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RACIOCÍNIO LÓGICO
AULA 7
TEORIA DAS PROBABILIDADES
Vamos considerar os seguintes experimentos:
• Um corpo de massa m, definida sendo arrastado horizontalmente por uma força qualquer, em um
espaço definido.
• A queda de um corpo de uma altura definida.
Se conhecemos certas condições, podemos facilmente determinar o trabalho realizado pela força,
sobre o corpo ou ainda determinar a velocidade com que o corpo em queda livre atinge o solo.
Os experimentos cujos resultados podem ser previstos, isto é, podem ser determinados antes da sua
realização, são denominados experimentos determinísticos.
Vamos considerar também alguns outros experimentos:
• Lançamento de um dado e a leitura da face voltada para cima.
• Lançamento de uma moeda e a leitura da face voltada para cima.
• Nascimento de uma criança.
Caso esses experimentos fossem realizados várias vezes, nas mesmas condições, não poderíamos
prever seu resultado.
Experimentos que são realizados várias vezes, sem uma previsão lógica de seus resultados são
denominados experimentos aleatórios.
Os experimentos aleatórios estão sujeitos à "lei do acaso". Como não podemos prever os
resultados, vamos descobrir as chances de ocorrëncia de cada experimento aleatório.
A teoria da probabilidade estuda a forma de estabelecer as chances de ocorrência de cada experimento aleatório
ELEMENTOS
Na realização de um experimento aleatório, a fim de observar a ocorrência de um determinado tipo de
resultado, dois conjuntos descrevem a situação:
ESPAÇO AMOSTRAL
É o conjunto de todos os resultados possíveis de
um experimento aleatório. Indicaremos o espaço amostral
por "E".
Exemplos
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1. Joga-se uma moeda para cima e lê-se a figura da face voltada para cima.
E = {cara, coroa}
CARA
2. Joga-se um dado comum e lê-se a face voltada para cima.
E = {1,2,3,4,5,6}
EVENTO
É qualquer subconjunto do espaço amostral. Indicaremos o evento por "A", "B", "C" e assim por diante.
Exemplo
a) Seja uma urna, contendo 3 bolas brancas e 3 bolas azuis. Dessa urna são retiradas sucessivamente 3 bolas.
A teoria da probabilidade estuda a forma de estabelecer as chances de ocorrência de cada experimento
aleatório.
1ª bola
2ª bola
B
3ª bola
B Æ BBB
A Æ BBA
B
A
B
B Æ BAB
A Æ BAA
B Æ ABB
A Æ ABA
A
A
B Æ AAB
A Æ AAA
O espaço amostral é:
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E = {(BBB); (BBA); (BAB); (BAA); (ABB); (ABA); (AAB); (AAA)}
Alguns eventos
Evento A – As três bolas têm a mesma cor.
A = {(BBB); (AAA)}
Evento B – Duas bolas são brancas:
B = {(BBA); (BAB); (ABB)}
Exercícios
Sendo E (espaço amostral); n(E) (número de elementos do espaço amostral); A (evento) e n(A) (número
de elementos de evento), encontre em cada experimento esses elementos:
Experimento 1: Seja o experimento: lançar um dado e observar o número obtido na face superior.
Espaço amostral
E=
n(E) =
Evento
A = {número par}
A=
n(A) =
Experimento 2: Seja o experimento: registrar as faces voltadas para cima, em três lançamentos de uma
moeda.
CARA
CARA
Espaço amostral
E=
n(E) =
Evento
A = {ocorrência de duas caras}
A=
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n(A) =
TIPOS DE EVENTOS
Vamos considerar o experimento aleatório: lançamento de um dado e Observação do número voltado
para cima.
Espaço amostral: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
EVENTO CERTO
É o próprio espaço amostral.
Exemplo
Evento A: ocorrência de um número menor que 7.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento impossível
É o subconjunto vazio do espaço amostral.
Exemplo
Evento B: ocorrência de um número maior que 7.
B=∅
EVENTO ELEMENTAR
É aquele que tem um só elemento.
Exemplo
Evento C: ocorrência do número 5.
C = {5}
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
São aqueles que tem conjuntos disjuntos.
Exemplo
Evento D: ocorrência de um número par.
D = {2, 4, 6}
Evento F: ocorrência de um número ímpar.
F = {1, 3, 5}
D∩F=∅
EVENTO UNIÃO
É a reunião entre dois elementos.
Exemplo
Evento A: ocorrência de um número ímpar.
A = {1, 3, 5}
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Evento B: ocorrência de um número par primo.
B={2}
Evento A ∪ B: número ímpar ou número par primo
A ∪ B = {1, 2, 3, 5}
EVENTO INTERSECÇÃO
É a intersecção entre dois eventos
Exemplo
Evento A: ocorrência de um número par.
A = {2, 4, 6}
Evento B: ocorrência de um número múltiplo de 4
B={4}
Evento A ∩ B: ocorrência de um número par e múltiplo de 4.
A ∩ B = {4}
EVENTOS COMPLEMENTARES
São dois eventos A e A tais que:
A ∪ A = E (o evento união é o espaço amostral)
A ∩ A = ∅ (o evento intersecção é o conjunto vazio)
Exemplo
Evento A: ocorrência de número par.
A = {2, 4, 6}
Evento A: ocorrência de número ímpar.
A = {1, 3, 5}
A∩A=∅
A ∪ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (espaço amostral)
TESTES:
01 Ao lançarmos uma moeda duas vezes consecutivas e observando a face superior, qual o número de
elementos do espaço amostral?
a) 1
b) 4
c) 6
d) 8
e) n.d.a.
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02.
No exemplo 1, qual o número de elementos do evento cara repetir pelo menos uma vez entre os
elementos do espaço amostral?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
03.
No lançamento de um dado, o evento de se obter um número maior que 6 é:
a) Evento certo.
b) Evento complementar.
c) Evento uniâo.
d) Evento intersecção.
e) Evento impossível.
04. No lançamento de dois dados (simultaneamente), qual o número de elementos do espaço amostral?
a) 36
b) 72
c) 24
d) 12
e) n.d.a.
05.
Três cavalos disputam um páreo, onde só se premiará o vencedor. Qual o número de elementos do
espaço amostral?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
06. Se A e A são eventos complementares então:
a) A ∪ A = ∅
b) A ∩ A = ∅
c) A ∪ A ≠ E (espaço amostral)
d) A ∪ Ã = A ∩ A
e) n.d.a.
PROBABILIDADE DE UM EVENTO
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Sendo n(A) o número de elementos de um evento A; e n(E) o número de elementos do espaço amostral E,
a probabilidade do evento A, que se representa por P(A), e o número real.
p (A) n (A)
n( Ë)
Observarão
• n(A) é o número de situações favoráveis quanto a ocorrência do evento A;
• n(E) é o número de casos possíveis do espaço amostral.
Notas
• P( ) = 0 e P (E) = 1 para cima.
• Como 0 ≤ n(A) n(E), tem-se 0 ≤ P(A) ≤ 1
• É comum representarmos as probabilidades em porcentagem. Por exemplo, ao invés de dizermos P(A) =
1/2, podemos dizer P(A) = 50%.
Exercícios
1. No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter:
• O número 2;
• Um número par;
• Um número múltiplo de 3.
2. De um baralho de 52 cartas tiram-se, sucessivamente, sem reposição, duas cartas. Determine a probabilidade dos eventos:
• As duas cartas são "damas";
• As duas cartas são de "ouros".
Solução:
a) Espaço amostral:
1ª possibilidade: 52
2ª possibilidade: 51
n(E) = 52 . 51 = 2652
Calculo do número de elementos do evento A: duas damas.
Temos 4 damas, portanto:
A=
4,2
A=
4,2
4!
(4 – 2)!
P(A) = n(A)
n(B)
4.3.2! = 12
2!
P(A) = 12
2652
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n (A) = 12
P(A) = 1
221
b) Cálculo do número de elementos do evento B; duas cartas de ouros.
Temos 13 cartas de ouros, portanto:
A13,2 =
13!
(13 – 2)!
P(B) = n(B)
n(E)
A13,2
=
13.12.11!
11!
P(B) = 156
2652
A13,2
=
13 . 12
P(B) = 1
17
A13,2 = 156
3. Obter a probabilidade de no lançamento de dois dados, a soma dos resultados ser maior que 9.
TESTES
07. Qual a probabilidade de se obter um número divisível por 5, na escolha ao acaso de uma das
permutações dos algarismos 1; 2; 3; 4; 5?
a) 5
b) 1/5
c) 1
d) 4
e) 1/4
08. O número da chapa de um carro é par. A probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é:
a) 5
b) 1/2
c) 4/9
d) 5/9
e) 1/5
09. Escolhido ao acaso, um elemento do conjunto de divisores de 60, a probabilidade de que ele seja primo
é:
a) 1/2
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b) 1 /3
c) 1/4
d) 1/5
e) 1/6
10. A probabilidade de um número inteiro n, 1 _< n <_ 999, ser um múltiplo de 9 é:
a) 1/999
b) 1/10
c) 2/9
d) 1/3
e) 1/9
11. A probabilidade de se ter duas vezes o número 5, em duas jogadas de um dado é:
a) 1 /48
b) 1 /36
c) 1 /24
d) 1/12
e) 1/6
12. Uma urna tem 10 bolas idënticas, numeradas de 1 a 10. Se retirarmos uma bola da urna, a
probabilidade de não obtermos a bola número 7 é igual a:
a) 2/9
b) 1/10
c) 1/5
d) 9/10
e) 9/11
13. Escolhem-se ao acaso dois núme ros distintos, de 1 a 20. Qual a probabilidade de que o produto dos
números escolhidos seja ímpar?
a) 9/38
b) 1/2
c) 9/20
d) 1/4
e) 8/25
14. Com os dígitos 1, 4, 7, 8, 9 são formados números de 3 algarismos distintos. Um deles é escolhido ao
acaso. Qual a probabilidade de ser impar?
a) 2/5
b) 1/2
c) 10/6
d) 3/5
e) n.d.a.
15. Se um certo casal tem 3 filhos, entâo, a probabilidade de os 3 filhos serem do mesmo sexo, dado que o
primeiro filho é homem, vale:
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a) 1/3
b) 1/2
c) 1/5
d) 1/4
e) 1/6
ADIÇÃO DE PROBABILIDADES
A probabilidade da união de dois eventos A e B é igual à soma das probabilidades de A e B menos a
probabilidade da intersecção de A em B.
A
B
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Se os eventos são mutuamente exclusivos, isto é, A ∩ B = ∅ , então
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Exercício
1. Jogando-se um dado, qual a probabilidade de se obter o número 4 ou um número par?
MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES
Se um acontecimento é composto de vários eventos sucessivos e independentes, a probabilidade de
ocorrência é dada pelos produtos das probabilidades dos eventos componentes.
P(A
B) = P(A) . P(B)
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Exercícios
1. Jogam-se um dado e uma moeda. Qual a probabilidade de se obter cara na moeda e o número 5 no
dado?
CARA
2. Jogam-se 4 moedas. Qual a probabilidade de se obter cara em três moedas?
CARA
CARA
CARA
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral E, com P(B) ≠ 0. Denomina-se probabilidade
condicionada a B a probabilidade de ocorrência do evento A. Sabendo-se que vai ocorrer ou já ocorre o
evento B.
P(A / B) = n(A ∩ B)
n(B)
Exemplo
a) Numa classe com 60 alunos, 40 estudam só matemática, 10 estudam só física e 5 estudam matemática e
física. Determine a probabilidade de um aluno que estuda matemática também estudar física.
E
40
10
5
M
F
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Solução:
n(M ∩ F) = 5
n(M) = 45
P (F / M) = 5
45
TESTES
16. Em uma urna contém 20 bolas, numeradas de 1 a 20. Seja o experimento: retirada de uma bola,
considerando os eventos:
A = {a bola retirada possui um múltiplo de 2}
B = {a bola retirada possui um múltiplo de 5} Então a probabilidade do evento A ∪ B é:
a) 13/20
b) 4/5
c) 7/10
d) 3/5
e) 11 /20
17. Dois dados são lançados. A probabilidade da soma dos resultados ser 6 é:
a)1 /36
b) 5/36
c) 5/30
d) 1 /30
e) 6/36
18. Três moedas são lançadas. A probabilidade de se obter duas caras e uma coroa é:
a) 1/8
b) 1/4
c) 5/16
d) 3/8
e) 1/2
19. Num grupo de 60 pessoas, 10 são torcedoras do São Paulo, 5 são torcedoras do Palmeiras e as demais
são torcedoras do Corinthians. Escolhido ao acaso um elemento do grupo, a probabilidade dele sertorcedordo
São Paulo ou do Palmeiras é:
a) 0,40
b) 0,25
c) 0,50
d) 0,30
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e) n.d.a.
20. Um número é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. A probabilidade de o número escolhido
ser primo ou quadrado perfeito é:
a) 1/5
b) 2/25
c) 4/25
d) 2/5
e) 3/5
21. Num grupo de pessoas, há homens e mulheres. São torcedores do Guarani 35 homens e 25 mulheres.
Torcem pela Ponte Preta 10 homens e 10 mulheres. Não apreciam futebol 5 homens e 15 mulheres.
Escolhido ao acaso um homem desse grupo, a probabilidade de que ele nâo goste de futebol é:
a) 10%
b) 15%
c) 20%
d) 5%
e) n. d. a
22. Dois dados perfeitos e distinguíveis são lançados ao acaso. A probabilidade de que a soma dos
resultados obtidos seja 3 ou 6 é:
a) 7/18 d) 7/12
b) 1 /18
e) 4/9
c) 7/36
23. O jogo da loto consiste em sortear 5 dezenas em 100 dezenas possíveis. Alguém, querendojogar nessa
loteria, pode escolher de 5 até 10 dezenas. Se alguém que escolhe 5 dezenastem probabilidade x de ganhar,
então quem escolhe 7 dezenas tem que probabilidade de ganhar?
a) 7x d) 28x
b) 14x e) 35x
c) 21 x
24. Um grupo de seis amigos (A, B, C, D, E e F) pretende realizar um passeio em um barco onde há só 3
lugares. É feito um sorteio para serem escolhidos os trës amigos que ocuparão o barco. A probabilidade de
que A seja escolhido e B não o seja é:
a) 6/1 5
d) 1/2
b) 3/10 e) 4/5
c) 4/6
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25. Sete lâmpadas de neon são dispostas formando um "oito", como no mostrador de uma calculadora (figura
I) e podem ser acesas independentemente uma das outras. Estando todas as sete apagadas acendem-se quatro
delas ao mesmo tempo, ao acaso. A probabilidade de ser formado o algarismo 4, como aparece na figura II,
é:
Calculadora (I)
Calculadora (II)
8
4
a) 1/35 d) 1/5
b) 1/2 e) 1/28
c) 1/3
26. Um experimento consiste em imprimir as letras A, B, C em ordem aleatória e sem repetição de qualquer
uma das letras. Deste experimento, é correto afirmar:
01) A probabilidade de que todas as letras ocupem o seu lugar próprio no alfabeto é 1/6.
02) A probabilidade da letra A não ocupar o seu próprio lugar no alfabeto é 2/3.
04) A probabilidade de que pelo menos uma das letras ocupe o seu lugar próprio do alfabeto é 2/3.
08) O espaço amostrai do experimento é de 3 elementos.
16) A probabilidade que nenhuma das letras ocupe o seu lugar próprio do alfabeto é 0,25.
27. Uma urna contém 500 bolas, cada uma delas identificada por um número; para essa identificação foram
utilizados todos os números da progressão aritmética (1, 3, 5, 7, ..., 999). Retirando-se aleatoriamente da
urna uma única bola, calcule a probabilidade, em porcentagem, de que o número dessa bola tenha o
algarismo da unidade igual a 3.
GABARITO
0
1
0
B
1 E B
2 E A
2
C
D
C
3
E
A
C
4
A
D
B
5 6 7 8 9
C B B E C
D D B D B
A 07 20
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