Universidade do Algarve
Departamento de Fı́sica
Problemas
de Movimento Oscilatório
e Ondas
Orlando Camargo Rodrı́guez
06 de Setembro de 2005
Capa:
Superfı́cie ondulada
por:
M.C. Escher
2
1
Movimento Harmónico Simples (MHS)
Problema
1 Considere o sistema representado na Fig.1, que oscila com uma frequência
q
ω0 = k/m em torno da posição de equilı́brio. A amplitude de oscilação é máxima
para x = A. Mostre que desprezando o amortecimento, a energia total do sistema é
proporcional a A2 .
y
m
m
x
Figura 1
Problema 2 Uma partı́cula descreve um MHS. A aceleração máxima é 18 m/s2 e a
velocidade máxima é 3 m/s. Determine a frequência angular e a amplitude do movimento.
Problema 3 Uma partı́cula está ligada a uma mola com uma constante elástica k = 1
N/m, e descreve um MHS de amplitude 0,5 m. Determine a energia potencial quando a
partı́cula se encontra na posição x = ± 0,2 m.
Problema 4 Considere o movimento oscilatório representado na Fig.2; determine (a) a
amplitude, a frequência e o perı́odo; (b) escreva a equação do movimento na forma
y = y0 sin (2πνt + θ0 ) ,
e apresente os valores de y0 , ν e θ0 .
Problema 5 Considere novamente o sistema representado na Fig.1. Responda às seguintes
questões: (a) Se a mola for comprimida em 10 cm, a partir da posição de equilı́brio, e
for depois abandonada, quais serão os valores de amplitude, perı́odo, frequências linear
e angular e velocidade máxima do MHS? (b) Se a mola for comprimida através de um
ligeiro impulso, de tal forma que a amplitude for o dobro do que determinado na alı́nea
anterior, qual será o perı́odo e a velocidade máxima do MHS? Qual será a diferença de
fase em relação à alı́nea anterior? (c) Nas condições da alı́nea anterior que velocidade
inicial deverá ter o bloco? Considere m = 0,2 kg e k = 7,2 N/m.
Problema 6 Um ponto material de massa m = 0,04 kg oscila em torno da posição de
equilı́brio, com MHS. A energia mecânica total do sistema é 32×104 J. Despreze as acções
dissipativas e determine: a) a frequência angular; b) o perı́odo de oscilação; c) a amplitude
de oscilação; d) a posição, velocidade e aceleração, como funções do tempo, adoptando-se
o eixo x orientado para a direita e instante inicial t = 0 quando o móvel está na posição
extrema Q indicada na Fig.3; e) o gráfico da posição em função do tempo, a partir de t
= 0 até t = 2T , sendo T o perı́odo de oscilação. Considere que a constante elástica da
mola corresponde a k = 0,16 N/m.
1
4
3
2
y (m)
1
0
−1
−2
−3
−4
0
0.5
1
1.5
t (s)
Figura 2
y
m
x
Figura 3
Problema 7 Uma mola vertical tem na sua extremidade inferior uma pequena massa.
A extremidade superior está fixa. Quando a massa é puxada e depois libertada, fica a
oscilar com movimento harmónico simples, com amplitude A igual a 40 mm e perı́odo T
igual a 0,35 s. Calcule a velocidade quando o deslocamento é a) 0, b) +20 mm.
Problema 8 Sabendo que uma partı́cula ligada a uma mola descreve um MHS, de amplitude 0,5 m, calcule a energia cinética e a energia potencial da partı́cula quando esta se
encontra nas posições x = ±0, 2 m. A constante elástica da mola corresponde a k = 1
N/m.
Problema 9 Uma mola em espiral, cujo comprimento é 240 mm, é presa na vertical a
um ponto fixo. Quando uma massa de 0,15 kg é colocada na sua extremidade inferior, o
comprimento da mola em repouso passa a ser 300 mm. Calcule a) a constante da mola,
b) o perı́odo das oscilações quando a massa é puxada e depois libertada.
2
Problema 10 O deslocamento de uma partı́cula é dado por x = 0, 3 cos (2t + π/6), onde
x é dado em metros e t é dado em segundos. a) Qual a frequência angular ω, frequência
linear f , perı́odo T , amplitude A, e a fase inicial do movimento φ? b) Qual a posição
da partı́cula em t = 1 s? c) Qual a velocidade e a acelaração da partı́cula num instante
arbitrário? d) Qual a posição inicial e a velocidade inicial da partı́cula?
Problema 11 A posição de uma partı́cula de massa m = 20 g que descreve um MHS é
dada em cada instante por (t) = 2 cos(0, 3t+1) (em metros). a) Marque num eixo a posição
da partı́cula nos instantes t = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 15 e 20 segundos. b) Calcule os instantes
em que a partı́cula passa pela posição de equilı́brio (x = 0) e determine o intervalo de
tempo entre duas passagens consecutivas. c) Calcule os instantes em que a partı́cula passa
pela posição x = 1,4 m e determine o intervalo de tempo entre 3 passagens consecutivas.
d) Poderá a partı́cula passar pela posição x = 3 m? Justifique a sua resposta. e) Calcule
a frequência do movimento a partir das alı́neas b) ou c). f) Determine as equações da
velocidade e da aceleração em função do tempo t.
Problema 12 A deformação de uma mola devido ao peso de um objecto de 2 kg é 10 cm.
O objecto e a mola são então colocados sobre uma mesa horizontal sem atrito, enquanto
uma das extremidades da mola é fixada. O objecto é deslocado 5 cm para além da sua
posição de equilı́brio, e é libertado no instante t = 0. Indique a amplitude do movimento
e calcule a frequência angular, a frequência e o perı́odo do movimento.
Problema 13 Qual a velocidade máxima do objecto do exercı́cio anterior? Qual é a
razão entre a fase da velocidade e a fase total do movimento quando a velocidade alcança
o seu valor máximo pela primeira vez?
Problema 14 Se a posição inicial do objecto do problema No.12 for x(0) = 3 cm, e
se a sua velocidade inicial for v(0) = -25 cm/s, qual é a amplitude e a fase inicial do
movimento?
Problema 15 Qual é o perı́odo de um pêndulo com um comprimento l = 1 m? (considere
o caso de oscilações reduzidas θ < 5◦ ).
Problema 16 Determine a sobreposição dos dois MHSs seguintes:
y1 = 30 sin (ωt) , y2 = 30 cos (ωt) .
Problema 17 Determine a sobreposição dos dois MHSs seguintes:
y1 = 30 sin (ωt) , y2 = 30 cos (ωt + π/3) .
Problema 18 Represente graficamente os fasores (vectores em rotação) dos MHSs
y1 = y0 sin (ωt) , y2 = 0.7y0 sin (ωt − π/4) ,
e determine a sua resultante, utilizando métodos gráficos.
Problema 19 (a) Para os dois MHSs do problema anterior, utilize a trigonometria para
determinar as amplitudes das componentes rectangulares Rx e Ry da sua resultante; (b)
determine R na forma R = A sin (ωt + θ) .
3
2
2.1
Ondas
Propagação
Problema 20 Escreva a forma matemática geral de uma onda que se propaga a velocidade constante, sem dissipação, ao longo do eixo dos X e mostre que ela satisfaz a equação
de onda padrão.
Problema 21 Mostre que uma onda harmónica progressiva pode ser descrita alternativamente por cada uma das formas seguintes:
(a) Ψ = A sin 2π(x/λ ± t/τ ) ; (b) Ψ = A sin 2πν(x/v ± t) ,
onde λ e τ representam o comprimento e o perı́odo de onda respectivamente.
Problema 22 Mostre que f (x − vt) é uma onda progressiva movendo-se no sentido positivo do eixo dos com um perfil constante.
Problema 23 Verifique por diferenciação parcial que a função de onda
h
i
f (x, t) = A exp −B (x − vt)2 ,
satisfaz a equação de onda unidimensional.
Problema 24 Considere a propagação de ondas em meios uni, bi e tridimensionais, desprezando efeitos de dissipação de energia (atrito). Estabeleça para cada uma das situações
a relação entre a amplitude de oscilação e a distância à fonte emissora da perturbação.
Problema 25 Uma estação de rádio emite a uma frequência de 760 kHz. A velocidade
das ondas de rádio é igual a 3×108 m/s. Determine o respectivo comprimento de onda
(c.d.o.).
Problema 26 Seja a função de onda (em unidades do SI) para uma onda luminosa dada
pela expressão
Ψ(x, t) = 103 sin 3 × 106 x − 9 × 1014 t ;
determine: (a) a velocidade de propagação; (b) o comprimento de onda; (c) a frequência;
(d) o perı́odo.
Problema 27 Uma onda sinusoidal y(x, t) que se desloca na direcção positiva tem uma
amplitude de 2 cm, um c.d.o. de 1 m e uma velocidade de 5 m/s. Sabendo que y(0, 0) =
0 e que yt (0, 0) < 0, determine a função y(x, t).
Problema 28 Para uma onda cuja equação é y = 5 sin 30π (t − x/240), em que x e y são
dados em centı́metros e t em segundos, determine: a) o deslocamento quando t = 0 e x =
2 cm; b) o comprimento de onda; c) a velocidade de propagação da onda; d) a frequência.
4
Problema 29 Considere uma tina com água com algumas gotas de óleo a flutuar. Ao
deixar cair um corpo nessa tina todos os objectos que se encontram a flutuar sobre a
superfı́cie (neste caso as gotas de óleo) descrevem um movimento oscilatório. Suponha
que o MHS resultante tem uma frequência de 80 Hz e uma amplitude 8×10−3 m. Sabendo
que ao fim de 5×10−3 s uma dessas gotas de óleo que estava a 35 cm do ponto onde o corpo
caı́u se encontra a 4 ×10−3 m acima da posição de equilı́brio, determine: a) o comprimento
de onda (c.d.o.) desse movimento oscilatório. b) a velocidade de propagação da onda na
superfı́cie da água.
Problema 30 Considere uma onda transversal propagando-se à velocidade v = 2 m/s.
A amplitude da onda é A = 0,4 m e a frequência angular ω = 0,2 rad/s. a) Calcule
o perı́odo e o comprimento de onda. b) Escreva a equação de propagação da onda. c)
Considere 4 pontos cujas posições de equilı́brio distam entre si de 1/6 do comprimento de
onda e marque as suas posições no instante t = 1 s. d) Marque as posições que um desses
pontos ocupa em instantes intervalados de 1/6 de perı́odo.
5
2.2
Princı́pio de Sobreposição
Problema 31 Se Ψ1 (x, t) e Ψ2 (x, t) forem ambas soluções da equação diferencial de onda,
mostre que Ψ1 (x, t) + Ψ2 (x, t) também é solução da mesma equação.
Problema 32 Determine o movimento resultante de um arame, sob tensão quando duas
ondas transversais, com amplitudes e frequências iguais e viajando em sentidos opostos,
passam uma pela outra. Discuta o resultado.
Problema 33 Considere as seguintes ondas progressivas:
y1 = y0 sin (kx − ωt − φ) , y2 = y0 sin (kx + ωt − φ)
onde φ corresponde à fase inicial. Suponha que estas duas ondas sejam sobrepostas numa
corda vibrante. Determine a equação da onda resultante.
Problema 34 Duas ondas progressivas possuem a mesma amplitude (y0 = 3 cm) e
propagam-se no mesmo sentido, e com a mesma velocidade de propagação v = 15 cm/s.
As duas ondas possuem o mesmo c.d.o. (λ = 1,5 cm) e a diferena de fase entre elas é
igual a π/2 rad. Obtenha a expressão da onda resultante.
Problema 35 Ao longo do eixo x propaga-se uma onda transversal cuja equação de
propagação é:
y1 (x, t) = 2 × 10−3 cos (20πt − 2πx/3) .
Ao ponto x = 2 m chega simultaneamente uma outra onda propagando-se na mesma
direcção e sentido, e que na ausência da primeira onda imprimiria a este ponto um movimento harmónico simples traduzido pela equação
y2 (2, t) = 2 × 10−3 cos (20πt − π/4) .
Determine: a) A velocidade da primeira onda. b) A equação do movimento harmónico
simples que o ponto x = 2 m executaria se apenas se propagasse a primeira onda. c) A
amplitude, frequência e fase do movimento desse ponto, resultante da sobreposição das
duas ondas.
Problema 36 As oscilações transversais de uma corda vibrante são dadas por:
y1 = sin (2x − 3t − 2φ/3) , y2 = sin 2x − 3t .
Determine a expressão da onda resultante da sobreposição destes dois movimentos vibratórios.
6
2.3
Interferência
Problema 37 Quando é que duas fontes de luz com uma frequência normal se dizem
coerentes? Qual é a relação entre o estado de coerência e o fenómeno de interferência?
Problema 38 Descreva o padrão de interferência devido ao dispositivo de dupla fenda
de Young.
Problema 39 Dois altifalantes distam entre si de a = 3 m e emitem ondas sonoras em
fase (ver Fig.4). No ponto P , a uma distância b = 4 m do altifalante A1 , está sentada
uma pessoa. a) Qual a frequência mı́nima do som emitido para que a intensidade em P
seja máxima? b) Qual a frequência mı́nima do som emitido para que a intensidade em P
seja mı́nima? (i.e. a pessoa quase não ouve som)
b
A1
P
a
A2
Figura 4
Problema 40 Duas fendas estreitas são iluminadas pela luz amarela de Sódio (λ= 589
nm). A 1 m de distância formam-se riscas espaçadas de 1 cm. Qual é a distância entre
as duas fendas?
Problema 41 O padrão de interferência de duas fendas idênticas, separadas por uma
distância d = 0,25 mm, é observado num écran a uma distância de 1 m do plano das fendas.
As fendas são iluminadas por luz monocromática com um c.d.o. igual a 589.3 nm (sódio)
viajando perpendicularmente ao plano das fendas. Observam-se bandas iluminadas de
cada lado do máximo central. Calcule a separação entre bandas iluminadas adjacentes.
Problema 42 Luz proveniente de uma lâmpada de vapor de sódio (c.d.o.igual a 589 nm)
forma um padrão de interferência num écran a uma distância de 0,8 m de um par de
fendas. As franjas de luz no padrão estão afastadas de 0,35 cm. Qual é a separação das
fendas?
7
Problema 43 Numa certa experiência de dupla fenda de Young, em que D = 1 m e d
= 0,1 cm, as franjas de luz estão separadas de 0,5 mm. Qual é o comprimento de onda
da luz que está a ser usada?
Problema 44 Uma experiência de dupla fenda de Young é efectuada utilizando uma
fonte de luz com um c.d.o. de 500 nm e colocando as fendas a 2 m de um observador.
Sabendo que a resolução angular do olho do observador é 2,91×104 rad, a que distância
devem estar as fendas uma da outra se ele conseguir distinguir as franjas de interferência?
Problema 45 Numa experiência de dupla fenda de Young, as fendas estão separadas de
2 mm, e são iluminadas com uma mistura de dois c.d.o., λ = 750 nm e λ0 = 900 nm. A
que distância mı́nima em relação à franja central comum, detectada num alvo a 2 m das
fendas, irá uma franja de um dos padrões de interferência coincidir com uma franja do
outro?
8
Apêndices:
Conceitos fundamentais de Matemática
A
Trigonometria
h
a
α
b
Para o triângulo rectângulo da figura ter-se-ia que
A.1
sin α = a/h ,
(1)
cos α = b/h ,
(2)
tan α = a/b .
(3)
Relações fundamentais
sin (−α) = − sin α , cos (−α) = cos α , sin2 α + cos2 α = 1 ,
(4)
sin (π − α) = sin α , cos π − α = − cos α ,
(5)
sin (π/2 − α) = cos α , cos (π/2 − α) = sin α ,
(6)
sin α
, tan (−α) = − tan α ,
cos α
cos α
1
1
, sec α =
, csc α =
,
cot α =
sin α
cos α
sin α
tan2 α = sec2 α − 1 , cot2 α = csc2 α − 1 ,
tan α =
sin x = sin α ⇒ x = α ± 2kπ ou x = (π − α) ± 2kπ, k ∈ N ,
cos x = cos α ⇒ x = α ± 2kπ ou x = −α ± 2kπ ,
π
tan x = tan α ⇒ x = α ± kπ e x 6= ± kπ .
2
A.2
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Relações entre senos
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α ,
(13)
sin (α − β) = sin α cos β − sin β cos α ,
(14)
sin (2α) = 2 sin α cos α ,
(15)
!
sin α − sin β = 2 sin
α−β
α+β
cos
2
2
9
!
,
(16)
sin2 α =
1 − cos (2α)
,
2
(17)
s
1 − cos α
α
,
=±
sin
2
2
(18)
!
!
α+β
α−β
sin α + sin β = 2 sin
cos
,
2
2
!
!
α+β
α−β
sin α − sin β = 2 cos
sin
.
2
2
(19)
(20)
(21)
A.3
Relações entre co-senos
cos (α + β) = cos α cos β − sin β sin α ,
(22)
cos (α − β) = cos α cos β + sin β sin α ,
(23)
cos (2α) = cos2 α − sin2 α ,
!
(24)
α+β
α−β
cos
2
2
cos α + cos β = 2 cos
!
!
α+β
α−β
cos α − cos β = −2 sin
sin
2
2
cos2 α =
,
(25)
!
,
(26)
1 + cos (2α)
,
2
(27)
s
α
1 + cos α
cos
=±
.
2
2
A.4
(28)
Relações entre tangentes
tan (α + β) =
tan α + tan β
,
1 − tan α tan β
(29)
tan α − tan β
,
1 + tan α tan β
2 tan α
tan (2α) =
,
1 − tan2 α
tan (α − β) =
(30)
(31)
s
α
1 − cos α
tan
=±
.
2
1 + cos α
A.5
(32)
Relações entre funções inversas
α
arctan α = arcsin √ 2
α +1
!
sin (arccos α) =
10
= arccos √
√
1 − α2 .
1
α2 + 1
!
,
(33)
(34)
B
B.1
Derivadas e Integrais
Propriedades das derivadas
(C)0
=
0
0
0
(f ± g) = f ± g 0
!0
f
f 0g − g0f
=
g
g2
B.2
(Cf )0
(f g)0
=
Cf 0
= f 0g + g0f
(f (g))0 =
fg g 0
Tabela de derivadas
x0
(ex )0
= 1
= ex
(ln x)0
=
(sin x)0
= cos x
(tan x)0
=
(xm )0
(ax )0
= mxm−1
= ax ln a
(cos x)0
= − sin x
(cot x)0
=
1
x
1
cos2 x
(arcsin x)0 = √
1
1 − x2
−1
sin2 x
(arccos x)0 = √
11
−1
1 − x2
B.3
Propriedades dos integrais indefinidos
0
Z
f (x)dx
Z
Z
B.4
dP (f )
Z
= f (x)
d
Z
= P (f ) + C
(f ± g)dx
Z
=
f dx ±
Z
gdx
Z
f (x)dx
= f (x)dx
Z
Cf (x)dx
= C
f (x)dx
f dg
= fg −
Z
gdf
Tabela de integrais indefinidos
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
dx
dx
x
sin xdx
dx
sin2 x
dx
√
1 − x2
dx
√
x2 + λ
xdx
3/2
(x2 + λ)
= x
+C
= ln |x|
+C
= − cos x
= tan x
+C
+C
= arcsin x
+C
√
= ln x + x2 + λ +C
= −√
1
+λ
x2
+C
12
Z
xm dx
Z
ex dx
xm+1
m+1
= ex
=
Z
cos xdx
dx
2
Z cos x
dx
1 + x2
Z
dx
Z
3/2
(x2 + λ)
+C
+C
= sin x
+C
= − cot x
+C
= arctan x
+C
=
x
+C
λ x2 + λ
√
C
Sistemas de Coordenadas
C.1
Representação gráfica
Z
(x, y, z)
◦
ez
ey
ex
z
Y
x
y
X
Coordenadas cartesianas
(x, y, z)
Z
Z
θ
(r, φ, z)
◦
ez
(r, θ, φ)
◦
r
z
er
Y
r
φ
er
Y
eθ
φ
eφ
eφ
X
X
Coordenadas cilı́ndricas
(r, φ, z)
Coordenadas esféricas
(φ, θ, r)
13
C.2
Mudanças de Sistemas de Coordenadas
1. De coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas cilı́ndricas (r, φ, z):
r=
q
x2 + y 2 , tan φ = y/x .
2. De coordenadas cilı́ndricas (r, φ, z) para coordenadas cartesianas (x, y, z):
x = r cos φ , y = r sin φ .
3. De coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas esféricas (φ, θ, r):
q
tan φ = y/x , tan θ = z/ x2 + y 2 , r =
q
x2 + y 2 + z 2 .
4. De coordenadas esféricas (φ, θ, r) para coordenadas cartesianas (x, y, z):
x = r cos φ sin θ , y = r sin φ sin θ , z = r cos θ .
14
D
O operador nabla
1. Em coordenadas cartesianas:
∂
∂
∂
+ ey
+ ez
.
∂x
∂y
∂z
(35)
∂
1 ∂
∂
+ eφ
+ ez
.
∂r
r ∂φ
∂z
(36)
1 ∂
1 ∂
∂
+ eθ
+ eφ
.
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
(37)
∇ = ex
2. Em coordenadas cilı́ndricas:
∇ = er
3. Em coordenadas esféricas:
∇ = er
4. Relações entre o operador nabla e alguns operadores diferenciais do Cálculo Vectorial:
∂U
∂U
∂U
gradU = ∇U = ex
+ ey
+ ez
.
(38)
∂x
∂y
∂z
∂Ax ∂Ay ∂Az
+
+
.
∂x
∂y
∂z
divA = ∇ · A =
rotA = ∇ × A = E
ex
ey
∂
∂x
∂
∂y
Ax
Ay
(39)
ez ∂ .
∂z Az (40)
O operador de Laplace (Laplaciano)
∆ = div grad = ∇ · ∇ = ∇2 .
(41)
1. Em coordenadas cartesianas:
∂2
∂2
∂2
∆=
+
+
.
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
(42)
2. Em coordenadas cilı́ndricas:
1 ∂
∂
∆=
r
r ∂r
∂r
!
+
1 ∂2
∂2
+
.
r2 ∂φ2 ∂z 2
(43)
3. Em coordenadas esféricas:
1 ∂
∂
∆= 2
r2
r ∂r
∂r
!
1
∂
∂
+ 2
sin θ
r sin θ ∂θ
∂θ
15
!
+
1
∂2
.
r2 sin2 θ ∂φ2
(44)