo pode ser resumido na forma, sejam: v1 , v2 , ... , vn os vetores coluna
(ou linha) de A, então adota-se:
u1 = v1
 vT  u 
u 2  v 2   2 2 1   u1
 u

 1 
 vT u 
 vT  u 
u 3  v 3   3 2 1   u 1   3 2 2   u 2
 u2 
 u1 
......................................................................
j1  T

v j  uk 
  u k  para j = 2, ..., n com u1 = v1
u j  v j   
2 

k 1  u k


onde p  p 12  p 22  p 2n (módulo de p)
Encontrando-se durante este processo algum vetor uk com módulo nulo ( ou menor que um
valor pequeno preestabelecido) abandona-se este vetor e prossegue-se o procedimento
renumerando-se os vetores subseqüentes, ao final do processo o número de vetores uk não
nulos é igual ao posto da matriz. Este procedimento pode ser também aplicado a matrizes
não-quadradas.
Exemplos Ilustrativos :Calcular através do processo de ortogonalização de Garm-Schmidt o
posto de cada uma das matrizes abaixo:
11
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 2 3 7
(a)  4 6 2 ; (b)
 4 0 1
3
 1 2
 2 4 1
 1 2 4 ; (c)


 5 10 6
3
1
 1 2
 2 4 1 3
 1 2 4 4 .


 5 10 6 10
 2
 3
 7
(a) utilizando os vetores coluna da matriz, isto é: v 1   4 ; v 2   6 e v 3   2 ,
 4
 0
 1
 2
tem-se: u 1  v 1   4  u 1  6 ; u 1T  v 2  u 1T  v 3  18
 4
 vT  u 
 3 18  2  4
u 2  v 2   2 2 1   u 1   6  2  4   4  u 2  6 ; u T2  v 3  18
 u

 0 6  4  2
 1 
 vT  u 
 vT  u 
 7 18  2 18  4  4
u 3  v 3   3 2 1   u 1   3 2 2   u 2   2  2  4  2  4   2  u 3  6
 u

 u

 1 6  4 6  2  4
 1 
 2 
como os 3 vetores u1 , u2 e u3 são não nulos o posto da matriz é igual a 3.
 2
 4
 4
utilizando os vetores linha da matriz, isto é: v 1   3 ; v 2   6 e v 3   0 ,
 7
 2
 1
 2
tem-se: u 1  v 1   3  u 1  62 ; u 1T  v 2  4; u 1T  v 3  1
 7
 vT  u 
 4
4  2  3,871
u 2  v 2   2 2 1   u 1   6 
3  6,194  u 2  7 ,466 ; u 2T  v 3  13,935

 u

62  7  1,548
 2
 1 
 vT  u 
 vT  u 
 4
1  2 13,935  3,871
 3 
u 3  v 3   3 2 1   u 1   3 2 2   u 2   0 
6,194 
2
 u

 u

62  7 7 ,466  1,548
 1
 1 
 2 
 3
  1,5  u 3  13,5 , novamente tem-se os 3 vetores u1 , u2 e u3 não nulos e o posto da
 
 1,5
matriz é igual a 3.
 1
 2
 3
 2
 4
 1
(b) utilizando os vetores coluna da matriz, isto é: v 1   1 ; v 2   2 e v 3   4 ,
 
 
 
 5
 10
 6
 1
 2
u 1  v 1   1  u 1  31 ; u 1T  v 2  62; u 1T  v 3  33
 
 5
12
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ÁLGEBRA VETORIAL E MATRICIAL
 2
 1  0
 vT  u 
62


 2  0
4
2
1
  u1 
u2  v 2  



      u2  0
2
 u

 2 31  1  0
 1 
 10
 5  0
 3
 1  4 ,065
 vT  u 
33


 2  1,129
1

novo: u 2  v 3   3 2 1   u 1   4   1  
  u 2  5,184 , como
 u

  31    2 ,935
 1 
 6
 5  0,677
apenas 2 vetores coluna linearmente independente o posto desta matriz é igual a 2;
utilizando os vetores linha da matriz, isto é :
 1
 2
 1
 5
v 1   2 ; v 2   4 ; v 3   2 e v 4   10 , tem-se:
 3
 1
 4
 6
há
 1
u 1  v 1   2  u 1  14 ; u 1T  v 2  u 1T  v 4  7 e u 1T  v 3  7
 3
 vT  u 
 2 7  1  1,5
u 2  v 2   2 2 1   u 1   4   2   3  u 2  17,5 ; u 2T  v 3  17,5 e
 u



 1 14  3  2,5
 1 
u T2  v 4  52,5
 vT  u 
 vT  u 
 1 7  1 17 ,5  1,5  0
 3   0  u 3  0 n
u 3  v 3   3 2 1   u 1   3 2 2   u 2   2   2 
 2 ,5  0
 u

 u

,
14
17
5
4
3

 
 
   
 1 
 2 
ovo: u3:
 vT  u 
 vT  u 
 5 7  1 52 ,5  1,5  0
 3   0  u 3  0
u 3  v 4   4 2 1   u 1   4 2 2   u 2   10   2 

  
 u

 u

14
17
5
,
 6
 3
 2 ,5  0
 1 
 2 
desta forma a matriz apresenta apenas 2 vetores linha linearmente independentes
reconfirmando que a matriz tem posto = 2;
(c) utilizando os vetores coluna da matriz, isto é:
 1
 2
 3
 1
 2
 4
 1
 3
v 1   1 ; v 2   2 ; v 3   4 e v 4   4 ,


 
 
 
  
 5
 10
 6
 10
 1
 2
u 1  v 1   1  u 1  31 ; u 1T  v 2  62; u 1T  v 3  33 e u 1T  v 4  59
 
 5
 2
 1  0
 vT  u 
62


 2  0
4
2
1
  u1 
u2  v 2  



2
2 31  1   0  u 2  0
 u


 1 
 10
 5  0
13
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 3
 1  4 ,065
 vT  u 
33


 2  1,129
1

3
1
  u1 
novo: u 2  v 3  

  u 2  5,184 ,


  
2
 u

 4 31  1  2 ,935
 1 
 6
 5  0,677
u T2  v 4  19 ,194
 4,065  0
 1
 1
 vT  u 
 vT  u 
 1129
,
59
19
194




,   0


3
2
  0
u 3  v 4   4 2 1   u 1   4 2 2   u 2   4   1 
2  2, 935

 u

 u
 

 31   5,184 

 2 
 1 
 10
 5
 0,677  0
 u 3  0 ;como há apenas 2 vetores coluna linearmente independente o posto desta matriz
é igual a 2, isto pode ser reconfirmado com os vetores linha da matriz.
4) FUNÇÕES DE MATRIZES
De forma análoga a funções analíticas de variáveis escalares que podem, em um
certo domínio, ser expandidas em séries de potências da forma:

1  d i f (x) 
f ( x )   c i  x i onde : c i  
tem-se as funções de matrizes que é um matriz

i !  dx i  x  0
i 0

da forma: f ( A )   c i  A i . Como exemplo tem-se a função exponencial de uma matriz A
i 0

definida , em analogia à função ex =
1
 i!  x
i
, pela série:
i 0

1
 A i , note que esta função apresenta as propriedades:
i 0 i !
i-) exp(0) = I onde 0 é a matriz nula;

ti
ii-) exp At   e At    A i onde t é um escalar, assim:
i 0 i !
i 1


d exp At 
it
ti
i

 A  A   A i  A exp( At ) ou seja se   t   exp At  , tem-se:
dt
i 0 i !
i 0 i !
d  t 
  0  I e
 A    t  , ou seja a matriz   t  é solução da equação diferencial
dt
d  t 
 A    t  , sujeita à condição inicial   0  I .
ordinária matricial
dt
exp A   e  
A
Uma forma mais simples para determinar funções de matrizes pode ser desenvolvida
através da aplicação do Teorema de Cayley-Hamilton que estabelece que todo a matriz
quadrada A é raiz de seu polinômio característico, isto é se
p    n  c 1  n 1  c 2  n  2  c n 1    c n é o polinômio característico de A, então:
14
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p A   A n  c 1  A n 1  c 2  A n  2  c n 1  A  c n  I  0 . A demonstração deste teorema
pode ser feita definindo-se a matriz adjunta da matriz I- A, isto é: C = adj(I- A) que pode
ser expressa na forma: C  C1 n 1  C 2 n  2  C n 1  C n , onde Ck k= 1, 2, ...,n são
matrizes do mesmo tipo de A, mas : (I- A)[adj(I- A)]=det(I- A)I = p()I, ou seja:
I  A   C1 n 1  C2 n  2  Cn 1  Cn  n  c 1 n 1  c 2 n  2  c n 1  c n  I

 

igualando os termos eqüipotentes de , tem-se:
C1  I  A n   A n  C1  A n
C  A  C  c I  A n 1   A n 1  C  A n  C  c A n 1
1
1
2
1
1
 2
C 3  A  C 2  c 2 I  A n  2   A n  2  C 3  A n 1  C 2  c 2 A n  2
somando todos os termos



2
 C n  A  C n  1  c n  1 I  A  A  C n  A  C n  1  c n  1 A
0
 A  C n  c n I  A  I   A  C n  c n I
após  tem-se: A n  c 1  A n 1  c 2  A n  2  c n 1  A  c n  I  p A   0 .
Uma conseqüência do teorema de Cayley-Hamilton é que:
A n   c 1  A n 1  c 2  A n  2  c n 1  A  c n  I , multiplicando membro a membro por A:
A n 1   c 1  A n  c 2  A n 1  c n 1  A 2  c n  A substituindo a expressão de An, tem-se:


A n 1  c 12  c 2  A n 1   c 1 c 2  c 3   A n  2  c 1 c n 1  c n   A  c 1 c n  I ,
e
assim
sucessivamente, o que permite concluir que :
A m  d 1  A n 1  d 2  A n  2  d n 1  A  d n  I para m = 0, 1, 2,..... Além disto se A é
regular, multiplica-se membro a membro de p(A) por A-1, resultando em :
A n 1  c 1  A n  2  c 2  A n  3  c n 1  I  c n  A 1  0 ou seja:
1
A 1  A n 1  c 1  A n  2  c 2  A n  3  c n 1  I { note que cn =(-1)ndet(A)  0 pois
cn
A é regular ou não-singular), assim sendo se A é regular:
A m  d 1  A n 1  d 2  A n  2  d n 1  A  d n  I para m = 0, 1, 2,......



A aplicação do Teorema de Cayley-Hamilton à série de potências f ( A )   c i  A i
i 0
n 1
permite reescrevê-la na forma: f ( A )    i  A i pois potências superiores à (n-1) da
i0
matriz A pode, pelo teorema de Cayley-Hamilton, serem expressas em termos das (n-1)
primeiras potências da matriz A, além disto de acordo com a propriedade anteriormente
apresentada de que se  é um valor característico e v o correspondente vetor característico
de A, então q() é valor característico e v o correspondente vetor característico de
q ( A )  A m  a 1 A m 1  a 2 A m  2  a m1 A  a m I tem-se que os valores característicos de
n 1
f(A) satisfazem a: f (  )    i  i , então para determinar os coeficientes i , assim
i0
procede-se:
15
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(i) se os valores característicos de A são todos distintos, resolve-se o sistema linear de
n 1
equações:

i
 ik  f (  k ) para k = 1, 2, ...n;
i0
Se A é uma matriz (2,2), 0 , 1 é solução de :
 f ( 1 )   1 f ( 2 )

0  2

  0   1  1  f ( 1 )

 2  1


 0   1  2  f ( 2 )   1  f ( 2 )  f ( 1 )

 2  1

  2 f ( 1 )   1 f ( 2 ) 
 0   lim

  f ( 1 )   1 f  ( 1 )
2  1
 2  1



caso 1 = 2 tem-se: 


(
)
(
)
f
f



2
1
  lim
 f  ( 1 )
 1  2  1   2   1 
o mesmo resultado poderia ser obtido derivando-se a segunda equação do sistema em
relação a 2 e, em seguida, fazer 21, assim:
 0   1  1  f ( 1 )  0  f ( 1 )   1 f  ( 1 )


  1  f  ( 1 )
 1  f  (  1 )
 4 2
-3
Exemplos Ilustrativos: (a) para A  
 calcule A e ln(A);
1
3


 5 3
(b) para A  
 calcule
 2 2
A.
(a) p( )  2  7  10     2   5   1  2 e  2  5 , assim:
5 8  2 125
5f ( 2 )  2 f (5)


0 
 0,203

 0 
-3
3
3
;
para
f(x)=x
tem-se:
logo:


f (5)  f ( 2 )
1 125  1 8
 1 
 1 
 0,039
3

3

 4 2  0,047 0078
 1 0
A 3  0,203
 e
 
  0,039
 1 3  0,039 0,086 
 0 1
5 ln( 2 )  2 ln(5)

 0,082287
 0 
3
para f(x)=ln(x), tem-se 
então:
ln(5)  ln( 2 )
 1 
 0,30543
3

 4 2  1,304008 0,610860
 1 0
B  ln( A )  0,082287
 , esta última
 
  0,305430
 1 3  0,30543 0,998577
 0 1
função matricial está correta se a função inversa também é verdadeira, isto é : A = exp(B),
para isto deve-se inicialmente determinar os valores característicos de B que são
16
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2  2  51

 0      0,269412
2
1
1=0,693147 e 2=1,609438 determina-se a seguir: 
e então:
5 2
 1 
 3,27407

 2  1
 1,304008 0,610860  4 2
 1 0
exp( B )  0,269412
A
 
  3,27407
 0,30543 0,998577  1 3
 0 1
(b) p( )  2  3  4     1   4   1  1 e  2  4 então como f ( x )  x , tem4i  2

 0  5  0,4  0,8i
e
se: f   1   1  i e f   2   4  2 logo: 
2 i
 1 
 0,4  0,2 i
5

 5 3  2 ,4  0,2 i 1,2  0,6i
 1 0
A   0,4  0,8i
 note que:
 
   0,4  0,2 i
 2 2  0,8  0,4 i 0,4  1,2 i
 0 1
 A
2
 2 ,4  0,2 i 1,2  0,6i


 0,8  0,4 i 0,4  1,2 i
 2 ,4  0,2 i 1,2  0,6i  5 3

A
 
 0,8  0,4 i 0,4  1,2 i  2 2
(ii) se a matriz A apresenta valores característicos múltiplos, por exemplo,
 1   2    m   m1    n , neste caso para levantar a indeterminação no cálculo
dos coeficientes i , deriva-se em relação a 1 m vezes a equação correspondente a 1 ,
n1
assim:

i
 i1  f ( 1 ) ;
i m
n 1

i
i
 i1 1  f  ( 1 ) ;
i1
i 0
n1
 i (i  1) (i  m  1)
n1
 i
i
 i1 m 
n1
 i (i  1)
i
 i1 2  f  ( 1 ) ; ....;
i 2
d f ( )
dm
m
sendo as demais equações:
1
 ik  f (  k ) para k = m+1, m+2, ...n.
i0
 1,750 2 ,000 0,250


Exemplo Ilustrativo: para A   0,125 2 ,000 0,375 calcule exp(A);


 0,250 2 ,000 0,250
2 ,000
0,250
   1,750


0,125   2 ,000
0,375  3  42  5  2  0   1   2  1
p(  )  det 


2 ,000   0,250
 0,250
e  3  2 , assim:
  0   1   2  exp( 1)
 0  0,871094


 1  2 2  exp( 1) tem-se assim:  1  0,638550 logo:

  2  4  exp( 2)
  0,135335
1
2
 0
 2
17
PARTE DO CURSO DE NIVELAMENTO 2009 - PEQ/COPPE/UFRJ
PROF. EVARISTO
ÁLGEBRA VETORIAL E MATRICIAL
2
 1 0 0
 1,750 2 ,000 0,250
 1,750 2 ,000 0,250






exp A   0,871094 0 1 0  0,638550 0,125 2 ,000 0,375  0,135335 0,125 2 ,000 0,375 






 0 0 1
 0,250 2 ,000 0,250
 0,250 2 ,000 0,250
=
 0,193471 1,065512 0,358348


 0,029068 0,435547 0,062902


 0,058136 0,135335 0,242076
Caso desejar-se determinar uma série de potências
f ( At ) 

c
i
 t i  A i   t
i 0
onde a variável t é uma variável escalar real, esta função pode ser rescrita na forma:
( t ) 
n 1
   t   A
i
i
onde  i  t  é uma função escalar de t determinada através da
i 0
solução de:
n 1
(i)
   t  
i
k
i
 f ( k t ) para k = 1, 2, ...n se os valores característicos de A são todos
i 0
distintos;
n 1
(ii)
   t  
i
1
i
 f ( 1 t ) ;
i 0
n 1
 i  t   
i 1
1
i
i 1
 df ( ) 
 t
;

 d     1 t
2
i2
2  d f ( ) 
i
(
i

1
)

t



t
;



i
1

2 
i2
 d     1 t

m
n 1
i m
m  d f ( ) 
i
(
i

1
)

(
i

m

1
)

t



t



i
1

m 
i m
 d     1 t
sendo as demais equações:
n 1
n 1
   t  
i
i
k
 f ( k t )
para k = m+1, m+2, ...n. se
i 0
 1   2    m   m1    n
 4 2
Exemplos Ilustrativos: (a) para A  
 calcule exp(At);
 1 3
 3 2

 2 1
(b) para A  
calcule. exp(At).
(a) p(  )  2  7  10     2   5   1  2 e  2  5 , assim:
18
PARTE DO CURSO DE NIVELAMENTO 2009 - PEQ/COPPE/UFRJ
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ÁLGEBRA VETORIAL E MATRICIAL

5e2 t  2 e5t
 0 
3

5t
e

e2 t
  
1

3
 5e 2 t  2 e 5t   1 0  e 5t  e 2 t   4 2
; logo: exp( At )  


 então:
 
3   1 3
3
  0 1 

 e 2 t  e 5t   1 0  5e 5t  2 e 2 t   4 2
d[exp( At )]
 10


 e
 
3
3   0 1 
dt
  1 3

 5e 2 t  2 e 5t   4 2  e 5t  e 2 t    4 2
 1 0 
A[exp( At )]  
  7

 
  10
 
3
3    1 3
 0 1 
  1 3 

 e 2 t  e 5t   1 0  5e 5t  2 e 2 t   4 2 d[exp( At )]
e
 10



 
3
3   0 1 
dt
  1 3

exp(A0)=I, comprovando que esta matriz exponencial está correta.
2
(b) p(  )  2  2  1     1   1   2  1 deve-se assim resolver o sistema:


 d 0
t
t
 0  1  t  e  t
 0   1  1  e  1t
 dt   te
 0   1  e

assim:



t
t
d 1
t
 1  te 1t

te


te

1
1




 1  t  e


 dt
3 2
 1 0
 1 0
t 
exp( At )  1  t  e  t 
 ; exp( At ) t  0  
  te 
 e
3
2
 0 1
 0 1
d exp( At )
dt
3 2
 1 0
t 
  te  t 
 e
  (1  t ) e 
3
2
 0 1
  3 2  1 0  d[exp( At )]
 3 2
t
A[exp( At )]  1  t  e  t 
 
 
  te 2
3   0 1 
3
dt
2
 2
comprovando que a matriz exponencial está correta.
5) FORMAS QUADRÁTICAS
Em 2 a expressão geral das formas quadráticas é:
a
a
f ( x 1 , x 2 )  c  b 1  x 1  b 2  x 2  11  x 12  a 12  x 1  x 2  22  x 22 ,
2
2
cujas derivadas parciais são:
f ( x 1 , x 2 )
f ( x 1 , x 2 )
 b 1  a 11  x 1  a 12  x 2 e
 b 2  a 22  x 2  a 12  x 1
x 2
x 1
 2 f ( x1 , x 2 )
 a 11 ;
f ( x 1 , x 2 ) f ( x 1 , x 2 )
 2 f ( x1 , x 2 )

 a 12 e
 a 22 .
x 2 x 1
x 1x 2
x 22
x 12
Esta forma quadrada pode ser rescrita em forma matricial, segundo:
19
,
PARTE DO CURSO DE NIVELAMENTO 2009 - PEQ/COPPE/UFRJ
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ÁLGEBRA VETORIAL E MATRICIAL
f (x1 , x 2 )  c   b1
1
x
b 2    1     x 1
 x2  2
a
x 2    11
 a 12
x
b
a
x   1   2 , b   1   2 e A =  11
 a 12
 b2 
 x2 
1
f  x  c  b T  x   x T  A  x
2
a 12   x 1 
    , ou seja, definindo:
a 22   x 2 
a 12 
  2 x 2 [ matriz simétrica], tem-se:
a 22 
  


x 1 

definindo o operador diferencial vetorial : =
(operador gradiente) , tem-se:
  


 x 2 
 f ( x 1 , x 2 ) 


x 1
  b  A  x (vetor gradiente de uma função escalar f) e
f(x) = 
 f ( x 1 , x 2 ) 


x 2


 
2f(x) = 
 x 1
 f ( x 1 , x 2 ) 
  2 f (x , x )  2 f (x , x )

  
x 1
1
2
1
2

 a 11  a 22  tr A

 f ( x , x )  
2
2
x 2  
1
2 
 x1
 x2


x 2


(Laplaciano de uma função escalar).
Define-se também a matriz Hessiana por:
  

  f ( x , x )
x
1 2
H x   1   
x 1
   


 x 2 
  2 f (x1 , x 2 )

f ( x 1 , x 2 )  
 2 x1
  2
x 2
   f (x1 , x 2 )
 x x

2 1
 2 f (x1 , x 2 ) 

x 1x 2 
 A.
 2 f ( x 1 , x 2 ) 

 2x2

Estas definições podem ser generalizadas para n, segundo:
 x1 
 b1 
 a 11 a 12  a 1n 
 
 


x2 
b2 
a 12 a 22  a 2 n 
n
n



x
 , b 
 e A =
  nxn [ matriz simétrica],
 
 
 

  
 
 


 xn 
 bn 
 a 1n a 2 n  a nn 
tem-se: f  x  c  b T  x 
n
1 T
1 n n
 x  A  x  c   b i  x i    a ij  x i  x j ,
2
2 i  1 j 1
i1
20
PARTE DO CURSO DE NIVELAMENTO 2009 - PEQ/COPPE/UFRJ
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ÁLGEBRA VETORIAL E MATRICIAL
 f (x) 


 x 1 
 f (x) 
f(x) =  x 2   b  A  x ,
  
 f (x) 


 x n 
 
2f(x) = 
 x 1
 f (x) 


 x 1 
f (x) 
  

   x 2   a 11  a 22  a nn  tr  A 
x n  
 
 f (x) 


 x n 

x 2
  


 x 1 
    f (x)
H x   x 2   
    x 1
  


 x n 
  2 f ( x)

  2 x1
 2
f (x)
f (x)    f (x)


x 2
x n   x 2 x 1


 2
  f ( x)
 x x
 n 1
 2 f (x)
x 1 x 2
 2 f (x)
2x2

2
 f (x)
x n x 2
 2 f ( x) 

x 1 x n 
 2 f ( x) 


x 2 x n   A




2
 f ( x) 


2 xn 

 2 f ( x)  2 f ( x)
H ij (x) 

 H ji (x) [matriz simétrica]. Note que caso a matriz A não seja
x i x j x j x i
simétrica redefinem-se seus elementos na forma:
 a ij,velha  a ji,velha 
1
a ij,velha  
 ou, em termos matriciais, A nova   A velha  A Tvelha
2
2




A forma quadrática acima pode ser simplificada, através de um translação do eixo,
tal que o termo bTx desapareçam, assim sejam as novas coordenadas (y1 , y2, ..., yn) tais que:
x=y+d assim: b T  x  b T  y  b T  d e


x T  A  x  y T  d T   A  y  A  d  y T  A  y  y T  A  d  d T  A  y  d T  A  d 
 y T  A  y  2d T  A  y  d T  A  d pois : y T  A  d  d T  A  y [ A é simétrica], logo:
1
1
f  y  c  b T  y  b T  d  y T  A  y  d T  A  y  d T  A  d
2
2
1
identificando : f  d  c  b T  d   d T  A  d  c e definindo b  b  A  d
2
21
PARTE DO CURSO DE NIVELAMENTO 2009 - PEQ/COPPE/UFRJ
PROF. EVARISTO
ÁLGEBRA VETORIAL E MATRICIAL
1
f  y  c  b T  y   y T  A  y , adotando d tal que : b  b  A  d  0  d  A 1  b o que
2
só será possível se A for regular, assim chega-se a:
1
1
f  y  c   y T  A  y onde : x=y+d , d  A 1  b e c  f  d  c  b T  d   d T  A  d ,
2
2
neste novo sistema de coordenadas tem-se:
 f ( y) 


 y1 
 f ( y) 
f(y) =  y   A  y , neste novo sistema de coordenadas o valor da variável
 2 
 f ( y) 


 y n 
independente y que anula o vetor gradiente é o valor nulo, isto é a origem : y=0 e neste
ponto o valor da função f(y) é igual a : c . Esta condição, f(y) =0 é uma condição
necessária para o ponto ser um extremo da função (máximo ou mínimo) e é chamado de
ponto crítico, este ponto será um ponto de mínimo se para qualquer vizinhança de y =0 ,
isto é : y   , a função é f(y) > f(0) = c , ou seja : y T  A  y  0 e, neste caso, a matriz A é
chamada de positiva definida e caso em toda vizinhança de y=0 a é f(y) < f(0) = c , ou seja :
y T  A  y  0 e, neste caso, a matriz A é chamada de negativa definida e o ponto é um ponto
de máximo. Em qualquer outra situação o ponto não é nem de máximo nem de mínimo, e no
caso da matriz ser não definida tem-se o chamado ponto de sela.
A forma quadrática pode também ser rescrita em sua forma canônica, de forma
análoga à apresentada no processo de diagonalização de matrizes, assim considerando
y  P  z , onde P é a matriz cujos vetores coluna são os vetores característicos normalizados
de A (por enquanto considerados n vetores característicos linearmente independentes e
ortogonais entre si, isto é os valores característicos são todos reais e distintos - matriz A é
simétrica ), tem-se assim:
1
1
1 n
f  z  c  z T  P T  A  P  z  c  z T  D  z  c     i  z 2i , como à origem y=0
2
2
2 i1


n
correspondente também a z=0, tem-se z=0 como ponto de mínimo se
  i  z 2i  0
para
i1
todo o domínio em que z  0 se  i  0 para todo i = 1,  , n , z=0 é um ponto de
n
máximo
se
  i  z 2i  0
para
todo
i1
o
domínio
em
que
z

0
se
 i  0 para todo i = 1,  , n e z=0 é um ponto de sela se não há vizinhança de z=0 na
22
PARTE DO CURSO DE NIVELAMENTO 2009 - PEQ/COPPE/UFRJ
PROF. EVARISTO
ÁLGEBRA VETORIAL E MATRICIAL
n
qual
  i  z 2i
i1
não muda de sinal o que ocorre se alguns  i  0 e os demais são  i  0 .
No 2 a forma canônica assume a forma:
1
f ( z 1 , z 2 )  c   1  z 12   2  z 22 , neste caso a forma das curvas de nível caracterizam as
2
2
  1   2 , asssim
seguinte cônicas, de acordo com o sinal de  = det (A) = a 11  a 22  a 12
com  > 0 : elipse;  < 0 : hipérbole e  = 0 : parábola .


(a) Elipse: neste caso os valores característicos têm o mesmo sinal, sendo z=0 um ponto de
mínimo se ambos forem positivos e um ponto de máximo se ambos forem positivos. O
2
2
tamanho do eixo z1 é
K  c  e do eixo z2 é

 K  c  , onde K=f(z1,z2) [ verificando
1
2
que se z=0 é um ponto de mínimo K  c ,  1  0 e  2  0 e se z=0 é um ponto de máximo
2
2
K  c ,  1  0 e  2  0 , deste modo em ambos os casos:
K  c   0 e

 K  c   0 ].
1
2
A seguir representam-se s superfície f(z1,z2) e as correspondentes curvas de contorno:
1
1
1.5
1.5
1
0.5
0.5
1
0.5
0.5
1
0
0.5
1
1
0.5
0.5
0.5
1.5
1
1
1.5
1
1
M
0.5
0
0.5
1
M
f ( z 1 , z 2 )  z12  5  z 2 
2
(b) Hipérbole: neste caso os valores característicos têm os sinais distintos, sendo z=0 um
ponto de sela Abaixo representam-se a superfície f(z1,z2) e as correspondentes curvas de
contorno
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ÁLGEBRA VETORIAL E MATRICIAL
1
0.5
0
0.5
0
0.5
0.5
0
0.5
0.5
0
0
0
0
0.5
0.5
0.5
0.5
0
0
0.5
0.5
1
1
M
0.5
0
0.5
1
M
f ( z 1 , z 2 )  z12  5  z 2 
2
(c) Parábola: neste caso um dos valores característicos é nulo e portanto a matriz A é
singular, desta forma não é possível fazer a translação de eixo que elimina o termo bTx.
Então neste caso a rotação dos eixos é aplicada diretamente às variáveis (x1 , x2), isto é :
x  P  z , obtendo-se :

~
~
f ( z 1 , z 2 )  c  b1  z 1  b 2  z 2  1  z 12 se 2 = 0 ou:
2
35
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
~
~
~
~
f ( z 1 , z 2 )  c  b 1  z 1  b 2  z 2  2  z 22 se 1 = 0, onde b  P  b  b  P  b . Verifica-se
2
assim que a condição necessária não é obtida em nenhum dos casos, pois no primeiro caso
 f ( z 1 , z 2 ) 


~
 b1   1  z 1 
z 1


tem-se: f(z) =

 segundo componente não nulo,
~
b2
 f ( z 1 , z 2 )  




 z 2
 f ( z 1 , z 2 ) 


~


z 1
b1


e no segundo caso tem-se: f(z) =
 ~
 primeiro componente não
 f ( z 1 , z 2 )   b 2   2  z 2 



 z 2
nulo. Deste modo em ambos os casos um dos componentes do vetor gradiente é constante
não podendo ser anulado através da escolha de z1 ou z2, neste caso não se tem nem máximo
nem mínimo. Abaixo, representa-se curvas de nível para cada um dos casos.
1
1
0.5
25
15
15
20
10
10
15
0
20 25 30
0.5
5
5
20 25
0
0
5
5
0.5 5 0
10
5
10
15
15
0
10
0
5
5
0
15
5
5 10
10
10
5
10 15
0.5
10
0
1
5
0
5
10 15
20 25
1
1
0.5
0
0.5
1
M
1
0.5
0
0.5
1
M
curvas de nível (um dos val. caract. =0)
f z 1, z 2
z1
curvas de nível (um dos val. caract. =0)
2. z 2 5. z 2 2
f z 1, z 2
41
z2
2. z 1 5. z 1 2
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ÁLGEBRA VETORIAL E MATRICIAL
Lista de Exercícios
1) Mostre que todo matriz ortogonal apresenta o determinante +1 ou -1. Sugestão: parta dos
princípios que det(A)=det(AT) e que det(A-1)=1/det(A).
2) Mostre que (A.B)T=BT.AT
3) Mostre que (A.B)-1=B-1.A-1
4) Mostre que (A-1)T=( AT)-1
42