Notas de Aula de Geometria Euclidiana
segundo a axiomática de D. Hilbert
Prof. José Luiz Rosas Pinho
Editoração:
Ecila de Almeida Waltrick
Marcos Teixeira Alves
Helena Martins
Tiara Martini
Termos primitivos: termos iniciais, aceitos sem definição.
Axiomas: verdades iniciais aceitas sem demonstração.
Através dos axiomas deveremos compreender os termos primitivos.
Os teoremas surgirão a partir destes axiomas, com a intrudução de algumas
definições.
Grupos de axiomas:
I.
II.
III.
IV.
V.
Axiomas de incidência
Axiomas de ordem
Axiomas de congruência
Axioma das paralelas
Axiomas de continuidade
Axiomas de Incidência:
Termos primitivos:
− ponto
− reta
− incidente a (ou incidência).
Axioma I.1:
Se A e B são dois pontos então existe uma reta que passa por A e B.
Axioma I.2:
Se A e B são dois pontos então não existe mais do que uma reta passando
por A e B.
Axioma I.3:
Em toda reta incidem (pelo menos) dois pontos.
Existem (pelo menos) três pontos que não são incidentes a mesma reta.
Definição 1: Duas retas são ditas paralelas se elas não têm nenhum ponto
comum.
Observação: A negação dessa definição é:
Duas retas não são paralelas se existir um ponto comum a ambas.
Definição 2: Duas ou mais retas são ditas concorrentes se existe um ponto
incidente a todas elas.
Observação: A definição 2 e a observação anterior nos dizem que duas retas
2
concorrentes não são paralelas.
Definição 3: Dizemos que três ou mais pontos são colineares se eles são incidentes a mesma reta.
Observação: A negação desta definição nos diz que três ou mais pontos não
são colineares (ou são não colineares) se, dada qualquer reta que passa por dois
deles, existir um destes pontos que não é incidente a esta reta.
Teorema 1
Duas retas distintas ou são paraleas ou são concorrentes. Se elas forem concorrentes então existe um único ponto comum a ambas.
Dem.:
Sejam r e s duas retas. Pela definição da lei do terceiro excluı́do, r e s são
paralelas ou não são paralelas (concorrentes).
Suponha que r e s não sejam paralelas.
Seja P um ponto comum a r e s, definição de retas concorrentes. Suponha,
por absurdo, que exista um ponto Q, distinto de P , incidente a r e s. Segue-se
daı́ que, r e s são duas retas distintas passando por P e Q. Chegamos a uma
contradição com o axioma I.2.
Conclusão: r e s possuem um único ponto comum.
Teorema 2
Existem três retas distintas concorrentes duas a duas, ou seja, cada duas
retas são concorrentes e as três não concorrem no mesmo ponto.
Dem.:
Pelo axioma I.3 existem três pontos que não estão na mesma reta. Sejam
A, B e C estes pontos.
Sejam r a reta que passa por A e B, s a reta que passa por A e C e t a reta
que passa por B e C (teorema 1).
Tais retas são ditas distintas, pois os três pontos não estão em uma mesma
reta (por exemplo: se r e s fossem a mesma reta, então terı́amos A, B e C nessa
mesma reta).
As retas r e s são concorrentes em A (e somente em A - teorema 1). As
retas r e t são concorrentes em B, e as retas s e t são concorrentes somente em
C.
Teorema 3
Dada uma reta existe um ponto não incidente a ela.
Dem.:
3
Seja r uma reta qualquer. Suponha, por absurdo, que não exista pontos fora
de r. Então todos os pontos são incidentes a r. Portanto não há três pontos
não colineares. Mas isto contradiz o axioma I.3.
Logo, existe (pelo menos)um ponto não incidente a r.
Teorema 4
Dado um ponto existe uma reta que não passa por esse ponto.
Dem.:
Seja P um ponto qualquer.
Suponha, por absurdo, que todas as retas passem por P . Pelo teorema 2,
existem três retas concorrentes duas a duas, ou seja, as três retas não concorrem
no mesmo ponto, mas cada par de retas é concorrente.
Assim, a hipótese de absurdo nos leva diretamente a uma contradição com
o teorema 2.
Portanto, não podemos negar a tese, ou seja, a tese é verdadeira.
Teorema 5
Por todo ponto passam, pelo menos, duas retas distintas.
Dem.:
Seja P um ponto qualquer. Pelo teorema 4, existe uma reta r que não passa
por P .
A reta r possui dois pontos M e N (axioma I.3).
Seja s a reta que passa por P e M , e seja t a reta que passa por P e N
(axiomas I.1 e I.2).
As retas s e t são duas retas distintas pois, caso contrário, P , M e N seriam
colineares (na mesma reta s ou t), o que não ocorre, pois P não está na reta r
(que passa por M e N ).
Para dar exemplos de sistemas geométricos (ou simplesmente Geometria) satisfazendo (ou não) os axiomas disponı́veis até o momento, devemos inicialmete
descrever o que queremos entender como termos primitivos. A isto chamamos de
interpretação dos termos primitivos. Dada uma interpretação, passamos então
a verificar se os axiomas são satisfeitos. Se isto ocorrer, dizemos que aquela
interpretação nos fornece um modelo de geometria. No momento, como só dispomos de axiomas de incidência, diremos que o modelo é de uma Geometria de
Incidência.
Se tivermos um modelo, então qualquer teorema demonstrado a partir dos
axiomas deverá ser válido neste modelo. Os modelos servem ainda como contraexemplo. Assim, se uma determinada propriedade não pôde ser provada eventualmente a partir dos axiomas, ela poderá ser falsa, bastando para isso apresentar
um modelo que não satisfaça tal propriedade. Por exemplo, podemos perguntar se os três axiomas de incidência implicam que toda geometria deve possuir
4
infinitos pontos, ou se implicam na existência de paralelas. Vejamos a seguir.
Exemplos
Exemplo 1
Interpretação dos termos primitivos:

“pontos”
− A, B e C.



“retas”
− {A,B}, {A,C} e {B,C}.
“incidência”
−
um “ponto´´ é incidente a uma reta se ele



for elemento do conjunto que é “reta´´.
Vamos verificar se os axiomas são satisfeitos.
Axioma I.1 - Dados dois “pontos” existe uma “reta”que passa por eles. OK
Axioma I.2 - Por dois “pontos”passa uma única “reta”. OK
Axioma I.3 - Toda “reta”passa por dois “pontos”e os três “pontos”A, B e C
são não
colineares (o “ponto”C, por exemplo, não está na “reta”A,B).
OK
Então temos um modelo.
Observação: Do modelo apresentado, constatamos que não é possı́vel provar
a existência de infinitos pontos, nem a existência de paralelas, a partir dos axiomas de incidência. Observe que o modelo do exemplo 1 têm exatamente três
pontos, e que as retas (somente três) são concorrentes duas a duas.
Definição 4: Dizemos que um modelo satisfaz a propriedade elı́ptica das paralelas
se não houver retas paralelas neste modelo. Diremos que um modelo satisfaz a
propriedade hiperbólica das paralelas se, dados qualquer ponto não incidente a
esta reta, existirem mais do que uma reta paralela àquela reta dada, passando
pelo ponto dado. Dizemos que um modelo satisfaz a propriedade euclidiana das
paralelas se, dados qualquer reta e qualquer ponto não incidente a essa reta,
existir uma única reta paralela àquela reta dada, passando pelo ponto dado.
Exemplo 2
Interpretação dos termos primitivos:

− A, B e C.
 “pontos”
“retas”
− {A,B}, {A,C}, {B,C} e {A, B, C}.

“incidência” − usual.
Axioma I.1 - OK.
Axioma I.2 - Não é satisfeito: por A e B há duas retas, {A, B} e {A, B, C}.
Não é modelo.
Exemplo 3
5
Interpretação dos termos primitivos:

− A, B e C.
 “pontos”
“retas”
− {A,B}, {A,C}, {B,C} e {C}.

“incidência” − usual.
Observe que a “reta” {C} passa por um único “ponto”, o ponto C. Portanto
não satisfaz o axioma I.3.
Não é modelo.
Exemplo 4
Interpretação dos termos

“pontos”
−



“retas”
−
“incidência´´
−



primitivos:
A, B e C.
{A,B}, {A,C}, e {B,C}.
um “ponto”é incidente a uma “reta”se ele
não for elemento do conjunto que é “reta” .
Observe que a “reta” {A, B} passa por um único “ponto”, o “ponto” C (segundo a interpretação de incidência). Portanto, não satisfaz os axiomas I.1 e
I.2.
Não é modelo.
Exemplo 5
Interpretação dos termos primitivos:

− A, B, C e D.
 “pontos”
“retas”
− {A,B}, {A,C}, {A,D}, {B, C}, {B, D} e {C,D}.

“incidência” − usual.
Axioma I.1 - OK.
Axioma I.2 - OK.
Axioma I.3 - OK.
É modelo.
Este modelo satisfaz a propriedade euclidiana das paralelas:
Sejam {X, Y } uma “reta” e Z um ponto não incidente a esta “reta”.
Tomando o quarto “ponto” que chamaremos de W , a “reta” {Z, W } será
paralela à reta {X, Y }. Suponha que por Z passe uma outra paralela a {X, Y },
distinta de {Z, W }. Vamos chamar esta reta de r.
Que pontos estão em r (pelo axioma I.3, r tem pelo menos dois pontos)?
Um deles é Z. O outro não pode ser X, Y nem W . Logo, haveria um quinto
ponto na minha interpretação de pontos, o que não ocorre.
6
Observação: Note que, neste exemplo, temos três pares de retas paralelas:
{A, B} e {C, D}; {A, C} e {B, D}; {B, C} e {A, D}.
Exemplo 6
Interpretação dos termos primitivos:

− A, B e C.
 “pontos”
“retas”
− {A,B,C}, {A,D}, {B,D} e {C,D}.

“incidência” − usual.
Axioma I.1 - OK.
Axioma I.2 - OK.
Axioma I.3 - OK.
É modelo, e satisfaz a propriedade elı́ptica das paralelas.
Exemplo 7
Interpretação dos termos primitivos:

“pontos”
− todos os pontos (infinitos) de uma reta r (no sentido conhecido da



geometria euclidiana e mais um ponto P que não está nessa reta.
“retas”
−
a
reta r e todos os conjuntos da forma {P,Q}, onde Q está em r.



“incidência” − usual.
Axioma I.1 - OK, pois se tomarmos dois “pontos” A e B que são pontos de r,
então a “reta” que passa por esses pontos é a própria r. Se considerarmos dois
“pontos”, um deles em r, digamos X, e o outro sendo P , a “reta” que passa por
esses dois pontos é {P, X}.
Axioma I.2 - OK, da própria descrição de “retas”.
Axioma I.3 - OK, pois: toda reta tem pelo menos dois pontos, e há três pontos
não colineares (P , X e P , onde Q e X estão em r).
É modelo, e satisfaz a propriedade elı́ptica das paralelas.
Exemplo 8
Interpretação dos termos primitivos:

“pontos”
− A, B, C, D e E.



“retas”
− {A, B}, {A, C}, {A, D}, {A, E}, {B, C}, {B, D}, {B, E},
{C, D}, {C, E} e {D, E}.



“incidência” − usual.
Axiomas I.1 e I.2 - OK.
Axioma I.3 - OK.
É modelo, e satisfaz a propriedade hiperbólica das paralelas. (Por exemplo,
dados a “reta” {A,B} e o “ponto” C, não incidente àquela “reta”, há duas paralelas a {A,B} passando por C: {C,D} e {C,F}).
7
Argumentando de forma geral:
Seja {X, Y } uma das “retas” do modelo, onde X e Y são dois entre os
“pontos” A, B, C, D ou E.
Seja Z um terceiro “ponto”, distinto de X e Y . Note que Z não é incidente
a {X,Y}.
Sobraram dois “pontos”. Chamemos estes pontos de P e Q. Então {Z,P} e
{Z,Q} são “retas” do modelo (pela construção feita). Tais “retas” são paralelas
a reta {X,Y}, pois Z, P e Q são “pontos” distintos de X e Y .
Exemplo 9
Interpretação dos termos primitivos:

− A, B, C, D , E e F.

 “pontos”

“retas”
− {A, B}, {A, C}, {A, D}, {A, E}, {A, F }, {B, C}, {B, D},
{B, E}, {B, F }, {C, D}, {C, E}, {C, F }, e {D, E, F }.



“incidência” − usual.
Axiomas I.1 e I.2 - OK.
Axioma I.3 - OK.
É modelo.
Exemplo 10
Interpretação dos termos primitivos:

“pontos”
− A, B, C, D , E e F.



“retas”
− {A, B}, {A, C}, {A, D}, {A, E}, {A, F }, {B, C},
{B, D}, {B, E}, {B, F }, {C, D, E, F }.



“incidência” − usual.
Axiomas I.1 e I.2 - OK.
Axioma I.3 - OK.
É modelo. Não satisfaz nenhuma propriedade das paralelas:
1) Dada a “reta” {A,D}, e dado o “ponto” B, não incidente a {A,D}, as “retas”
{B,C} e {B,E} são paralelas a {A,D}.
2) Dada a “reta” {A,B}, e dado o ponto C, não incidente a {A,B}, há uma
única paralela a {A,B} passando por C: a “reta”{C,D,E,F}.
Exemplo 11
Interpretação dos termos primitivos:
8




“pontos”
“retas”
“incidência”



− todas as (infinitas) retas (como usualmente conhecemos) do plano.
− todos os (infinitos) pontos (como usualmente conhecemosplano.
− um “ponto” é incidente a uma “reta” se a reta, que é “ponto”,
passar pelo ponto, que é “reta”.
Axioma I.1 Fura.Pois: por dois “pontos”, que são retas paralelas no plano,
não passa uma “reta”, isto é, tais retas não têm ponto comum, que seria a
“reta” passando pelos dois “pontos”.
Não é modelo.
Exemplo 12
Interpretação dos termos primitivos:

“pontos”
− todas as (infinitas) retas (como usualmente conhecemos) do exemplo 7.



“retas”
− todos os (infinitos) pontos (como usualmente conhecemosdoexemplo7.
“incidência”
−
um “ponto” é incidente a uma “reta” se a reta, que é “ponto”,



passar pelo ponto, que é “reta”.
Axioma I.1: OK. (não há paralelismo, no sentido euclidiano).
Axioma II.1: OK, pelo fato de que duas retas concorrem em um único ponto.
Axioma III.1: OK, toda “reta” possui pelo menos dois “pontos” (há exatamente uma “reta” com infinitos “pontos”, a reta r, e infinitas “retas” com
exatamente dois “pontos”). Existem três “pontos” não colineares: P e mais
dois “pontos” incidentes à reta r.
É modelo, e satisfaz a propriedade elı́ptica das paralelas.
Problema:
Explique porque em uma geometria finita com um total de 8 pontos, não é
possı́vel construir um modelo onde as retas tenham exatamente 3 pontos.
Para satisfazer os axiomas I.1 e I.2, devemos ter, a cada dois pontos, uma
única reta passando por eles, ou seja:
Dados A, B, C, D, E, F, G e H, terı́amos as retas:
{A,B,C}, {A,D,E}, {A,F,G}, {A,H,?
Falta um ponto para a reta {A,H,?}.
Isso acontecerá quando tivermos um número par de pontos, pois fixando um
ponto, cada reta deveria ter mais dois pontos. No entanto restam sempre um
número ı́mpar de pontos (2k-1), ou seja, faltaria um ponto.
Axiomas de Ordem:
Termo primitivo: estar entre.
Axioma II.1:
Se um ponto B está entre os pontos A e C, então A, B e C são três pontos
9
distintos e colineares. Além disso, B está entre C e A.
Axioma II.2:
Para cada dois pontos A e C há pelo menos um ponto B na reta que oassa
por A e C tal que C está entre A e B.
Obs.: Este axioma está dizendo ainda que existe um ponto D na reta que
passa por A e C tal que A está entre C e D. Porém não é possı́vel distinguir D
de B.
Exemplo:
Interpretação: “Estar entre”: dados três pontos colineares qualquer um deles
está entre os outros dois.
Axioma II.3:
Dados três pontos distintos e colineares não há mais do que um que está entre
os outros dois.
Obs.:(i) O axioma permite que nenhum deles esteja entre os outros dois.
(ii) O asioma II.2 é um axioma de existência. Ele nos diz que toda reta possui pelo menos três pontos (não necessariamente quatro pontos - veja exemplo
acima). E, pelo exercı́cio 8 da lista 1, os modelos (até aqui) devem possuir pelo
menos 7 pontos.
(iii) O axioma II.3 nos diz agora que, usando também o axioma II.2, toda reta
deve possuir pelo menos quatro pontos. Vamos verificar isto. Antes adotemos
a seguinte notação:
“B está entre A e C”: A ∗ B ∗ C ou C ∗ B ∗ A
O axioma II.2 nos diz que dados dois pontos (distintos) A e C, existe um ponto
B tal que A∗C ∗B. Esse axioma nos diz também que existe um ponto D tal que
D ∗ A ∗ C. Porém como foi verificado em um exemplo anterior, o ponto D pode
ser o ponto B. Agora, com o axioma II.3 necessariamente D e B são distintos
pois, caso contrário, terı́amos A∗C ∗B ou B ∗A∗C, contrariando o axioma II.3.
Exemplo de um modelo que satisfaz todos os axiomas até o axioma II.3 (inclusive), onde há três pontos colineares tal que nenhum deles está entre os outros
dois.
Interpretação:
“Pontos”: são todos os infinitos pontos do plano (como conhecemos), exceto
os pontos que pertencem a (infinitas) circunferências concêntricas, de centro no
ponto O, e raios 1, 2, 3 ...
DESENHO
10
“Retas”: são as retas no sentido como conhecemos no plano, exceto por serem “esburacadas” pela falta dos pontos das circunferências citadas acima.
“Incidência”: usual.
“Estar entre”: dados três “pontos” colineares um (e somente um) deles estará entre os outros dois somente se existir algum ponto de alguma das circunferências retiradas que está entre (no sentido usual) dois dos três pontos
considerados. Assim, se isso não ocorre, nenhum dos três pontos “estará entre”
os outros dois.
Na figura temos A ∗ B ∗ C mas, com os três pontos M , N e P diremos que
nenhum deles “está entre” os outros.
Pergunta: Dados todos os axiomas até o axioma II.3 (inclusive), podemos garantir a existência de infinitos pontos em uma reta?
FIGURA
A resposta para essa pergunta é: não. Antes de ver o exemplo consideremos
outra pergunta: Podemos garantir, com os axiomas dados até aqui, que dados
dois pontos existe um ponto entre esses dois? A resposta é: não. Basta ver os
pontos M e P no exemplo anterior. Ali N não está entre M e P .
Vamos ver agora um exemplo onde as retas têm exatamente 5 pontos e os axiomas são todos satisfeitos. Considere uma reta com os pontos A, B, C, D e E.
Uma possı́vel interpretação:
FIGURA
A ∗ B ∗ C, B ∗ C ∗ D, C ∗ D ∗ E, D ∗ E ∗ A, E ∗ A ∗ B. Note que não há
pontos entre: A e B, B e C, C e D, D e E, E e A.
Temos ainda: A ∗ D ∗ C, D ∗ A ∗ B, D ∗ E ∗ D, E ∗ B ∗ C, C ∗ E ∗ A, E ∗ C∗?
este último ponto não poderá ser A, D ou B.
Outra interpretação:
A ∗ B ∗ C, B ∗ C ∗ D, C ∗ D ∗ E, D ∗ E ∗ A, E ∗ A ∗ B, A ∗ D ∗ B, B ∗ E ∗ C,
C ∗ A ∗ D, D ∗ B ∗ E, E ∗ C ∗ A.
AeB
A∗B∗C
B∗A∗E
Afinal, qual é o modelo? O modelo é dado com 21 pontos e 21 retas, todas
com exatamente 5 pontos cuja relação “estar entre” foi dada acima.
DESENHO
Axioma II.4 :
11
Se A, B e C são três pontos não colineares, e se r é uma reta que não passa por
A, B ou C mas passa por um ponto do segmento AB então a reta r passa por
um ponto do segmento AC ou do segmento BC.
A
r
B
C
Definição 5: O segmento de reta de extremidades A e B, denotado por AB,
é o conjunto formado pelos pontos A, B e todos os pontos C tais que C está
entre A e B.
Obs,: Com os axiomas II.1, II.2 e II.3 não podemos garantir ainda, que todo
segmento de reta possui, pelo menos, três pontos. Não podemos também garantir que, dados três pontos colineares, um deles estará entre os outros dois.
−→
Definição 6: A semi-reta de origem A passando por C, denotada por AC, é
o conjunto formado por todos os pontos do segmento AC e os pontos P tais que
C está entre A e P .
Obs.: Das duas definições (e dos axiomas válidos até aqui) podemos verifi−→
car que AC ⊂ AC, sendo que há mais pontos na semi-reta do que no segmento.
Quem garante isso é o axioma II.2: dados A e C, existe um ponto P tal que
−→
A ∗ C ∗ P . Portanto P está em AC mas não em está em AC (pois P é distinto
de A e C, e P não está entre A e C; isto decorre de A ∗ C ∗ P e do axioma II.3).
A Definição 6 e os axiomas garantem que toda semi-reta possui pelo menos
três pontos.
←→
Da mesma forma, a reta que passa por A e C, denotada por AC, contém a
−→
semi-reta AC, sendo que há mais pontos na reta do que na semi-reta. Isto é
devido novamente ao axioma II.2: dados os pontos A e C existe um ponto Q
tal que ∗Q ∗ A ∗ C. Vimos que, pelo axioma II.3, o ponto Q é distinto de P (que
−→
está na semi-reta AC). Este ponto Q não está em overrightarrowAC pois, Q
é distinto de A e C, Q não está entre A e C, e C não está entre A e Q, já que
←→
Q ∗ A ∗ C e é válido o axioma II.3. Portanto Q é um ponto da reta AC mas
−→
não está na semi-reta AC.
Observe ainda que, da Definição 5 e do axioma II.1, AB é o mesmo que BA.
−→
−→
Pergunta: A semi-reta AC é a mesma que a semi-reta CA? A resposta é:
−→
não. Basta olhar o que foi comentado acima: o ponto Q não está em AC (note
12
−→
que Q∗A∗C é o mesmo que C∗A∗Q e, pela definição de semi-reta, Q está em CA.
Teorema 6
Dados dois pontos A e C, existe um ponto D que está entre A e C.
Dem.:
←→
Seja B um ponto não incidente à reta AC (teorema 3). Pelo axioma II.2,
P
B
A
D
C
Q
dados os pontos A e B, existe um ponto P tal que A ∗ B ∗ P .
←→
←→
Note que P não está na reta AC pois, caso contrário, a reta AC seria a mesma
←→
←→
←→
que a reta AP , e neste caso B (que está em AP ) estaria na reta AC.
Dados os pontos P e C, existe um ponto Q tal que C está entre P e Q (axioma
II.2).
←→ ←→
Note que as retas P A e P C são distintas, pois caso contrário os pontos A, C
e P seriam colineares, o que não ocorre conforme demonstrado anteriormente.
Segue-se que os pontos Q e B são distintos, pois P é o único ponto comum às
←→ ←→
retas P B e P Q (teorema 1).
←→
Considere a reta BQ (axioma I.1). Esta reta não passa pelos pontos A, C ou
←→
←→
←→
P , pois caso contrário, concluirı́amos que as retas P A (ou P B) e P C são coincidentes.
←→
Então A, P e C são três pontos não colineares, e a reta BQ passa por um ponto
←→
que está entre A e P (o ponto B). Pelo axioma II.4 a reta BQ deve passar por
um ponto do segmento P C.
←→ ←→
←→
←→
As retas BQ e P Q são distintas (pois B não está em P Q). A reta BQ não passa
por um ponto do segmento P C pois, caso contrário, tal ponto seria Q (o único
←→ ←→
ponto de intersecção das retas BQ e P Q), e neste caso Q estaria entre P e C,
mas isto não ocorre porque C está entre P e Q e pelo axioma II.3.
←→
Logo, BQ passa por um ponto D do segmento AC (distinto de A e C), ou seja,
D está entre A e C.
Teorema 7
Dados três pontos A, B e C colineares, um deles estará entre os outros dois.
Obs.: Este teorema, juntamente com o axioma II.3 nos diz que dados três
13
pontos colineares, um e somente um deles estará entre os outros dois.
Dem.:
G
E
F
D
A
B
C
Suponhamos que A não esteja entre B e C, e que C não esteja entre A e B.
Vamos provar que, neste caso, B estará necessariamente entre A e C.
←→
Seja D um ponto não incidente à reta AC (teorema 3).
D
A
B
C
Pelo axioma II.2 existe um ponto G tal que D está entre B e G.
G
D
A
B
C
Note que G não é incidente à reta que passa pelos pontos A, B e C. Pois,
←→
←→
caso contrário, a reta GB seria a mesma que a reta AC, e daı́ terámos D na
←→
reta AC, o que não ocorre.
←→
Então os pontos B, C e G são não-colineares, e a reta AD (axiomas I.1 e I.2)
passa por um ponto que está entre B e G (o ponto D) e não passa por B, C ou
←→
G (pois D não está em AC).
←→
Segue-se, pelo axioma II.4, que a reta AD passa por um ponto do segmento
CG ou do segmento BC.
←→
A reta AD não passa por um ponto do segmento BC, pois caso contrário,
←→
tal ponto seria o ponto A (o ponto de intersecção das retas AD e a reta que
contém B e C). Mas então A estaria entre B e C, o que contradiz a hipótese
←→
feita no inı́cio da demonstração. Portanto a reta AD passa por um ponto que
está entre C e G. Seja E este ponto.
14
G
D
A
B
C
G
E
D
A
B
C
Analogamente, considerando-se os pontos não-colineares A, B e G, e a reta
←→
CD encontra-se um ponto F que está entre A e G.
G
E
F
D
A
B
C
Considere agora os pontos não colineares A, G e E (tais pontos não são
←→
colineares pois, caso contrário, A estaria na reta GE, que contém C, e portanto
←→
A, C e G seriam colineares), e considere a reta CF (que passa por um ponto
←→
do segmento AG - o ponto F ). Observe que a reta CF não passa por A, E ou G.
←→
Pelo axioma II.4 a reta CF deve passar por um ponto do segmento GE
←→
ou do segmento AE. A reta CF não passa por um ponto de GE pois, caso
contrário, tal ponto seria C, e então terı́amos C entre G e E, o que não ocorre
pois E está entre G e C (conclusão anterior e o axioma II.3).
←→
Logo, a reta CF passa por um ponto do segmento AE. Mas este ponto só
←→ ←→
pode ser D (o ponto de intersecção das retas CF e AE ). Acabamos de concluir
que D está entre A e E.
Finalmente considere os pontos não colineares A, E e C, e considere a reta
←→
←→
GD que passa por um ponto do segmento AE (o ponto D). A reta GD não
15
←→
passa pelos pontos A, E ou C. Pelo axioma II.4, a reta GD deve passar por
←→
um ponto do segmento CE ou do segmento AC. Mas a reta GD não passa por
um ponto de CE pois, caso contrário, tal ponto seria o ponto G, e daı́ G estaria
entre E e C.
←→
Portanto a reta GD passa por um ponto de AC. Mas este ponto só pode ser
←→ ←→
B (o ponto de intersecção das retas GD e AC). Logo, B está entre A e C.
Teorema 8
Sejam A, B e C três pontos não colineares, e seja r uma reta que não passa
por A, B ou C. Se r passa por um ponto do segmento AC então r passa por
um ponto de somente um dos segmentos AB ou BC.
Obs.: Este teorema nos diz que, nas condições do axioma II.4, uma reta só
pode interceptar dois segmentos dentre os três formados por A, B e C.
Dem.:
C
r
N
P
Q
L
B
M
A
Suponhamos, por absurdo, que r passe por um ponto M de AB e por um
ponto N de BC.
Seja P o ponto de intersecção de r com AC.
Considere os pontos não colineares M , B e C (note que C não está na reta
←→
←−→
←→
AB, que é a reta M B), e considere a reta AN (note que A não está na reta
←→
BC, e potanto A é distinto de N , use então o axioma I.1).
←→
A reta AN não passa pelos pontos N , B ou C pois, caso contrário, A, B e
C seriam colineares, contradizendo a hipótese.
←→
Pelo axioma II.4, a reta AN deve passar por um ponto do segmento M B ou
←→
por um ponto do segmento M C. A reta AN não passa por um ponto de M B
pois, caso contrário, tal ponto deveria ser A (o ponto de intersecção das retas
←→ ←−→
AN e M B), e daı́ terı́amos que A estaria entre M e B, o que não ocorre pois
←→
de inı́cio admitimos que M está entre A e B (axioma II.3). Logo, a reta AN
16
passa por um ponto Q de M C.
Considere agora os pontos não colineares M , P e C (note que M não está
←→
←→
na reta P C, que é a reta AC, pois caso contrário terı́amos A, B e C colineares),
←→
e considere a reta que passa por A e Q (AQ). Esta reta não passa pelos pontos
M , P ou C pois, caso contrário, os pontos A, B e C seriam colineares.
←→
Pelo axioma II.4, a reta AQ deve passar por um ponto do segmento M P .
←→
A reta AQ não passa por P C pois, caso contrário, tal ponto deveria ser o
←→ ←→
ponto A (o ponto de intersecção das retas AQ e P C) e então A estaria entre
P e C, o que não ocorre pois, por hipótese, P está entre A e C (e pelo axioma
←→
II.3). Logo, a reta AQ passa por um ponto L de M P .
Mas L está na reta r (que passa por M e P ) e, como está também na reta
←→
AQ (que passa por A e N que está em r), então A estaria na reta que passa por
L e N , que é a reta r. Isto é uma contradição com a hipótese.
Logo, a reta r não pode passar por um ponto do segmento AB e por um
ponto do segmento BC.
Definição 7: Seja r uma reta e sejam A e B os dois pontos não incidentes a r.
Dizemos que A e B estão no mesmo lado de R se r não intercepta o segmento
AB. Caso contrário, diremos que A e B estão em lados opostos de r.
Teorema 9
Seja r uma reta e sejam A, B e C três pontos não incidentes a r. Então:
(i) Se A e B estão no mesmo lado de r, e se A e C estão no mesmo lado de
r, então B e C estão no mesmo lado de r.
(ii) Se A e B estão em lados opostos de r, e se A e C estão em lados opostos
de r, então B e C estão no mesmo lado de r.
(iii) Se A e B estão no mesmo lado de r, e se A e C estão em lados opostos
de r, então B e C estão em lados opostos de r.
Dem.:
Vamos demonstrar o teorema no caso em que A, B e C são não colineares
(o outro caso fica como exercı́cio).
(i)
Suponha que B e C não estejam no mesmo lado de r. Então r intercepta
BC em um ponto P (que está entre B e C).
Pelo axioma II.4, e pelo teorema 8, r deve interceptar um, e apenas um, dos
segmentos AC ou AB.
17
B
A
C
r
Suponha que r intercepte AC. Então A e C estariam em lados opostos de
r, contradizendo a hipótese.
(ii)
A
r
C
B
A reta r intercepta AB e AC. Pelo teorema 8, r não pode interceptar BC.
Logo, B e C estão no mesmo lado de r.
(iii)
A
B
r
C
A reta r intercepta AC e não intercepta AB. Pelo axioma II.4, r deve interceptar BC.
Logo, B e C estão em lados opostos de r.
Obs.: Nos casos em que A, B e C são colineares, devemos obter um ponto
auxiliar de modo a formar trios de pontos não colineares.
Por exemplo, para demonstrar (i):
Vejamos:
18
Q
B
A
C
r
P
Seja P um ponto de r que não está na reta que passa por A, B e C (note
que, pelo axioma I.3, a reta r possui pelo menos dois pontos; se um deles está
também na reta que passa por A, B e C, então o outro não estará nesta reta).
Considere agora os pontos P e B (ou P e A, ou P e C). Pelo axioma II.2,
existe um ponto Q tal que B está entre P e Q.
←→
Note que o ponto Q não está na reta r pois, caso contrário, a reta P Q seria
←→
a própria reta r, e então o ponto B (que está em P Q) estaria em r.
Note ainda que o ponto Q não está na reta que passa por A, B e C pois,
←→
←→
caso contrário, a reta QB seria aquela reta e, neste caso P (que está em QB)
estaria na reta que passa por A, B e C.
Os pontos B e Q estão no mesmo lado de r pois, caso contrário, existiria um
ponto de r que estaria entre B e Q, mas tal ponto só poderia ser P ( o ponto
←→
de intersecção da reta r com a reta QB). Mas então terı́amos P entre B e Q,
o que não pode ocorrer pois B está entre P e Q (e o axioma II.3 completa o
argumento).
Agora, usando repetidas vezes a parte inicial do teorema 9 (já demonstrada)
temos:
(a) A e Q estão no mesmo lado de r pois, A e B estão no mesmo lado de r
(hipótese) e B e Q estão no mesmo lado de r (acabamos de demonstrar).
(b) Q e C estão no mesmo lado de r pois, A e C estão no mesmo lado de r
(hipótese) e A e Q estão no mesmo lado de r (item (a)).
(c) Finalmente, B e C estão no mesmo lado de r, pois Q e C estão no mesmo
lado de r (item (b)) e Q e B estão no mesmo lado de r (provado acima).
(Fazer (ii) e (iii), no caso colinear, como exercı́cio).
Definição 8: Seja r uma reta e seja P um ponto não incidente a r. O semi-plano
definido por r que contém o ponto P é o conjunto dos pontos Q tais que P e
Q estão no mesmo lado de r. (Notação: Sr.P , ou SP caso esteja claro que o
semi-plano é definido por r).
Teorema 10
Toda reta define exatamente dois semi-planos disjuntos.
19
Obs.: Este teorema nos diz que, dada uma reta r qualquer, todo ponto ou
está em r, ou está em um (e somente um) dos semi-planos definidos por r.
Dem.:
Seja r uma reta qualquer. Vamos mostrar que existem dois semi-planos definidos por r que são distintos e depois mostraremos que não há mais do que
estes dois semi-planos.
A
r
P
B
Seja A um ponto não incidente a r (teorema 3). Então SA é não vazio (A
está neste semi-plano).
Seja P um ponto de r (axioma I.3), e seja P um ponto tal que P entre A e
B (axioma II.2).
Os pontos A e B estão em lados opostos de r (definição), ou seja, B não
está em SA .
Segue-se que SB (não vazio, pois B está neste semi-plano) é distinto de SA .
Vamos mostrar agora que não há mais semi-planos definidos por r.
Seja então C um ponto qualquer não incidente a r.
Suponha que C não esteja em SA . Não estar em SA significa que C e A
estão em lados opostos de r. Pelo teorema 9, B e C estão no mesmo lado de r.
Logo, C está em SB .
Note que, se C for B então C está em SB .
Vamos mostrar agora que SA ∩ SB = φ.
Seja M um ponto qualquer de SA . Então M e A estão no mesmo lado de
r. Mas, A eB estão em lados opostos de r, pelo teorema 9, segue-se que M e B
estão em lados opostos de r, ou seja, M não está em SB .
Concluı́mos que SA ∩ SB = φ.
Corolário:
Seja r uma reta. Todo ponto P de r divide esta reta em duas semi-retas
20
cujo único ponto comum é aquele ponto (P ).
r
Q
B
A C
P C
s
Dem.:
Seja P um ponto de r. Seja A um ponto distinto de P em r (axioma I.3), e
seja B tal que P está entre A e B (axioma II.2).
Note que B também está em r.
Seja Q um ponto não incidente a r (teorema 3). Seja s a reta que passa por
P e Q (axiomas I.1 e I.2). A reta s é distinta da reta r.
−→ −−→
Considere as semi-retas P A e P B, ambas contidas em r. O ponto P pertence
a essas duas semi-retas (da definição de semi-retas).
Vamos mostrar que qualquer ponto de r distinto de P pertence a uma, e
−→
−−→
somente uma, das semi-retas P A ou P B.
Os pontos A e B estão em lados opostos de s, pois s contém um ponto do
segmento AB (o ponto P , que é o ponto de intersecção de r com s).
Considere os semi-planos SA e SB , respectivamente definidos por s contendo
os pontos A e B.
Como B não está em SA , segue-se, pelo teorema 10, que SA
T
SB = φ.
−→
Seja C um ponto qualquer da semi-reta P A distinto de P . Se C for A, então
C está em SA . Se C for distinto de A, então ou C está entre P e A ou A está
entre C e P . Em qualquer um destes casos, C e A estão no mesmo lado de s
pois, caso contrário, existiria um ponto de s entre C e A, mas este ponto só
←→
poderia ser P (o ponto de intersecção da reta s com a reta CA, ou seja, a reta
r). Mas isto não pode ocorrer, pelo que foi estabelecido anteriormente (ou seja,
C ∗ A ∗ P ou A ∗ C ∗ P ), e pelo axioma II.3.
Segue-se, portanto, que C está no semi-plano SA .
−→
Concluı́mos que, se C 6= P está em P A, então C está em SA .
−−→
Analogamente, se C 6= P está em P B então C está em SB .
Como SA
T
−→ T −−→
SB = φ, segue-se que P A P B = P .
21
Definição 9: Sejam A, P e B três pontos tais que P está entre A e B. As
−→ −−→
semi-retas P A e P B são ditas semi-retas opostas.
Obs.: Pelo corolário acima, temos que as semi-retas opostas estão contidas
na mesma reta, têm a mesma origem, e esta origem é seu único ponto comum.
Teorema 11
Todo segmento de reta contém infinitos pontos.
Demonstração esboço:
Seja AB um segmento de reta. Pelo teorema 6, existe um ponto A1 talque
A1 está entre A e B.
r
B
A2
A1
A
O ponto A1 é distinto de A e B (axioma II.1). Pelo teorema 6, existe um
ponto A2 entre A e A1 .
O ponto A2 é distinto de A e A1 (axioma II.1).
O ponto A1 divide a reta r, que passa por A e B, em duas semi-retas opos−−→ −−→
−−→
tas (corolário), as semi-retas A1 A e A1 B. O ponto A2 está na semi-reta A1 A
(definição- A ∗ A2 ∗ A1 ). Segue-se que A2 é distinto de B.
Seja agora A3 um ponto que está entre A e A2 (teorema 6). Então o ponto
−−→
−−−→
−−−→
A3 está na semi-reta A2 A, oposta à semi-reta A2 A1 . Mas B está em A2 A1 .
Segue-se que A3 é distinto de A, A1 , A2 e B.
E assim sucessivamente, provamos que há infinitos pontos em AB.
Axiomas de Congruência
Termo primitivo: congruência (“congruente a”).
Estudaremos congruência entre segmentos, ângulos e depois, figuras em geral.
Axiomas de congruência entre segmentos
Axioma III.1
22
Sejam AB um segmento, e uma semi-reta de origem C. Então existe um
ponto D, distinto de C, nessa semi-reta, tal que AB é congruente a CD. Simbolicamente escrevemos: AB ≡ CD.
Obs.: Até o momento, não sabemos se AB ≡ CD implica CD ≡ AB (simetria),
nem sabemos se AB ≡ BA. No axioma III.1, não está garantido que D é único.
Axioma III.2
Se AB é congruente a EF , e se CD é congruente a EF , então AB é congruente a CD. Simbolicamente: AB ≡ EF e CD ≡ EF ⇒ AB ≡ CD.
Obs.: Com este axioma, podemos provar as propriedades reflexiva, simétrica e
transitiva da congruência entre segmentos:
Reflexiva: Seja AB um segmento qualquer, e seja P um ponto qualquer. Seja
uma semi-reta com origem P . Pelo Axioma III.1, existe um ponto Q nesta
semi-reta tal que AB ≡ P Q. Então, de AB ≡ P Q e AB ≡ EF temos, pelo
Axioma III.2, que AB ≡ AB.
Simetria: Seja AB ≡ CD. De CD ≡ CD e AB ≡ CD temos, pelo Axioma III.2,
que CD ≡ AB.
Transitividade: Sejam AB ≡ CD e CD ≡ EF . Segue, por simetria, que
CD ≡ AB. Sendo CD ≡ EF , obtemos, pelo Axioma III.2, AB ≡ EF .
Portanto, a partir de agora, podemos falar simplesmente em dois segmentos
congruentes (não importando a ordem).
Axioma III.3
Sejam A, B e C pontos tais que B está entre A e C. Sejam A0 , B 0 e C 0 tais
que B 0 está entre A0 e C 0 . Se AB ≡ A0 B 0 e BC ≡ B 0 C 0 , então AC ≡ A0 C 0 .
B
A
C
A’
B’
C’
Obs.: Sejam A, B e C três pontos colineares. AB e BC têm um único ponto
comum se, e somente se, B estiver entre A e C. (Prove!)
Exercı́cios
1. Com as hipóteses do Axioma III.3, e supondo ainda que D seja tal que C
está entre B e D, e D 0 seja tal que C 0 está entre B 0 e D0 e CD ≡ C 0 D0 ,
prove que AD ≡ A0 D0 .
−−→ −−→
2. Se BA e BC são semi-retas opostas, então a reta r que passa por A, B e
−−→ −−→
C é BA ∪ AB.
23
Definição 10: Duas semi-retas distintas, de mesma origem e não opostas definem um ângulo.
−→ −−→
Em outras palavras, se OA e OBsão distintas, e A, O e B não são colineares,
−→ −−→
então OA e OB definem um ângulo. Notação: ∠AOB (ou ∠BOA).
−→ −−→
A origem comum O das semi-retas OA e OBé chamada vértice do ângulo
−→ −−→
∠AOB. As semi-retas OA e OB são chamadas lados do ângulo ∠AOB.
B
O
A
Definição 11: Um ponto P é dito ponto interior ao ângulo ∠AOB, se P e A
estão no mesmo lado da reta OA.
Pergunta: O interior de um ângulo é não vazio?
−→ −−→
Obs.: Seja ∠AOB um ângulo. Sejam M e N pontos nos lados OA e OB res−→
−−→ −−→
−−→
pectivamente, distintos de A e de B. Então, OA = OM e OB = ON (veja
exercı́cio 7, item (b), da Lista 2). Portanto, ∠AOB é o mesmo que ∠AON , ou
ainda, ∠M OB (prove!).
Pergunta: Existem pontos interiores a um ângulo ∠AOB? A resposta é SIM.
Teorema 12:
←→
Seja ∠AOB um ângulo. Então os pontos da reta AB são pontos interiores
no ângulo ∠AOB se, e somente se, esses pontos estiverem entre A e B.
Dem.:
B
P
O
A
Q
Seja P um ponto que está entre A e B (Teorema 6). Então P e B estão
no mesmo lado da reta OA pois, caso contrário, haveria um ponto da reta OA
entre P e B, mas tal ponto só poderia ser o ponto A (o ponto de interseção das
retas OA e P B que é a reta AB). Mas isso não ocorre pois P está entre A e B
(pelo Axioma II.3).
Analogamente, prova-se que P e A estão no mesmo lado da reta OB. Logo P
é ponto interior, e portanto existem pontos interiores ao ângulo ∠AOB. Como
∠AOB é um ângulo qualquer, todo ângulo possui pontos interiores.
24
←→
Seja agora Q um ponto da reta AB que não está no segmento AB. Então,
uma e somente uma, das possibilidades ocorrerá:
(i) Q ∗ A ∗ B, ou
(ii) Q ∗ B ∗ A.
←→
Se (i) ocorre, então os pontos Q e B estão em lados opostos da reta OA (pois A,
←→
que é ponto da reta OA, está entre Q e B), e portanto Q não é ponto interior
ao ângulo ∠AOB (da negação da Definição de ponto interior a um ângulo). O
caso (ii) é análogo.
Portanto, existem pontos que não são interiores a um ângulo. Acabamos
←→
de provar que, se um ponto da reta AB não está no segmento AB, então ele é
ponto interior. Da contrapositiva desta afirmação, obtemos que se um ponto da
←→
reta AB é ponto interior, então ele está no segmento AB.
Definição 12: Seja ∠AOB um ângulo. O conjunto dos pontos interiores a esse
ângulo é chamado interior do ângulo ∠AOB. Um ponto que não pertence aos
lados nem está no interior de ∠AOB é chamado ponto exterior a ∠AOB. O
conjunto dos pontos exteriores a ∠AOB é chamado exterior do ângulo ∠AOB.
Teorema 13:
Seja ∠AOB um ângulo. Então:
−→
−−→
(i) Toda semi-reta de origem O e distinta de OA e de OB está toda no interior,
ou toda no exterior (exceto o ponto O) do ângulo ∠AOB.
(ii) Se todos os pontos de uma semi-reta de origem O, exceto o próprio ponto
O, estiverem no interior de ∠AOB, então essa semi-reta intercepta o segemento
AB em um ponto entre A e B (Teorema da Barra Transversal).
−−→
(iii) Se P é um ponto interior a ∠AOB, então todos os pontos da semi-reta OP ,
exceto O, são pontos interiores a ∠AOB, e todos os pontos da semi-reta oposta
−−→
a OP , exceto O, são pontos exteriores a ∠AOB.
Dem.:
B
Q
O
P
P
A
−→
−−→
(i) Seja uma semi-reta com origem O, distinta de OA e de OB. Então, nenhum
−→ −−→
ponto desta semi-reta exceto O, está nos lados OA e OB de ∠AOB. Seja P
um ponto dessa semi-reta distinto de O. Então P é ponto interior ou é ponto
exterior a ∠AOB.
25
−−→
Se P é ponto interior a ∠AOB, então seja Q um ponto da semi-reta OP ,
distinto de O. Se Q for P , então Q é ponto interior. Se Q for distinto de P ,
então uma, e somente uma das possibilidades ocorrerá:
(a) O ∗ Q ∗ P , ou
(b) O ∗ P ∗ Q.
Se (a) ocorre, então Q e P estão no mesmo lado da reta OA e estão no
mesmo lado da reta OB pois, caso contrário, existiria um ponto entre Q e P
que estaria na reta OB. Mas tal ponto só poderia ser o ponto O (o ponto de
interseção das retas OP , OA e OB). Mas isso não ocorre por (a).
Analogamente prova-se que se (b) ocorre, então Q e P estão no mesmo lado
da reta OA e estão no mesmo lado da reta OB. Mas P é ponto interior a
∠AOB. Isto significa que P e A estão no mesmo lado da reta OB, e P e B
estão no mesmo lado da reta OA.
Concluı́mos, pelo Teorema 9, que Q e A estão no mesmo lado da reta OB e
Q e B estão no mesmo lado da reta OA, ou seja, Q é ponto interior a ∠AOB.
Seja agora P um ponto da semi-reta com origem O exterior a ∠AOB. Então,
P e B estão em lados opostos da reta OA ou P e A estão em lados opostos da
reta OB ( ou os dois!)
Suponhamos que P e B estejam em lados opostos da reta OA (o outro caso,
isto é, P e A em lados opostos da reta OB, é análogo), e seja Q um ponto de
OP , distinto de O.
Se Q for P , então Q é ponto exterior a ∠AOB. Se Q for distinto de P , então
uma, e somente uma das situações ocorrerá:
(a) O ∗ Q ∗ P
(b) O ∗ P ∗ Q
No caso (a), P e Q estão no mesmo lado da reta OA pois, caso contrário,
existiria um ponto da reta OA entre P e Q, mas tal ponto só poderia ser o ponto
O (o ponto de interseção da reta OA com a reta P Q). Mas então terı́amos
P ∗ O ∗ Q, o que não ocorre (por (a) e pelo Axioma II.3).
Pelo Teorema 9, Q e B estão em lados opostas da reta OA. Logo, Q é ponto
−−→
exterior a ∠AOB. Portanto, todos os pontos da semi-reta OP , exceto O, são
pontos exteriores a ∠AOB.
O caso (b) é análogo.
(ii)
Q
B
P
O
S
D
A
Considere uma semi-reta com origem O tal que todos os seus pontos, exceto
O, sejam pontos interiores a ∠AOB. Seja P um ponto distinto de O dessa
−−→
semi-reta (que é portanto denotada por OP ).
−→
Seja Q um ponto da semi-reta oposta a semi-reta a semi-reta OA, distinto
de O. Então o ponto O está entre A e Q.
26
−−→
Seja S um ponto distinto de O na semi-reta oposta à semi-reta OP . Então
O está entre S e P .
Segue-se que S e P estão em lados opostos da reta OB. Por outro lado,
como P é ponto interior a ∠AOB, temos que P e A estão no mesmo ladoda
reta OB. Pelo Teorema 9, temos que S e A estão em lados opostos da reta OB.
Isto significa que existe um ponto D entre S e A que está na reta OB.
Vamos mostrar que O está entre D e B.
Os pontos S e P estão em lados opostos da reta OA, pois O está entre S e P .
Os pontos S e D estão no mesmo lado da reta OA pois, caso contrário, existiria
um ponto entre S e D que estaria na reta OA. Mas tal ponto só poderia ser A
(o ponto de interseção das retas OA e SD), e, então, terı́amos S ∗ A ∗ D, o que
não ocorre (porque já temos S ∗ D ∗ A, e pelo Axioma II.3).
Pelo Teorema 9, os pontos P e D estão em lados opostos da reta OA. Mas P
e B estão no mesmo lado da reta OA (P é ponto interior - hipótese). Segue-se,
pelo Teorema 9, que os pontos B e D estão em lados opostos da reta OA. Isto
significa que O está entre B e D.
Segue-se que B e D estão em lados opostos da reta OP .
Agora, os pontos A e D estão no mesmo lado da reta OP pois, caso contrário,
existiria um ponto entre A e D que estaria na reta OP . Mas tal ponto só pode
ser S (o ponto de interseção da reta OP com a reta AD). Então terı́amos
D ∗ S ∗ A, o que não ocorre (pois S ∗ D ∗ A e Axioma II.3).
Pelo Teorema 9, concluı́mos que A e B estão em lados opostos da reta OP .
Isto significa que existe um ponto N entre A e B que está na reta OP . Pelo
item (i) deste Teorema, o ponto N é ponto interior a ∠AOB. O ponto N não
−−→
está na semi-reta oposta a semi-reta OP , pois caso contrário, ou N seria O ( o
que não ocorre, pois ele é ponto interior), ou terı́amos N ∗ O ∗ P . Mas N e P
estariam em lados opostos da reta OA e como P e B estão no mesmo lado da
reta OA, concluirı́amos, pelo Teorema 9, que N e B estariam em lados opostos
da reta OA, contradizendo o fato de N ser ponto interior a ∠AOB.
(iii) Foi demonstrado acima (veja com atenção a última parte de (ii)).
Exercı́cios propostos
1. Prove que se P e Q são pontos interiores a ∠AOB, então todos os pontos
do segmento P Q são pontos interiores a esse ãngulo.
2. Seja ∠AOB um ângulo e seja P um ponto do lado OA distinto de O.
Prove que existe uma reta passando por P que contém uma semi-reta com
origem P cujos pontos são exteriores a ∠AOB (exceto P ), e tal que sua
semi-reta oposta está no interior de ∠AOB (exceto P ).
3. Seja ∠AOB um ângulo. Prove que existe uma reta passando por O tal
que todos os seus pontos (exceto O) são exteriores a ∠AOB.
4. Seja ∠AOB um ângulo.
(a) Prove que existe uma reta tal que todos os seus pontos são exteriores
a ∠AOB.
(b) Prove que não existe uma reta passando por O tal que todos os seus
pontos (exceto O) são interiores a ∠AOB.
27
(c) Dar um exemplo de um modelo que é um contra-exemplo para o item
(b) (nesse caso, não devem valer alguns dos axiomas de ordem). Obs.: O
modelo deve ter infinitos pontos.
Axiomas de Congruência sobre Ângulos
Axioma III.4
−−→
Seja ∠AOB um ângulo e O0 A0 uma semi-reta. Então existe, em um dos
semi-planos definidos pela reta O 0 A0 , uma única semi-reta O 0 B 0 tal que o ângulo
∠AOB é congruente ao ângulo ∠A0 O0 B 0 . Além disso, todo ângulo é congruente
a si próprio (reflexividade).
Obs.: Notação: ∠AOB ≡ ∠A0 O0 B 0 .
Definição 13: Um triângulo fica definido por três pontos A, B e C não colineares, e pelos três segmentos de reta AB, BC e AC.
Notação: 4ABC (ou 4ACB, ou 4BAC, ou BCA, ou 4CAB, ou 4CBA).
Axioma III.5
Seja 4ABC e 4A0 B 0 C 0 dois triângulos tais que AB≡A0 B 0 , AC≡A0 C 0 e
∠BAC≡∠B 0 A0 C 0 . Então ∠ABC≡∠A0 B 0 C 0 .
C
A
C’
B
A’
B’
Obs.: Trocando a ordem das congruências de segmentos na hipótese, e mantendo
a congruência dos ângulos, obtemos diretamente do axioma que: ∠ACB≡∠A 0 C 0 B 0 .
Portanto, o axioma nos diz que, sendo válidas as hipóteses, os outrs dois
ângulos do triângulo serão congruentes.
Comentário: Vimos um axioma (III.3) que tratava da “aditividade”de segmentos:
A ∗ B ∗ C e A0 ∗ B 0 ∗ C 0
Se
, então AC≡A0 C 0 .
AB≡A0 B 0 e BC≡B 0 C 0 .
É possı́vel demonstrar o seguinte:
A ∗ B ∗ C e A0 ∗ B 0 ∗ C 0
Se
, então BC≡B 0 C 0 ? Não é possı́vel agora.
AB≡A0 B 0 e AC≡A0 C 0 .
Definição 14: Dois ângulos são ditos adjacentes se eles têm o mesmo vértice,
um lado comum, e os outrs dois lados estão, respectivamente, em semi-planos
distintos em relação à reta que contém o lado comum.
28
B
C
O
A
Definição 15: Dois ângulos são ditos adjacentes suplementares se eles forem
adjacentes e se os lados não comuns forem semi-retas opostas.
Ex.: Os ângulos ∠AOB e ∠BOC da figura abaixo são adjacentes suplementares
−→ −−→
(note que OA e OC são semi-retas opostas).
B
C
O
A
Obs.: Dizemos que cada um deles é suplemento do outro.
Definição 16: Um ângulo é dito reto se ele for congruente a um suplemento dele.
Obs.: (1) Todo ângulo ∠AOB possui dois suplementos: um obtido pela semi−→
−−→
−−→
reta oposta ao lado OA (e OB comum), e o outro pela semi-reta oposta a OB
−→
(e OA comum).
B
B
O
C
O
A
A
D
(2) Se ∠AOB é um ângulo reto e ∠BOC é seu suplemento tal que ∠AOB≡∠BOC,
então ainda não é possı́vel dizer que ∠BOC também é reto (pois não temos a
propriedade da simetria na congruência de ângulos).
B
C
O
A
(3) A definição de ângulo reto não implica na existência de um tal ângulo. Não
fica claro também que ângulo reto é de um único tipo.
29
B
C
B’
O
A
O’
C’
A’
Ainda não sabemos se ∠AOB≡∠A0 O0 B 0 .
Definição 17: Dois ângulos são ditos opostos pelo vértice se eles possuem o
mesmo vértice e os lados de um deles são respectivamente semi-retas opostas
aos lados do outro.
Ex.:
C
B
O
A
D
Definição 18: Um triângulo é dito isósceles se ele possui dois lados congruentes.
Obs.: Vimos que um triângulo é formado por três pontos não colineares e pelos três segmentos cujas extremidades são aqueles pontos. Os três pontos são
chamados vértices do triângulo, e os três segmentos são chamados lados do
triângulo.
Se 4ABC é um triângulo, então os três ângulos ∠A (ou ∠BAC), ∠B (ou
∠ABC) e ∠C (ou ∠ACB) são chamados ângulos internos, ou simplesmente,
ângulos do triângulo 4ABC.
Exercı́cio: Prove que existem triângulos isósceles.
Teorema 15:
Seja 4ABC um triângulo isósceles tal que AB≡AC. Então ∠B≡∠C e
∠C≡∠B.
Dem.: Considere os triângulos 4ABC e 4ACB (mesmo triângulo).
A
B
A
C
C
B
De AB≡AC, AC≡AB (simetria) e ∠BAC≡∠CAB (Axioma III.4). Temos,
pelo Axioma III.5, que ∠B≡∠C e ∠C≡∠B.
30
Definição 19: Um triângulo 4ABC é congruente a um triângulo 4A 0 B 0 C 0
(em notação: 4ABC≡4A0 B 0 C 0 ) se AB≡A0 B 0 , AC≡A0 C 0 , BC≡B 0 C 0 e, ainda,
∠A≡∠A0 , ∠B≡∠B 0 e ∠C≡∠C 0 .
Teorema 16: (Primeiro Caso de Congruência de Triangulos - LAL)
Sejam 4ABC e 4A0 B 0 C 0 dois triângulos. Se AB≡A0 B 0 , AC≡A0 C 0 e ∠A≡∠A0 ,
então 4ABC≡4A0 B 0 C 0 .
Dem.:
C
C’ D
A
B A’
B’
Pelo Axioma III.5, temos que ∠B≡∠B 0 e ∠C≡∠C 0 . Para provar, pela Definição 19, que 4ABC≡4A0 B 0 C 0 , falta provar que BC≡B 0 C 0 .
Suponha, por absurdo, que BC e B 0 C 0 não sejam congruentes. Então, pelo
−−−→
Axioma III.1, existe um ponto D na semi-reta B 0 C 0 tal que BC≡B 0 D, e, pela
hipótese do absurdo, D é distinto de C 0 . Observe que ou D está entre B 0 e C 0 ,
ou C 0 está entre B 0 e D. Em qualquer uma das situações, considere o triângulo
−−→ −−→
4A0 B 0 D. Note que as semi-retas A0 D e A0 C 0 são distintas, pois, caso contrário,
A0 , C 0 e D seriam colineares e, como C 0 , D e B 0 são colineares, terı́amos A0 , B 0
e C 0 colineares, o que não ocorre.
Agora, temos que AB≡A0 B 0 (hipótese), BC≡B 0 D (estabelecido acima pelo
Axioma III.2) e ∠B≡∠B 0 (concluı́do através do Axioma III.5). Pelo Axioma
III.5, obtemos que ∠≡∠B 0 A0 D. Mas tı́nhamos, por hipótese, que ∠A≡∠B 0 A0 C 0
−−→ −−→
(ou ∠A0 ). Observando que as semi-retas (distintas) A0 D e A0 C 0 estão em um
mesmo semi-plano em relação à reta A0 B 0 (pois C 0 e D estão no lado da reta
A0 B 0 - porquê?) chegamos a uma contradição com a unicidade da semi-reta
citada no Axioma III.4.
Logo, BC≡B 0 C 0 e, portanto, 4ABC≡4A0 B 0 C 0 .
Teorema 17: (Segundo Caso de Congruência de Triângulos - ALA)
Sejam 4ABC e 4A0 B 0 C 0 dois triângulos tais que AB≡A0 B 0 , ∠A≡∠A0 e
∠B≡∠B 0 . Então, 4ABC≡4A0 B 0 C 0 .
Dem.:
C
C’
D
A
B
A’
31
B’
Vamos provar que AC≡A0 C 0 . Se isso ocorrer, pelo Teorema 16, temos que
4ABC≡4A0 B 0 C 0 .
Suponha, por absurdo, que AC e A0 C 0 não sejam congruentes. Então, pelo
−−→
Axioma III.1, existe um ponto D, distinto de C 0 na semi-reta A0 C 0 , tal que
AC≡A0 D. Então temos:

 AC≡A0 D(estabelecido acima)
AB≡A0 B 0 (hipótese)

∠A≡∠B 0 A0 D(ou∠A)
Pelo Teorema 16, temos que 4ABC≡4A0 B 0 D. Segue-se, da Definição de
congruência de triângulos, que ∠ABC(ou∠B)≡∠A0 B 0 D. Mas, por hipótese,
∠ABC≡∠A0 B 0 C 0 . Chegamos a uma contradição com o Axioma III.4.
Exercı́cio: Sejam A, B e C tais que A ∗ B ∗ C, e seja B 0 um ponto na semi-reta
−−→
A0 C 0 . Se AC≡A0 C 0 e AB≡A0 B 0 . Mostre que B 0 está entre A0 e C 0 .
Teorema 18:
Sejam ∠AOB e ∠BOC, e ∠A0 O0 B 0 e ∠B 0 O0 C 0 , respectivamente dois pares
de ângulos adjacentes suplementares. Se ∠AOB≡∠A0 O0 B 0 , então ∠BOC≡∠B 0 O0 C 0
(ou seja, ao final teremos que suplementos de ângulos congruentes são congruentes).
Dem.:
B
C
O
B’
A
C’
O’
A’
Suponhamos, sem perda de generalidade, que OA ≡ O 0 A0 , OB ≡ O 0 B 0 e
OC ≡ O 0 C 0 .
Então, como por hipótese ∠AOB ≡ ∠A0 O0 B 0 , teremos, pelo teorema 16 (1o
caso de congruência de triângulos), que:
∠AOB ≡ ∠A0 O0 B 0
Segue-se, pela definição de congruência de triângulos que:
AB ≡ A0 B 0 e ∠BAO ≡ ∠B 0 A0 O0 .
Observe agora que, como OA ≡ O 0 A0 e OC ≡ O 0 C 0 , teremos pelo axioma
III.3, a congruência AC ≡ A0 C 0 . Então, de AB ≡ A0 B 0 , AC ≡ A0 C 0 e ∠BAO ≡
∠B 0 A0 O0 (que é o mesmo que ∠BAC ≡ ∠B 0 A0 C 0 )temos, pelo teorema 16 (1o
caso), que:
4BAC ≡ 4B 0 A0 C 0 .
32
Segue-se, pela definição de congruência de triângulos, que BC ≡ B 0 C 0 e
∠BCO ≡ ∠B 0 C 0 O0 .
Agora, de BC ≡ B 0 C 0 , ∠BCO ≡ B 0 C 0 O0 e CO ≡ C 0 O0 temos, pelo teorema
16, que:
4BCO ≡ 4B 0 C 0 O0 .
Concluı́mos daı́ que ∠BOC ≡ ∠B 0 O0 C 0 .
Este teorema resulta em duas conseqüências importantes:
Teorema 19:
Ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Dem.:
−→ −−→
Sejam ∠AOB e ∠COD ângulos opostos pelo vértice, com OA e OC semi−−→ −−→
retas opostas, e OB e OD semi-retas opostas.
A
D
O
B
C
Vamos mostrar que ∠AOB ≡ ∠COD e que ∠COD ≡ ∠AOB.
Os ângulos ∠AOB e ∠AOD são adjacentes suplementares, e ∠AOD e ∠COD
também são adjacentes suplementares. Pelo teorema 18, e como ∠AOD ≡
∠AOD (axioma III.4), temos que ∠AOB ≡ ∠COD e também que ∠COD ≡
∠AOB.
Observações:
1. Segue-se que ∠AOD ≡ ∠BOC e ∠BOC∠AOD.
2. Vimos que todo ângulo possui dois ângulos adjacentes suplementares, e
agora estamos
vendo que tais ângulos são congruentes.
Teorema 20:
Existem ângulos retos.
Dem.:
−→
Seja OA uma semi-reta qualquer e seja B um ponto não incidente à reta
←→
OA.
33
−−→
←→
Seja OD a semi-reta do semi-plano definido pela reta OA que não contém o
ponto B, tal que ∠AOB ≡ ∠AOD (axioma III.4).
B
A
O
D
Suponhamos, sem perda de generalidade, que OB ≡ OD. Consideremos
então o segmento BD. Como B e D estão em semi-planos distintos em relação
←→
←→
à reta OA, temos que B e D estão em lados opostos da reta OA. Isto significa
←→
que existe um ponto C, entre B e D, que está na reta OA.
Há então três possibilidades:
(i) C é o ponto O;
−→
(ii) C está em OA e é distinto de O;
−→
(iii) C está na semi-reta oposta à semi-reta OA e é distinto de O.
Se (i) ocorre, então:
B
A
O
C
D
−−→ −−→
as semi-retas CB e CD são opostas e como, por hipótese, ∠AOB ≡ ∠AOD (ou
seja, ∠ACB ≡ ∠ACD) os ângulos ∠ACB e ∠ACD sendo adjacentes suplementares, temos que ∠AOB é reto (definição de ângulo reto).
−→
(ii) C 6= O e C está em OA:
34
B
O
C
A
D
De OB ≡ OD, ∠COB ≡ ∠COD e OC ≡ OC temos, pelo teorema 16
(1o caso de congruência de triângulos), que os triângulos 4COB ≡ ∆COD.
Conclui-se daı́ que ∠BCO ≡ ∠DCO. Como C está entre B e D temos que
−−→ −−→
CB e CD são semi-retas opostas. Segue-se que ∠BCO e ∠DCO são adjacentes
suplementares. Concluı́mos então, pela definição, que ∠BCO é reto.
−→
(iii) C 6= O e C está na semi-reta oposta à semi-reta OA:
B
C
O
A
D
Neste caso, como ∠COB e ∠AOB são adjacentes suplementares, ∠COD e
∠AOD também são adjacentes suplementares e, além disso, ∠AOB ≡ ∠AOD,
teremos pelo teorema 18, que ∠COB ≡ ∠COD.
Segue-se então, de OB ≡ OD e OCOC que, pelo teorema 16, 4COB ≡
4COD.
Concluı́mos daı́ que ∠BCO ≡ ∠DCO. Como C está entre B e D, temos que
−−→ −−→
CB e CD são semi-retas opostas. Segue-se que ∠BCO e ∠DCO são adjacentes
suplementares.
Concluı́mos então, pela definição, que ∠BCO é reto.
Exercı́cio:
Prove, admitindo a simetria e transitividade na congruência entre ângulos,
que se um ângulo é congruente a um ângulo reto, então ele também é ângulo
reto.
Teorema 21:
−−→
−→ −−→ −−→
Sejam OA, OB e OC três semi-retas distintas com origem O, e sejam O0 A0 ,
−−0−→0 −−0−→0
O B e O C três semi-retas distintas com origem O 0 . Suponha que uma das
situações ocorra:
−−→ −−→
←→ −−−→
(a) OB e OC estão no mesmo semi-plano definido pela reta OA, e O0 B 0 e
−−0−→0
O C estão no mesmo semi-plano definido pela reta overlef trightarrowO 0 A0 .
35
−−→ −−→
←→ −−−→
(b) OB e OC estão em semi-planos distintos, definidos pela reta OA, e O0 B 0
−−−→
←−→
e O0 C 0 estão em semi-planos distintos, definidos pela reta O0 A0 .
Se ∠BOA ≡ ∠B 0 O0 A0 e ∠COA ≡ ∠C 0 O0 A0 , então ∠BOC ≡ ∠B 0 O0 C 0 .
Análise:
(a)
C’
C
B’
B
O
O’
A
A’
(b)
B’
B
A
O
A’
O’
C
C’
Dem.:
Vamos demonstrar inicialmente o caso (a).
C
D
B
C’
D’
A
B’
A’
O
O’
−−→
−−→
Neste caso, ou OC está no interior do ângulo ∠AOB, ou OB está no interior
do ângulo ∠AOC.
Consideremos este último caso (o outro caso é análogo).
Suponhamos, sem perda de generalidade, que OA ≡ O 0 A0 e OC ≡ O 0 C 0 .
Segue-se, pelo teorema 13 parte (ii) (teorema da barra transversal), que a
−−→
semi-reta OB intercepta o segmento AC em um ponto D (entre A e C).
−−−→
Seja D 0 o ponto da semi-reta O0 B 0 tal que OD ≡ O 0 D0 (axioma III.1).
De OA ≡ O 0 A0 , ∠AOC ≡ ∠A0 O0 C 0 e OC ≡ O 0 C 0 temos, pelo teorema 16,
que 4AOC ≡ 4A0 O0 C 0 . Segue-se daı́ que AC ≡ A0 C 0 , ∠OAC ≡ ∠O 0 A0 C 0 , e
∠OCA ≡ ∠O 0 C 0 A0 .
De OA ≡ O 0 A0 , ∠AOD ≡ ∠A0 O0 D0 e OD ≡ O 0 D0 temos, pelo teorema 16,
que AD ≡ A0 D0 e ∠OAD ≡ ∠O 0 A0 D0 .
Observando que ∠OAC é o mesmo que ∠OAD e, do que foi concluı́do acima,
que ∠OAC ≡ ∠O 0 A0 C 0 e ∠OAD ≡ ∠O 0 A0 D0 , temos, pelo axioma III.4, que as
−−→ −−−→
semi-retas A0 C 0 e A0 D0 são a mesma semi-reta.
36
Como AC ≡ A0 C 0 , AD ≡ A0 D0 e como D está entre A e C segue-se, de um
exercı́cio da aula anterior, que D 0 está entre A0 e C 0 .
Segue-se de outro exercı́cio (subtratividade para segmentos) que CD ≡ C 0 D0 .
Agora, como OC ≡ O 0 C 0 , ∠OCD ≡ ∠O 0 C 0 D0 e CD ≡ C 0 D0 temos, pelo
teorema 16, que 4OCD ≡ 4O 0 C 0 D0 . Segue-se daı́ que ∠COD ≡ ∠C 0 O0 D0 , ou
seja, ∠COB ≡ ∠C 0 O0 B 0 .
O caso (b) pode ser provado a partir do caso (a), observando que:
C’
C
A
D
O
A’
D’
B
O’
B’
(Exercı́cio)
Teorema 22:
−−→
Sejam ∠AOB e ∠A0 O0 B 0 tais que ∠AOB ≡ ∠A0 O0 B 0 . Seja OC uma semi−−0−→0
reta no interior de ∠AOB. Então existe uma única semi-reta O C no interior
de ∠A0 O0 B 0 tal que ∠AOC ≡ ∠A0 O0 C 0 e ∠BOC ≡ ∠B 0 O0 C 0 .
B’
B
C’
C
O
O’
A
A’
Dem.:
−−−→
Pelo axioma III.4 existe uma única semi-reta O0 C 0 , no mesmo semi-plano,
←−→
−−−→
definido pela reta O0 A0 , da semi-reta O0 B 0 tal que ∠AOC ≡ ∠A0 O0 C 0 . Devemos
−−0−→0
provar que O C está no interior de ∠A0 O0 B 0 .
−−−→
No teorema 21 vimos que existe um ponto da semi-reta O0 C 0 que está entre
A0 e B 0 . Segue-se, do teorema 12, que aquele ponto é interior ao ângulo ∠A0 O0 B 0 .
Ainda do teorema 21, temos que ∠BOC ≡ ∠B 0 O0 C 0 .
Teorema 23:
←→
Sejam Z1 e Z2 dois pontos em semi-retas distintas definidos pela reta XY
tais que XZ1 ≡ XZ2 e Y Z1 ≡ Y Z2 . Então ∠XY Z1 ≡ ∠XY Z2 (e ∠XY Z2 ≡
∠XY Z1 ) e ∠Y XZ1 ≡ ∠Y XZ2 (e ∠Y XZ2 ≡ ∠Y XZ1 ).
37
X
Z1
Z2
Y
Dem.:
Suponha que X, Z1 e Z2 não sejam colineares, nem Y , Z1 e Z2 .
O triângulo 4XZ1 Z2 é isósceles. Pelo teorema 15 temos ∠XZ1 Z2 ≡ ∠XZ2 Z1
(e ∠Y Z2 Z1 ≡ ∠Y Z1 Z2 ).
Da mesma forma temos que 4Y Z1 Z2 é isósceles, e portanto ∠Y Z1 Z2 ≡
∠Y Z2 Z1 (e ∠Y Z2 Z1 ≡ ∠Y Z1 Z2 ).
Pelo teorema 21 temos que angleXZ1 Y ≡ ∠XZ2 Y (e, como conseqüência
das relações simétricas da congruência, neste caso, ∠XZ2 Y ≡ ∠XZ1 Y ).
Se X, Z1 e Z2 são colineares:
Z1
X
Z2
Y
Então Y , Z1 e Z2 não serão colineares (porquê?) e então trabalhamos apenas
com 4Y Z1 Z2 e teremos ∠Y Z1 X ≡ ∠Y Z2 X (e ∠Y Z2 X ≡ ∠Y Z1 X).
Segue-se, do teorema 16 (1o caso de congruência de triângulos) que 4XY Z1 ≡
4XY Z2 (aqui também temos 4XY Z2 ≡ 4XY Z1 ). Concluı́mos daı́ que ∠XY Z1 ≡
∠XY Z2 (e ∠XY Z2 ≡ ∠XY Z1 ), e também que ∠Y XZ1 ≡ ∠Y XZ2 (e ∠Y XZ2 ≡
∠Y XZ1 ).
Teorema 24 - (3o caso de congruência de triângulos - LLL)
Sejam 4ABC e 4A0 B 0 C 0 dois triângulos tais que AB ≡ A0 B 0 , AC ≡ A0 C 0
e BC ≡ B 0 C 0 . Então 4ABC ≡ 4A0 B 0 C 0 (e 4A0 B 0 C 0 ≡ 4ABC).
Dem.:
38
C
B
C’
B’
B0
B"
A’
A
−−−→ −−−→
Sejam A0 B0 e A0 B 00 as semi-retas em semi-planos distintos em relação à reta
←−
→
A0 C 0 , tais que ∠BAC ≡ ∠B0 A0 C 0 e ∠BAC ≡ ∠B 00 A0 C 0 (axioma III.4), com
B0 e B 0 no mesmo semi-plano.
Suponha, sem perda de generalidade, que AB ≡ A0 B0 e que AB ≡ A0 B 00 .
De AB ≡ A0 B0 , ∠BAC ≡ ∠B0 A0 C 0 e AC ≡ A0 C 0 , temos pelo teorema 16,
que:
4ABC ≡ 4A0 B0 C 0 .
Segue-se que BC ≡ B0 C 0 .
Analogamente teremos 4ABC ≡ 4A0 B 00 C 0 .
Segue-se que BC ≡ B 00 C 0 . Concluı́mos, do axioma III.2, que B0 C 0 ≡ B 00 C 0 .
Também, de AB ≡ A0 B0 e AB ≡ A0 B 00 , temos que A0 B0 ≡ A0 B 00 . Do
teorema 23, temos que,
∠B 00 A0 C 0 ≡ ∠B0 A0 C 0 .
Por outro lado, das hipóteses AB ≡ A0 B 0 e BC ≡ B 0 C 0 , obtemos que
A0 B 0 ≡ A0 B 00 e B 0 C 0 ≡ B 00 C 0 .
Pelo teorema 23 temos que ∠B 00 A0 C 0 e ∠B 0 A0 C 0 . Concluı́mos então que as
−−−→ −−−→
semi-retas A0 B0 e A0 B 0 coincidem (axioma III.4), e portanto B0 = B 0 .
Segue-se que 4ABC ≡ 4A0 B 0 C 0 .
A prova de que 4A0 B 0 C 0 ≡ 4ABC é a mesma ”trocando-se as figuras”.
Teorema 25:
Sejam ∠A0 O0 C 0 , ∠A00 O00 C 00 e ∠AOC tais que ∠AOC ≡ ∠A0 O0 C 0 e ∠AOC ≡
∠A00 O00 C 00 . Então ∠A0 O0 C 0 ≡ ∠A00 O00 C 00 .
Dem.:
C
C’
A"
A’
A
O
C"
O’
39
O"
Suponha, sem perda de generalidade, que OA ≡ O 0 A0 e OA ≡ O 00 A00 , e que
OC ≡ O 0 C 0 e OC ≡ O 00 C 00 .
Então de ∠AOC ≡ ∠A0 O0 C 0 temos, pelo teorema 16, que 4AOC ≡ 4A0 O0 C 0 .
Segue-se que AC ≡ A0 C 0 .
Agora, de ∠AOC ≡ ∠A00 O00 C 00 temos, pelo teorema 16, que 4AOC ≡
4A00 O00 C 00 . Segue-se que AC ≡ A00 C 00 .
Da simetria e transitividade na congrência de segmentos, obtemos que O 0 A0 ≡
O00 A00 , OC ≡ O 00 C 00 e A0 C 0 ≡ A00 C 00 . Pelo teorema 24, concluı́mos que 4A0 O0 C 0 ≡
4A00 O00 C 00 e 4A00 O00 C 00 ≡ 4A0 O0 C 0 ).Segue-se daı́ que ∠A0 O0 C 0 ≡ ∠A00 O00 C 00
(e ∠A00 O00 C 00 ≡ ∠A0 O0 C 0 .
Observação: Suponha que ∠AOB ≡ ∠A0 O0 B 0 . De ∠AOB ≡ ∠AOB (axioma II.4) e do teorema 25, obtemos ∠A0 O0 B 0 ≡ ∠AOB (simetria).
Agora suponha ∠ABC ≡ ∠DEF , e que ∠DEF ≡ ∠GHI. Da simetria
obtemos, ∠DEF ≡ ∠ABC e ∠DEF ≡ ∠GHI nos dá, pelo teorema 25,
∠ABC ≡ ∠GHI (transitividade).
A partir de agora podemos falar em ângulos congruentes e também em
triângulos congruentes.
Teorema 26
−−−→
Sejam ∠AOB e ∠A0 O0 B 0 dois ângulos. Seja O0 B 0 a única semi-reta, no
−−−→
mesmo semi-plano da semi-reta O0 D0 , tal que ∠A0 O0 B 0 ≡ ∠AOB.
−−→
−−→
Seja ainda OD a única semi-reta, no mesmo semi-plano da semi-reta OB,
tal que ∠AOB ≡ ∠A0 O0 D0 .
−−−→
−−→
Se O0 B 0 está no interior de ∠A0 O0 D0 , então OD está no exterior de ∠AOB,
e reciprocamente.
D’
D
B’
B
O
O’
A
A’
Obs: Se a situação do enunciado do teorema acima ocorre, diremos que o
ângulo ∠AOB é menor do que o ângulo ∠A0 O0 D0 (ou que ∠A0 O0 B 0 é menor
menor do que ∠AOD), e escrevemos:
∠AOB < ∠A0 O0 D0 .
Ou que ∠A0 O0 D0 é maior do que ∠AOB,
∠A0 O0 D0 > ∠AOB.
Dados dois ângulos α e β uma, e somente uma, das situações poderá ocorrer:
α < β, α = β, β < α
40
Nesta relação de menor que (ou maior que) vale a transitividade:
Se α < β e β < γ, ou
se α < β e β ≡ γ, ou
se α ≡ β e β < γ, então α < γ.
Dem:
−−→
Suponha que a semi-reta OD não esteja no exterior do ângulo ∠AOB. Então
−−→
−−→
−−→
ou OD coincide com OB, ou OD está no interior de ∠AOB.
−−→
−−→
Se OD coincide com OB, então ∠AOD ≡ ∠AOB.
D’
D
B’
B
O
O’
A
A’
Mas, por hipótese, ∠AOB ≡ ∠A0 O0 B 0 . Mas também, por hipótese, ∠A0 O0 B 0 <
∠A O0 D0 e ∠A0 O0 D0 ≡ ∠AOD.
Por transitividade, obtemos:
0
∠AOD < ∠AOD. Absurdo.
−−→
Se OD está no exterior de ∠AOB :
D’
B
E’
D
O
B’
O’
A
A’
−−−→
Então, pelo teorema 22, existe uma única semi-reta O0 E 0 , no interior de
∠A0 O0 B 0 , tal que ∠A0 O0 E 0 ≡ ∠AOD.
−−−→ −−−→
Mas, por hipótese, ∠A0 O0 D0 ≡ ∠AOD e, como O0 E 0 e O0 D0 são distintas
(porquê?), teremos uma contradição com o axioma II.4.
−−→
Logo, OD está no exterior de ∠AOB. A recı́proca é análoga.
−−−→ −−−→
−−−→
Obs: As semi-retas O0 E 0 e O0 D0 são distintas porque O0 E 0 está no interior
−−−→
−−−→
de ∠A0 O0 B 0 e O0 D0 está no exterior de ∠A0 O0 B 0 . Pois O0 B 0 está no interior de
∠A0 O0 D0 :
41
D’
B’
O’
A’
Teorema 27
Todos os ângulos retos são congruentes entre si.
Dem:
Sejam ∠AOB e ∠A0 O0 B 0 ângulos retos. Seja C um ponto na semi-reta
−−→
−→
oposta a OA, e seja C 0 um ponto na semi-reta oposta a O0 A0 .
B
D
C
O
B’
C’
A
O’
A’
Então, por definição (de ângulos retos), temos:
∠AOB ≡ ∠BOC e ∠A0 O0 B 0 ≡ ∠B 0 O0 C 0 .
Suponha, por absurdo, que ∠AOB e ∠A0 O0 B 0 não sejam congruentes.
−−→
−−→
←→
Seja OD a semi-reta no mesmo semi-plano de OB (em relação à reta OA)
−
−
→
tal que ∠AOD ≡ ∠a0 O0 B 0 (axioma III.4). Então ou OD está no interior de
−−→
∠AOB, ou OD está no exterior de ∠AOB.
−−→
Suponha que OD esteja no interior de ∠AOB.
Então, pelo teorema 18,
∠DOC ≡ ∠B 0 O0 C 0
Mas, por hipótese, ∠B 0 O0 C 0 ≡ ∠A0 O0 B 0 . Segue-se, por transitividade, que
∠DOC ≡ ∠A0 O0 B 0
(1)
−−→
−−→
Por outro lado, como OD está no interior de ∠AOB, então OB está no
interior de ∠DOC (por quê?). Segue-se que ∠DOC > ∠BOC. Mas, por
definição,
∠BOC ≡ ∠AOB.
−−→
Ainda, como OD está no interior de ∠AOB, temos
∠AOB > ∠AOD,
e como, por construção (e axioma III.4),
∠AOD ≡ ∠A0 O0 B 0 ,
42
temos, por transitividade, que
∠DOC > ∠A0 O0 B 0
(2)
Contradição entre (1) e (2).
−−→
Se OD está no exterior de ∠AOB chegamos, analogamente, a uma contradição.
Obs: A comparação entre segmentos é uma consequência da unicidade do
ponto no axioma III.1.
A
B
C
P
D
Se C ∗ P ∗ D, então AB < CD.
Se C ∗ D ∗ P , então AB > CD.
Definição 20
Se um ângulo α é menor do que um ângulo reto, então dizemos que α é um
ângulo agudo. Se α é um ângulo maior do que um ângulo reto, dizemos que α
é um ângulo obtuso.
Isto é equivalente a dizer que um ângulo agudo é menor do que seu suplemento, e um ângulo obtuso é maior do que seu suplemento.
Definição 21
Os ângulos ∠ABC, ∠BAC e ∠ACB de um triângulo 4ABC são chamados
ângulos (internos) de 4ABC. Os suplementos daqueles ângulos são chamados
ângulos externos de 4ABC.
C
A
B
Teorema 28: (Teorema dos ângulos externos)
Qualquer ângulo externo de um triângulo é maior do que os ângulos internos
não adjacentes a ele.
Dem:
43
C
D
A
B
D’
Seja 4ABC um triângulo qualquer e seja D um ponto na semi-reta oposta
−−→
à semi-reta AB tal que AD ≡ DC.
Vamos provar que ∠CAD > ∠ACB.
Inicialmente provaremos que ∠CAD e ∠ACB não são congruentes.
Suponha, por absurdo, que ∠CAD ≡ ∠ACB. Então,
4CAD ≡ 4ACB,
pois
AD ≡ BC, ∠CAD ≡ ∠ACB e CA ≡ CA (teorema 16 - LAL)
Segue-se que ∠DCA ≡ ∠BAC.
Mas então, como ∠BAC é suplemento de ∠DAC teremos, pelo teorema 18,
que o suplemento de ∠ACB é congruente a ∠BAC. Mas então, pelo axioma
−−→ −−→
II.4, ∠DCA é o suplemento de ∠ACB. Segue-se que CD e CB são opostas,
←→
ou seja, D está na reta BC, e como D, A e B são colineares, terı́amos que C
←→
estaria na reta AB, contradizendo o fato de que 4ABC é um triângulo.
Vamos provar agora que ∠CAD não é menor do que ∠ACB.
Suponha, por absurdo, que ∠CAD ≡ ∠ACB.
C
D
A
E
B
Então existe uma única semi-reta no interior do ângulo ∠ACB com origem
−→
C tal que o ângulo formado por esta semi-reta e pela semi-reta CA é congruente
a ∠CAD.
Pelo teorema da barra trasversal (teorema 13, item (b)), aquela semi-reta
intercepta AB em um ponto E que está entre A e B.
Mas então, o ângulo ∠CAD, externo ao triângulo 4ACE em A, é congruente
ao ângulo interno ∠ACE, contradizendo o que foi provado anteriormente.
Logo, o ângulo ∠CAD > ∠ACB.
Analogamente prova-se que o ângulo externo ao ângulo ∠BAC, que é oposto
pelo vértice a ∠CAD, é maior do que ∠ABC.
44
Consequências do teorema dos ângulos externos
Teorema 29 (Existência de paralelas)
Dada uma reta r qualquer, existe uma reta paralela a r.
Dem:
Seja P um ponto não incidente a r. Vamos provar que por P passa uma reta
paralela a r.
C
P
r
A
B
Q
Sejam A e B pontos de r.
−−→
Seja P C a semi-reta no semi-plano distinto do semi-plano do ponto B em
←→
relação à reta P A, tal que ∠AP C ≡ ∠P AB (axioma III.4).
Considere a reta s que passa por P e C. Veremos que s é paralela a r.
Suponha que s e r não sejam paralelas. Então elas se interceptam em um
ponto Q.
Se Q está no mesmo semi-plano que B então ∠AP C é ângulo externo ao
triângulo 4AP Q e é congruente ao ângulo interno ∠P AQ, contradizendo o
teorema dos ângulos externos.
Se Q está no semi-plano distinto de B então ∠P AB é ângulo externo do
4P AQ que é congruente ao ângulo interno ∠AP Q, contradizendo o teorema
dos ângulos externos.
Logo, s não intercepta r, ou seja, tais retas são paralelas.
Teorema 30
Dados dois lados não congruentes de um triângulo, ao maior deles opôe-se o
maior ângulo.
Dem:
45
C
A
C’
B
Suponha que AB > BC. Vamos provar que ∠ACB > ∠BAC.
Seja C 0 o ponto entre A e B tal que BC 0 ≡ BC (axioma III.1 e teorema 14).
−−→
Então a semi-reta CC 0 está no interior de ∠ACB, e portanto ∠BCC 0 < ∠ACB.
O triângulo 4BCC 0 é isósceles, com BC 0 ≡ BC. Segue-se, do teorema 15,
que ∠BC 0 C ≡ ∠BCC 0 .
O ângulo ∠BC 0 C é externo em C 0 do 4AC 0 C. Segue-se, pelo teorema dos
ângulos externos, que ∠C 0 AC < ∠BC 0 C.
Por transitividade temos ∠BAC < ∠ACB.
Obs: Vale a recı́proca: dados dois ângulos não congruentes de um triângulo, ao
maior deles opõe-se o maior lado. (Prove)
C
A
B
Teorema 31 - Recı́proca do teorema 15
Se um triângulo possui dois ângulos congruentes então ele é isósceles.
Dem:
Seja 4ABC um triângulo com ∠BAC ≡ ∠ABC.
C
A
B
Vamos provar que BC ≡ AC.
Suponha, por absurdo, que BC não seja congruente a AC. Então BC > AC,
ou BC < AC.
46
Se BC > AC teremos, pelo teorema 30, que ∠BAC > ∠ABC, contradizendo
a hipótese.
Analogamente chega-se a uma contradição se BC < AC.
Teorema 32 - Caso especial de congruência de triângulos
Sejam 4ABC e 4A0 B 0 C 0 dois triângulos tais que AB ≡ A0 B 0 , ∠A ≡ ∠A0 e
∠C ≡ ∠C 0 . Então 4ABC ≡ 4A0 B 0 C 0 .
C
C’
D
A
B
A’
B’
Dem:
Vamos provar que AC ≡ A0 C 0 . E então, pelo 1o caso de congruência de
triângulos (teorema 16) teremos que 4ABC ≡ 4A0 B 0 C 0 .
Suponha que AC e A0 C 0 não sejam congruentes. Suponha A0 C 0 < AC (o
caso AC < A0 C 0 é análogo). Seja D o ponto entre A e C tal que AD ≡ A0 C 0 .
Então 4ABD ≡ 4A0 B 0 C 0 , pois: AD ≡ A0 C 0 , ∠A ≡ ∠A0 e AB ≡ A0 B 0 (1o
caso - teorema 16). Segue-se que ∠ADB ≡ ∠C 0 . Mas, pelo teorema dos ângulos
externos, teremos que ∠ADB > ∠ACB (∠C), e por hipótese, ∠C ≡ ∠C 0 .
Chegamos a uma contradição.
Definição 22
Um ponto P é dito ponto médio de um segmento AB se AP ≡ BP .
Obs: Desta definição deduzimos que um ponto médio de um segmento está entre
as extremidades deste segmento (se existir um tal ponto médio) - Exercı́cio.
Não sabemos ainda se todo segmento possui um ponto médio e, se possui,
se ele é único.
Definição 23
−−→
Dado um ângulo ∠AOB, uma semi-reta OP é dita bissetriz de ∠AOB se
∠AOP ≡ ∠BOP .
Obs: Da definição não podemos inferir a existência e a unicidade da bissetriz
de um ângulo. se existir tal bissetriz, então ela será uma semi-reta no interior
do ângulo. (Exercı́cio)
47
Teorema 33
Todo segmento possui um único ponto médio.
Dem:
←→
Seja AB um segmento qualquer. Seja C um ponto fora da reta AB. No
←→
semi-plano distinto do semi-plano (em relação à reta AB) que contém o ponto
C, marquemos um ângulo ∠ABD tal que ∠BAC ≡ ∠ABD (axioma III.4).
Sem perda de generalidade, podemos considerar que overlineBD ≡ AC.
←→
Os pontos C e D estão em semi-planos distintos (em relação à reta AB),
←→
ou seja, C e D estão em semi-planos distintos da reta AB. Portanto existe um
←→
ponto M na reta AB que está entre C e D.
Vamos provar agora que M está entre A e B.
Se M for A (ou B):
C
A
B
M
D
Teremos uma contradição com o teorema dos ângulos externos pois, por
construção, o ângulo externo ∠BAC, de 4ABD é congruente ao ângulo interno
∠ABD desse triângulo.
Se M não pertence a AB (suponha que B esteja entre A e M - o outro caso,
M ∗ A ∗ B, é análogo),
C
B
A
M
D
então novamente teremos uma contradição pois, pelo teorema dos ângulos externos, ∠ABD > ∠BM D (∠ABD é externo ao 4BM D), e ∠BM D > ∠M AC
48
(∠BM D é externo ao 4AM C), ou seja, ∠BM D > ∠BAC. Por transitividade
teremos ∠ABD > ∠BAC, contradizendo a construção feita no inı́cio desta
demonstração.
Logo, M está entre A e B.
C
A
B
M
D
Considere agora os triângulos 4AM C e 4BM D. Temos:
∠M AC ≡ ∠M DB (construção)
AC ≡ BD (construção)
∠AM C ≡ ∠BM D (opostos pelo vértice - teorema 19)
Segue-se, pelo caso especial de congruência de triângulos (teorema 32), que
4AM C ≡ 4BM D. Segue-se que AM ≡ BM , e portanto M é ponto médio de
AB.
Vejamos agora que M é o único ponto médio de AB.
Suponha, por construção, que exista um ponto N , distinto de M , tal que
AN ≡ BN . Sabemos que N deve estar entre A e B.
Então N está entre B e M , ou N está entre A e M . Suponha que N esteja
entre B e M (o outro caso é análogo). Então M está entre A e N (exercı́cio 5
da lista 2).
Segue-se que:
AN > AM (1)
Mas,
AM ≡ BM (2)
Por outro lado, de M ∗ N ∗ B, temos BM > BN (3).
Por transitividade de (1), (2) e (3), obtemos:
AN > BN . Contradição.
Logo, M é o único ponto médio de AB.
Teorema 34
49
Todo ângulo possui uma única bissetriz.
Dem:
Seja ∠AOB um ângulo qualquer. Suponha, sem perda de generalidade, que
OA ≡ OB.
B
O
M
A
Pelo torema 33, AB possui um ponto médio M (AM ≡ BM ) que está no
interior de ∠AOB (teorema 12). Então,
4M OA ≡ 4M OB, pois:
OA ≡ OB (hipótese)
AM ≡ BM ( M ponto médio) e
OM ≡ OM
caso LLL - teorema 24.
−−→
Segue-se que ∠BOM ≡ ∠AOM , ou seja, OM é bissetriz de ∠AOB.
Unicidade: (exercı́cio).
Definição 24
Duas retassão ditas perpendiculares se elas se interceptam em um ponto O
que é vértice de um ângulo reto cujos lados são semi-retas respectivamente contidas em cada uma daquelas retas.
Já provamos, no teorema 20, que dado um ponto P fora de uma reta r,
existe uma reta perpendicular à reta r, passando por P . Vejamos que esta reta
perpendicular é única.
Teorema 35
Por um ponto P fora de uma reta r passa uma única reta perpendicular a r.
Dem:
Suponha, por absurdo, que existam retas s e t, perpendiculares a r, passando
por P .
50
P
A
C
r
B
s
D
t
Sejam A e B as intersecções de s e t respectivamente com r.
←→
Sejam C e D na reta AB tais que C ∗ A ∗ B e A ∗ B ∗ D. Então ∠P AC é reto
e externo ao triângulo 4P BA (reto, teorema 37). Contradição com o teorema
dos ângulos externos.
Logo, existe uma única perpendicular.
Definição 25
Um triângulo é dito retângulo se ele possui um ângulo interno reto.
Definição 26
Uma reta é dita mediatriz de um segmento se ela for perpendicular à reta
que contém esse segmento no ponto médio dele.
Obs: Como consequência do teorema 33 e da existência e unicidade da perpendicular à uma reta por um ponto desta reta, temos que todo segmento possui
uma única mediatriz.
Teorema 36
Dado um segmento AB e um ponto P , tem-se que P A ≡ P B se, e somente
se, P for incidente à mediatriz de AB.
Dem:
Seja P um ponto da mediatriz de AB. Se P for M , o ponto médio de
AB, então, por definição, temos P A ≡ P B. Se P não for o ponto médio de AB
←→
então P não é incidente à reta AB, e portanto 4P M A e 4P M B são triângulos.
P
A
M
51
B
Mas então 4P M A ≡ 4P M B, pois:
PM ≡ PM
∠P M A ≡ ∠P M B
AM ≡ BM
caso LAL (teorema 16).
Segue-se que P A ≡ P B.
Seja agora P um ponto tal que P A ≡ P B. Se P for M então P , por difinição
está na mediatriz de AB.
Se P não for M então, como P A ≡ P B, resulta da unicidade do ponto
←→
médio, que P não está na reta AB.
Segue-se que P , A e B são não colineares.
P
A
M
B
Considere os triângulos 4P M A e 4P M B. Então 4P M A ≡ 4P M B, pois:
P A ≡ P B (hipótese)
AM ≡ BM (M ponto médio)
PM ≡ PM
caso LLL (teorema 24).
Segue-se que ∠P M A ≡ ∠P M B. Mas tais ângulos são suplementares. Segue←−→
se, por definição, que ∠P M A e ∠P M B são retos. Então a reta P M é perpen←→
←−→
dicular à reta AB e passa pelo ponto médio M de AB. Logo, P M é mediatriz
de AB, e P é incidente a ela.
Teorema 37
Seja ∠AOB um ângulo e seja P um ponto no interior de ∠AOB e sejam A0
←−→
−→ −−→
e B 0 pontos nos lados OA e OB respectivamente, tais que P A0 é perpendicular
←→ ←−→0
←→
a OA, e P B é perpendicular a OB.
O ponto P pertence à bissetriz de ∠AOB se, e somente se, P A0 ≡ P B 0 .
52
B’
B
P
O
A
A’
53