CPV seu pé direito também na medicina
UNIFESP – 16/dezembro/2011
MATEMÁTICA
16.O quadro mostra o resultado de uma pesquisa realizada
com 200 nadadores de competição da cidade de São
Paulo, visando apontar o percentual desses nadadores que
já tiveram lesões (dores) em certas articulações do corpo,
decorrentes da prática de natação, nos últimos três anos.
Articulação
Percentual de Nadadores
ombro
80%
coluna
50%
joelho
25%
pescoço
20%
Com base no quadro, determine:
a) quantos nadadores do grupo pesquisado tiveram lesões
(dores) no joelho ou no pescoço, considerando que 5%
dos nadadores tiveram lesões nas duas articulações,
joelho e pescoço.
Resolução:
Considerando que 5% dos nadadores tiveram lesões nas
duas articulações, temos:
●
lesão só no joelho = 25% – 5% = 20% = 40 nadadores
●
lesão só no pescoço = 20% – 5% = 15% = 30 nadadores
●
lesão no joelho e no pescoço = 5% = 10 nadadores
Portanto, 40 + 30 + 10 = 80 nadadores tiveram lesão no
joelho ou no pescoço.
b) qual é a probabilidade de um nadador do grupo
pesquisado, escolhido ao acaso, não ter tido lesões
(dores) no ombro ou na coluna, considerando as
manifestações de dores como eventos independentes.
Resolução:
Sejam, A o evento ter lesão no ombro e B o evento ter lesão
na coluna, temos:
P (A È B) = P (A) + P (B) – P (A Ç B)
Como os eventos são independentes, P(A Ç B) = P(A) . P(B),
assim:
P (A È B)
= P (A) + P (B) – P (A) . P (B)
= 80% + 50% – 80% . 50%
= 80% + 50% – 40%
=
90%
A probabilidade de um nadador não ter lesão no ombro
ou na coluna é 100% – 90% = 10%.
Obs: Uma outra interpretação que o candidato poderia ter do
enunciado levaria a seguinte conta:
UNIFESP2012
_
_
= 20% + 50% – 10%
= 60% CPV
_
_
_
_
P (A È B) = P (A) + P (B) – P (A) . P (B)
= 20% + 50% – 20% . 50%
1
2
UNIFESP – 16/12/2011
CPV seu pé direito também na Medicina
17. Por motivos técnicos, um reservatório de água na forma de
um cilindro circular reto (reservatório 1), completamente
cheio, será totalmente esvaziado e sua água será transferida
para um segundo reservatório, que está completamente
vazio, com capacidade maior do que o primeiro, também
na forma de um cilindro circular reto (reservatório 2).
Admita que a altura interna h(t), em metros, da água no
reservatório 1, t horas a partir do instante em que se iniciou
o processo de esvaziamento, pôde ser expressa pela função
h( t ) =
15t − 120
t − 12
a) Determine quantas horas após o início do processo de
esvaziamento a altura interna da água no reservatório
1 atingiu 5 m e quanto tempo demorou para que esse
reservatório ficasse completamente vazio.
Resolução:
Para h = 5m no reservatório 1, temos:
15t - 120
5 = t - 12 Þ t – 12 = 3t – 24 Þ 2t = 12
Portanto, t = 6 hs
e para h = 0, temos: 0 = 15t – 120
Portanto, t = 8 hs
A altura atingiu 5m depois de 6h e ficou completamente
vazio em 8h.
b)Sabendo que o diâmetro interno da base do
reservatório 1 mede 6 m e o diâmetro interno da base
do reservatório 2 mede 12 m, determine o volume
de água que o reservatório 1 continha inicialmente
e a altura interna H, em metros, que o nível da água
atingiu no reservatório 2, após o término do processo
de esvaziamento do reservatório 1.
Resolução:
Temos que h (0) = 10, representa a altura inicial da água no
reservatório 1, assim:
18. Numa classe há x meninas e y meninos, com x, y ≥ 4. Se
duas meninas se retirarem da classe, o número de meninos
na classe ficará igual ao dobro do número de meninas.
a) Dê a expressão do número de meninos na classe em
função do número de meninas e, sabendo que não há
mais que 14 meninas na classe, determine quantos
meninos, no máximo, pode haver na classe.
Resolução:
Do enunciado temos que:
y = 2 . (x – 2) Þ y = 2x – 4
Como não há mais que 14 meninas na classe, o número
máximo de meninas será de x = 14, assim:
y = 2 . (14 – 2) = 24
A expressão do número de meninos na classe em função
do número de meninas é y = 2x – 4 e o número máximo
de meninos que pode haver na classe é 24.
b) A direção do colégio deseja formar duas comissões
entre os alunos da classe, uma com exatamente 3
meninas e outra com exatamente 2 meninos. Sabendose que, nessa classe, o número de comissões que
podem ser formadas com 3 meninas é igual ao número
de comissões que podem ser formadas com dois
meninos, determine o número de alunos da classe.
Resolução:
Como o número de comissões possíveis com 3 meninas é
igual ao número de comissões possíveis com 2 meninos:
 x . ( x − 1 ) ( x − 2 ) y . ( y − 1 )
 Cx ,3 = C y,2
=
⇒ 

3!
2!
 y = 2x − 4


2
4
y
=
x
−

Þ x3 – 15x2 + 56x – 60 = 0
Pelo Teorema das Possíveis Raízes Racionais,
 6 2
V1 = π . r2 . h (0) = π .   . 10 = 90π m3
2
 x = 2 ( não convém )


 x = 3 ( não convém )

 x = 10
Como o volume de água será o mesmo nos dois reservatórios:
90π = π . 62 . H Þ H = 2,5 m
CPV
O volume de água que o reservatório 1 continha
inicialmente era 90π m3 e a altura interna que o
reservatório 2 atingiu foi 2,5 metros.
UNIFESP2012
Portanto, x = 10 e y = 16
O número de alunos na classe é 10 + 16 = 26.
CPV seu pé direito também na Medicina
19. Pesquisa feita por biólogos de uma reserva florestal
mostrou que a população de uma certa espécie de animal
está diminuindo a cada ano. A partir do ano em que se
iniciou a pesquisa, o número de exemplares desses animais
é dado aproximadamente pela função f(t) = 750 x 2–(0,05)t,
com t em anos, t ≥ 0.
a) a duração do dia 19.02.2010, expressando o resultado
em horas e minutos.
Resolução:
Portanto, –1 = – 0,05t Þ t = 20 anos
No dia 19.02.2010, t = 50, assim:
Em 20 anos a população de animais estará reduzida à
metade da população inicial.
 π . ( 50 + 10 ) 


D (50) = 12 + 1,6 . cos 

180
 π 
D (50) = 12 + 1,6 . cos  3  = 12,8 h
Resolução:
Como a população inicial é f (0) = 750, temos:
750
= 750 . 2–0,05t
2
2–1 = 2–0,05t

 π
D(t) = 12 + (1,6) . cos  180 ( t + 10 ) 
20. A função
fornece uma aproximação da duração do dia (diferença em
horas entre o horário do pôr do sol e o horário do nascer
do sol) numa cidade do Sul do país, no dia t de 2010. A
variável inteira t, que representa o dia, varia de 1 a 365,
sendo t = 1 correspondente ao dia 1o de janeiro e t = 365
correspondente ao dia 31 de dezembro. O argumento da
função cosseno é medido em radianos. Com base nessa
função, determine
a) Determine, com base na função, em quantos anos a
população de animais estará reduzida à metade da
população inicial.
b) Considerando log23 = 1,6 e log25 = 2,3, e supondo
que nada seja feito para conter o decrescimento da
população, determine em quantos anos, de acordo
com a função, haverá apenas 40 exemplares dessa
espécie de animal na reserva florestal.
Resolução:
Para haver apenas 40 exemplares, temos: f (t) = 40
40 = 750 . 2–0,05t Þ 2–0,05t =
Portanto, log22–0,05t = log2
4
75
4
Þ – 0,05t = log24 – log275
75
Þ – 0,05t = 2 – log2(25 . 3)
Portanto, a duração do dia 19.02.2010 será de 12 horas e
48 minutos.
b) em quantos dias no ano de 2010 a duração do dia
naquela cidade foi menor ou igual a doze horas.
Resolução:
D (t) ≤ 12

 π
( t + 10 )  ≤ 12
12 + 1,6 . cos 
180
 π ( t + 10 ) 

 ≤ 0
1,6 . cos 

180
Þ – 0,05t = 2 – 2 log2 5 – log2 3
Þ – 0,05t = 2 – 4,6 – 1,6
 π ( t + 10 ) 

 ≤ 0
cos 

180
Portanto, t = 84 anos
Assim,
Em 84 anos haverá apenas 40 exemplares dessa espécie
de animal na reserva florestal.
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π ( t + 10 )
π
3π
≤
≤
2
180
2
90 ≤ (t + 10) ≤ 270
80 ≤ t ≤ 260
Portanto, a duração do dia naquela cidade foi menor ou
igual a 12 horas em 181 dias.
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CPV
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CPV seu pé direito também na Medicina
COMENTÁRIO DO CPV
A prova de Matemática do Vestibular UNIFESP 2012 merece
elogios a proposta equilibrada e bastante abrangente de suas
questões.
As questões apresentaram conteúdos pertinentes que seguem a
tendência de captar os alunos bem preparados.
Para saber,
Questão 16 – Teoria dos Conjuntos / Probabilidade
Questão 17 – Função / Geometria Espacial
Questão 18 – Aritmética / Análise Combinatória /
Equação Algébrica
Questão 19 – Função Exponencial / Logaritmos
Questão 20 – Trigonometria
CPV
UNIFESP2012