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Retas
6.1
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
Ao nal deste capítulo o estudante deverá ser capaz de:
Retas
1. Reconhecer equações da reta: geral, paramétrica, simétricas, e reduzidas;
2. Determinar equações da reta que passam: por um ponto, por dois pontos e por
três pontos alinhados;
3. Reconhecer equações de retas paralelas aos eixos coordenados;
4. Calcular o ângulo entre duas retas;
5. Resolver problemas que envolvam paralelismo e ortogonalidade e coplanaridade de
retas;
6. Identicar as posições relaticas entre duas retas;
7. Resolver problemas que envolvam interseção de retas;
8. Reconhecer equações de retas paralelas aos eixos coordenados;
Exercícios para entregar no dia da prova valendo até dois pontos
para quem não tirar dez na prova e acertar pelo menos três questões na
prova, um ponto para quem acertar duas questão e meio ponto para quem
acertar apenas uma questão.
1. Classique as equações das retas abaixo e obtenha, diretamente das equações, um
ponto e um vetor diretor.
{=3+w
b) {33
a)
= |31
= }+5
| = 1 + w
1
34
1
} =4+w
| = 3{ + 1
d) 13{
c)
= 2|+4
= }31
8
3
2
} ={2
66
{ = 5 3}
2
e)
| =2 }
2
2. Dados D(2> 2> 5), x = (1> 1> 3), y = (2> 2> 3), escreva equações paramétricas da
reta por D, paralela ao vetor y x;
3. Dadas as retas u : ({> |> }) = (1> 0> 0) + w(p + 1> 0> 2),
w(1> p> q)
v : ({> |> }) = (2> 2> 1) +
e
w: {+1=|2=
}33
2
calcule p e q sabendo que w é ortogonal às outras duas.
4. Mostre que a reta w, que passa pelos pontos D(2> 2> 0) e E(1>
0> 2), forma ângulos
{ = 1 + 2w
e v:
congruentes (isto é, de mesma medida) com as retas u :
| =2w
} = 3 + 2w
|31
{
= 2 = 1 }.
2
5. Sendo
D(1> 0> 0) um ponto, encontre um ponto S da reta u de equações paramétri
{=1w
$
tal que o cosseno do ângulo entre as retas u e o vetorDS seja
cas
|=w
}=1
q
2
.
3
6. Estudar a posição relativa das retas. Se as retas forem concorrentes, determine o
ponto de interseção.
{ = 2 3w
a) u :
|=3
} = 52 w
{ = 1 + w
b) u :
| = 10 + 5w
} = 9 3w
{=1+w
c) u :
| =1w
}=w
v:
{34
6
=
|=7
}31
5
{ = 3
v:
}=4
v:
n
{1=|1=}
7. Considere o paralelograma formado pelos pomtos D (1> 2> 3) > E (4> 3> 1) >
F (5> 7> 3) e G (2> 2> 1). Encontrar as equações paramétricas da reta paralela ao
lado DE que passa pela inerseção das diagonais.
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8. Considere o triângulo de vértices D (2> 3> 1) > E (3> 1> 2) e F (1> 0> 2) Encontre
as equações paramétricas da reta suporte da altura do triângulo em relação ao
lado DE=
9. Considere o triângulo de vértices D (2> 3> 1) > E (3> 1> 2) e F (1> 0> 2) Encontre
as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto E e perpendicular à reta
suporte da altura do triângulo em relação ao lado DF.
10. Considere o triângulo de vértices D (2> 3> 1) > E (3> 1> 2) e F (1> 0> 2) Encontre
as equações paramétricas o da reta que passa pelo baricentro desse triângulo e é
paralela ao lado DE=
11. Encontre a equação simétrica da reta suporte da mediatriz do triângulo D (2> 3> 1) >
E (3> 1> 2) e F (1> 0> 2) em relação ao lado EF.
12. Encontrar as equações reduzidas da reta que passa pelo ponto de interseção das diagonais do paralelograma formado pelos pomtos D (1> 2> 3) > E (4> 3> 1) > F (5> 7> 3)
e G (2> 2> 1) e é simultaneamente perpendicular ás duas diagonais.
13. Encontre a equação simétrica da reta que passa pelos pontos D (1> 2> 3) e E (2> 2> 1).
14. Encontre as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos D (1> 4> 3) > E (2> 1> 3)
e F (4> 1> 7).
15. Encontre as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos D (1> 4> 3) > E (2> 1> 3)
e F (4> 1> 7) e é perpendicular ao eixo {.
16. Encontr a equação da reta simultaneamente ortogonal aos lados DE e DF> do
triângulo de vértices D (2> 3> 1) > E (3> 1> 2) e F (1> 0> 2) e passa pelo ponto E.
17. Encontre a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto D (2> 3> 1) e forma
$
um ângulo de 60r com o vetor D (2> 3> 1) E (3> 1> 2).
18. Sejam D(0> 4> 0), E(3> 0> 0)> F e G vértices de um quadrado. Admitindo que o
ângulo F é oposto ao ângulo D, encontre as equações das retas diagonais desse
quadrado e o ponto de interseção dessas retas no primeiro quadrante.
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19. Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto D(1> 2> 5) e é, si{
|
} 3 | = 3{ 1
.
multaneamente, ortogonal às retas de equações =
=
e
2
1
2 } = { + 4
20. Determine as equações reduzidas da reta que passa pelo ponto D(1> 2> 20) e é
perpendicular à reta que suporta a mediana relativa ao lado EF do triângulo
D (0> 0> 6), E (6> 0> 0) e F (0> 6> 0).
21. Dtermine o valor de p para que os pontos D (3> p> 1), E (1> 1> 1) e F (2> 10> 4)
sejam colineares.
22. Verique se as retas u e v de equações respectivamente
{=5+w
{2
|4
}1 =
=
e
| =2w
2
3
4
} = 7 2w
são coplanares.
23. Encontre o ponto de interseção das retas de equações
{=5+w
{2
|
}5 = =
e
| =2w
2
3
4
} = 7 2w
| = { 2 + 2
{ = 1 + w( + 1)
e
v:
24. Dadas as retas u :
|=0
} = { 2 + 1
} = 2w
{+1
}33
w : 2 = | 2 = 32 determinar e sabendo que a reta w é ortogonal às outras
duas.
25. Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto
D (2> 0> 1) e
{ 2 = }32
{ = 5w
2
ev:
.
é simultaneamente ortogonal ás retas u :
|=6
{=2
26. Encontrar as equações das retas supertes das alturas do triângulo de vértices
D (1> 0> 1), E (4> 2> 1) e F (1> 2> 0) e o ponto de interseção dessas retas.
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