UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
2a. Lista de Exercı́cios de Cálculo C - MTM703
Prof. Júlio César do Espı́rito Santo
03 de setembro de 2011
(1) Nos itens abaixo, determine o produto vetorial u × v e verifique que ele é
ortogonal a u e a v.
(a) u = 2i + 3j e v = 5i + j − k
(b) u = 4i + 2j − k e v = 3i + 3j − k
(c) u = 2ei + ej − ek e v = e−1 i + ej + e2 k
(d) u = ti + t2 j + t3 k e v = i + 2tj + 3t2 k
(2) Se u = i − 2k e v = j + k, determine u × v, esboce u, v e u × v como
vetores co inı́cio na origem.
(3) Ache um vetor que seja ortogonal ao plano que passa pelos pontos P =
(2, 0, 3), Q = (3, 1, 0) e R = (5, 2, 2). Esboce.
(4) Determine a equação vetorial e as equações paramétricas para a reta que
passa pelo ponto (1, 0, 3) e é paralela ao vetor 3i − 4j + 5k.
(5) A reta que passa pelos pontos (−4, −6, 1) e (−2, 0, 3) é paralela à reta que
passa pelos pontos (10, 18, 4) e (5, 3, 14)?
(6) Determine a equação do plano que passa pelos pontos (0, 1, 1), (1, 0, 1) e
(1, 1, 0). Esboce.
(7) Determine o ponto dado pela intersecção das retas:
L1 : r = i + j + t(i − j + 2k)
L2 : r = 2i + 2k + s(−i + j).
Determine a equação do plano que contém essas retas.
(8) Dê uma interpretação geométrica para cada famı́lia de planos.
(a) x + y + z = c
(b) x + y + cz = 1
(c) ycosθ + z sen θ = 1
(9) Determine a fórmula da distância D de um ponto P1 = (x1 , y1 , z1 ) ao plano
ax + by + cz − d = 0.
[Dica: Considere P0 um ponto qualquer do plano dado e seja b um vetor
−−−→
correspondente a P0 P1 . Considere a projeção escalar de b sobre o vetor
1
2
normal ao plano e prossiga.]
(10) Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
(a)Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas.
(b)Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas.
(c)Dois planos paralelos a um terceiro são paralelos.
(d)Dois planos perpendiculares a um terceiro são paralelos.
(e)Duas retas paralelas a um plano são paralelas.
(f)Dois planos paralelos a uma reta são paralelos.
(g)Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas.
(h)Dois planos perpendiculares a uma reta são paralelos.
(i)Dois planos ou se intersectam ou são paralelos.
(j)Duas retas ou se intersectam ou são paralelas.
(k)Um plano e uma reta ou se intersectam ou são paralelos.
(i)Duas retas com um ponto em comum são paralelas.
(j)Duas retas com vetôres diretores em comum são paralelas.
(k)Se o vetôr normal de um plano é paralelo a uma reta e esta reta tem um ponto
em comum com este plano então a reta esta contida neste plano.
(l)Se o vetor diretor de uma reta é perpendicular aos vetores normais de dois
planos distintos então esta reta está na intersecção dos dois planos.
(m)Se dois planos tem um ponto e uma reta em comum então eles são iguais.
(n)Se dois planos tem uma reta e um ponto fora desta reta em comum então
eles são iguais.
Bom Estudo!
2a Lista de Cálculo C